കോസൈന്‍ നിയമം


മാത്‌സ് അധ്യാപകര്‍ക്കും ഗണിതസ്നേഹികള്‍ക്കും പിന്നെ ഗണിതതല്പരരായ കുട്ടികള്‍ക്കുമായി ജന്മംകൊണ്ട മാത്‌സ് ബ്ലോഗില്‍ ഗണിതം കുറയുന്നുവെന്ന് പരിഭവം പറഞ്ഞത് ക്ലസ്റ്ററില്‍ പങ്കെടുത്ത ചില അധ്യാപികമാരും കേരളത്തില്‍തന്നെ അറിയപ്പെടുന്ന ചില വിശിഷ്ടവ്യക്തികളുമാണ്. അത് എല്ലാ ഗൗരവത്തോടെയും കാണുന്നു. മനഃപൂര്‍വ്വമല്ല. വിഷയദാരിദ്ര്യവുമല്ല. സമയക്കുറവ് മാത്രമാണ്. ഈ കഴിഞ്ഞ ക്ലസ്റ്ററില്‍ ഒരു ചര്‍ച്ചാവിഷയം ഉണ്ടായിരുന്നു. പാഠപുസ്തകത്തില്‍ നേരിട്ട് പറയാത്ത എന്നാല്‍ പാഠഭാഗങ്ങളുമായി നേര്‍ബന്ധമുള്ള ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനം തയ്യാറാക്കുക.ക്ലസ്റ്ററില്‍ ഈ ആവശ്യം ഉയര്‍ന്നപ്പോള്‍ ആര്‍.പി അല്ലാതിരുന്ന എനിക്ക് ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനത്തെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കേണ്ടിവന്നു. അത് ത്രികോണമിതിയില്‍നിന്നാകണമെന്ന് പറഞ്ഞപ്പോള്‍ പണ്ട് ഒരുക്കിവെച്ച ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം മനസില്‍ ഓടിയെത്തി.
പാഠപുസ്തകത്തില്‍ എണ്‍പത്തി ആറാമത്തെ പേജില്‍ കോസൈന്‍ നിയമം കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. a , b , c ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളും A , B , C അവയ്ക്കെതിരെയുള്ള കോണുകളുമായാല്‍ $a^2 = b^2 +c^2 – 2bc \cos A $എന്നതാണ് നിയമം .

ചിത്രം നോക്കിയല്ലോ. നമുക്ക് പരിചയമുള്ള പല ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങളും സ്വയം വെളിവാകുന്നില്ലേ? അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തിലെ കോണ്‍ , പരസ്പരം ഖണ്ഡിക്കുന്ന PB , CD എന്നീ ഞാണുകള്‍ എന്നിങ്ങനെ. പിന്നെ ഒരു കൊച്ചുത്രികോണം കാണാം . ത്രികോണം OQB തന്നെ. വൃത്തത്തിന്റെ ആരം a ആണെന്നെടുക്കുക. കൊച്ചുത്രികോണത്തില്‍ B യുടെ എത്ിര്‍വശം b യും BQ = c യും ആകട്ടെ . OB = aആണല്ലോ?
ത്രികോണം APB യില്‍ $‌‌\cos B = \frac{PB}{AB} $ , $ PB = 2a \cos B$ . അതിനാല്‍
$ PQ = 2a \cos B – c$ആകുമല്ലോ.
ഇനി ഞാണ്‍ ഖണ്ഡന ബന്ധം ഉപയോഗിക്കാം .
$PQ \times QB = QD \times QC $
QD = a-b ആണല്ലോ. അപ്പോള്‍ $(a – b) \times (a+b) = c \times (2a\cos B -c)$
$a^2 -b^2 = 2ac \cos B – c^2$
$b^2 = a^2 + c^2-2ac \cos B $

ഇനി മറ്റൊരു കാര്യം
ബ്ലോഗ് സന്ദര്‍ശകരായ അധ്യാപകരുടെ പ്രശംസ പിടിച്ചുപറ്റിയ നമ്മുടെ അര്‍ജ്ജുന്‍ എഴുതുന്നു….
സര്‍

പത്താം ക്ലാസിലെ ഫിസിക്സ് ക്വസ്റ്റ്യന്‍ ബാങ്കിന്റെ മെച്ചപ്പെടുത്തിയതും തെറ്റു തിരുത്തിയതുമായ ഉത്തരങ്ങള്‍ ഇതോടൊപ്പം അയയ്ക്കുന്നു. തെറ്റു തിരുത്താന്‍ എന്നെ സഹായിച്ച എല്ലാ സുമനസ്സുകള്‍ക്കും നന്ദി. ബ്ലോഗിലെ മാന്യ വായനക്കാരുടെ കമന്റില്‍നിന്നും കൂടുതല്‍ കാര്യങ്ങള്‍ മനസ്സിലാക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞു.

കുറെ കുട്ടികള്‍ക്കെങ്കിലും ഇതു പ്രയോജനപ്പെടുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിച്ചുകൊണ്ട് ,

അര്‍ജുന്‍ വിജയന്‍
പുനലുരിലെ ക്ലസ്റ്ററില്‍ ഈ ഉത്തരങ്ങള്‍ വിശദമായി ചര്‍ച്ചചെയ്തെന്ന് നമ്മുടെ നസീര്‍ സാര്‍ അറിയിച്ചു. അവര്‍ നല്‍കിയ നിര്‍ദ്ദേശങ്ങള്‍ നസീര്‍സാര്‍ വഴി അര്‍ജുന് കിട്ടിയതായും അറിഞ്ഞു . നന്ദി .
Click here to download the corrected answers of Onam Question Bank

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in വിജ്ഞാനം, STD X Maths New. Bookmark the permalink.

40 Responses to കോസൈന്‍ നിയമം

  1. “ഇനി ഞാണ്‍ ഖണ്ഡന ബന്ധം ഉപയോഗിക്കാം .
    തേങ്ങയുടയ്ക്കാനാരും ഇതേവരെ വരാത്തതുകൊണ്ട് ഹോംസ് തന്നെ തുടങ്ങാം..! ഒരു കുഴപ്പം..കണക്ക് പിടിയില്ല!!
    എന്തിനാ സാര്‍ ഈ ഖണ്ഡനബന്ധമൊക്കെ? അത് ഇംഗ്ലീഷിലായാല്‍ എന്നാ കുഴപ്പം?

  2. JOHN P A says:

    പ്രീയ ഹോംസാറെ
    ഒരു തരം തേങ്ങയുടക്കല്‍ തന്നെയാണ്. ചില തേങ്ങകള്‍ തെറിച്ച് അടുത്തുനില്‍ക്കുന്ന ചിവരുടെ തലമണ്ടയില്‍ കൊള്ളും.
    The product of two segments in a pair formed by the intersection of two chords of a circle is equal to the product of other two segments എന്ന് ഞാന്‍ എഴുതുന്നത് സാറിനുവേണ്ടിയാണ് .
    പോസ്റ്റില്‍ ഒരിടത്ത് ഇത് പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്

  3. JOHN P A says:

    ലേടെക്കിനെക്കുറിച്ച് ഒരു പോസ്റ്റ് തയ്യാറാക്കണമെന്നുണ്ട് . എഴുതി തയ്യാറാക്കി കൃഷ്ണന്‍ സാറിന് അയച്ചുകൊടുത്തിട്ടുവേണം പോസ്റ്റ് ചെയ്യാന്‍ . ഞാന്‍ വെറും തുടക്കക്കാരന്‍ മാത്രമാണ് .

  4. “ചില തേങ്ങകള്‍ തെറിച്ച് അടുത്തുനില്‍ക്കുന്ന ചിലരുടെ തലമണ്ടയില്‍ കൊള്ളും. “
    പൊതിച്ച തേങ്ങ കൊണ്ടാല്‍ വലിയ കുഴപ്പമില്ല..! പക്ഷേ ഇതുപോലുള്ള പൊതിയാത്തേങ്ങകള്‍ തലമണ്ട തന്നെ തകര്‍ത്തേക്കും.
    മാഷന്മാരും ടീച്ചര്‍മാരുമെന്തേ തൂമ്പാപോലെയായിപ്പോയി..?
    ബ്ലോഗില്‍നിന്നും കിട്ടുന്നത് കോരിയെടുത്ത് സ്വന്തം പാര്‍ശ്വത്തിലേക്കടുപ്പിക്കലല്ലാതെ തിരിച്ചൊന്നും കൊടുക്കുന്നില്ല..! പാവം അര്‍ജുന്മാര്‍ കഷ്ടപ്പെട്ടുണ്ടാക്കുന്നത് നക്കിത്തിന്നുന്ന കൂശ്മാണ്ടങ്ങളെന്ന് ഞാന്‍ വിളിച്ചാല്‍ പ്രതിഷേധിക്കുമോ..?

  5. bean says:

    This comment has been removed by the author.

  6. jayaprakash says:

    that answering was good

  7. bean says:

    ഇല്ല .
    നഷ്ടപ്പെടുവാന്‍ നാണം പോലും ഇല്ലാത്ത അവസ്ഥയില്‍ പ്രതിഷേധിച്ചിട്ട് എന്ത് കാര്യം ?

  8. nazeer says:

    @ homes
    Don't consider all like that!!!

  9. JOHN P A says:

    പത്താംക്ലാസില്‍ പഠിക്കുന്നവര്‍ക്കും പഠിപ്പിക്കുന്നവര്‍ക്കും ഇതൊരു തേങ്ങയുമല്ല , തലമണ്ട പൊളിയുകയുമില്ല. ഞാണ്‍ ഖണ്ഡനം എന്ന ഒരു ഭാഗം പുസ്തകത്തിലുണ്ട് എന്റെ പൊന്നു ഹോസ്സാറെ……

  10. ലേടെക് ഉടന്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു

  11. ക്ലസ്റ്ററില്‍ നിന്നും ഇത്തവണ കേട്ട ഒരു പരാതിയായിരുന്നു മാത്​സ് ബ്ലോഗിലെ ഗണിതപോസ്റ്റുകളുടെ കുറവ്. വിവിധ ജില്ലകളില്‍ നിന്നും ഇത്തരം പരാതി ഈയിടെ ഫോണിലൂടെയും മറ്റും കേള്‍ക്കുകയുണ്ടായി. അതുകൊണ്ടാണ് പെട്ടന്നു തന്നെ ഒരു ഗണിത വിഷയത്തില്‍ പോസ്റ്റ് തയ്യാറാക്കിയത്. എന്നാല്‍, ഫലം തഥൈവ. സീരിയസായി ആരും ഗണിത പോസ്റ്റുകളെ സമീപിക്കുന്നതേയില്ല. ഗൈഡ് കമ്പനികളടക്കം പലരും പരസ്യങ്ങള്‍ക്കായി സമീപിച്ചിട്ടും ഞങ്ങളുടെ ഉദ്ദേശശുദ്ധിയില്‍ ആര്‍ക്കും സംശയമുണ്ടാകരുതെന്നു വിചാരിച്ചു കൊണ്ട് അവയെല്ലാം ഉപേക്ഷിക്കുകയായിരുന്നു.

    അധ്യാപകശാക്തീകരണം തന്നെയാണ് ഞങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യം. മിക്കവാറും ദിവസങ്ങളില്‍ ഇരുപതിനായിരത്തിനും മുപ്പതിനായിരത്തിനും ഇടയില്‍ പേജ് ഹിറ്റ് ലഭിക്കുന്നുണ്ട്. പക്ഷെ ഗണിതചര്‍ച്ചയ്ക്ക് ഇടപെടുന്ന അധ്യാപകരുടെ എണ്ണം വളരെ വളരെ കുറവ്. ഹിറ്റ് എത്ര കൂടുന്നുണ്ടെങ്കിലും അതൊന്നും ഞങ്ങളെ സംതൃപ്തരാക്കുന്നില്ല. കമന്റ് ബോക്സിലൂടെയുള്ള നിങ്ങളുടെ കമന്റുകള്‍, അതാണ് ഞങ്ങള്‍ ഉറ്റു നോക്കുന്നത്. സാങ്കേതിക വിദ്യ ഇത്രയേറെ വികസിച്ചിട്ടും, ഒഴിവുസമയം നോക്കി ചര്‍ച്ചയിലടപെടാനും സമയമുണ്ടായിട്ടും നമ്മുടെ അധ്യാപകരുടെ മറുപടി പഴയതു തന്നെ. “സമയം കിട്ടുന്നില്ല!!!” അവരോട് നേരിട്ടു ചോദിക്കാനുള്ള ചോദ്യം ഒന്നേയുള്ളു. മൂന്നു വര്‍ഷമായിട്ടും, എന്റെ പ്രിയ സഹപ്രവര്‍ത്തകരേ, അധ്യാപകരേ, നിങ്ങള്‍ക്കാര്‍ക്കും ഇതേ വരെ സമയം കിട്ടിയില്ലേ? ദയവു ചെയ്ത് ഇനിയെങ്കിലും ഈ മറുപടി ഞങ്ങളോട് പറയരുതേ.

    സ്വാഭാവികമായ മടി നമ്മളെ കാര്‍ന്നു തിന്നു കഴിഞ്ഞു. സമയമില്ല എന്ന മറുപടി പറയുന്നതിന് മുന്‍പ്, ഒന്നാലോചിച്ചു നോക്കൂ, നമ്മുടെ മുന്നില്‍ ഹോം വര്‍ക്ക് ചെയ്യാതെ വരുന്ന കുട്ടി പറയുന്ന മറുപടിയുമായി അതിനൊരു സാദൃശ്യമില്ലേ?
    “എനിക്ക് ഇന്നലെ തലവേദനയായിരുന്നു. അതു കൊണ്ട് ഹോംവര്‍ക്ക് ചെയ്യാനായില്ല.” ഈ മറുപടി കേള്‍ക്കുമ്പോള്‍ നമ്മുടെ മനസ്സിലെന്താണ് കടന്നു വരിക?

    ഗണിത ചര്‍ച്ചകള്‍ക്ക് ഗണിതാധ്യാപകര്‍ വരാത്തിടത്തോളം ഇങ്ങനെ ഗണിതപോസ്റ്റുകള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നതു കൊണ്ട് എന്തു ഗുണം? ഇത്തരം പോസ്റ്റ് പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നതിനു പിന്നിലുള്ള അധ്വാനത്തെക്കുറിച്ച് ആരെങ്കിലും ചിന്തിച്ചിട്ടുണ്ടോ? സ്ക്കൂളിലെയും വീട്ടിലെയും കാര്യങ്ങള്‍ ചെയ്തിട്ടാണ് പലപ്പോഴും ഇങ്ങനെയുള്ള പഠനവിഭവങ്ങള്‍ പൊതുസമൂഹവുമായി ചര്‍ച്ചയ്ക്കൊരുക്കുന്നത്. ഗണിതാധ്യാപകര്‍ ചര്‍ച്ചയ്ക്കില്ലെങ്കില്‍ മറ്റു വിഷയങ്ങളിലുള്ളവര്‍ക്കുകൂടി ഉപകാരപ്രദമാകുന്ന വിഷയങ്ങള്‍ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതില്‍ ഒരു തെറ്റുമില്ലെന്നാണ് എന്റെ പക്ഷം.

  12. “പാവം അര്‍ജുന്മാര്‍ കഷ്ടപ്പെട്ടുണ്ടാക്കുന്നത് നക്കിത്തിന്നുന്ന കൂശ്മാണ്ടങ്ങളെന്ന് ഞാന്‍ വിളിച്ചാല്‍ പ്രതിഷേധിക്കുമോ..?”
    എന്റെ മേല്‍ പ്രസ്താവന പലരും തെറ്റിദ്ധരിച്ചതായി മനസ്സിലാകുന്നു. പ്രതിഷേധിക്കുമോയെന്ന് ഞാന്‍ ചോദിച്ചത് അധ്യാപകരോടായിരുന്നില്ല,…കൂശ്മാണ്ഠങ്ങളോടായിരുന്നു.
    കൂശ്മാണ്ടങ്ങള്‍ എന്നോട് ക്ഷമിക്കണം.

  13. ചിക്കു says:

    .

    12-7=5

    എനിക്ക് മാത്സ് അറിയില്ല.. എന്നാലും ഈ കരച്ചില്‍ കാണുമ്പോള്‍ എന്തെങ്കിലും കമന്റിടാന്‍ തോന്നുന്നു

  14. sahal says:

    കൂശ്മാണ്ടം = കുമ്പളങ്ങ

    കൂശ്മാണ്ടരാസായനം = കുമ്പളങ്ങ രാസായനം

  15. Arjun says:

    ഹോംസ് സാര്‍,
    ഒരു ദിവസം 20000 ത്തില്‍ പരം ഹിറ്റുകള്‍ ഈ ബ്ലോഗിന് ലഭിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഹരിസാറിന്റെ കമന്റില്‍ നിന്നും മനസ്സിലാക്കാമല്ലോ. കുറച്ചും കൂടി നല്ല പദപ്രയോഗങ്ങള്‍ ഇതില്‍ കൊടുത്തു കൂടെ?

  16. Younus says:

    ജിയോജിബ്രയുടെ ഏതെങ്കിലും ട്യൂട്ടോറിയല് സി.ഡി മാര്ക്കറ്റില് ലഭ്യമാണോ.
    Is there any software in Ubuntu to conduct school level Arts & Sports competitions
    From which site can I download the HAND BOOK OF 10th Class(All Subject).Or If any body has PDF
    copy of HAND BOOK ,Pls forward to my E-mail ID
    E-mail ID : younuskmp@gmail.com

  17. teenatitus says:

    ജോണ് സര്‍ ,
    പോസ്റ്റ്‌ വളരെ നന്നായിരിക്കുന്നു. വളരെ തിരക്കുകള്‍ ഉണ്ടായിട്ടും ഇതുപോലുള്ള ഉപകാര പ്രദമായ പോസ്റ്റുകള്‍ തയ്യാറാക്കുന്ന ജോണ് സാറിന് നന്ദി .ത്രികോണമിതി എന്ന ഭാഗത്തില്‍ കുട്ടികള്ക് ചെയ്യാന്‍ പറ്റിയ ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം തന്നെ .ബ്ലോഗിലേക് ഗണിതം തിരിച്ചു വന്നതില്‍ വളരെ സന്തോഷം

    isohunt, utorrent

  18. ഇതൊന്നു നോക്കിയാലും
    ഇവിടെ

  19. joseph says:

    dear john sir,
    I am not a teacher or not student merely a parent but eagerly watching this site.
    I have installed UBUNTU 10.04 but this version does not contain IT@school package .where I can download Ubuntu It@ school distribution .When world is encouraging every body to use their distributions why this is restricted to limited hands .I don't think it is a positive attitude . I am posting this to u because You are entirely different.
    thank u
    joseph

    pxjoseph2011@gmail.com

  20. പ്രിയ ജോസഫ് സാര്‍
    ഐ.ടി സ്കൂള്‍ കസ്റ്റമൈസ് ചെയ്ത ഉബുണ്ടു 10.04 കിട്ടാനുള്ള താങ്കളുടെ ആവേശത്തെ അഭിനന്ദിക്കുന്നു. താങ്കളുടെ തൊട്ടടുത്തുള്ള ഹൈസ്കൂളിലെ കമ്പ്യൂട്ടര്‍ ചാര്‍ജുള്ള അധ്യാപകനെ സമീപിച്ചാല്‍ താങ്കള്‍ക്കതിന്റെ സി.ഡി ലഭിക്കുന്നതാണ്.

  21. പോസ്റ്റിനോട് ബന്ധമില്ലാത്തതാണെങ്കിലും ഒരു കാര്യം അറിയിക്കാന്‍ കമന്റ്‌ബോക്സ് ഉപയോഗിക്കുന്നു:

    ചെന്നൈയിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇന്‍സ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടില്‍ (The Institute of Mathematical Sciences) “ഇന്‍ഡ്യന്‍ സ്ത്രീകളും ഗണിതശാസ്ത്രവും” (Indian Women and Mathematics) എന്ന പേരില്‍ ഒരു ശില്‍പ്പശാല 2012 ജനുവരി 8,9,10 തീയതികളിലായി നടക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രം ജീവനവൃത്തിയായി സ്വീകരിക്കാന്‍ വനിതകളെ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുകയും സഹായിക്കുകയും ചെയ്യാനുള്ള ഒരു വേദിയാണ് ഇത്. ഈ രംഗത്ത് വ്യക്തിമുദ്ര പതിപ്പിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞകളുടെ പ്രഭാഷണങ്ങളിലും ചര്‍ച്ചകളിലും പങ്കെടുക്കാനും, അവരുമായി ഒറ്റയ്ക്കും കൂട്ടായും ഇടപെടാനുമുള്ള ഒട്ടനേകം അവസരങ്ങള്‍ പുതിയ തലമുറയിലെ വനിതകള്‍ക്ക് ഇവിടെ ലഭിക്കും. വിദ്യാഭ്യാസ, വ്യവസായ, ബിസിനസ് രംഗങ്ങളിലെ വൈവിധ്യമാര്‍ന്ന തൊഴിലവസരങ്ങളെ ബിരുദ,ബിരുദാനന്തര,ഗവേഷണ വിദ്യാര്‍ത്ഥിനികള്‍ക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തുക എന്നത് ഈ ശില്‍പ്പശാലയുടെ ഒരു പ്രധാന ലക്ഷ്യമാണ്. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ക്ക് ശില്‍പ്പശാലയുടെ വെബ്പേജ് കാണുക.

    നിങ്ങളുടെ പരിചയത്തില്‍‍പ്പെട്ട ഗണിതത്തില്‍ താത്പര്യമുള്ള വനിതകളെ ഇക്കാര്യം അറിയിക്കാന്‍ ശ്രമിക്കുമല്ലോ?

    — ഫിലിപ്പ്

  22. Praveen says:

    This comment has been removed by the author.

  23. vijayan says:

    വൃത്തവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരുചോദ്യം
    ABCD ചക്രീയ ചതുര്‍ഭുജം. DA,CB എന്നീ‌‍ ഞാണുകള്‍ വൃത്തത്തിന് വെളിയില്‍ 'P' എന്ന ബിന്ദുവിലും AB,DC എന്നീ‌‍ ഞാണുകള്‍ വൃത്തത്തിന് വെളിയില്‍ 'Q' എന്ന ബിന്ദുവിലും ഖണ്ഡിക്കുന്നു. < വിന്‍ സമഭാജിQR,< യുടെ സമഭാജിPR. <=90 ഡിഗ്രി എന്ന് തെളിയിക്കുക?
    ( R , വൃത്ത കേന്ദ്രമാവാന്‍ വല്ല സാധ്യതയുമുണ്ടോ?)

  24. JOHN P A says:

    This comment has been removed by the author.

  25. Dear John sir
    89ആം പേജില്‍ ഒന്നാമത്തെ കുത്തു ചോദ്യമാണെങ്കില്‍ കോണ്‍ 50 ഡിഗ്രിയാണ്, 90 അല്ല. ഉത്തരം 2.
    എന്നാല്‍ വളരെ പ്രചാരത്തിലുള്ള ഒരു വിദ്യാഭ്യാസ മാസികയിലെ ഉത്തരം ഒന്നെന്നാണ്.

  26. @ Vijayan sir
    R വൃത്തകേന്ദ്രമാകണമെന്നില്ല. ജിയോജിബ്രയില്‍ വരച്ചു നോക്കി. പക്ഷെ ഉത്തരം കിട്ടിയില്ല.

  27. chera says:

    @ vijayan sir
    Let the interior angles at A,B,C,D is represented by a,b,c,d
    The angle at P by p and Angle at Q by q
    From triangle ABP
    p=180-(a+b)
    p/2= 90-(a/2+b/2)
    similarly
    q=180-(a+d)
    q/2=90-(a/2+d/2)
    Let the point of intersection of angle bisector at P and side DC is M
    The exterior angle at D=b
    from triangle DPM
    angle at M=180-(b+p/2)
    = 180-(b+(90-(a/2+b/2)
    =90-b/2+a/2
    the inner angle at M will be the same
    From triangle MRQ
    Angle at R=180-(angle at M+q/2)
    =180-(90-b/2+a/2+90-(a/2+d/2)
    =180-(180-(b/2+d/2)
    =b/2+d/2
    =90 (ABCD is cyclic b+d=180)
    If the bysector of the angle passes through the centre then part of the bisector will be the diametre. and hence it must bisects perpendicularly the sides resulting the quadrilateral to be a rectangle in which case there will not be a angle bysector since the extensions of chords will be parrallel

  28. @Vijayan Sir
    Assume that CD is farther than AB.Produce PR to meet DC at E.Let PR meet AB at F
    Consider trls APF $ PCE.
    Angle APF =Angle CPE
    Angle FAP =Angle PCE ( Property of cyclic quadrilateral)
    So the third angles of the above trls are equal.
    That is Angle AFP = Angle CEF
    But Angle AFP=Angle EFQ
    That is Angle CEF =Angle EFQ
    Base angles being equal trl QEF is isosceles.
    Bisector QR of Angle Q meets the base EF of the isosceles trl QEF perpendicularly at R

  29. JOHN P A says:

    പത്താംക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ ത്രികോണമിതിയില്‍ ഒരു ചോദ്യം .
    ഒരു കോണ്‍ 50 യും ഒരു വികര്‍ണ്ണം 5 യൂണിറ്റുമായ എത്ര സമഭുജസാമാന്തരീകം വരക്കാം.
    പ്രതീഷിക്കുന്ന ഉത്തരം 2 എന്നാണെന്ന് തോന്നി. കോണ്‍ രൂപീകരിക്കുന്ന ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള വികര്‍ണ്ണ 5 , മറ്റേ ശിര്‍ഷത്തിലൂടെയുള്ളത് 5
    എന്റെ ഉത്തരം അനേകം എന്നാണ് .
    OABC ഒരു സമബഭുജസാമാന്തരീകം . OC വികര്‍ണ്ണം. Oകേന്ദ്രമായി OC ആരമായി വൃത്തം വരക്കുന്നു. C ഈ വൃത്തത്തിലെവിടെയായാലും വ്യവസ്ഥ ശരിയാകും . കിട്ടുന്നതെല്ലാം സര്‍വ്വസമരൂപങ്ങള്‍ ആകരുതെന്ന് പറഞ്‍ിട്ടില്ലല്ലോ.

  30. JOHN P A says:

    വിജയകുമാര്‍ സാര്‍
    50 എന്നാക്കിയിട്ടുണ്ട്

  31. Krishnan says:

    vijayan “വൃത്തവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ചോദ്യം …”

    ഉത്തരം ഒരു presentation ആയി ഇവിടെ
    കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്.

    സമഭാജികള്‍ നീട്ടി ചക്രീയചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളെ ഖണ്ഡിച്ച് ആ ബിന്ദുക്കള്‍ യോജിപ്പിച്ചാല്‍ സമഭുജസാമാന്തരികം കിട്ടും എന്നതാണ് ഭംഗിയുള്ള ഒരു അനന്തരഫലം.

  32. vijayan says:

    @ krishnan sir,vijayakumar,chera
    നന്ദി

  33. 3d animation software koody upload cheythal kollam?

  34. vijayan says:

    ഒരു വികര്‍ണ്ണത്തിന്റെ നീളം 6 cm അത് ഒരു വശവുമായി 30 ഡിഗ്രി കോണ്‍ ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഇത്തരത്തില്‍ എത്ര സാമാന്തരികങ്ങള്‍ വരയ്ക്കാം ? മറുപടി ആരെങ്കിലും തരണേ.

  35. This comment has been removed by the author.

  36. @വിജയന്‍ സര്‍ ,
    [im]http://3.bp.blogspot.com/-o45Wnu0ZOWM/TpciFVkcfJI/AAAAAAAAABU/qZH9MzwfqZY/s400/samantharikam.png[/im]
    ചിത്രത്തിലെ y യ്ക്ക് 0 നും 150 നും ഇടയ്ക്കുള്ള വിലകള്‍ കൊടുക്കുമ്പോള്‍ വ്യത്യസ്ത്തങ്ങളായ അനേകം സാമാന്തരികങ്ങള്‍ ലഭിയ്ക്കുമല്ലോ
    അതായത് അനേകം സാമാന്തരികങ്ങള്‍ വരയ്ക്കാം .

  37. JOHN P A says:

    വിജയന്‍സാറെ,
    12 cm വ്യാസമുള്ള O കേന്ദ്രമായ വൃത്തം വരക്കാമല്ലോ. കോണ്‍ POB = 30 ആകത്തക്കവിധം വൃത്തത്തില്‍ P അടയാളപ്പെടുത്തുക. P യിലൂടെ വ്യാസത്തിന് സമാന്ടരമായി വരക്കുക. സമാന്തര വരകളെ മുറിക്കുന്നവിധത്തില്‍ P യീലൂടെ അനേകം വരകള്‍ ഉണ്ടാകം. ഈ വരകള്‍ക്കൊക്കെ സമാന്തരമായി കേന്ദ്രത്തീലൂടെ സമാന്തരവരകളെ മുറിക്കത്തക്കവണ്ണം വരകളിടാം ഇങ്ങനെ അനേകം സാമാന്തരീകങ്ങളുണ്ടാകും . മാറ്റത്തലും മാറാതെ നില്‍ക്കുന്ന വികര്‍ണ്ണവും കോണും കണ്ടല്ലോ?

  38. vijayan says:

    വളരെ നന്ദി സര്‍…

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s