സമാന്തരശ്രേണി: ഈ ചോദ്യം കുഴക്കുമോ?

മാത്‍സ് ബ്ലോഗിലൂടെ കേരളം കണ്ട മിടുക്കരായ ഗണിതാധ്യാപകരില്‍ ഒരാളാണ് മുരളീധരന്‍ മാഷ്. മാത്‍സ് ബ്ലോഗിന്റെ ആരംഭ ദശയില്‍ ഏതൊരു ഗണിതപ്രശ്നം ചര്‍ച്ചയ്ക്കെടുത്താലും അതിന് ആദ്യം ഉത്തരമെഴുതുക അദ്ദേഹമായിരിക്കും. അദ്ദേഹത്തിന്റെ അസാമാന്യമായ പാടവം കൊണ്ടു തന്നെ അദ്ദേഹത്തെ മാത്‍സ് ബ്ലോഗ് ടീമിലേക്ക് ഉള്‍പ്പെടുത്തുകയായിരുന്നു. വ്യത്യസ്തമായ ചിന്തയില്‍ അഗ്രഗണനീയനായതു കൊണ്ടു തന്നെ അദ്ദേഹം അയച്ചു തന്ന ചോദ്യം സസന്തോഷം മാത്സ് ബ്ലോഗില്‍ ചര്‍ച്ചയ്കിടുന്നു. അതോടൊപ്പം വിപിന്‍ മഹാത്മ തയ്യാറാക്കി അയച്ചു തന്ന സമാന്തരശ്രേണിയുടെ മനോഹരമായൊരു വര്‍ക്ക് ഷീറ്റ് താഴെ നല്‍കിയിട്ടുണ്ട്. കൂടാതെ ഇതേ അധ്യായവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അങ്ങാടിപ്പുറം ദേവന്‍സ് മെമ്മോറിയല്‍ ഇന്‍സ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിലെ അധ്യാപകനായ അരുണ്‍ബാബു സാര്‍ തയ്യാറാക്കിത്തന്ന മലയാളം, ഇംഗ്ലീഷ് മീഡിയങ്ങളിലേക്കു വേണ്ട സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ചോദ്യങ്ങളും കാണാം. ചുവടെ നിന്നവ ഡൌണ്‍ലോഡ് ചെയ്തെടുക്കാം. നോക്കുമല്ലോ. മുരളി സാര്‍ ഉന്നയിച്ച പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാന്‍ എത്ര പേര്‍ക്കു കഴിയുമെന്നറിയാന്‍ കാത്തിരിക്കുന്നു.

പത്താം ക്ലാസിലെ ടെക്സ്റ്റിലെ അവസാന പ്രശ്നം അവതരിപ്പിക്കുകയാണ് നമ്മുടെ കണക്കു ടീച്ചര്‍. പ്രശ്നം ഇതാണ്. “ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ഒന്നാം പദവും രണ്ടാം പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം 2:3 ആണ്. എങ്കില്‍ ആ ശ്രേണിയിലെ മൂന്നാം പദവും അഞ്ചാം പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം എത്രയായിരിക്കും?”
പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം 2:3 എന്ന് എല്ലാവര്‍ക്കും ബോധ്യമായി. ഇതേ അംശബന്ധം വരുന്ന മറ്റുപദങ്ങള്‍ ഈ ശ്രേണിയില്‍ ഉണ്ടാകുമോ എന്ന് ടീച്ചര്‍ ചോദിച്ചു. മറുപടി കിട്ടാതിരുന്നപ്പോള്‍ ടീച്ചര്‍ പറഞ്ഞു. അഞ്ചാം പദവും എട്ടാം പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം കണ്ടു നോക്കൂ. അതും 2:3 എന്നു തന്നെ ഉത്തരം കിട്ടി.
7-ം പദവും 11-ം പദവും തമ്മിലുള്ളതോ? അതും 2:3 തന്നെ. ഇവയെല്ലാം ടീച്ചര്‍ പട്ടികപ്പെടുത്തി.
$x_1:x_2 = 2:3$
$x_3:x_5 = 2:3$
$x_5:x_8 = 2:3$
$x_7:x_{11}= 2:3$

പദങ്ങളുടെ പ്രത്യേകത കുട്ടികള്‍ക്ക് ബോധ്യപ്പെടുത്തിയതിനു ശേഷം ടീച്ചര്‍ ഇതിനെ സാമാന്യവല്ക്കരിച്ചു.
$x_1, x_2, x_3\cdots$ എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയില്‍
$x_m:x_n = p:q$ ആണെങ്കില്‍ $x_{m+p}:x_{n+q} = p:q$ തന്നെ ആയിരിക്കും.
ഏതു സമാന്തരശ്രേണിയിലും ഇത് ശരിയായിരിക്കുമോ? ശരത്തിന് ഒരു സംശയം.
നമുക്ക് നോക്കാം എന്ന് ടീച്ചര്‍ പറഞ്ഞു.
$x_m:x_n = p:q $ആണെങ്കില്‍
$x_m = pk$ എന്നും $x_n=qk$ എന്നും എടുക്കാമല്ലോ.
അതിനാല്‍ $x_{m+p}\times$ പൊതുവ്യത്യാസം $= pk+pd = p(k+d)$
ഇതുപോലെ
$x_n+q= xn+q \times$ പൊതുവ്യത്യാസം $= qk+qd = q(k+d)$
അതിനാല്‍ $x_m+p:x_n+q= p:q$ തന്നെ ആകുമല്ലോ.
ഇനി നിങ്ങള്‍ ഒരു സമാന്തരശ്രേണി എഴുതി ഇത് ശരിയാകുമോ എന്ന് പരിശോധിച്ചു നോക്കൂ. അതായത് ഇഷ്ടമുള്ള 2 പദങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം എടുക്കുക. ഇത് മുകളില്‍ കാണിച്ചതു പോലുള്ള പദങ്ങള്‍ക്ക് ശരിയാകുമോ എന്നു നോക്കൂ.

കുറച്ചു സമയത്തിനു ശേഷം ശരത് എഴുന്നേറ്റു. ഞാന്‍ എടുത്ത ശ്രേണിയില്‍ ഇത് ശരിയാകുന്നില്ലല്ലോ ടീച്ചര്‍?
ചെയ്തതെവിടെയങ്കിലും തെറ്റിയിട്ടുണ്ടായിരിക്കും. അല്ലെങ്കില്‍ എടുത്തത് സമാന്തരശ്രേണി ആയിരിക്കില്ല. എന്നായി ടീച്ചര്‍.
എന്റെ ശ്രേണിയിലെ മൂന്നാം പദവും എട്ടാം പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം $7:2$ ആണ്. അങ്ങിനെയാണെങ്കില്‍ പത്താം പദവും പപത്താം പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം $7:2$ ആയിരിക്കേണ്ടേ? അതു ശരിയല്ലല്ലോ. ഒരു പദം അതിനോടു തന്നെയുള്ള അംശബന്ധം $1:1$ അല്ലേ.
ടീച്ചര്‍ പെട്ടന്ന് അന്തം വിട്ടു. എല്ലാ സമാന്തരശ്രേണിക്കും ഇത് ശരിയാകുമെന്ന് നേരത്തേ കണ്ടെത്തിയതാണല്ലോ. ശരത്ത് എടുത്തിരിക്കുന്നത് സമാന്തരശ്രേണി തന്നെയല്ലേ എന്ന് ടീച്ചര്‍ പരിശോധിച്ചു. ശരി തന്നെ. പിന്നെന്തേ ഇങ്ങനെ വരാന്‍?

കണക്കില്‍ മിടുക്കിയായ ഹിത അപ്പോള്‍ ഇടപെട്ടു. $14:4$ ഉം $7:2$ ഉം തന്നെയാണല്ലോ. അതു കൊണ്ട് $7:2$ നു പകരം $14:4$ എന്നെടുത്താല്‍ പോരേ?

അപ്പോഴും ടീച്ചറുടെ ചിന്ത പത്താം പദത്തിലായിരുന്നു. ഈ പദത്തിന് എന്തു കൊണ്ടിതു ശരിയാകുന്നില്ല എന്ന് ടീച്ചറുടെ മനസ്സില്‍ ചോദ്യം പ്രകമ്പനം കൊണ്ടിരുന്നു. അപ്പോഴേക്കും ബെല്ലടിച്ചു. ഈ പത്താം പദത്തിനെന്താ കൊമ്പുണ്ടോ? അവനെ കണ്ടെത്തിയിട്ടു തന്നെ ബാക്കി കാര്യം എന്നു പിറുപിറുത്തു കൊണ്ട് ടീച്ചര്‍ സ്റ്റാഫ് റൂമിലേക്ക് നീങ്ങി. ആരായിരിക്കും ഈ പത്താം പദം? ഉത്തരം കണ്ടെത്തി കമന്റ് ചെയ്യുമല്ലോ. അഭിപ്രായങ്ങള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

Click here for download the work sheet from Arithmetic Progression
Prepared By Vipinkumar, Mahatma

Click here to download Questions from Arithmetic Progression
Malayalam Medium | English Medium
Prepared By Arunbabu. R, Devans memorial Institute, Angadippuram

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in വിജ്ഞാനം, STD X Maths New. Bookmark the permalink.

30 Responses to സമാന്തരശ്രേണി: ഈ ചോദ്യം കുഴക്കുമോ?

  1. nazeer says:

    @ Murali mash…Let me discuss the issue with our maths teacher and 10nth class students!!!!!!!!!!!!

  2. manoj mathew says:

    Xm+p = p (k +d), Xm+q = q (k +d)
    Now Xm+p : Xm+q = p: q only if k +d ≠ 0 in that student’s problem k + d = 0

  3. vijayan says:

    ഈ ശ്രേണിയിലെ പത്താം പദത്തിന് കൊമ്പ് ഉണ്ട്.

  4. മുരളി സാര്‍ ഉന്നയിച്ച ഈ ഗണിത പ്രശ്നത്തിന് വൈകുന്നേരമായിട്ടും ഉത്തരം ലഭിച്ചില്ലല്ലോ? മുന്‍പോസ്റ്റുകളിലേതു പോലെ സജീവമായൊരു ചര്‍ച്ച പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

  5. vijayan says:

    പുറകിലെ ബ‌‌‌‌‌‌‌ഞ്ചിലെ ഒരു പയ്യന്‍സ് ഇപ്രകാരം നൊടി‌ഞ്ഞു”
    0,1,2,3,4,5………എന്നശ്രേണിയിലെ t4:t5=3:4. t1:t1= 3:4 കിട്ടുന്നില്ലല്ലോ.”
    ഇവിടെയും പ്രശ്നം നേരത്തേത് തന്നേയാണോ?
    സാറ് ഉന്നയിച്ച പ്രശ്നത്തിലെ t17:t12 ഉം നിയമം പാലിക്കുന്നില്ലല്ലോ.

  6. Anjana says:

    This comment has been removed by the author.

  7. Anjana says:

    ഉത്തരം രണ്ടാമത്തെ കമന്റില്‍ ശ്രീ മനോജ്‌ മാത്യു സൂചിപ്പിച്ചുകഴിഞ്ഞു.

    ${x_{m + p}} = p(k + d)$
    ${x_{n + q}} = q(k + d)$
    എന്നിവയില്‍ നിന്നും
    ${x_{m + p}}:{x_{n + q}} = p:q$
    എന്ന് തീരുമാനിക്കണമെങ്കില്‍
    $k + d \ne 0$
    ആയിരിക്കണം. അതിവിടെ ശരിയാകില്ല.

    a ഒന്നാം പദവും d പൊതുവ്യത്യാസവും ആയാല്‍
    മൂന്നാം പദം, ${x_3} = a + 2d$
    എട്ടാം പദം, ${x_8} = a + 7d$

    ${x_3}:{x_8} = 7:2$ആയതിനാല്‍
    $a + 2d = 7k$
    $a + 7d = 2k$
    എന്നെഴുതാം. ഈ രണ്ടു സമവാക്യങ്ങളില്‍ നിന്നും $d = – k$ അഥവാ $d + k = 0$എന്നുലഭിക്കുന്നു.

  8. bhama says:

    മനോജ് സാര്‍ സൂചിപ്പിച്ച പോലെ k +d ≠ 0 ആണെങ്കില്‍ മാത്രമേ മുരളിസാര്‍ പറഞ്ഞ നിയമം ശരിയാകുകയുള്ളു.

  9. ഹിത says:

    ഈ പത്താം പദത്തിനെന്താ കൊമ്പുണ്ടോ?

    ഉണ്ടല്ലോ അപ്രിയ സത്യത്തിന്റെ ഒരു വലിയ കൊമ്പ്

    ആരായിരിക്കും ഈ പത്താം പദം?

    പൂജ്യം

  10. ഹിത says:

    മൂന്നാം പദവും എട്ടാം പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം 7:2 എങ്കില്‍

    f+2d / f+7d = 7:2

    2f+4d = 7f+49d

    4d-49d = 7f-2f
    -45d = 5f
    f= -9d

    പത്താം പദവും = f+9d
    = -9d+9d = 0

  11. ഹിത says:

    ശ്രേണിയുടെ മൂന്നാം പദം = 7k എന്നും
    എട്ടാം പദം = 2k എന്നും കരുതുക


    മൂന്നാം പദത്തില്‍ നിന്നും എട്ടാം പദ്ധതിലേക്ക് എത്തണം എങ്കില്‍ 5 പൊതുവ്യത്യാസം കൂട്ടണം.7k യില്‍ നിന്നും 2k ലേക്ക് എത്തണം എങ്കില്‍ -5k കൂട്ടണം

    അപ്പോള്‍

    5 പൊതുവ്യത്യാസം = -5k

    1 പൊതുവ്യത്യാസം -k

    മൂന്നാം പദം = ആദ്യപദം + 2 പൊതുവ്യത്യാസം
    7k = ആദ്യപദം – 2k

    ആദ്യപദം = 7k + 2k =9k

    പത്താം പദം = ആദ്യപദം + 9 പൊതുവ്യത്യാസം
    = 9k – 9k = 0

  12. ഹിത says:

    k=1 എന്ന് എടുത്താല്‍

    ആദ്യപദം =9k = 9
    പൊതുവ്യത്യാസം -k = -1

    ശ്രേണി
    9,8,7,6,5,4,3,2,1,0

    k=-1 എന്ന് എടുത്താല്‍
    ആദ്യപദം =9k = -9
    പൊതുവ്യത്യാസം -k = +1

    ശ്രേണി
    -9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0

    k= 2 എന്ന് എടുത്താല്‍
    ആദ്യപദം =9k = 18
    പൊതുവ്യത്യാസം -k = -2

    ശ്രേണി
    18,16,14,12,10,8,6,4,2,0

    k= -2 എന്ന് എടുത്താല്‍

    ആദ്യപദം =9k = -18
    പൊതുവ്യത്യാസം -k = 2

    ശ്രേണി
    -18,-16,-14,-12,-10,-8,-6,-4,-2,0

    k= 100 എന്ന് എടുത്താല്‍

    ആദ്യപദം =9k = 900
    പൊതുവ്യത്യാസം -k = -100

    ശ്രേണി
    900,800,700,600,500,400,300,200,100,0

  13. ഹിത says:

    വിപിന്‍ സര്‍ & അരുണ്‍ബാബു സാര്‍

    വര്‍ക്ക് ഷീറ്റ് നന്നായിട്ടുണ്ട്.കുട്ടികള്‍ ഇത് മുഴുവന്‍ ചെയ്തു നോക്കിയാല്‍ അവര്‍ക്ക് ഈ പാഠത്തില്‍ നിന്നും വരുന്ന ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് ഉത്തരം എഴുതാന്‍ വിഷമം കാണുകയില്ല

  14. മുരളീധരൻ സാർ,

    ചോദ്യവും അത് അവതരിപ്പിച്ച രീതിയും നന്നായിട്ടുണ്ട്. എഴുതിയതിൽ ചില തെറ്റുകൾ വന്നത് തിരുത്തുമല്ലോ.

    1. “അതിനാല്‍ $x‌_{m+p} $ × പൊതുവ്യത്യാസം” $\implies$ “അതിനാല്‍ $x‌_{m+p} = x_{n} + q$ × പൊതുവ്യത്യാസം”

    2. അടുത്ത വരിയിൽ $x_{n+q}=x_{n} + q$ … എന്ന് വരണം.

    3. അടുത്ത വരിയിൽ $x_{m+p}:x_{n+q}$ … എന്നും.

    (ഇവിടെ കാണുന്ന ഓരോ വ്യഞ്ജകത്തിന്റെയും ലാറ്റക്ക് കോഡ് കാണാൻ അതിൽ റൈറ്റ്-ക്ലിക്ക് ചെയ്ത് നോക്കിയാൽ മതി.)

    — ഫിലിപ്പ്

  15. തിരുത്തിയതും തെറ്റി! ആദ്യത്തെ തിരുത്തിൽ $x‌_{m+p} = x_{m} + p$ … എന്ന് വായിക്കുക.

    — ഫിലിപ്പ്

  16. കല്ലാനിക്കല്‍ ഹൈസ്കൂളിന്റെ ബ്ലോഗ്‌ കാണുവാന്‍ സന്ദര്‍ശിക്കുക http://www.sghk.blogspot.in

  17. ശ്രീ ജോൺ ചാൻ,

    കല്ലാനിക്കൽ ഹൈസ്കൂളിന്റെ ഒരു ശാഖ ഹോംഗ്‌കോംഗിലെ രഹസ്യോദ്യാനത്തിൽ തുടങ്ങി എന്നത് സന്തോഷമുളവാക്കുന്ന കാര്യമാണ്. എന്നാൽ അവിടത്തെ പോസ്റ്റിൽ ബ്രോക്കർമാരെപ്പറ്റിയും കച്ചവടത്തെപ്പറ്റിയുമൊക്കെ പറയുന്നത്, വിദ്യാർത്ഥികളുടെയും അധ്യാപകരുടെയുമൊക്കെ ശ്രദ്ധ പഠനപാഠനങ്ങളിൽനിന്ന് മാറിപ്പോകാൻ കാരണമാകില്ലേ എന്ന് സംശയവുമുണ്ട്.

    (താങ്കൾ ലിങ്കിടാൻ ഉദ്ദേശിച്ചത് ഇവിടേക്കല്ലേ? . ലിങ്കുകൾ ഇടുമ്പോൾ സൂക്ഷിച്ചില്ലെങ്കിൽ ഇതിലും ഗുരുതരമായ പണി കിട്ടിയേക്കാം എന്ന് ഞാൻ പറയേണ്ടതില്ലല്ലോ!)

  18. Sreenilayam says:

    ഫിലിപ്പ് മാഷിന്റെ കമന്റ് പല ആവര്‍ത്തി വായിച്ചു. ഏറെ നാള്‍ക്കു ശേഷമാണ് ഓര്‍ത്തോര്‍ത്ത് ചിരിക്കാനുള്ള ഒരു സംഭവം വീണു കിട്ടിയത്. കമന്റ് ഏറെ ഇഷ്ടപ്പെട്ടു. ലിങ്കുകള്‍ നല്‍കുന്നവര്‍ ഇനി മുതല്‍ ഈ സംഭവത്തേക്കുറിച്ച് ഓര്‍ത്തിട്ടു വേണം ലിങ്കുകള്‍ നല്‍കാന്‍.

  19. ശ്രേണിക്കു മുമ്പ് മറ്റൊരു ശ്രേണി, പങ്കാളിത്ത പെന്‍ഷന്‍ എത്ര നല്ല ഗണിത ക്രിയ? എന്തേ എം.എല്‍.എ മാരെയും എം.പി.മാരെയും അതില്‍ നിന്നൊഴിവാക്കി.

  20. JOSEY says:

    the tenth term zero

  21. JOSEY says:

    tenth term zero

  22. Arunbabu says:

    വളരെ വേറിട്ട കാഴ്ച തന്നെ …………മുരളി സര്‍ നന്നായിരിക്കുന്നു …….

  23. Murali Sir,
    Regarding the questions on Ratio of Two terms of A.P

    If Tp:Tq = a:b, then
    T(p+na):T(q+nb)=a:b, provided
    p-q not equal to n(b-a), where n is a natural number

    Murali.ch, wayanad

  24. remani says:

    Very good This is unique.Expect further bits like this from you.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s