വേറിട്ട ചിന്തകള്‍: 2 വൃത്തങ്ങള്‍

$A=\sqrt{abcd}$എന്ന സൂത്രവാക്യം കണ്ടിട്ടുണ്ടോ? A എന്നത് പരപ്പളവും a,b,c,d ചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുമാണ്.
ഒരു പ്രത്യേകതരം ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെ അവതരിപ്പിക്കുകയും അതിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പുതിയ സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ പ്രസക്തി അന്വേഷണവിധേയമാകാകുകയുമാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്
പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ കാഴ്ചപ്പാട് പൂര്‍ണ്ണതയിലെത്തുന്നത് അതിനപ്പുറത്തുള്ള കാഴ്ചകള്‍ കണ്ടെത്താന്‍ കുട്ടി പ്രാപ്തനാകുമ്പോഴാണ് . ഇവിടെ അദ്ധ്യാപകന്റെ റോള്‍ അതിനുള്ള പാശ്ചാത്തലം രൂപീകരിക്കുക എന്നതാണ്. ഇത്തരം ഒരു ചിന്തയിലേയക്ക് നയിക്കുന്ന ഒരു ചെറിയ സന്ദര്‍ഭം അവതരിപ്പിക്കുക മാത്രമാണ് ഈ പോസ്റ്റില്‍ ചെയ്യുന്നത്.
അന്തര്‍വൃത്തങ്ങള്‍ വരക്കാവുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ച് നമുക്കറിയാം. എല്ലാത്രികോണങ്ങള്‍ക്കും അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുമെങ്കിലും എല്ലാ ചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ക്കും അത് സാധ്യമാകുകയില്ല.പത്താം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ നിന്നും ചോദ്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കുമ്പോള്‍ സാധാരണ എഴുതാറുള്ള ഒരു ചോദ്യമുണ്ട് . അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ ഒരു ജോഡി എതിര്‍വശങ്ങളുടെ തുക മറ്റേജോഡി എതിര്‍വശങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും . ഇത് തെളിയിക്കുന്നതിനായി തൊടുവരകളുടെ അടിസ്ഥാനപ്രത്യേകത ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇതിന്റെ തുടര്‍പ്രവര്‍ത്തനമായി അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുന്ന സാമാന്തരീകങ്ങള്‍ സമഭുജസാമാന്തരീകങ്ങള്‍ തന്നെയെന്ന് കണ്ടെത്താന്‍ സാധിക്കും . ഇതൊക്കെ പറഞ്ഞത് നമ്മുടെ വിഷയത്തിനുള്ള ആമുഖമായാണ്.

ഇനി പരിവൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാം. ഇവ ചക്രീയചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ തന്നെയാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഇവയുടെ നാലുശീര്‍ഷങ്ങളിലൂടെയും കൂടി കടന്നുപോകുന്ന വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുമല്ലോ. ചക്രീയചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങള്‍ a, b, c, d വീതമായാല്‍ ഇവ ഉപയോഗിച്ച് പരപ്പളവ് കണക്കാക്കാനുള്ള മാര്‍ഗ്ഗമുണ്ട് . $s= \frac{a+b+c+d}{2}$ ആയാല്‍ പരപ്പളവ്
$‌ \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ ആയിരിക്കും .
ഇനി നമുക്ക് പത്താം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തിലേയ്ക്ക് തിരിച്ചുവരാം. ഇക്കാര്യം പാഠപുസ്തകത്തിലെ അന്‍പതാം പേജിലെ സൈഡ് ബോക്സായി നല്‍കിയിരിക്കുന്നു. ഇവിടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന വിശദീകരണങ്ങളില്‍നിന്നും ഇതിന്റെ ചരിത്രപശ്ചാത്തലം നമുക്ക് മനസിലാക്കാം . അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റുചില വസ്തുതകളും
ഈ രണ്ട് ആശയങ്ങളെയും ചേര്‍ത്തുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഒരു അന്വേഷണം ആരംഭിക്കാം .

ഒരേസമയം അന്തര്‍വൃത്തവും പരിവൃത്തവും വരക്കാന്‍ കഴിയുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകുമല്ലോ? തീര്‍ച്ചയായും . ഇത്തരം ചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ക്കുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം സമചതുരം തന്നെയാണ് . സമചതുരങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ അന്തര്‍വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും പരിവൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും ഒന്നുതന്നെയാണെന്ന് നിസ്സംശയം പറയാം. എന്നാല്‍ ഈ സവിശേഷസ്വഭാവമുള്ള മറ്റുചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ ഒരേ കേന്ദ്രം ആയിരിക്കില്ലല്ലോ. അതുകൊണ്ടുതന്നെ അത്തരം ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെ ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങളെന്നു വിളിക്കട്ടെ!
കോമ്പസസ്സും സ്ക്കേലും ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം ചിത്രങ്ങള്‍ വരക്കുക ആയാസകരമാണ് . എന്നാല്‍ ജിയോജിബ്ര ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത്തരം ചിത്രങ്ങള്‍ ക്ഷണനേരം കൊണ്ട് വരച്ചെടുക്കാം. വശങ്ങളുടെ നീളം അളന്നെഴുതുകയും ചെയ്യാം
ഏതൊരന്വേഷണത്തിനും ഒരു പരികല്പന ഉണ്ടാകുമല്ലോ. സമചതുരമെന്ന ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെ പരപ്പളവ്
$a^2$ ആണല്ലോ. അതിനെ നമുക്ക് $ \sqrt{a^4}$ എന്ന് എഴുതാന്‍ സാധിക്കും . ഒന്നുകൂടി എഴുതിയാല്‍ പരപ്പളവ് $\sqrt{a \times a \times a \times a}$ എന്ന് എഴുതാന്‍ സാധിക്കും .
മറ്റ് ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ ഇത് ശരിയാകുമോ? തീര്‍ച്ചയായും ശരിയാണെന്നാണ് മനസിലാക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞത്
ഇനി വിവരശേഖരണത്തെക്കുറിച്ചാകാം. ധാരാളം ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ ജിയോജിബ്രയുടെ സഹായത്താല്‍ വരക്കാം. വശങ്ങള്‍ a, b, c, d ആണെന്ന് കരുതുകയും അവ അളന്നെഴുതുകയും ചെയ്യാമല്ലോ. പോരെങ്കില്‍ പരപ്പളവ് കൃത്യമായി കണക്കാക്കാനുള്ള ടൂളും ഉണ്ട് ഇങ്ങനെ വിവരശേഖരണം നടത്തി അളവുകള്‍ പട്ടികയിലാക്കി , പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
മറ്റൊരുമാര്‍ഗ്ഗം വിവരങ്ങലെ സ് പ്രേഡ് ഷീറ്റിലാക്കി അപഗ്രഥനം നടത്തുകയാണ് .
അടിസ്ഥാനപരമായി ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ ചക്രീയചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ തന്നെയാണല്ലോ. അതിനാല്‍
$‌ \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$എന്ന സൂത്രവാക്യവും ഉപയോഗിക്കാം . ഇതിനും സ് പ്രെഡ്ഷീറ്റ് സഹായം പ്രയോജനപ്പെടുത്താമല്ലോ.
ഈ പരപ്പവുകളെല്ലാം $A= \sqrt{abcd}$ എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്ന പരപ്പളവുമായി താരതമ്യം ചെയ്തുനോക്കുക
ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ പരപ്പളവുകാണുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യവും , അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാവുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ പ്രത്യേകതയും സമന്വയിപ്പിച്ച് പുതിയ സൂത്രവാക്യം സൈദ്ധാന്തികമായി തെളിയിക്കാന്‍ പറ്റും . ഇതിന് ശ്രമിക്കുമല്ലോ?

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in Maths Exams, Maths Project, Maths X. Bookmark the permalink.

29 Responses to വേറിട്ട ചിന്തകള്‍: 2 വൃത്തങ്ങള്‍

  1. പുത്തന്‍ അറിവ് പകര്‍ന്ന് തന്നതിന് ജോണ്‍സാറിനും മാത്സ് ബ്ലോഗിനും നന്ദി…………..

  2. ‍ജോണ്‍സാറിന് നന്ദി….പുത്തന്‍അറിവുകള്‍ക്ക്…..എന്നും ഞങ്ങള്‍ മാത്സ്ബ്ലോഗിന് ഒപ്പം…..

  3. യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ ത്രികോണങ്ങളുടെ പരിവൃത്തത്തെപ്പറ്റിയും അന്തര്‍വൃത്തത്തെപ്പറ്റിയും അവയുടെ കേന്ദ്രങ്ങളുടെ പ്രത്യേകതകളെക്കുറിച്ചുമെല്ലാം പഠിക്കുകയും പഠിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. എന്നാല്‍ ഒരേ സമയം പരിവൃത്തവും അന്തര്‍വൃത്തവും വരയ്ക്കാന്‍ കഴിയാവുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ചോ അതിന്റെ സാധ്യതകളെക്കുറിച്ചോ ചിന്തിക്കാന്‍ പോലും ഇതേ വരെ ശ്രമിച്ചിരുന്നില്ല. യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ പാഠപുസ്തകത്തിനപ്പുറത്തേക്ക് വളരുന്ന ഇത്തരം ചിന്തകളല്ലേ നമുക്കെല്ലാം വേണ്ടത്? ആ രീതിയിലേക്ക് വളരുന്ന ചിന്തകളാണ് ജോണ്‍ സാറിന്റെ മുഖമുദ്ര. മാത്​സ് ബ്ലോഗിന്റെ ഭാഗമാണ് ജോണ്‍ സാറെന്നതില്‍ ആത്മാര്‍ത്ഥമായി അഭിമാനിക്കുന്നു.

  4. Arunbabu says:

    JOHN SIR, അഭിനന്ദനങ്ങള്‍

  5. JOHN P A says:

    മെയിലയച്ച ശ്രീലത ടീച്ചറിന് ഉത്തരം രണ്ടുദിവസത്തിനുള്ളില്‍ തരാം. അതിനുമുന്‍പുതന്നെ തെളിവ് ആരുടെയെങ്കിലും കമന്റായി വരും . ഇത് വളരെ വളരെ ലളിതമായി തെളിയിക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ.

  6. bhama says:

    ഞാന്‍ തെളിയിച്ചു നോക്കിയത് ഇങ്ങനെ .

    [im]https://sites.google.com/site/classroommaths/hexagon-squ/17.jpeg?attredirects=0&d=1[/im]

    ചിത്രത്തില്‍ ചതുര്‍ഭുജം ABCD ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജമാണ്.
    വശങ്ങള്‍ a, b, c, d ആണെന്ന് കരുതിയാല്‍ s = (a + b + c + d)/2
    പരപ്പളവ് A = √(s – a)(s – b)(s – c)(s – d)
    ഈ വാക്യത്തെ ഇങ്ങനെ മാറ്റി എഴുതാം

    4A = √(- a + b + c + d)(a – b + c + d)(a + b – c + d)(a + b + c – d).

    ചിത്രത്തില്‍ നിന്നും

    a = x + y,
    b = y + z,
    c = z + w,
    d = w + x

    ഈ വിലകള്‍ സൂത്രവാക്യത്തില്‍ ആരോപിച്ചാല്‍
    – a + b + c + d = 2(w + z) = 2c,
    a – b + c + d = 2(x + w) = 2d,
    a + b – c + d = 2(y + x) = 2a,
    a + b + c – d = 2(z + y) = 2b.
    ഇതില്‍ നിന്നും

    4A = √2c * 2d * 2a * 2b

    4A = √16abcd

    A=√abcd

  7. JOHN P A says:

    ഭാമടീച്ചറെ . നന്നായിരിക്കുന്നു വിശകലനം .

  8. ഭാമടീച്ചറും ഗണിതചിന്തകളില്‍ വ്യത്യസ്ത പുലര്‍ത്തുന്നുവെന്നതിന് ഇതില്‍ കൂടുതല്‍ തെളിവു തരേണ്ടതുണ്ടോ? കുഴഞ്ഞു മറിഞ്ഞ പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്കുവരെ ഉത്തരം കണ്ടെത്താനുള്ള ഭാമടീച്ചറുടെ പ്രാഗത്ഭ്യം വ്യക്തമാക്കാനുതകുന്നതായി ഈ പ്രൂഫ്. അഭിനന്ദനങ്ങള്‍.

    എം.എസ്.എസി കമ്പ്യൂട്ടര്‍ സയന്‍സ് പരീക്ഷ കഴിഞ്ഞതിലാകും പഴയ പോലെ സജീവമായി രംഗത്തെത്തിയത്. സന്തോഷം. എങ്ങിനെയുണ്ടായിരുന്നു പരീക്ഷ?

  9. teenatitus says:

    ജോണ്‍ സര്‍ ,
    പോസ്റ്റ്‌ വളരെ നന്നായിരിക്കുന്നു . പാഠപുസ്തകത്തില്‍ നിന്നും വേറിട്ട ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം നല്‍കിയ ജോണ്‍ സാറിന് അഭിനന്ദനങ്ങള്‍ . മത്സ് ബ്ലോഗിലുടെ ഒരുപാട് പുതിയ അറിവുകള്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് പകര്‍ന്നു നല്കാന്‍ കഴിയുന്നുണ്ട് .മാത്സ് ബ്ലോഗിനും നന്ദി…………..

  10. This comment has been removed by the author.


  11. ചതുര്‍ഭുജം ABCD ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജമാണ്.
    വശങ്ങള്‍ a, b, c, d ആണെന്ന് കരുതിയാല്‍

    ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ പരപ്പളവുകാണുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്

    A=√(s – a)(s – b)(s – c)(s – d)

    ഇവിടെ s = (a + b + c + d)/2

    ഒരു ചതുര്‍ഭുജതിനു അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാന്‍ കഴിയുമെങ്കില്‍ അവയുടെ എതിര്‍ വശങ്ങളുടെ തുക തുല്ല്യം ആണല്ലോ

    അതിനാല്‍ a+c = b+d

    s = (a + b + c + d)/2
    = 1/2 (a+c+a+c)
    = 1/2 (2a+2c)
    = a+c = b+d

    A = √(s – a)(s – b)(s – c)(s – d)
    =√(a+c-a)(b+d-b)(a+c-c)(b+d -d)
    =√(c)(d)(a)(b)

    A = √abcd

    സുനന്ത പാലക്കാട്
    പാലക്കാട് ടീം

  12. ഒരു ചതുര്‍ഭുജം ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജം ആകുന്നതിനു പാലികേണ്ട നിബന്ധനകള്‍ എന്തൊക്കെ ആണ്


    1)അവയുടെ എതിര്‍ വശങ്ങളുടെ തുക തുല്ല്യം ആകണം
    2)എതിര്‍ ശീര്‍ഷ കോണുകള്‍ അനുപൂരകങ്ങള്‍ ആയിരിക്കുകയും വേണം

    ആ രീതിയില്‍ ചിന്തിച്ചാല്‍

    a)സമചതുരങ്ങള്‍ എല്ലായ്പോഴും ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജം ആണ്
    b)ചതുരങ്ങള്‍ ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജം അല്ല കാരണം അവയുടെ എതിര്‍ വശങ്ങളുടെ തുക തുല്ല്യം അല്ല
    c)സമഭുജ സാമാന്തരികം ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജം അല്ല കാരണം അവയുടെ എതിര്‍ ശീര്‍ഷ കോണുകള്‍ അനുപൂരകങ്ങള്‍ അല്ല
    d)വശങ്ങളുടെ നീളം , എതിര്‍ ശീര്‍ഷ കോണുകളുടെ അളവുകള്‍ എന്നിവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ലംബകം ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജം ആകുകയോ അല്ലാതിരിക്കുകയോ ചെയാം

  13. sankaranmash says:

    വളരെ നന്നായിട്ടുണ്ട്

  14. sankaranmash says:

    വളരെ നന്നായിട്ടുണ്ട്

  15. This comment has been removed by the author.

  16. This comment has been removed by the author.

  17. ഇനിയും new ideas expect ചെയ്യുന്നു

  18. @ ഹരി സര്‍ / ജോണ്‍ സര്‍

    ഈ സുനന്ത ഒരു ഉത്തരം കൊടുത്തത് കണ്ടില്ലേ ?
    ഗണിതചിന്തകളില്‍ വ്യത്യസ്തത പുലര്‍ത്തുന്നിലെങ്കിലും ഇത് ശരിയാണോ എന്ന് എങ്കിലും പറഞ്ഞു കൂടെ ?

  19. JOHN P A says:

    ഏതാണ്ട് രണ്ടുകൊല്ലമായി സുനന്ദയുടെ കമന്റുകളും ചോദ്യങ്ങളും കാണാന്‍ തുടങ്ങിയിട്ട് . ആ ബ്രില്ലയന്‍സ് എനിക്ക് നന്നായി അറിയാം.

  20. സുനന്ത മേനോനെ അക്ഷരശുദ്ധിയോടെ വിളിച്ചാല്‍ സുനന്ദ മേനോന്‍ എന്നു വിളിക്കാം. അല്ലേ? എന്തായാലും സുനന്ദയുടെ കമന്റുകളിലെ ഗണിതാശയമാധുര്യം കണ്ടപ്പോള്‍ പണ്ട് ബ്ലോഗില്‍ ഉണ്ടായിരുന്ന ഒരു കൊച്ചു മിടുക്കി ഹിതയെ ഓര്‍ത്തു പോയി. സമാനമായ രീതിയില്‍ വേറിട്ട ചിന്തിക്കാന്‍ കഴിവുള്ള ഒരു കുട്ടിയായിരുന്നു ഹിത.

    സുനന്ദാ, ഒരു ചതുര്‍ഭുജം ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജം ആകുന്നതിനു പാലിക്കേണ്ട നിബന്ധനകള്‍ അക്കമിട്ടു നിരത്തിയതോടെ ഈ പോസ്റ്റിന് പൂര്‍ണ്ണത ലഭിച്ചു എന്നു പറയാം. ജോണ്‍ സാര്‍ തുടങ്ങിയ ചര്‍ച്ച ഭാമടീച്ചര്‍ പ്രൂഫ് സഹിതം തെളിയിച്ചു. അതിന്റെ തുടര്‍ച്ചയായി സുനന്ദയുടെ കണ്ടീഷന്‍സ് കൂടിയായതോടെ പോസ്റ്റ് അതിന്റെ പൂര്‍ണതയിലെത്തി. സംതൃപ്തിയോടെയുള്ള അഭിനന്ദനങ്ങള്‍. പ്രശ്നങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിക്കുന്ന ഓരോ പോസ്റ്റിലും ഇതുപോലെ ഒരു ശുഭാന്ത്യം ഉണ്ടായിരുന്നെങ്കില്‍!

  21. JOHN P A says:

    സത്യത്തില്‍ തെളിവ് പോസ്റ്റിനോടൊപ്പം ഇട്ടിരുന്നെങ്കില്‍ ഈ പോസ്റ്റ് വിജയിക്കില്ലായിരുന്നു. സുനന്ദ മേനോന്‍ തെളിയിച്ചപോലെ തന്നെയാണ് ഞാനും തെളിയിച്ചത് . ചക്രീയ ചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കാണാനുള്ള സൂത്രവാക്യം വേദഗണിതരീതിയില്‍ തെളിയിച്ചിട്ടുമുണ്ട് . അത് മറ്റോരു പോസ്റ്റിനുള്ളതാണ് . ഭാമ ടീച്ചര്‍ ചെയ്ത രീതിയും സമാനം തന്നെ. വേണ്ടസമയത്ത് തെളിവിട്ട് പോസ്റ്റിനെ ജീവനുള്ളതാക്കിമാറ്റിയ ഭാമടീച്ചറിനും പിന്നെ സുനന്ദ മേനോനും നന്ദി .

  22. ഹിത says:

    @ ഹരി സര്‍

    ഒരു മെയില്‍ അയച്ചിട്ടുണ്ട് . സമാന്തര ശ്രേണിയുമായി ബന്ധപെട്ടു കൊണ്ട്. കണ്ണന്‍ സര്‍ തയാറാക്കി തന്നതാണ് . നോക്കിയോ. അത് ഒരു പോസ്റ്റ്‌ ആകുമോ ഹൈ സ്കൂള്‍ തലത്തിലെ ചിന്തയില്‍ നിന്ന് കൊണ്ട് അതിനു ഒരു തെളിവ് നല്‍കാന്‍ ആരെങ്കിലും മുന്നോട്ടു വനാല്‍ അത് ഒരു വലിയ അനുഗ്രഹം ആയിരിക്കും

    ഹിത
    പാലക്കാട് ടീം

  23. ചക്രീയ ചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെ പരപ്പളവ് $
    A = √(s – a)(s – b)(s – c)(s – d)$ എന്നതിന്റെ തെളിവ്
    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക

  24. If a,b,c,d are sides of Bicentric quadrilateral
    Then p^2 =2(a^2+b^2+c^2+d^2)+4d*e
    Where p=peri meter&d,e, are diagonals of Bicentric quadrilateral

  25. ജോണ്‍സാറിന് നന്ദി

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s