“ The level of intellect of many teachers is low, because many of them have not been appointed on merit but on extraneous considerations. To give an example, when I was a judge of Allahabad High Court I had a case relating to a service matter of a mathematics lecturer in a university in Uttar Pradesh. Since the teacher was present in court I asked him how much one divided by zero is equal to. He replied, “Infinity.” I told him that his answer was incorrect, and it was evident that he was not even fit to be a teacher in an intermediate college. I wondered how had he become a university lecturer (In mathematics it is impermissible to divide by zero. Hence anything divided by zero is known as an indeterminate number, not infinity).“Professor, teach thyself – Markandey Katju
ചളവറ സ്കൂളിലെ ഹെഡ്‌മാസ്റ്റര്‍ ഗോവിന്ദരാജന്‍മാഷ് നമ്മുടെ രാമനുണ്ണിമാഷിന് അയച്ചുകൊടുത്ത ഒരു കുറിപ്പാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. കുറിപ്പിനാധാരം പ്രസ്സ് കൗണ്‍സില്‍ ഓഫ് ഇന്ത്യ ചെയര്‍മാന്‍ അഭിവന്ദ്യനായ മാര്‍ക്കണ്ടേയ കാട്ജു 2012 സെപ്റ്റംബര്‍ 3ന്റെ ഹിന്ദു ദിനപ്പത്രത്തിലെഴുതിയ ലേഖനത്തിന്റെ ഒരു ഖണ്ഡികയാണ്. ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം വളരെ പ്രസക്തവും തീര്‍ച്ചയായും രാജ്യം മുഴുവന്‍ ചര്‍ച്ച ചെയ്യപ്പെടേണ്ടതുമാണ് [അങ്ങനെ അദ്ദേഹം ആഗ്രഹിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുണ്ട്] എന്നതില്‍ തര്‍ക്കമില്ല. പക്ഷെ, ഈ പോസ്റ്റില്‍, മേല്‍ ഖണ്ഡികയില്‍ മാത്രം ഊന്നല്‍ നല്‍കുന്നു എന്നു മാത്രം. അതും ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര വര്‍ഷത്തില്‍ !
ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രൊഫസര്‍ ‘ഇന്‍ഫിനിറ്റി’ എന്ന് ഉത്തരം പറഞ്ഞപ്പോള്‍ നമുക്ക് ചോദിക്കാവുന്ന ഉപചോദ്യം ‘ഇന്‍ഫിനിറ്റി’ യെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പൊള്‍ ‘ഒന്ന്’ കിട്ടുമോ എന്നതാണല്ലോ. അതിന്റെ തുടര്‍ച്ചയായി പറയാന്‍ തോന്നുക If x,y are positive integers and if x/0=y/0=infinity then x=y=0 is absurd എന്നു മാണല്ലോ? അപ്പോള്‍ എന്താണ് യഥാര്‍ത്ഥ പ്രശ്നം?
ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രൊഫസറുടെ ‘ഇന്‍ഫിനിറ്റി’ എന്ന ഉത്തരം വളരെ പഴഞ്ചനായ ഒരു അറിവ് മാത്രമാണ്. ഗണിതാധ്യാപകനല്ലാത്ത ഒരാളിന്റെ കാര്യത്തില്‍ ഈ ‘അറിവ്’ പ്രത്യേകിച്ച് കുഴപ്പങ്ങളുണ്ടാക്കില്ല. ടോളമി രാജാവ് മന്ത്രിയോട് ഒരിക്കല്‍ ഈ പ്രശ്നം പരിശോധിക്കാനേല്‍പിച്ചുവല്ലോ. ഒന്നില്‍ എത്ര പൂജ്യങ്ങളുണ്ടെന്ന് തീര്‍ച്ചപ്പെടുത്താന്‍ ഒരു ബക്കറ്റ് വെള്ളം [ പരിചാരകരെക്കൊണ്ട്] എടുത്ത് മുറുക്കിയടച്ച ഒരു കപ്പുകൊണ്ട് ബക്കറ്റിലെ വെള്ളം എത്രപ്രാവശ്യം കോരിയെടുക്കാനാവുമെന്ന് എണ്ണിനോക്കിയത്. ‘ഇന്‍ഫിനിറ്റി’ തവണ എന്നു തീര്‍ച്ചയാക്കിയ വിവരം ടോളമിയെ സന്തോഷിപ്പിച്ചത്. നമ്മുടെ നാട്ടില്‍ അടിപൊളിഞ്ഞ ബക്കറ്റുകൊണ്ട് കിണര്‍ കോരി വറ്റിക്കാന്‍ ഏതോ മണ്ടന്‍ [ പഴയ ടോളമി രാജാവായിരുന്നു] ശ്രമിച്ചതു പോലെ. ഈ തീരുമാനം കണക്ക് മാഷിന്ന് ഉത്തരമായിക്കൂടെന്നല്ലേ ലേഖകന്‍ ആഗ്രഹിച്ചത്? അതും പൂജ്യത്തിന്റെ വില കണ്ടുപിടിച്ച ഒരു രാജ്യത്തെ പ്രൊഫസര്‍ !
ഇത് കണക്ക് മാഷിന്റെ കാര്യത്തില്‍ മാത്രമല്ല; ഏതു വിഷയത്തിലും പണിയെടുക്കുന്ന മാഷമ്മാരുടെ കാര്യം പൊതുവേ കുറേകൂടി ആലോചിക്കേണ്ടിവരും. പുതിയ പാഠപദ്ധതിയും സമീപനവും കുട്ടികളില്‍ [എല്ലാ വിഷയങ്ങളിലും ] വലിയ കുതിച്ചുചാട്ടം ഉണ്ടാക്കിയിട്ടുണ്ട്. അത് അറിവിന്റെ കാര്യത്തിലും അറിവുല്‍പാദനത്തിന്റെ കാര്യത്തിലും ഉണ്ടായിട്ടുണ്ട്. പുതിയ കാലഘട്ടവും അതിന്ന് കാരണമായിട്ടുണ്ട്. എന്നാല്‍ നമ്മളില്‍ [ മാഷ്] പലരും ഈ വലിയ ‘ലീപ്പ്’ എത്രകണ്ട് ഉള്‍ക്കൊണ്ടു എന്ന് ആലോചിക്കാതെ , വിലയിരുത്താതെ മുന്നോട്ടുപോകാനാവില്ല.
വാല്‍ക്കഷണം:1. കുട്ടിക്ക് അറിവുണ്ടാക്കാന്‍ അദ്ധ്യാപകര്‍ ക്ലാസ് മുറിയില്‍ പ്രയോഗിക്കുന്ന ഒരു ടെക്നിക്കും [ അറിവ് നിര്‍മ്മാണ പ്രക്രിയകള്‍ ] സ്വയം അറിവുണ്ടാക്കാന്‍ മാഷ് ഇന്നേവരെ ഉപയോഗപ്പെടുത്തിയില്ലല്ലോ? കുട്ടിയുടെ ജ്ഞാനനിര്‍മ്മിതിയും മാഷിന്റെ ജ്ഞാന നിര്‍മ്മിതിയും രീതികളില്‍ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നോ?
2. ഓ…ഈ പുതിയ സം‌വിധാനങ്ങളും രീതികളും ഒന്നും എനിക്കറീലാ ട്ടോ… എന്ന് മാഷ് പറയുന്നത് വിനയം കൊണ്ടല്ല എന്നും ; മറിച്ച്……[ അല്ലെങ്കില്‍” ന്റെ മാഷെ ങ്ങക്ക് അതറീല്യേ … ” ന്ന് കുട്ടി / രക്ഷിതാവ് ചോദിക്കുമ്പോ എന്തിനാ കയര്‍ക്കുന്നത്?]
Maths Blog 
ഈ ബ്ലോഗ് കൂടി വായിക്കുക.
“The level of intellect of many teachers is low, because many of them have not been appointed on merit but on extraneous considerations”
ഞാന്‍ കണക്കിനെ കുറിച്ച് വ്യാകുലപെടുന്നില്ല. (ഹോംസിനെ പോലെ) അതിലൊന്നും വലിയ കാര്യമില്ല.
പക്ഷെ ദാ മുകളില്‍ പറഞ്ഞ സാധനമില്ലേ (many of them have not been appointed on merit but on extraneous considerations) ദ വിടെയാണു കാര്യം. സര്‍ക്കാര്‍ ശമ്പളം കൊടുക്കുകയും മറ്റെല്ലാം മാനേജര്‍മാര്‍ നോക്കുകയും ചെയ്യുന്ന ദൈവത്തിന്റെ സ്വന്തം നാട്ടിലെ ബുദ്ധിവൈഭവം ജസ്റ്റീസ് കാട്ജു….. അങ്ങ് പണി നിര്‍ത്തിപോകും…. എന്റെ മക്കളും ഈ ഗണത്തിലെ വിദ്യാലയങ്ങളിലാണ്.. നാലു വര്ഷം പരീക്ഷിച്ച് ഞാന്‍ ആദര്‍ശം മാറ്റുന്നു.. അനുഭവത്തിലൂടെ
ഗോവിന്ദരാജന്‍ മാഷ് അയച്ചുതന്ന ഈ കുറിപ്പ് – ഗണിതവിഷയതലത്തില്‍ ചര്‍ച്ച ചെയ്യപ്പെടേണ്ടതാണ്`. അദ്ധ്യാപകന്റെ മറ്റു കാര്യങ്ങള്‍ പിന്നൊരിക്കലാവാം. പൂജ്യത്തിന്റെ കഥ പറയൂ.
ഗണിതാധ്യപകന്‍ അല്ലെങ്കിലും ഞാന്‍ കരുതുന്നത് ഇതുപോലുള്ള നിരവധി പരമ്പരാഗത അറിവുകള്‍ നമ്മുടെ ക്ളാസ്മുറികളില്‍ പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്നുണ്ടെന്നാണ്`. അതെല്ലാം സോര്‍ട്ടൗട്ട് ചെയ്ത് വേണ്ടത്ര വിശദീകരണങ്ങളോടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കണം. ഒരു തരത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍ റ്റെക്സ്റ്റ് ബുക്ക് ഓഡിറ്റിങ്ങ്.
പി.എസ്.
നോക്കൂ [ കുട്ടികളോട് ടീച്ചര്‍] ഒന്നിന്റെ കൂടെ പൂജ്യം ചേര്‍ത്താല്‍ എന്താ കിട്വാ??…[ ബോര്ഡില്‍ 1 എന്നും 0 എന്നും എഴുതിക്കാണിക്കുന്നു.]
കുട്ടികള്‍ -'ഒന്ന്'
[ കണക്ക് ക്ളാസിലെ ഒരു ഫലിതം.]
പൂജ്യം ആവിഷ്കരിച്ചത് ഭാരതീയരാണ്. ശൂന്യം എന്നത്രേ പൂജ്യത്തിന്റെ ഭാരതീയ സംജ്ഞ. 1,2,3 എന്നീ അക്കങ്ങളെ പോലെ തന്നെ ഒരക്കമാണ് പൂജ്യം. അതോടൊപ്പം തന്നെ സ്ഥാനമൂല്യസമ്പ്രദായത്തിനുള്ള ഒരുപാധിയുമാണ്.
ഭാരതത്തിലെ ഗണിതഗ്രന്ഥങ്ങളിലെല്ലാം പൂജ്യം കൊണ്ടു ക്രിയചെയ്യാനുള്ള നിയമങ്ങള്‍ പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ട്. a-a = 0 എന്ന നിലയിലുള്ള നിര്‍വചനങ്ങള്‍ പൂജ്യത്തിനായുണ്ട് (ബ്രഹ്മസ്ഫുടസിദ്ധാന്തം) .
ഒരു സംഖ്യയോട് പൂജ്യം കൂട്ടിയാലും കുറച്ചാലും സംഖ്യക്ക് മാറ്റൊന്നുമില്ല.
ഏതുസംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാലും ഫലം പൂജ്യം തന്നെ .
പൂജ്യത്തെ ഏതുസംഖ്യകൊണ്ടും ഹരിക്കാവുന്നതാണ് , ഹതണഫലം പൂജ്യം തന്നെ.
ആധുനിക ഗണിതജ്ഞരെ പോലെ ഭാരതീയരും പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം നിര്‍വചിച്ചിട്ടില്ല. എന്നാല്‍ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന ഹരണഫലത്തെ ഖച്ഛേദം എന്ന് ബ്രഹ്മഗുപ്തനും ഖഹരം എന്നു ഭാസ്കരാചാര്യരും വിശേഷിപ്പിച്ചിട്ടുമുണ്ട്.
( ഭാരതീയ ഗണിതം — പ്രൊഫ. പി. രാമചന്ദ്രമേനോന്‍ )
Off topic.
ഇക്കഴിഞ്ഞ ഓണപ്പരീക്ഷയിലെ പത്താം ക്ലാസ്സിലെ Physics ന്റെ ഉത്തര സൂചിക ദയവായി പ്രസിദ്ധീകരിക്കാമോ ?
വിജയന്‍ സാര്‍,
ഇന്നലെ രാത്രി വരെ പത്താം ക്ലാസ് ഫിസിക്സ് ഉത്തരസൂചിക നമ്മുടെ ബ്ലോഗിന്റെ വലതു മാര്‍ജിനില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു. ഇന്നലെ രാത്രിയാണ് ഞാനത് ഡിലീറ്റ് ചെയ്തു കളഞ്ഞത്. 🙂
STD X Physics Answer Key
STD X Physics Answer Key By Hitha
പൂജ്യം കണ്ടെത്തിയത് ഭാരതീയരാണ്. വിലയില്ലായെന്നു നമ്മള്‍ കരുതുന്ന പൂജ്യത്തിനു പോലും 'പൂജനീയ' സ്ഥാനമാണ് നാം കല്പിച്ചു പോരുന്നത്. മറ്റേതു സംഖ്യകളോടൊപ്പം നില്‍ക്കുമ്പോഴും സംഖ്യകളില്‍ ചെറുതല്ലാത്ത മാറ്റം വരുത്താന്‍ പൂജ്യത്തിനു ശേഷിയുണ്ട്. എന്തായാലും പൂജ്യത്തെക്കുറിച്ച് ചര്‍ച്ചകളിലൂടെ കൂടുതല്‍ അറിവുകള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.
പൂജ്യത്തിന്റെ വിലയെത്രയെന്ന് പണ്ട് എന്റെ കണക്കുസാര്‍ ക്ലാസില്‍ ചോദിച്ചു. പൂജ്യത്തിനുവിലയില്ലെന്ന് കുട്ടികള്‍ ആര്‍ത്തുവിളിച്ചുപറഞ്ഞു. അന്ന് അദ്ദേഹം അതു തിരുത്തിത്തന്നു. പൂജ്യത്തിന്റെ വില പൂജ്യമാണ് .
(In mathematics it is impermissible to divide by zero. Hence anything divided by zero is known as an indeterminate number, not infinity)
പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം എല്ലായ്പോഴും indeterminate ആണോ? 0/0 indeterminate ഉം അല്ലാത്തപ്പോൾ Undefined ഉം അല്ലേ?
I feel that the judge was being too harsh in judging the caliber of the teacher just by that one question. Usually, and as far as practicality is concerned, 1/0 or (some finite number)/0 is meant/understood as 1/(something very very small) which of course is something very very large and it is in this sense that he must have meant infinity. The judge should have clarified this and given him the benefit of doubt.
I am sure that many people know this but for those who don't here is a simple paradox arising out 'division by zero':
x = 4
or
x – 4 = 0
Therefore
x*x = 16
or
x*x – 16 = 0
Therefore
x – 4 = x*x – 16
or
x – 4 = (x – 4)(x + 4)
Cancelling (x – 4) from both sides we get
1 = x + 4
But x = 4
Therefore
1 = 4 + 4
or
1 = 8
രണ്ടു ദിവസം കൊണ്ട് നൂറുകണക്കിന്ന് കമ്ന്റുകള്‍ ഞാന്‍ പ്രതീക്ഷിച്ചു.അതില്‍ vijayan's off topic കേമായി.
മാത്സ് ബ്ലോഗിലെ മാത്സ് ചര്‍ച്ചകളില്‍ മാത്സ് അദ്ധ്യാപകര്‍ പങ്കെടുക്കാറില്ല. ടീച്ചര്‍മാര്‍ക്ക് വിഷയത്തിലുള്ള അറിവുകുറവും അലസതയും മൂലമാണ് ഇത്തരം വിഷയങ്ങളില്‍ പങ്കെടുക്കാത്തതിന് കാരണം. രാമനുണ്ണി മാഷ് ചര്‍ച്ച നേരാം വഴിക്ക് കൊണ്ടു പോകാന്‍ ശ്രമിച്ചെങ്കിലും ഫലം കണ്ടില്ല. ഓഫ് ടോപ്പിക്കുകള്‍ക്കായി ചര്‍ച്ചാവേദി തുറന്നത് അദ്ധ്യാപകര്‍ പ്രയോജനപ്പെടുത്തുന്നുമില്ല.
പൂജ്യത്തക്കുറിച്ചുള്ള ചര്‍ച്ചകള്‍ കണ്ടപ്പോള്‍ കോലത്തറ ചെറുവന്നൂര്‍ ഇ.വി.എച്ച്.എസ്.എസിലെ ഗണിതാധ്യാപകനായ എം.ജെ ജോണി സാറിന് തോന്നിയ അഭിപ്രായം മാത്സ് ബ്ലോഗിലേക്ക് അയച്ചു തന്നു.
………..ജസ്റ്റിസ് കാട്ജുവിന്റെ ചോദ്യവും പ്രൊഫസറുടെ ഉത്തരവും അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ബഹു.ജസ്റ്റിസിന്റെ കമന്റും മാത്സ് ബ്ലോഗിലൂടെ വായിച്ചപ്പോള്‍ കായസ്ഥ സഭയിലെ രാമചന്ദ്രന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര ക്ലാസാണ് ഓര്‍മ്മ വന്നത്. സന്ദര്‍ഭങ്ങള്‍ക്കനുസരിച്ച് ഗണിതതത്വങ്ങളെ ഉപയോഗിക്കാന്‍ കഴിയാതെ വരുമ്പോള്‍ ഗണിത പഠനം 'കുരുടന്‍ ആനയെക്കണ്ടതിന്' സമമാകും
കമന്റിന്റെ പൂര്‍ണരൂപം ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്ത് വായിക്കാം.
………………..
@Muhammad A P
'Indeterminate' and 'undefined' are just two ways of saying the same thing.
Basically, it means that division by zero does not make any sense.
ജോണി സാർ പറഞ്ഞതിൽ ഒരു പ്രശ്നമുണ്ട്.
\[\lim_{n\to 0}\frac{1}{n}=\infty\]
എന്ന് തെളിയിക്കാൻ ഉപയോഗിച്ച യുക്തിയിലാണ് പ്രശ്നം. പ്രശ്നമിതാണ്: \(n\)-ന് പൂജ്യത്തിലേക്ക് രണ്ടുവിധത്തിൽ അടുത്തുവരാം. ഇതിൽ ഒരു വിധം മാത്രമേ ജോണിസാർ പരിഗണിച്ചിട്ടുള്ളൂ (കുറിപ്പിലെ പട്ടിക 2). \(n\) പൂജ്യത്തിലേക്ക് അടുക്കാനുള്ള രണ്ടാമത്തെ രീതികൂടി പരിഗണിച്ചാൽ, \(\frac{1}{n}\) എന്നത് മറ്റൊരു പരിധിയിലേക്ക് പോകുന്നതായി കാണാം. ഇങ്ങനെ രണ്ട് വെവ്വേറെ പരിധികൾ ഉള്ളതുകൊണ്ട്, \(\lim_{n\to 0}\frac{1}{n}\) എന്നതിന്റെ വില സുനിശ്ചിതമായി നിർവചിച്ചിട്ടില്ല (indeterminate അല്ലെങ്കിൽ undefined) എന്ന് പറയുന്നു. ഈ വില \(\infty\) ആണെന്ന് പറയുന്നത് അപ്പോൾ തെറ്റാണ്.
@ Krish
“'Indeterminate' and 'undefined' are just two ways of saying the same thing.
Basically, it means that division by zero does not make any sense.”
Mathematically, the two terms “Indeterminate Forms” and “Undefined Forms” are different. Former approaches to different values in the context of limits where as the latter cannot be defined in a meaningful way
ഭാമ, [രാമചന്ദ്രമേനോന്‍] കൃഷ്, ജോണ്‍, ജോണി,[ ഗോവര്‍ദ്ധന്റെ യാത്രകള്‍] എന്നിവരുടെ ഇടപെടല്‍ വായിക്കുമ്പോള്‍ കണക്കുമാഷല്ലാത്ത എനിക്കുപോലും കണക്കിന്റെ മധുരം കിട്ടുന്നു. രാമചന്ദ്രമേനോന്റെ കൃതി, ഗോവര്‍ധന്റെ യാത്രകള്‍ തുടങ്ങിയവ ഒരു 10-15 വര്ഷം മുന്പ് വായിച്ചിട്ടുണ്ട്.സൂക്ഷിച്ചിട്ടുണ്ട്. അതുപോലെ സന്തോഷിപ്പിച്ച [ മന്സ്സിലാവാതെ തന്നെ ]കൃതിയാണ്` അരുണ്‍ മടങ്ങര്‍ളിയുടെ 'കണക്കിന്‍ കടവിലെ തോണി.'നിസാര്‍ കാണിച്ചുതന്ന 'ലിങ്ക്' …അതുപോലെ കണക്കിനോട് എല്ലാവര്ക്കും പ്രിയം വര്‍ദ്ധിപ്പിക്കുന്ന സംഗതികള്‍ ഇനിയും ഇവിടെ കാണുമെന്ന് ആഗ്രഹിക്കുന്നു. നമ്മുടെ ഹിത… കൃഷ്ണന്മാഷ്… തുടങ്ങിയ പ്രതിഭകളുണ്ടല്ലോ.
കഥയ മമ: കഥയ മമ:കഥകളതി സാദരം
ഗണിതഗത കാര്യങ്ങള്‍ കേട്ടാല്‍ മതി വരാ.
ഒരു പാടുകുട്ടികള്‍ നമ്മുടെ ബ്ളോഗ് ദിവസവും കാണുകയല്ലേ !
അതിനിടക്ക് ഫിസിക്സ് കീ ചോദിക്കാതിരുന്നാല്‍ ഇനിയും കഥ കേള്ക്കാം. നന്ദി