വേറിട്ടചിന്തകള്‍ :1 സമാന്തരശ്രേണി

ഇത്തവണ പത്താം ക്ലാസിലെ ഐടി ടെസ്റ്റിനൊഴികെ മറ്റ് പുസ്തകങ്ങള്‍ക്കൊന്നും മാറ്റമില്ല. അധ്യാപകര്‍ക്ക് പിന്തുണ നല്‍കുകയെന്ന ഉദ്ദേശ്യത്തോടെ ഐടിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോസ്റ്റുകള്‍ മാത്​സ് ബ്ലോഗ് പ്രസിദ്ധീകരിച്ചുവെന്നതു വാസ്തവം. ഇതില്‍ ഒട്ടേറെ പേര്‍ പരിഭവം പറയുകയുണ്ടായി. ഗൗരവമായ ഗണിതചര്‍ച്ച പ്രതീക്ഷിക്കുന്നിടത്ത് മറ്റു വിഷയങ്ങളിലുള്ള ചര്‍ച്ചകള്‍ വന്നാലോ? ഗണിതസ്നേഹികള്‍ക്ക് അത് സഹിക്കാവുന്നതിനപ്പുറമാണ്. അതുകൊണ്ടു തന്നെ ജൂണ്‍ മാസം വിടപറയും മുമ്പേ ഒരു ഗണിതപോസ്റ്റ് പ്രസിദ്ധീകരിക്കട്ടെ. ചില വേറിട്ട കാഴ്ചകളിലേയ്ക്ക് ശ്രദ്ധക്ഷണിക്കുകയാണ്. ഗണിതപാഠപുസ്തകത്തിന്റെ വരികള്‍ക്കിടയില്‍ ഒളിഞ്ഞിരിക്കുന്ന ചിന്തകളെ തൊട്ടുണര്‍ത്തുന്നത് നമുക്കൊക്കെ സുപരിചിതനായ കണ്ണന്‍സാര്‍ തന്നെയാണ്. അദ്ദേഹം തയ്യാറാക്കിയ സമാന്തരശ്രേണിയെക്കുറിച്ചുള്ള ഈ കാഴ്ചകള്‍ അയച്ചുതന്നത് ഹിതയാണ്. രണ്ടുപേര്‍ക്കും പ്രത്യേകം നന്ദിപറഞ്ഞുകൊണ്ട് നമുക്ക് Beyond The Text എന്ന പുതിയ പരമ്പരയ്ക്ക് തുടക്കമിടാം. ഒരു കോടിയോടടുക്കുന്ന ബ്ലോഗ് ഹിറ്റുകള്‍ പുതിയ ഉത്തരവാദിത്വങ്ങളും പുതിയ ആവേശവും പകര്‍ന്നുതരുന്നു. ഗണിതപാഠങ്ങളെ മുന്‍നിറുത്തിയുള്ള നൂതനചിന്തകളില്‍ മാത്‌സ്ബ്ലോഗിന്റെ മാന്യസന്ദര്‍ശകരും ഗണിതസ്നേഹികളും വിലയേറിയ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ എഴുതി പോസ്റ്റ് സമ്പന്നമാക്കുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. 3 ന്റെ ആദ്യത്തെ ഒന്‍പത് ഗുണിതങ്ങള്‍ മൂന്നു വരികളിലും മൂന്നു നിരകളിലുമായെഴുതുക. ചുവടെ അത് ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് നോക്കൂ.

ഇവ സമാന്തരശ്രേണിയിലാണല്ലോ..? .പട്ടികയിലെ സംഖ്യകളുടെ തുക $=\frac{9}{2} \times 30 = 135$ആണ്. ഇനി 4 ന്റെ ആദ്യത്തെ 9 ഗുണിതങ്ങള്‍ മൂന്നു വരികളിലും മൂന്നു നിരകളിലുമായെഴുതുക. .

ഇതും സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ തന്നെയാണല്ലോ. ഇവയുടെ തുക $= \frac{9}{2} \times 40 =180$ എന്നാണല്ലോ..? 5 ന്റെ ആദ്യത്തെ 9 ഗുണിതങ്ങള്‍ മൂന്നുവരികളിലും മൂന്നു നിരകളിലുമായെഴുതുക.

6 ന്റെ ആദ്യത്തെ 9 ഗുണിതങ്ങള്‍ മൂന്നുവരികളിലും മൂന്നു നിരകളിലുമായെഴുതുക. ഇവയുടെ തുക $= \frac{9}{2} \times 60 =270$

നിരീക്ഷണവിധേയമാക്കിയാല്‍ ചില ക്രമങ്ങള്‍ കണ്ടെത്താന്‍ കഴിയും

1) തുകകള്‍ സമാന്തരശ്രേണിയിലാണ് .
2) 135 , 180, 225 , 270 2)$135^3 +180^3+225^3=270^3$
3)$135^2+180^2 = 225^2$

ഈ സംഖ്യാചതുരങ്ങളെ ഒരു പ്രത്യേകതരത്തില്‍ ക്രമീകരിക്കുന്നു.

വലതുഭാഗത്തും താഴെയും ഇടതുഭാഗത്തും വരുന്ന സമചതുരങ്ങളിലെ സമാനസ്ഥാനത്തുള്ള സംഖ്യകള്‍ കണ്ടല്ലോ. അവ താഴെ കൊടുക്കുന്നപ്രകാരം കൂട്ടിയെടുക്കാം

അത്തരം നിരവധി സമവാക്യങ്ങള്‍ കൂടി ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാം. പൈത്തഗോറിയന്‍ ത്രയങ്ങള്‍കൂടി ലഭിക്കുന്നൂവെന്ന് പറയേണ്ടതില്ലല്ലോ..?
വലതുഭാഗത്തും ഇടതുഭാഗത്തും താഴെയും വരുന്ന പട്ടികയിലെ സമാനവരികളിലെയും നിരകളിലെയും തുക നോക്കുക

$3+6+9 = 18$
, $ 4+8+12 = 24$
; , $5+10+15 = 30$
;$18^2+24^2=30^2$
ഇവിടെ 18, 24 , 30 എന്നിവ പൈതഗോറിയന്‍ സംഖ്യാത്രയങ്ങള്‍ രൂപീകരിക്കുന്നു
18,24,30 ഇവ പൈത്തഗോറിയന്‍ ത്രയങ്ങള്‍ തന്നെയാണല്ലോ..?
ഇനി മറ്റൊരു പ്രത്യേകത നോക്കാം .
സമചതുരത്തിന്റെ വലതുഭാഗത്തും താഴെയും ഇടതുഭാഗത്തും മുകളിലും ഉള്ള പട്ടികയിലെ സമാനസ്ഥാനങ്ങളിലെ പദങ്ങള്‍ നോക്കുക
$3^3+4^3+5^3=6^3$
$6^3+8^3+10^3=12^3$
$9^3+12^3+15^3=18^3$
$21^3+28^3+35^3=42^3$
ഇത്തരം നിരവധി സമവാക്യങ്ങളുണ്ടാക്കിയെടുക്കാം.

ഇനിയുമുണ്ട് ഒത്തിരി പ്രത്യേകതകള്‍. അവ കണ്ടെത്തി കമന്റ് ചെയ്യുമല്ലോ?

കണ്ണന്‍ സാര്‍ തയ്യാറാക്കിയ പാറ്റേണ്‍വിശകലനത്തിന്റെ പി.ഡി എഫ് രൂപം

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in Maths X. Bookmark the permalink.

65 Responses to വേറിട്ടചിന്തകള്‍ :1 സമാന്തരശ്രേണി

  1. ഗണിതബ്ലോഗില്‍ വീണ്ടും ഗണിതം വന്നേ….!
    കൂയ് കൂയ് കൂയ്!!

  2. Arunbabu says:

    Thank you for posting a different approach.

  3. stjohns says:

    കൊള്ളാം,നല്ല ആശയം ഇനിയുംപ്രതിഷിക്കുന്നു
    സുബോദ്

  4. puthiyangadi says:

    Pre metric scholarship for minorities 2012-12

    അപേക്ഷ ഫോറം പബ്ലിഷ് ചെയ്യുമോ ?

  5. puthiyangadi says:

    Pre metric scholarship for minorities 2012-12

    അപേക്ഷ ഫോറം പബ്ലിഷ് ചെയ്യുമോ ?

  6. കണ്ണന്‍ സാറിന്റെ നമ്പര്‍ ചാര്‍ട്ടിനു
    ഇതാ ഒരു പ്രൂഫ്‌

  7. ഹിത says:

    @ അര്‍ജുന്‍

    മനോഹരമായ വിശദീകരണം.നിരീക്ഷണങ്ങളോടൊപ്പം 'എന്തുകൊണ്ട് ഇങ്ങനെ?' എന്ന് മനപൂര്‍വ്വം കൊടുക്കാതിരുന്നത് ആണ്.ആരെങ്കിലും ഇതിനു പിന്നിലെ ഗണിത ചിന്തയെ പുറത്തെടുത്തു കാട്ടും എന്ന് ഉറപ്പു ഉണ്ടായിരുന്നു.

  8. ഹിത says:

    This comment has been removed by the author.

  9. ഹിത says:

    പ്രിയപ്പെട്ട അര്‍ജുന്‍

    മാത്സ് ബ്ലോഗിനെ പഴയ കാലത്തിലേക്ക് കൊണ്ട് പോകാന്‍ അര്‍ജുനെ പോലെയുള്ള മിടുക്കന്മാരുടെ സഹായം ആവശ്യമാണ്‌.ഈ പോസ്റ്റിനു പിന്നിലെ ഗണിത ചിന്ത കൂടി ഇവിടെ കൊടുക്കണം എന്ന് പറഞ്ഞപ്പോള്‍ കണ്ണന്‍ സര്‍ അഞ്ജന ചേച്ചി എന്നിവര്‍ ആണ് അത് വേണ്ട അത് കണ്ടെത്താന്‍ ആരെങ്കിലും മുന്നോട്ടു വരും എന്നും പുതിയ ഒരു വീക്ഷണ കോണില്‍ നിന്നും ഇതിനെ നോക്കി കാന്നന്‍ ആരെങ്കിലും തയാറാകും എന്നും പറഞ്ഞു.

    ഈ പോസ്റ്റിനു കമന്റ്‌ കുറവായിരിക്കും എങ്കിലും ഈ പോസ്റ്റു കൊണ്ട് കണ്ണന്‍ സര്‍ മുന്നോട്ടു വച്ച ലക്‌ഷ്യം സഫലം ആയി എന്നതില്‍ എനിക്ക് വളരെ സന്തോഷം ഉണ്ട്

    അര്‍ജുന്‍ അയച്ചു തന്നെ ഫിസിക്സ്‌ നോട്ട്സ് ഞാന്‍ മാത്സ് ബ്ലോഗിലേക്ക് അയക്കാം.
    കൂടുതല്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് അത് ഉപകാരപെടും എന്റെ ബ്ലോഗില്‍ കൊടുത്താല്‍ ഞാന്‍ മാത്രമേ അത് കാണുകയുള്ളൂ.

  10. This comment has been removed by the author.

  11. This comment has been removed by the author.

  12. =9/2×20=135 എന്നത് ഒന്നു തിരുത്തണ്ടേ?

  13. =9/2×20=135 എന്നത് ഒന്നു തിരുത്തണ്ടേ?

  14. This comment has been removed by the author.

  15. നന്നായിരിക്കുന്നു കണ്ണന്‍ സര്‍ . കുട്ടികള്‍ക്ക് പുതിയ ഒരു അനുഭവം പകര്‍ന്നു കൊടുക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞിരിക്കുന്നു.അര്‍ജുന്‍ നല്‍കിയ വിശദീകരണം നന്നായിരിക്കുന്നു.മാത്സ് ബ്ലോഗില്‍ വീണ്ടും ഗണിതം തിരിച്ചു വന്നതില്‍ സന്തോഷം

    3,4,5 എന്നിവ വശങ്ങള്‍ ആയി വരുന്ന മട്ട ത്രികോണത്തിന്റെ Semi Perimeter 6 ആണല്ലോ (3^3+4^3+5^3 = 6^3)

    6,8,10 എന്നിവ വശങ്ങള്‍ ആയി വരുന്ന മട്ട ത്രികോണത്തിന്റെ Semi Perimeter 12 ആണല്ലോ (6^3+8^3+10^3 = 12^3

    9,12,15 എന്നിവ വശങ്ങള്‍ ആയി വരുന്ന മട്ട ത്രികോണത്തിന്റെ Semi Perimeter 18 ആണല്ലോ (9^3+12^3+15^3 = 18^3)

    ഈ കാണുന്ന ബന്ധത്തിന് എന്തെങ്കിലും ഒരു കാരണം നല്‍ക്കുവാന്‍ പറ്റുമോ എന്നൊരു സംശയം ഉണ്ട്

  16. ഇങ്ക് സ്കേപ്പിന്റെ 3 വീഡിയോ ക്ലാസ്സുകള്‍ . മാത്‌സ് ബ്ലോഗ്‌ സ്പെഷ്യല്‍

    1.http://www.youtube.com/watch?v=bS4H3fEt-3o
    2.http://www.youtube.com/watch?v=Grj7S5unLh4&feature=youtu.be
    3.http://www.youtube.com/watch?v=9a4KnK9wmds&feature=youtu.be

  17. Baby says:

    പ്രിയ കണ്ണന്‍സര്‍ & ഹിത, വളരെ നല്ല ഉദ്യമം.അഭിനന്ദനങ്ങള്‍.ഹിതക്കിപ്പോള്‍ സമാധാനമായില്ലേ?

  18. Baby says:

    പ്രിയ കണ്ണന്‍സര്‍ & ഹിത, വളരെ നല്ല ഉദ്യമം.അഭിനന്ദനങ്ങള്‍.ഹിതക്കിപ്പോള്‍ സമാധാനമായില്ലേ?

  19. JOHN P A says:

    പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ മൗനങ്ങളിലേയ്ക്ക് ചിന്തകളെ നയിക്കുന്ന ചില പോസ്റ്റുകളുടെ നിര്‍മ്മിതിയിലാണ് ബ്ലോഗ് . Beyond The text എന്ന പുതിയ പരമ്പരയിലേയ്ക്ക് വിഭവങ്ങള്‍ സഹര്‍ഷം സ്വാഗതം ചെയ്യുന്നു . ഗണിതാദ്ധ്യാപകരും കുട്ടികളും പിന്നെ കണക്കിനെ ഇഷ്ടപ്പെടുന്ന മാന്യവായനക്കാരും ക്രീയാത്മകമായി പ്രതികരിക്കുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു

  20. SAKHAV says:

    This comment has been removed by the author.

  21. SAKHAV says:

    ഹായ് മാത്സ് ബ്ളോഗ്
    ഞാന്‍ ഇപ്പോള്‍ എസ് എസ് എല്‍ സി കഴിഞ്ഞു.എനിക്ക് full a+ ഉണ്ട്.മാത്സ് ബ്ളോഗ് ആണ് അതിന് എന്നെ അതിനു സഹായിച്ചത് . thank u maths blog.എല്ലാ sslc കുട്ടികളും maths blog ഉപയോഗപ്പെടുത്തണം . therefor you all must use the post which is about samantharasreenikal.

  22. SAKHAV says:

    This comment has been removed by the author.

  23. vijayan says:

    see this sequence of primes
    1,7,13,19………
    5,11,17,23…………
    together forms a sequence contains all primes except 2 &3. (?)

    find the sum of series 6,12,20,30,42……(50 terms)

  24. കാണി says:

    കണ്ണന്‍ സാര്‍ എഴുതിയതില്‍ ഞരു തെറ്റ് വന്നിട്ടുണ്ട്.
    n/2(x1+xn)= 9/2(3+27)
    =9/2*30=135
    ആണ്. അത് തിരുത്തി വായിക്കുമല്ലോ.

  25. JOHN P A says:

    തിരുത്തിയിട്ടുണ്ട് അരുണ്‍ബാബുസാര്‍. തെറ്റ് എന്റെ ടൈപ്പിങ്ങില്‍ വന്നതാണ് . ചൂണ്ടിക്കാട്ടിയതിന് നന്ദി

  26. arjun
    മൂന്നു എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക മറ്റൊരു എണ്ണല്‍ സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗമായിട്ടെഴുതാന്‍ വല്ല formulaയുമുണ്ടോ

  27. കണ്ണന്‍മാഷെ കൊള്ളാം……
    കാരൃകാരണങ്ങള്‍ കണ്ടെത്താന്‍ യുക്തിചിന്തയ്ക്ക് തീകൊടുത്തിരിക്കുന്ന എല്ലാ ധിഷണാശാലികള്‍ക്കും ആശംസകള്‍………കാരൃം കണ്ടത്തി പോസ്റ്റുചെയ്യുമ്പോള്‍ എന്നെപ്പോലുള്ള നിര്‍ഗുണന്‍മാര്‍ക്കും മനസ്സിലാക്കാമല്ലോ……!

  28. കണ്ണന്‍മാഷെ കൊള്ളാം……
    കാരൃകാരണങ്ങള്‍ കണ്ടെത്താന്‍ യുക്തിചിന്തയ്ക്ക് തീകൊടുത്തിരിക്കുന്ന എല്ലാ ധിഷണാശാലികള്‍ക്കും ആശംസകള്‍………കാരൃം കണ്ടത്തി പോസ്റ്റുചെയ്യുമ്പോള്‍ എന്നെപ്പോലുള്ള നിര്‍ഗുണന്‍മാര്‍ക്കും മനസ്സിലാക്കാമല്ലോ……!

  29. treasa says:

    let us discuss about celebrating national mathematical year

  30. വിഖ്യാതനായ ഇന്‍ഡ്യന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ശ്രീനിവാസ രാമാനുജന്റെ 125-ം ജന്മദിനത്തോടനുബന്ധിച്ച് നമ്മുടെ രാജ്യം 2012 ദേശീയ ഗണിതശാസ്ത്ര വര്‍ഷമായി ആഘോഷിക്കുകയാണ്. 2011 ഡിസംബറില്‍ മദ്രാസ് സര്‍വകലാശാലയില്‍ രാമാനുജന്റെ 125ം ജന്മദിനത്തോടനുബന്ധിച്ച് സംഘടിപ്പിച്ച ഒരു ചടങ്ങില്‍ വെച്ചാണ് പ്രധാനമന്ത്രി മന്‍മോഹന്‍ സിങ്ങ് 2012 നെ ദേശീയ ഗണിതശാസ്ത്ര വര്‍ഷമായി പ്രഖ്യാപിച്ചത്. ഇനി മുതല്‍ രാമാനുജന്റെ ജന്മദിനമായ ഡിസംബര്‍ 22 ദേശീയ ഗണിതദിനമായും ആഘോഷിക്കും.

    തമിഴ്‌നാട്ടില്‍ ഈറോഡിലെ ഒരു ദരിദ്ര കുടുംബത്തില്‍ 1887 ഡിസംബര്‍ 22-നാണ് രാമാനുജന്‍ ജനിച്ചത്. ശ്രീനിവാസ രാമാനുജന്‍ അയ്യങ്കാര്‍ എന്നായിരുന്നു അദ്ദേഹത്തിന്റെ മുഴുവന്‍ പേര്. അച്ഛന്റെ പേരാണ് ശ്രീനിവാസ അയ്യങ്കാര്‍. അമ്മ കോമളത്തമ്മാള്‍. ഒരു തുണിക്കടയിലെ കണക്കെഴുത്തുകാരനായിരുന്നു അച്ഛന്‍. രാമാനുജനു താഴെ അഞ്ചു സഹോദരങ്ങള്‍ കൂടിയുണ്ടായിരുന്നു.

    ശുദ്ധഗണിതത്തില്‍ വിദഗ്ദ്ധ പരിശീലനങ്ങളൊന്നും അദ്ദേഹത്തിന് ലഭിച്ചിട്ടില്ല. എന്നിട്ടു കൂടി ഗഹനങ്ങളായ ഒട്ടേറെ ഗണിത പ്രഹേളികകള്‍ക്ക് അദ്ദേഹം ഉത്തരം കണ്ടെത്തി. ഒട്ടേറെ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ തയ്യാറാക്കുകയും കാഠിന്യമേറിയ ഗണിതപ്രശ്നങ്ങള്‍ക്ക് ലളിതമായ ഉത്തരങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്തു. 1920 ഏപ്രില്‍ 26 ന് തന്റെ 33-ാമത്തെ വയസ്സില്‍ ശ്വാസകോശസംബന്ധമായ അസുഖങ്ങളാലാണ് അദ്ദേഹം അന്തരിച്ചത്. മരണശേഷമാണ് അദ്ദേഹത്തിന്റെ കണ്ടെത്തലുകളില്‍ അധികവും ലോകമറിഞ്ഞത്. ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രചരിത്രത്തില്‍ ഇന്‍ഡ്യയ്ക്ക് ഇടംനേടിക്കൊടുക്കാന്‍ സഹായിച്ച രാമാനുജനെ രാജ്യം ദേശീയ വര്‍ഷാചരണത്തിലൂടെ ആദരിക്കാന്‍ തീരുമാനിച്ചത് തീര്‍ത്തും ഉചിതമായി.

  31. Nidhin Jose says:

    സോറി, ഒരു ഒറ്റി :
    ഏഴാം ക്ലാസിലെ സയന്‍സ് ആദ്യ പാഠഭാഗം (പച്ചയാം വിരിപ്പ്) പഠിക്കുന്നവര്‍ക്കും പഠിപ്പിക്കുന്നവര്‍ക്കും ഈ പോസ്റ്റ് പ്രയോജനകരമാവും എന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു….. ഉപകാരപ്പെടുമെന്ന് തോന്നുന്നു എങ്കില്‍ ഷെയര്‍ ചെയ്യുമല്ലോ?
    ബഡ്ഡിങ്ങും ഗ്രാഫ്റ്റിങ്ങും പിന്നെ കുറേ നല്ല ഓര്‍മകളും

  32. hand book ല്‍ 6×6 മാന്ത്രികചതുരം പൂരിപ്പിയ്ക്കാന്‍ പറയുന്നുണ്ട് അതു share ചെയ്യാമായിരുന്നെന്നുതോന്നുന്നു
    മാന്ത്രികചതുരം പ്രധാനമായും 3 തരമാണല്ലോ
    1) ഒറ്റസംഖ്യാകളങ്ങളുള്ളത് (3×3,5×5,7×7…)
    ഇത് ഏവര്‍ക്കും സുപരിചിതമാണല്ലോ
    2) 4 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായ കളങ്ങളുള്ളത് (4×4,8×8,12×12….)
    ഇതും ഏവര്‍ക്കും പരിചിതമായിരിയ്ക്കും
    3) 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ 2 ശിഷ്ടം വരുന്ന കളങ്ങളുള്ളത് (6×6, 10×10, 14×14….)
    ഇതാണ് മിക്കവര്‍ക്കും പരിചിതമല്ലാത്തത്

  33. vijayan says:

    Off topic
    Sparkല്‍ ഒരു ടീച്ചര്‍ക്കു 27/06/2012 മുതല്‍ 21240 ല്‍ നിന്നും 22360ലേക്ക് promotion നല്കി. പക്ഷേ 1/6/2012 മുതല്‍ 22360 ആയിട്ടാണ് ബേസിക് വരുന്നത്. പരിഹാരം നിര്‍ദ്ദേശിക്കാമോ… ?

  34. @ Muraleedharan Sir
    “മൂന്നു എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക മറ്റൊരു എണ്ണല്‍ സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗമായിട്ടെഴുതാന്‍ വല്ല formulaയുമുണ്ടോ”

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

    ആണല്ലോ 2ab ഒരു പൂര്‍ണ്ണ വര്‍ഗമാകുന്ന രീതിയില്‍ a b യും തിരഞ്ഞെടുത്താല്‍
    $a^2+c^2+b^2=(a+b)^2$
    അതായത് ഇങ്ങനെ മൂന്നു എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക മറ്റൊരു എണ്ണല്‍ സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗമായിട്ടെഴുതാം
    ഉദാ:
    1) a=9, b=2 അപ്പോള്‍
    $9^2+2^2+6^2=11^2$

    2)a=25, b=8,
    $25^2+8^2+20^2=33^2$

    3)a=8,b=9
    $8^2+9^2+12^2=17^2$
    ആയതിനാല്‍ $a^2+c^2+b^2=d^2$
    എന്ന രൂപത്തില്‍ എഴുതാം

  35. മറ്റൊരു സൂത്രവാക്യം
    $[n^2+2]^2 = n^4+(2n)^2+2^2$
    n>1
    അല്ലെങ്കില്‍
    $[n^2+2(m^2)]^2=n^4+(2mn)^2+(2m^2)^2$

  36. @ അര്‍ജുന്‍
    ഒരുകുട്ടി നല്കിയ ഉത്തരമിതാ
    a^2+(a+1)^2+[a(a+1)]^2=[a(a+1)+1]^2
    ex;- 1^2+2^2+2^2=3^2
    5^2+6^2+30^2=31^2
    10^2+11^2+110^2=111^2
    …………….

  37. This comment has been removed by the author.

  38. Excellent Post. Altogether different approach. Congratulations and best of luck.

  39. Krishnan says:

    This comment has been removed by the author.

  40. Krishnan says:

    MURALEEDHARAN.C.R: “മൂന്നു എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക മറ്റൊരു എണ്ണല്‍ സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗമായിട്ടെഴുതാന്‍ വല്ല formulaയുമുണ്ടോ?”

    രണ്ടു എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗങളുടെ തുക മറ്റൊരു എണ്ണല്‍സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗമായി കിട്ടാനുള്ള മാര്‍ഗം അറിയാമല്ലോ. ഏതെങ്കിലും ഒരു ജോടി എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ $p$, $q$ എടുത്ത്,

    $a=p^2-q^2$, $b=2pq$, $c=p^2+q^2$

    എന്നീ സംഖ്യകള്‍ കണ്ടുപിടിച്ചാല്‍, $a^2+b^2=c^2$ ആയിരിക്കും

    ഇതുപോലെ, ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ $p$, $q$, $r$ എടുത്ത്

    $a=p^2+q^2-r^2$, $b=2pr$, $c=2qr$, $d=p^2+q^2+r^2$

    എന്നീ സംഖ്യകള്‍ കണ്ടുപിടിച്ചാല്‍, $a^2+b^2+c^2=d^2$ ആയിരിക്കും

  41. @Muraleedharan sir
    “ഒരുകുട്ടി നല്കിയ ഉത്തരമിതാ
    a^2+(a+1)^2+[a(a+1)]^2=[a(a+1)+1]^2
    ex;- 1^2+2^2+2^2=3^2
    5^2+6^2+30^2=31^2
    10^2+11^2+110^2=111^2
    …………….”

    CBSE Text Book Standard VIII
    Exercise 6(1)
    6. Using the given pattern find the missing numbers

    $1^2+2^2+2^2=3^2$
    $2^2+3^2+6^2=7^2$
    $3^2+4^2+12^2=13^2$
    $4^2+5^2+$(__)^2 $=21^2$
    $5^2+$(__)^2$+30^2=31^2$
    $6^2+7^2+$(__)^2=(__)^2
    To find the pattern
    Third number is related to First and Second number. How ?
    Fourth number is related to third number. How ?
    ഈ ചോദ്യം ഞാന്‍ കണ്ടിട്ടുണ്ട് . അത് അതുപോലെ തന്നാല്‍ ശരിയാവില്ല എന്ന്‍ തോന്നിയതിനാലാണ് സ്വന്തമായ രീതിയില്‍ മറ്റൊന്നിനു ശ്രമിച്ചത്

  42. @Muraleedharan sir
    “ഒരുകുട്ടി നല്കിയ ഉത്തരമിതാ
    a^2+(a+1)^2+[a(a+1)]^2=[a(a+1)+1]^2
    ex;- 1^2+2^2+2^2=3^2
    5^2+6^2+30^2=31^2
    10^2+11^2+110^2=111^2
    …………….”

    CBSE Text Book Standard VIII
    Squares and Square roots
    page no 96
    Exercise 6(1)
    Click here

  43. This comment has been removed by the author.

  44. @ അര്‍ജുന്‍
    thanks for valuable information

  45. Roopesh K G says:

    നന്നായിരിക്കുന്നു

  46. Roopesh K G says:

    നന്നായിരിക്കുന്നു

  47. @ Muraleedharan sir

    There is another solution

    $The$ $General$ $Integer$ $Solution$
    $of$ $the$ $Equation$ $x^2+y^2+z^2=w^2$ is given by

    $x=a^2-b^2+c^2-d^2$
    $y=2ab+2cd$
    $z=2ad-2bc$
    $w=a^2+b^2+c^2+d^2$

    (HCF of x,y,z,w=1)
    BOOKS FOR REFERENCE “ELEMENTARY THEORY OF NUMBERS”
    by C.Y.HSIUNG

    Please Click here

  48. 1*2*3*4*5*6*7…….*n=?

  49. is there any easy method for this?

  50. അര്‍ജുന്‍ .കെ പെരിന്തല്‍മണ്ണ
    മറ്റൊരു സംശയംകൂടി
    ഒരു എണ്ണല്‍സംഖ്യയുടെ വ്യുല്‍ക്രമത്തെ മറ്റു 3 എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വ്യുല്‍ക്രമങ്ങളുടെ തുകയായി എത്ര തരത്തിലെഴുതാം എന്നു കണ്ടെത്തുന്നതിന് വല്ല formula യും ഉണ്ടോ (2 എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വ്യുല്‍ക്രമങ്ങളുടെ തുകയായി എത്ര തരത്തിലെഴുതാം എന്നു കണ്ടെത്തുന്നതിന് formula ഉണ്ടല്ലോ)
    9-)൦ക്ലാസിലെ 2-)ം ഭാഗം text ലെ 204-)ം പേജിലെ sidebox ല്‍ നിന്നും ഉടലെടുത്തതാണ് ഈ സംശയം

  51. @Muraleedharan Sir
    $\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$
    $\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}$
    $\frac{1}{n} = \frac{1}{n+2} +\frac{1}{n(n+1)} +\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

    Example:

    Put n=2
    $\frac{1}{2} = \frac{1}{4} +\frac{1}{6)} +\frac{1}{12}$

    Put n=3
    $\frac{1}{3} = \frac{1}{5} +\frac{1}{12)} +\frac{1}{20}$

  52. അര്‍ജുന്‍ .കെ പെരിന്തല്‍മണ്ണ
    sir
    ഞാന്‍ ഉദ്ദേശിച്ചത് ഇതല്ല
    1/n നെ 1/a + 1/b എന്ന വിധത്തില്‍ എത്ര തരത്തില്‍ എഴുതാം എന്ന് നമുക്കറിയാമല്ലോ
    (n^2 ന് k ഘടകങ്ങളുണ്ടെങ്കില്‍ (k+1)/2 തരത്തില്‍ എഴുതാമല്ലോ
    ഉദാ:- 1/6 നെ 1/a + 1/b എന്ന വിധത്തില്‍ എഴുതണമെന്ന് വിചാരിയ്ക്കുക 6^2= 2^2*3^2
    ആയതിനാല്‍ 6^2 ന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം= (2+1)(2+1)=9
    (9+1)/2=5
    അതായത് 1/6 നെ 1/a + 1/b എന്ന വിധത്തില്‍ 5 തരത്തില്‍ എഴുതാം
    1/n = 1/n+k + k/n*(n+k) എ്‍ന്നതില്‍ k യ്ക്ക് 36 ന്റെ ഘടകങ്ങള്‍ കൊടുക്കുക
    ഓരോ pair ല്‍ നി്നും ഒരു ഘടകം കൊടുത്താല്‍ മതി
    36=1*36 ഇവിടെ kയ്ക്ക് 1 കൊടുത്താലും 36 കൊടുത്താലും ഒരേ ഉത്തരമാണ് ലഭിയ്ക്കുക
    അതുപോലെ 2*18, 3*12, 4*9, 6*6 എന്നീ ഓരോ ഗ്രൂപ്പില്‍ നിന്നും ഓരോസംഖ്യകൊടുത്താല്‍ ഓരോ ഉത്തരം ലഭിയ്ക്കം

  53. അര്‍ജുന്‍ .കെ പെരിന്തല്‍മണ്ണ
    മുഴുവനായില്ല sir അപ്പോഴേയ്ക്ക് staff meeting ന് വിളിച്ചു
    താങ്കളുടെ mail ID തന്നാല്‍ എന്റെ സംശയം വിശദമായി അയയ്ക്കാമായിരുന്നു
    1/6 = 1/7 + 1/42
    1/6 = 1/8 + 1/24
    1/6 = 1/9 + 1/18
    1/6 = 1/10 + 1/15
    1/6 = 1/12 + 1/12
    ഇങ്ങനെ 5 തരത്തില്‍ എന്ഴുതാമല്ലോ
    ഇങ്ങനെ 1/a +1/b + 1/c എന്നവിധത്തില്‍ എത്ര തരത്തില്‍ എഴുതാന്‍ സാധിയ്ക്കും എന്നുകണ്ടുപിടിയ്ക്കാന്‍ വല്ല formula യും ഉണ്ടോ എന്നാണ് ഞാന്‍ ചോദിച്ചത്
    1/2 ന്റെ കണ്ടു പിടിയ്ക്കാന്‍ ഞാന്‍ ശ്രമിച്ചുനോക്കി എണ്ണം കിട്ടിയപ്പോള്‍ 1/5 +1/5 +1/10 എന്നതിന്റെ എണ്ണം കിട്ടിയില്ല

  54. @Muraleedharan sir
    ഞാനൊരു ഫിസിക്സ് ബിരുദ വിദ്യാര്‍ഥിയാണ് . ഗണിതത്തില്‍ വളരെ താല്‍പര്യമുണ്ട് . ആയതിനാല്‍ ഞാന്‍ ഉത്തരം കണ്ടെത്താന്‍ ശ്രമിയ്ക്കാം . എനിയ്ക്ക് വളരെ സന്തോഷമുള്ള കാര്യമാണ് അത് .
    $thegreatkarnan@gmail.com$

  55. @Sunanda Menon

    “3,4,5 എന്നിവ വശങ്ങള്‍ ആയി വരുന്ന മട്ട ത്രികോണത്തിന്റെ Semi Perimeter 6 ആണല്ലോ (3^3+4^3+5^3 = 6^3)

    6,8,10 എന്നിവ വശങ്ങള്‍ ആയി വരുന്ന മട്ട ത്രികോണത്തിന്റെ Semi Perimeter 12 ആണല്ലോ (6^3+8^3+10^3 = 12^3

    9,12,15 എന്നിവ വശങ്ങള്‍ ആയി വരുന്ന മട്ട ത്രികോണത്തിന്റെ Semi Perimeter 18 ആണല്ലോ (9^3+12^3+15^3 = 18^3)

    ഈ കാണുന്ന ബന്ധത്തിന് എന്തെങ്കിലും ഒരു കാരണം നല്‍ക്കുവാന്‍ പറ്റുമോ എന്നൊരു സംശയം ഉണ്ട്”

    May I approach the situation as follows:

    3, 4 and 5 is a Pythagorean triplet.

    3^3 +4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125=216

    Also [(3+4+5)/2]^3 = 6^3 =216

    It proves that 3^3 +4^3 + 5^3 = [(3+4+5)/2]^3

    We notice that each successive Pythagorean triplets that you have mentioned in your post is an integral multiple of the triplet (3,4,5) and hence a general Pythagorean triplet in your post can be expressed as (3k, 4k, 5k)
    where k= 1, 2, 3, 4,………

    Now (3k)^3 + (4k)^3 + (5k)^3 =
    k^3(3^3 +4^3+ 5^3)= k^3 [(3+4+5)/2]^3 by substitution from the previous relation

    Hence, (3k)^3 + (4k)^3 + (5k)^3 =
    k^3 [(3+4+5)/2]^3 = [k(3+4+5)/2]^3 = [(3k+4k+5k)/2]^3

    i.e (3k)^3 + (4k)^3 + (5k)^3 = [(3k+4k+5k)/2]^3

    In the above relation put k=1, 2, 3, 4, 5….. Then we get all those relations mentioned in your post.

    This is a special property of Pythagorean triplets of the form (3k,4k,5k)

    If you examine the Pythagorean triplet (5,12,13)we see that this property namely sum of cubes equals cube of semi-perimeter does not hold.

  56. harsha p m says:

    ഹര്‍ഷ.പി.എം(പി.ടി.എം.വൈ.എച്.എസ്സ് എസ്സ്.എടപ്പലം)::സമാന്തരശ്രേണി എന്ന അധ്യായത്തിലെ കൂടുതല്‍ ചോദ്യങ്ങള്‍ പോസ്റ്റ് ചെയ്യുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s