എണ്ണലിന്റെ ഗണിതകൗതുകങ്ങള്‍

എണ്ണലിന്റെ ഗണിതകൗതുകത്തെക്കുറിച്ചാണ് ഈ കുറിപ്പ് .ഒരു കുട്ടി ആദ്യമായി അഭ്യസിക്കുന്ന ഗണിതപാഠം എണ്ണലാണെന്നുപറയാം.എണ്ണല്‍ ഒരു ഗണിതരീതിയായി വളന്ന് നൂതനമായ ചിന്തകളിലേയ്ക്ക് വ്യാപിക്കുന്ന രസകരമായകാഴ്ച ആസ്വാദ്യകരമാണ് . ചില മാതൃകകള്‍ കാണാം . നേര്‍വരകള്‍ ഒരു പരന്നപ്രതലത്തെ ഭാഗിക്കുന്ന കാഴ്ചതന്നെയാവട്ടെ.
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം കാണുക. ധാരാളം നേര്‍വരകളുണ്ട് ഇവിടെ . രണ്ടില്‍കൂടുതല്‍ നേര്‍വരകള്‍ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുകയോ , ഒരു വര മറ്റോരുവരയ്ക്ക് സമാന്തരമാകുയോ ചെയ്യരുത് . ആദ്യചിത്രത്തില്‍ ഒരു വര പ്രതലത്തെ രണ്ടായി മുറിച്ചിരിക്കുന്നു.

രണ്ടുവരകള്‍ പ്രതലത്തെ നാലായി മുറിക്കുന്നു. അതുപോലെ മൂന്നുവരകള്‍ പ്രതലത്തെ ആറ് ഭാഗങ്ങളായും നാല് വരകള്‍ പ്രതലത്തെ പതിനൊന്ന് ഭാഗങ്ങളായും മുറിച്ചിരിക്കുന്നതുകാണാം

ഇതില്‍ നിന്നും രൂപീകരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യാശ്രേണിയുണ്ട് . താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പട്ടികയിലെ രണ്ടാംവരി സംഖ്യാശ്രേണിയാണ് . ഈ ശ്രേണിയുടെ ബിജഗണിതരൂപത്തെക്കുറിച്ച് ആലോചിച്ചുനോക്കൂ. പത്താംക്ലാസ് കുട്ടികള്‍ക്ക് നല്‍കാവുന്ന ഒരു അധികപ്രവര്‍ത്തനം തന്നെയല്ലേ ഇത്? ജനറല്‍ചാര്‍ട്ട് വിഭാഗത്തില്‍ ഇത് പ്രദര്‍ശിപ്പിക്കാമല്ലോ. ചാര്‍ട്ട് പേപ്പറില്‍ വരച്ച് വിവിധഭാഗങ്ങള്‍ നിറം നല്‍കിനോക്കിയാല്‍ നല്ലൊരു ചാര്‍ട്ടാകുമെന്ന് തീര്‍ച്ചയാണ് .

ഇനി വിശകലനപ്പട്ടിക കാണാം

ഇനി ശ്രേണിയുടെ നേര്‍രൂപം ​എഴുതാമല്ലോ? $T_n=1+\frac{n(n+1)}{2}$ എണ്ണലിന്റെ മറ്റൊരു പാറ്റേണ്‍ കാണാം. ഇത് വൃത്തവും ഞാണുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ് . വൃത്തത്തിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളെ യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ഞാണ്‍ വരച്ചപ്പോള്‍ വൃത്തം രണ്ടായി മുറിഞ്ഞു. മൂന്നു ബിന്ദുക്കള്‍ പരസ്പരം യോജിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് വൃത്തത്തെ നാല് ഭാഗങ്ങളാക്കാം.

നാലുബിന്ദുക്കളും അഞ്ചുബിന്ദുക്കളുമൊക്കെ അടയാളപ്പെടുത്തി ഇപ്രകാരം ചെയ്താലോ? നാലു ബിന്ദുക്കള്‍ യോജിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ 8 ഭാഗങ്ങളും അഞ്ചെണ്ണം യോജിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ 16 ഭാഗങ്ങളും കിട്ടും . ആറെണ്ണം യോജിപ്പിച്ചാലോ? 32 എണ്ണമല്ല കിട്ടുന്നത് മറിച്ച് 31 എണ്ണമേ കിട്ടുകയുള്ളൂ. $2, 4, 8,16,—$ എന്ന ശ്രേണിയിലെ അടുത്തപദമായ 32 അല്ല എന്ന് ചിത്രംവരച്ച് ബോധ്യപ്പെടാവുന്നതാണ് . 32 ആയിരുന്നെങ്കില്‍ നേര്‍രൂപം $ 2^{n-1}$ എന്ന് എഴുതാമായിരുന്നു. $\frac{n^4-6n^3+23n^2-18n+24}{24}$എന്നതല്ലേ നേര്‍രൂപം . ഇതിന്റെ തെളിവ് കമന്റായി വരുമെന്ന് ഉറപ്പുണ്ട് . എണ്ണലിന്റെ ഗണിതവിസ്മയം മറ്റൊരു പോസ്റ്റില്‍ ശ്രാവണിടീച്ചര്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് കൊടുത്ത പ്രോജക്ടായി മുന്‍പൊരിക്കല്‍ നല്‍കിയത് ഓര്‍ക്കുന്നുണ്ടല്ലോ. ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക ഇനിയുമുണ്ട് എണ്ണലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ധാരാളം ഗണിതകൗതുകങ്ങള്‍.ഒരു ചെസ്ബോഡില്‍ ചെറുതുംവലുതുമായി ആകെ എത്ര സമചതുരങ്ങള്‍ ഉണ്ടെന്ന് കണക്കാക്കിയിട്ടുണ്ടോ?

തിരശ്ചീനമായി 8 ചെറിയ സമചതുരങ്ങളും ലംബമായി 8 ചെറിയകളങ്ങളും ഉണ്ടാകും . ഇത്തരം $8^2$സമചതുരങ്ങളുണ്ടാകും . ഇത്തരം സമചതുരങ്ങളെ $1\times1$ സമചതുരങ്ങള്‍ എന്നുവിളിക്കാം. രണ്ടെണ്ണം വലത്തേയ്ക്കും രണ്ടെണ്ണം വീതം താഴേയ്ക്കും എടുക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളെ $2\times2$ സമചതുരങ്ങളെന്നുപറയാം .ഇങ്ങനെ തുടര്‍ന്നും പേരുനല്‍കാം. ആകെ സമചതുരങ്ങളുടെ ​എണ്ണം $8^2+7^2+6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\=\frac{8\times9\times 17}{6}=204$ ഇത് ക്വിസ് മല്‍സരങ്ങളുടെ കാലം . എണ്ണല്‍ക്രീയയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ തരുന്നു . ഉത്തരം കണ്ടെത്താനും കമന്റ്ചെയ്യാനും കുട്ടികളെ തയ്യാറാക്കുമല്ലോ.

  1. What is the digit in the ones place of $2^{50}$?
  2. The sequence of natural numbers up to 100 is $1,2,3,4 \cdots 100$ . Divide each of the numbers by 3 and add the remainders . What is the sum of the remainders?
  3. $1^2,2^2,3^2 \cdots 100^2$. Divide each of the number by 3 and add the remainders . What is the sum of the remainders?
  4. What is the 2005 th term of the sequence $1,23,456,78910,\cdots$
  5. Consider the following sequence . $\frac{2}{1},\frac{5}{2},\frac{10}{3},\frac{17}{4} ,\frac{26}{5}\cdots$.What is the $100^{th}$ term?
  6. The sequence of natural numbers are grouped as follows. $(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10) \cdots $The $n^{th}$ group of this sequence has n natural numbers. In which group the natural number 100 lie?
  7. $S_n=1-2+3-4+ 5-6 \cdots up to n terms$. What is the value of $S_{2004}+S_{2005}+S_{2006}$
  8. What is the sum of the remainders obtained by dividing each of the first 20triangular numbers by 3 ?
  9.  What is the 25 th term of $12,21, 112, 121, 211, 1112, 1121, 1211, 2111, 11112 \cdots $ ?
  10. What is th product of 2005 terms of the sequence $1, (1-\frac{1}{2}), (1-\frac{1}{3}) , (1-\frac{1}{4}) \cdots $?

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in Lite Maths, Maths Project, Maths X. Bookmark the permalink.

27 Responses to എണ്ണലിന്റെ ഗണിതകൗതുകങ്ങള്‍

  1. 1(1/3) , 2(2/5) , 3(3/7) ………………എന്നശ്രേണി Pythagorean triplet മായി ബന്ധമില്ലേ{nth term n(n/2n+1)}

  2. നേർവരകൾ പരന്നപ്രതലത്തെ ഭാഗിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിനെ വൈശ്ലേഷികമായി (analytical) സമീപിക്കാനുള്ള ഒരു വഴി നോക്കാം.

    \(n\geq 2\) വരകൾ പ്രതലത്തിനെ \(T_{n}\) ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു എന്ന് കരുതുക. \(T_{1}=2\) എന്ന നമുക്കറിയാം (എങ്ങനെ?). പൊതുവായ n-ന് \(T_{n}\) എന്താണ് എന്നാണ് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടത്. ഇതിനുള്ള ഒരു പോംവഴി പര്യാവർത്തക ബന്ധങ്ങൾ (recurrence relations) ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ്. എണ്ണം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒട്ടനവധി പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് ഈ രീതിയിൽ ഉത്തരം കാണാൻ കഴിയും. പൈത്തൺ പാഠങ്ങളിൽ കണ്ട പര്യാവർത്തനവുമായി ഈ രീതിക്ക് അടുത്ത സാമ്യവും ബന്ധവുമുണ്ട്. ഈ രീതി മനസ്സിലാക്കാനും ഉപയോഗിക്കാനും പൈത്തണോ പ്രോഗ്രാമിംഗോ അറിയണമെന്നില്ല. മറിച്ച്, ഈ രീതിയുടെ ഗുട്ടൻസ് പിടികിട്ടിയാൽ പ്രോഗ്രാമിംഗിലെ പര്യാവർത്തനം മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാകും. ഇനിയുള്ള വിവരണം മനസ്സിലാക്കാൻ കുറച്ച് വരകളുള്ള ഒരു ചിത്രവുംകൂടെ നോക്കുക (പോസ്റ്റിലെ നാലു വരകളുള്ള ചിത്രം മതിയാകും.)

    \(n \geq 2\) വരകൾ പ്രതലത്തിൽ വരച്ചിട്ടുണ്ട് എന്ന് കരുതുക. ഈ വരകൾക്ക് \(1,2,\ldots,n\) എന്ന് ഏതെങ്കിലും ക്രമത്തിൽ പേര് കൊടുക്കുക. ഇതിൽ \(n\) എന്ന പേരുള്ള വരയാണ് ഏറ്റവും അവസാനം വരച്ചതെന്ന് കരുതുക. ഈ വര എത്ര പുതിയ ഭാഗങ്ങളെ ഉണ്ടാക്കി എന്ന് എണ്ണാൻ ശ്രമിക്കാം. എല്ലാ വരകളും ചേർന്ന് എത്ര ഭാഗങ്ങളെ ഉണ്ടാക്കുന്നു എന്ന് കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിലും ബുദ്ധിമുട്ട് കുറവായിരിക്കില്ലേ, ഇക്കാര്യം മാത്രം കണ്ടു പിടിക്കാൻ?

    ഇക്കര്യം കണ്ടുപിടിക്കാനായി, \(n\)-ആമത് വരയുടെ ഒരറ്റത്ത് നിന്ന് (ഇതങ്ങ് അനന്തതയിലാണ്!) അതിനെ വരച്ചുതുടങ്ങുന്നതായി സങ്കൽപ്പിക്കുക. ഇങ്ങനെ വരയ്ക്കുന്പോൾ ആദ്യമായി മറ്റൊരു വരയുമായി (ഇത് \(1\) മുതൽ \(n-1\) വരെയുള്ള ഏത് വരയുമാകാം) നമ്മുടെ വര കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുവിനെ \(p_{1}\) എന്ന് വിളിക്കുക. നമ്മുടെ വര രണ്ടാമത് മറ്റൊരു വരയുമായി കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുവിനെ \(p_{2}\) എന്ന് വിളിക്കുക. ഇങ്ങനെ തുടർന്നുള്ള “കൂട്ടിമുട്ടൽ ബിന്ദുക്കൾക്കും” പേരു കൊടുക്കുക. അവസാനത്തെ കൂട്ടിമുട്ടൽ ബിന്ദു \(p_{i}\) ആണെന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ നമ്മുടെ വര മറ്റ് വരകളുമായി കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുക്കൾ ക്രമത്തിൽ \(p_{1},p_{2}\ldots,p_{i}\) ഇവയാണ്. ഇങ്ങനെയുള്ള എത്ര ബിന്ദുക്കൾ കാണും? മറ്റൊരു തരത്തിൽ ചോദിച്ചാൽ, \(i\)-യുടെ വില എന്തായിരിക്കും?

    ഈ വരകൾ വരയ്ക്കുന്നതിൽ പാലിക്കേണ്ട രണ്ട് നിബന്ധനകളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം കിട്ടും. നമ്മുടെ വര മറ്റ് ഒരു വരയ്ക്കും സമാന്തരമല്ലാത്തതുകൊണ്ട്, അത് മറ്റ് എല്ലാ വരകളുമായും കൂട്ടിമുട്ടും. ഇനി, ഇങ്ങനെയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിലും രണ്ടിൽക്കൂടുതൽ വരകൾ കൂട്ടിമുട്ടുന്നുമില്ല. ഇതുകൊണ്ട് നമ്മുടെ വര \(n-1\) വെവ്വേറെ ബിന്ദുക്കളിൽ മറ്റ് വരകളുമായി കൂട്ടിമുട്ടും. അപ്പോൾ \(i=n-1\). (ഇപ്പറഞ്ഞത് ശരിക്ക് മനസ്സിലായി എന്ന് ആലോചിച്ച് ഉറപ്പുവരുത്തുക!)

    നമ്മുടെ വരയുടെ, അനന്തത മുതൽ \(p_{1}\) വരെയുള്ള കഷണം നോക്കൂ. നമ്മുടെ വര വരയ്ക്കുന്നതിന് മുൻപ് നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന പ്രതലത്തിന്റെ (അനന്തം പരപ്പളവുള്ള) ഒരു ഭാഗത്തിനെ ഈ കഷണം രണ്ടായി മുറിക്കുന്നില്ലേ? വരയുടെ ഈ കഷണം കാരണം പ്രതലത്തിന് ഒരു പുതിയ ഭാഗം ഉണ്ടായിവന്നു.

    ഇനി, നമ്മുടെ വരയുടെ \(p_{1}\) മുതൽ \(p_{2}\) വരെയുള്ള കഷണം നോക്കൂ. ഈ കഷണവും മുൻപുണ്ടായിരുന്ന ഒരു പ്രതലഭാഗത്തിനെ രണ്ടാക്കുന്നു. ഇങ്ങനെ, വരയുടെ ഓരോ കഷണവും പുതിയ ഒരു പ്രതലഭാഗത്തിനെ ഉണ്ടാക്കുന്നു. തന്നെയുമല്ല, നമ്മുടെ വര കാരണം പുതുതായി ഉണ്ടായിവന്ന പ്രതലഭാഗങ്ങളെല്ലാം ഇങ്ങനെ ഓരോ കഷണത്തോട് ബന്ധപ്പെട്ടുമിരിക്കുന്നു. നമ്മുടെ വരയ്ക്ക് കൃത്യം \(i+1=n\) കഷണങ്ങൾ ഉള്ളതുകൊണ്ട് (ഇതെന്തുകൊണ്ട്?), നമ്മുടെ വര പുതുതായി ഉണ്ടാക്കിയ പ്രതലഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണവും \(n\) തന്നെ. വരകളുടെ എണ്ണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന, നമ്മൾ അന്വേഷിച്ചുകൊണ്ടിരുന്ന പര്യാവർത്തക ബന്ധം അപ്പോൾ ഇതാണ്:

    \[
    \begin{equation*}
    T_{n}=
    \begin{cases}
    T_{n-1}+n & \text{if }n\geq2,\\
    2 &\text{if }n=1.
    \end{cases}
    \end{equation*}
    \]

    ഈ പര്യാവർത്തന ബന്ധത്തെ പിരിച്ചെഴുതിയാൽ ഇങ്ങനെ കിട്ടും:

    \[
    \begin{align}
    T_{n}&=n+T_{n-1}\\
    &=n+(n-1)+T_{n-2}\\
    &\cdots\\
    &=n+(n-1)+\ldots+3+2+T_{1}\\
    &=\frac{n(n+1)}{2}+1
    \end{align}
    \]

    (ഇതിൽ ഓരോ സമവാക്യവും എങ്ങനെയാണ് കിട്ടിയതെന്ന് ആലോചിച്ച് മനസ്സിലാക്കുക!)

  3. ചെസ് ബോര്‍ഡിലെ സമചതുരങ്ങള്‍ എത്രയെന്ന ചോദ്യം ഒരു കാലത്ത് സ്ഥിരമായി ആവര്‍ത്തിക്കപ്പെട്ടിരുന്ന ചോദ്യമായിരുന്നു. അതിന് സ്വയം ഉത്തരം കണ്ടെത്താനായത് ഇന്നും മറന്നിട്ടില്ല. അന്വേഷണാത്മക ഗണിതപഠനത്തിന്റെ ആരംഭം കുറിക്കാനാകുന്ന രണ്ടു പ്രധാന പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ തന്നെയാണ് പോസ്റ്റിലുള്ളത്.

    ഫിലിപ്പ് മാഷിന്റെ പ്രൊഫഷണലിസം വ്യക്തമാക്കുന്ന ഒരു കമന്റു കൂടി ബ്ലോഗിന് ലഭിച്ചിരിക്കുന്നു.

  4. ഗണിത മേളയ്ക്ക് ഹൈസ്കൂളിന് പറ്റിയ ഒരു നമ്പര്‍ ചാര്‍ട്ട് ആരെങ്കിലും പറഞ്ഞുതരുമോ. പ്ലീസ്

  5. This comment has been removed by the author.

  6. പ്രിയ ഗോപിക, ഫാത്തിമാ സനാ,
    നമ്പര്‍ ചാര്‍ട്ടും പ്രോജക്ടുമൊക്കെ റെഡീമേഡായി കിട്ടേണ്ടതാണോ..? മിടുക്കികള്‍ രണ്ടുപേരും ഈ ബ്ലോഗിനുമുന്നില്‍ കുത്തിയിരുന്ന് ജോണ്‍സാറിന്റേയും ഫിലിപ്പ്മാഷ്, ഹിത തുടങ്ങിയവരുടേയും പഴയ പോസ്റ്റുകളൊക്കെ തെരഞ്ഞുനോക്കൂ…പ്രോജക്ടുകള്‍ക്കും നമ്പര്‍ചാര്‍ട്ടുകള്‍ക്കും മറ്റുമുള്ള വഹകള്‍ കണ്ടെത്തി വിപുലീകരിക്ക്..!

  7. vijayan says:

    എല്ലാര്‍ക്കും വേണ്ടത് നമ്പര്‍ ചാര്‍ട്ടും, പസിലും ,പ്രോജക്ടും…………ഗണിതമേളക്ക് വേണ്ട യുദ്ധസാമഗ്രികളും……..എന്നാല്‍ ജോണ്‍ സാറിന്റെ പത്ത് ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് വഴി കാണാന്‍ ആര്‍ക്കും നേരമില്ല.
    മൂന്ന് ദിവസം കൊണ്ട് വന്നത് ആറ് കമണ്ടുകള്‍ മാത്രം.
    ഇത് മതിയോ ?

    “എവിടെ പോയെന്റെ കിടാങ്ങള്‍………..”
    let us start answering
    1) 4
    2) 100/3
    3)67/3
    4)(2004*2005/2)+1,(2004*2005/2)+2, ……….(2004*2005/2)+2004.
    5)10001/100

    6) 13*14/2……….14*15/2

  8. vijayan says:

    q no 8: doubt in qn ( divided by what?)
    9) 1121111
    10) 1/2005

  9. vijayan says:

    q no 7)
    one term is missing in question (?)
    .if the qn is 1-2+3-4+5-6+7-8…
    the answer of s2004+s2005+s2006 is “-1002”

  10. JOHN P A says:

    നന്ദി വിജയന്‍ സാര്‍. തിരുത്തിയിട്ടുണ്ട്

  11. [im]http://sphotos-c.ak.fbcdn.net/hphotos-ak-ash3/76795_3769063148030_541878783_n.jpg[/im]

  12. ALNA says:

    പോസ്റ്റുമായി ബന്ധമില്ലാത്ത ഒരു അടിയന്തിര സംശയം. ഒരു ഡോക്ടർ ഇപ്പോൾ വിളിച്ചു ചോദിച്ചതാണ്. അപ്പോൾ കൺഫ്യൂഷൻ. 20 ഗ്രാം എത്ര മില്ലിയാണെന്നതാണ് സംശയം. ദയവായി ആരെങ്കിലും പറഞ്ഞുതരിക. പോസ്റ്റുമായി ബന്ധമില്ലാത്ത സംശയം ചോദിച്ചതിൽ ക്ഷമാപണം.

  13. JOHN P A says:

    $20 \times 1000 $ mg = 20 g

  14. JOHN P A says:

    മില്ലി എന്നല്ല പറയേണ്ടത് . അത് സംസാരഭാഷയാണ്. മില്ലി ലിറ്റര്‍ എന്നോ മില്ലി ഗ്രാം എന്നോ ആണ് പറയേണ്ടത് . സ്വര്‍ണ്ണം തൂക്കുന്നത് മില്ലിഗ്രാമിലാണല്ലോ
    ഇവിടെ 20 ഗ്രാം എന്ന് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. അപ്പോള്‍ മാറ്റേണ്ടത് മില്ലിഗ്രാമില്‍ തന്നെ .

  15. ജോണ്‍ സാറിന്റെ പത്ത് ചോട്യങ്ങള്‍ക്ക് കണ്ടെത്തിയ ഉത്തരങ്ങള്‍

    1 . 4
    2 . 100
    3 . 27
    4 . ഉത്തരം കിട്ടിയില്ല.
    5 . 10001/100
    6 . 14
    7 . – 1002
    8 . 7
    9 . 1121111
    10 . 1/2005

    ഉത്തരങ്ങള്‍ ശരിയാണോ എന്നു നോക്കണേ .

  16. JOHN P A says:

    To GHSS PUKUNNAM,
    Sir .teacher
    q no 4
    വെറുതെ ആ ശ്രേണി നോക്കുക
    ഒന്നാം പദത്തിന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനം ആദ്യത്ത ത്രികോ​ണസംഖ്യയല്ലേ? രണ്ടാംപദത്തിന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനം രണ്ടാമത്തെ ത്രികോണസംഖ്യയാണ്. മൂന്നാംപത്തത്തിന്റെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനം മൂന്നാമത്തെ ത്രികോണസംകഖ്യ .നാലാമത്തെ ത്രിോകണസംക്യ 10 ആണ് . അതിനാല്‍ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനം 0. ഇങ്ങനെ ഇങ്ങനെ 2005 മത്തെ ത്രിോകണസംഖ്യ 2005( 2005+1) / 2 . ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനം 5

  17. സാര്‍ ,
    നാലാമത്തെ ചോദ്യത്തില്‍ 2005 മത്തെ സംഖ്യ കണ്ടെത്താനല്ലേ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത് ? ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കമല്ലല്ലോ .
    ഒന്നുകൂടി വ്യക്തമാക്കിത്തരാമോ ?

  18. vijayan says:

    the 2005 th term is “20090112009012200901320090142009015………….20110142011015 “

    from the qn it is clear that the 5th term is 1112131415,the sixth term is 161718192021.so 2005 term is a number with 2005*7=14035 digits.

  19. THIS IS ONE AND ONLY BLOG FOR THE STUDENTS WHO LOVE MATHS.

  20. 7 ഒറ്റ സംഖ്യകള്‍ ഏഴും കൂട്ടിയാല്‍ 40 കിട്ടണം ഉത്തരം ആരെങ്കിലും പറഞ്ഞുതരുമോ?

  21. sreejith says:

    ആരും പറയില്ല..
    3 ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ തുക ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാക്കാന്‍ പറ്റില്ലല്ലോ..അതുപോലെ…

  22. Wow…how swiftly you have solved this problem..this is the beauty of maths!

    plasma cutters

  23. രസകരമായ ബുദ്ധി പരീക്ഷ

  24. ഹിത says:

    ഇതിന്റെ തെളിവ് കമന്റായി വരുമെന്ന് ഉറപ്പുണ്ട്

    The sequence is 1,2,4,8,16,31,57,………………………

    1 2 4 8 16 31 57,…………
    D1 1 2 4 8 15 26
    D2 1 2 4 7 11
    D3 1 2 3 4
    D4 1 1 1

    Since D4 is a constant the algebraic form is of degree 4.

    Let the algebraic form be f(n)=an^4+bn^3+cn^2+dn+e

    f(0)=1 hence e=1
    f(1)=1
    a+b+c+d=0———————(1)
    f(2)=2
    16a+8b+4c+2d=1 or 8a+4b+2c+d = ½ —————-(2)
    f(3)=4
    81a+27b+9c+3d=3 or 27a+9b+3c+d = 1 —————-(3)
    f(4)=8
    256a+64b+16c+4d=7 or 64a+16b+4c+d = 7/4 ———-(4)

    Solving the above equations we get
    a = 1/24 , b= -6/24, c=23/24, d=-18/24 also e=1

    f(n)=an^4+bn^3+cn^2+dn+e
    =1/24n^4-6/24n^3+23/24n^2-18/24n+1
    Or

    f(n)=(n^4-6n^3+23n^2-18n+24) /24

  25. ഹിത says:

    This comment has been removed by the author.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s