ത്രികോണമിതി : ചോദ്യപേപ്പറും ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനവും

ത്രികോണമിതിയില്‍ നിന്നും ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനം ഇന്ന് പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നു. ഒപ്പം ഘനരൂപങ്ങളില്‍ സമചതുരസ്തൂപിക വരെയുള്ള ഭാഗത്തുനിന്നും ഒരു പരിശീലന പേപ്പറും . ഓണപ്പരീക്ഷയക്കായി തയ്യാറെടുക്കുന്നവര്‍ക്ക് പ്രയോജനകരമായിരിക്കും ഇവ എന്നു കരുതുന്നു. സമാന്തരശ്രേണിമുതല്‍ ഉള്ള പാഠഭാഗങ്ങളില്‍ നിന്നും ചോദ്യങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തിട്ടുണ്ട് . ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിച്ച് ജ്യാമിതീയരീതിയില്‍ Pi യുടെ വില കണ്ടെത്തുന്നതാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റിന്റെ ആദ്യഭാഗം . ഇത് ഒരു പ്രാക്ടിക്കലായാണ് ചെയ്യേണ്ടത്



പ്രാക്ടിക്കലിന്റെ ലക്ഷ്യം

മട്ടത്രികോണങ്ങളില്‍ കോണുകളുടെ ത്രികോണമിതി വിലകള്‍ ഉപയോഗിച്ച് Pi വിലകണ്ടെത്തുന്നതിന് .

ഉപകരണങ്ങള്‍

ഡ്രോയിഗ് ഷീറ്റ് , ഇന്‍സ്ട്രുമെന്റ് ബോക്സ് , ഗ്രാഫ് ഷീറ്റ് ,കാല്‍ക്കുലേറ്റര്‍

പ്രവര്‍ത്തന മാതൃക

ത്രികോണം ABD വരക്കുക . കോണ്‍ A = 90 ഡിഗ്രി , കോണ്‍ B = 60 ഡിഗ്രി , കോണ്‍ D= 30ഡിഗ്രി

Aയില്‍ ,കോണ്‍ DAC= 30 ഡിഗ്രി ആകത്തക്കവിധം വരക്കുക . AD എന്ന വശത്തെ ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്നപോലെ Fലേയ്ക്ക് നീട്ടുക

DE = BD ആകത്തക്കവിധം AF എന്ന വരയില്‍ E അടയാളപ്പെടുത്തുക. എന്നിട്ട് BE വരച്ച് ത്രികോണം ABE പൂര്‍ത്തിയാക്കുക

BE = EF ആകത്തക്കവിധമാണ് F അടയാളപ്പെടുത്തേണ്ടത് . BF വരച്ച് നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കുക



AB ഒരു യൂണിറ്റായി കണക്കാക്ക് നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കിയാല്‍ AFന്റെ നീളം ഏകദേശം 7.59 എന്നു കിട്ടും.

‌\begin{equation}

\tan \angle AFB = \frac{1}{7.53}

\end{equation}

ഇനി റേഡിയന്‍ കോണളവിനെക്കുറിച്ച് പറയാം. പാഠപുസ്തകത്തില്‍ 77 മത്തെ പേജില്‍ സൈഡ് ബോക്സായി റേഡിയന്‍ അളവിനെക്കുറിച്ച് പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട് .അത് ചുരുക്കി എഴുതാം

ആരം 1 ആയ വൃത്തത്തിലെ 1 നീളമുള്ള ചാപം കേന്ദ്രത്തില്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണ്‍ ആണ് 1 റേഡിയന്‍ . ആരം 1 ആയ വൃത്തത്തിലെ 2 നീളമുള്ള ചാപം കേന്ദ്രത്തില്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണ്‍ ആണ് 2 റേഡിയന്‍ . അപ്പോള്‍ r ആരമുള്ള വൃത്തത്തില്‍ r ആരമുള്ള ചാപം ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണ്‍ 1 റേഡിയന്‍ തന്നെയാണല്ലോ . കോണിനെ ചാപനീളത്തിന്റെയും വൃത്ത ആരത്തിന്റെയും അനുപാതസംഖ്യയായി കാണുന്നത് ഇപ്രകാരമാണ് . അനുപാതമായി കാണുമ്പോള്‍ കിട്ടുന്നത് റേഡിയനിലുള്ള കോണ്‍ ആണെന്നു മാത്രം . എങ്കില്‍ വൃത്തത്തിലെ ആകെ കോണ്‍ എത്രയാണ് ?അത് $2\pi r$നീളമുള്ള ചാപം r ആരമുള്ള വൃത്തത്തിലെ കേന്ദ്രത്തില്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണ്‍ ആകുമല്ലോ. വൃത്തത്തിലെ കോണ്‍ = $\frac{2 \pi r}{r}$. അതായത് വൃത്തത്തിലെ കോണ്‍ $2 \pi$റേഡിയന്‍ .

റേഡിയന്‍ അളവിനെ circular measure എന്നും വിളിക്കുന്നു. c അതിനെ സൂചിപ്പിര്രുന്നു.

കോണ്‍ AFB = $7.5^\circ$ആണല്ലോ.

ഈ കോണ്‍ വളരെ ചെറുതായതിനാല്‍ അതിന്റെ sin അളവും tan അളവും ആ കോണളവിനോട് ഏകദേശം തുല്യമായിരിക്കും .

കൂടാതെ $‌2 \pi^c= 360^\circ$ആയതിനാല്‍ $7.5^\circ=\frac{\pi}{24}^c$ആകും

‌$\frac{1}{1.79} = \frac{\pi}{24}$

$\pi = 3.162 $

ചോദ്യപേപ്പറിനായി ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക 

കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ തയ്യാറാക്കിയ പുതിയ ചോദ്യങ്ങള്‍

ത്രിശൂര്‍ ജില്ലയിലെ ഗണിതാധ്യാപകനായ മധുസാര്‍ എഴുതുന്നു….

radian measure പഠിപ്പിക്കാന്‍ ആദ്യ ക്ലാസ്സുകളില്‍ ചില പ്രായോഗിക പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ നല്‍കിയിരുന്നു.

പിന്നെ ആണ് geogebra യുടെ സഹായത്താല്‍ ഇങ്ങനെ ഒന്ന് ട്രൈ ചെയ്തത് .

വൃത്തത്തിന്റെ ആരം കൂടുമ്പോഴും ആരത്തിന്റെ അതെ നീളമുള്ള ചാപം വൃത്ത കേന്ദ്രത്തില്‍ നിര്‍മിക്കുന്ന കോണ്‍ അളവ് മാറുന്നില്ല എന്ന് കാണാവുന്നതാണ് .

മധുസാര്‍ തയ്യാറാക്കിയ ജിയോജിബ്രയിലെ പ്രവര്‍ത്തം കാണുക

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in തുടര്‍മൂല്യനിര്‍ണ്ണയം, Maths Exams, Maths X. Bookmark the permalink.

70 Responses to ത്രികോണമിതി : ചോദ്യപേപ്പറും ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനവും

  1. ആരം 1 ആയ വൃത്തത്തിലെ 1 നീളമുള്ള ഞാണ്‍ കേന്ദ്രത്തില്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണ്‍ ആണ് 1 റേഡിയന്‍ . ആരം 1 ആയ വൃത്തത്തിലെ 2 നീളമുള്ള ഞാണ്‍ കേന്ദ്രത്തില്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണ്‍ ആണ് 2 റേഡിയന്‍ . അപ്പോള്‍ r ആരമുള്ള വൃത്തത്തില്‍ r ആരമുള്ള ഞാണ്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണ്‍ 1 റേഡിയന്‍ തന്നെയാണല്ലോ
    അങ്ങനെയാണോ
    ചാപം ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണ്‍ അല്ലേ, ഞാണ്‍ ആണോ
    r ആരമുള്ള വൃത്തത്തില്‍ r ആരമുള്ള ഞാണ്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണ്‍ 60 degree or pi/3 radian അല്ലേ

  2. JOHN P A says:

    തിരുത്തിയിട്ടുണ്ട് . ചാപം എന്നാക്കണം . ഞാണ്‍ എന്നത് മാറ്റണം നന്ദി മുരളി സാര്‍

  3. padmaraj.c.k says:

    for english medium students , it may feel difficult to follow the questions …..sir, what can we do for them?

  4. ജോണ്‍ സാര്‍ ടെക്കില്‍ ഏറെ മുന്നോട്ടു പോയെന്ന് ഇതോടൊപ്പമുള്ള ചോദ്യപേപ്പര്‍ കാണുമ്പോള്‍ മനസ്സിലാകുന്നു. (ഗുരു കൃഷ്ണന്‍ സാറാണേയ്) ചോദ്യപേപ്പറിനൊപ്പം ചോദ്യങ്ങളും നിലവാരം പുലര്‍ത്തുന്നു

  5. “for english medium students , it may feel difficult to follow the questions …..sir, what can we do for them?”
    Translate if you can, Mr. Dharmaraj Sir, let's include the english version too..!

  6. പത്മരാജ് സാര്‍ ആ ധര്‍മം നിര്‍വഹിക്കുമ്പേഴാണോ 'ധര്‍മരാജ് 'ആയി മാറുന്നത്!

  7. @ john sir
    സാറിന്റെ 14,16, എന്നീ ചോദ്യങ്ങള്‍ ആശയക്കുഴപ്പം ഉണ്ടാക്കുന്നു .
    4 മത്തെ ചോദ്യത്തില്‍ ,
    സാധാരണ രീതിയില്‍ പുഴയുടെ വീതിയും പാലത്തിന്റെ നീളവും തുല്യമായിരിക്കില്ലേ ?

  8. @ john sir
    സാര്‍ ഉദ്ദേശിച്ചത് പാലം കര്‍ണമായി എടുക്കാനാണോ ? അപ്പോള്‍ പുഴയുടെ വീതി
    240*sin30=120m
    എന്നാണോ?

  9. Dear John Sir, തിരക്കുപിടിച്ച ജീവിതത്തിനിടയില്‍ ഇത്രയേറെ സമയം മാത്സ് ബ്ളോഗിനുവേണ്ടി ചിലവഴിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന താങ്കളേപ്പോലുള്ളവരെ എത്ര അഭിനന്ദിച്ചാലും അത് അധികമാകുകയില്ല.
    ചോദ്യപേപ്പര്‍ നോക്കി. കൊള്ളാം.
    Qn 17 ഓര്‍മ്മ പുതുക്കാന്‍ കൊടുത്തതാണോ?
    Qn 18 ല്‍ കീഴ്ക്കോണിന്റെ സ്ഥാനത്ത് മേല്‍ക്കോണ്‍ എന്നാണോ വരേണ്ടത് ? 2 കോണിന്റെ ആവശ്യമുണ്ടായിരുന്നോ?

  10. JOHN P A says:

    അര്‍ജുന്‍ സാര്‍
    പുഴയുടെ ഒഴുക്കിന്റെ ദിശയുമായി $‌30^\circ$കോണ്‍ ഉണ്ടാക്കുന്നു എന്ന് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത് 30 ,60 90 മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പ്രത്യേകത ഉപയോഗിക്കാനാണ് .
    എന്റെ സ്ക്രളിന്റെ മുന്നിലാണ് നാഷണല്‍ ഹൈവേയിലെ വരാപ്പുഴ പാലം. അത് ഏതാണ്ട് ഇതുപോലെയാണ്.

  11. JOHN P A says:

    വിജയകുമാര്‍ സാര്‍
    ആവര്‍ത്തിച്ചുവന്നതാണ്. പെട്ടന്ന് ഓര്‍മ്മവന്നില്ല.

  12. Arunbabu says:

    onam exam time table is not clear. class onnum manassilavunnilla

  13. @john sir
    Answer for First 10 Questions
    Q(1)
    Common differences are equal
    tenth term of first sequence =3+9 * Common Difference…………….(1)
    tenth term of the second sequence=5+ 9 * Common Difference…. (2)
    Difference between 10th term of both sequence=(2)-(1)=2

    Q(2)
    Triangle APC Similar to Triangle DPB
    AP/DP=CP/PB
    8/2=CP/PB
    CP=12
    CD=12-2=10

    Q(3)
    x+Root(x)=6
    put Root(x)=y
    (y^2+y+(1/4))=6+1/4
    (y+1/2)^2=25/4
    y+1/2=+5/2 or -5/2
    y=2 or -3
    Root(x) =2 ie, x=4
    Root(x) =-3 ie, x=9
    OR
    X+root(x)=6
    x-6=-root(x)
    (x-6)^2=x
    X^2-13x+36=0
    Solving we get x=9 or x=4

    Q(5)
    Sum of n terms=2(n^2)+4n
    First term=2+4=6
    Sum of first two terms=8+8=16
    Therefore
    Second term=Sum of first two terms-First term
    =16-6=10
    First term=6
    Common difference=4
    Nth term of the sequence=6+(n-1)4=4n+2
    4n+2=246
    N=(246-2)/4=61
    246 is the 61th term

    Q(6)
    AB=AP therefore < =<
    AP||CD, BC||AD
    Therefore < =<
    < +<=180
    Let < =x=<
    < =180-2x
    < =180-2x+x=180-x
    In Quadrilateral ADCB
    < =180-x, <=x
    < +<=180
    < +<=x+180-x=180
    Therefore ADCB is a cyclic quadrilateral

    Q(7)
    (2x+10)^2+(2x)^2=50^2
    4x^2+40x+100+4x^2=2500
    8x^2+40x=2400
    X^2+5x=300
    X^2+5x+6.25=306.25
    (x+2.5)^2=306.25
    X+2.5=+ 17.5 or x+2.5= – 17.5
    X=15 or x=-20
    Speed=15km/hr

    Q(8)
    5tanA=6
    tanA=6/5 [Draw a Right triangle with base 5 and height 6]
    sinA=6/root61
    (8sinA+3)/(8sinA-3)=(8tanA+3secA)/(8tanA-3secA) [sec A=ROOT(61/5)]
    =(48/5 + 3secA)/(48/5-3secA)
    =(48+3root(61))/48-3root(61))
    =(16+root61)/(16-root61)
    Or
    (8sinA+3)/(8sinA-3)=[(8*6/root61)+3] / [(8*6/root61)-3]
    =(48+3root(61))/48-3root(61))
    =(16+root61)/(16-root61)

    Q9
    Sum of 8 edges (Given that all edges are equal)=96 cm
    Base edge =96/8=12 cm =lateral edge
    Required paper to cover this square pyramid= (root(3)*a^2)+a^2=144(root3+1)=393.408

    Q10
    First term=a
    Common difference=d
    (15/2)[2a+14d]=495
    a+7d=33…….eqn(1)
    (25/2)[2a+24d]=1325
    a+12d=53…eqn(2)
    Solving eqn(1) and eqn(2) we get a=5 ,d=4
    Sum of first n terms=5+(n-1)4=4n+1
    Answer of the or question
    (5^2) (5^4) (5^6) (5^8)………. (5^2n)=(.04) ^-28
    .04=4/100=1/25=(5^-2)
    (5^2) (5^4) (5^6) (5^8)………. (5^2n)= (5^-2) ^-28
    (5^2) (5^4) (5^6) (5^8)………. (5^2n)= (5)^56
    5^(2+4+6+…..+2n)=5^(56)
    2+4+6+..+2n=56
    1+2+3+…+n=28
    n(n+1)/2=28
    n(n+1)=56
    n=7

  14. Krishnan says:

    “ആരം 1 ആയ വൃത്തത്തിലെ 1 നീളമുള്ള ചാപം കേന്ദ്രത്തില്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണ്‍ ആണ് 1 റേഡിയന്‍”

    ആരം 1 ആയ വൃത്തത്തിലെ 1 നീളമുള്ള ചാപം കേന്ദ്രത്തില്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണിന്റെ അളവിനെ 1 റേഡിയന്‍ എന്നു പറയുന്നു എന്നാക്കിയാല്‍ കുറേക്കൂടി ശരിയാകും. ഇങ്ങിനെ പറഞ്ഞാലും, കോണളവ് എന്നാല്‍ എന്തിനെയാണ്‌ അളക്കുന്നത് എന്ന സംശയം നിലനില്‍ക്കും.

    കോണുകള്‍ അളക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് പാഠപുസ്തകത്തിലെ 74–76 പേജുകളില്‍ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടെങ്കിലും, അല്പംകൂടി വിശദീകരണം ആവശ്യമാണെന്നു തോന്നുന്നു. ഒരു ഗ്രഹത്തിന്റെയോ, നക്ഷത്രത്തിന്റെയോ സ്ഥാനം എത്ര മാറിയെന്നറിയാന്‍ അകലം ഉപയോഗിക്കുക എളുപ്പമല്ലല്ലോ. എന്നാല്‍ ഭൂമിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി വൃത്തത്തിന്റെ എത്ര ഭാഗം തിരിഞ്ഞു എന്നറിയാന്‍ വിഷമമില്ല. നോക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഉപകരണം ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ എത്ര ഭാഗം തിരിച്ചുവോ, അത്രയും ഭാഗം തന്നെയാണ്‌, നോക്കിയ വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാനവും തിരിഞ്ഞത്. (പാഠപുസ്തകത്തില്‍, പേജ് 75ലെ ഡിഗ്രി അളവ് എന്ന ഭാഗം നോക്കുക.) ഇതാണ്‌ ആദ്യകാലത്തെ വാനശാസ്ത്രകരന്മാരുടെ കോണളവ്. അതായത്, വൃത്തത്തിന്റെ $\frac{1}{8}$ ഭാഗം
    $\frac{1}{6}$ ഭാഗം എന്നിങ്ങിനെയാണ്‌ കോണളവ് പറഞ്ഞിരുന്നത്. ഇതിനെ $360$ കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ഡിഗ്രി അളവായി; $2\pi$ കൊണ്ടു
    ഗുണിച്ചാല്‍ റേഡിയന്‍ അളവും. $360$ കൊണ്ടു ഗുണിക്കാന്‍, പഴയ ബാബിലോണിയക്കാര്‍ക്ക് അവരുടേതായ കാരണങ്ങളുണ്ടായിരുന്നു; $2\pi$ കൊണ്ടു ഗുണിക്കാന്‍, പുതിയ ഗണിതകാരന്മാര്‍ക്ക് മറ്റു ചില കാരണങ്ങളും.

    മറ്റൊരു രീതിയില്‍പ്പറഞ്ഞാല്‍, ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കള്‍ക്കിടയില്‍ വൃത്തത്തിലൂടെയുള്ള അകലം, ആരത്തിന്റെ എത്ര മടങ്ങാണെന്നു കാണിക്കുന്ന സംഖ്യയെയാണ്‌, ഈ രണ്ടു ബിന്ദുക്കള്‍ കേന്ദ്രവുമായി യോജിപ്പിക്കുന്ന വരകള്‍ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ റേഡിയന്‍ അളവ് എന്നു പറയുന്നത്.

  15. fasal says:

    അരുണ്‍ബാബു,
    ഓണപ്പരീക്ഷ ടൈംടേബിള്‍ ക്ളിയറായിട്ടില്ലെന്നത് ശരിയാണ്. പക്ഷെ, എട്ടാം ക്ലാസിലെ സയന്‍സ് നോക്കിയാല്‍ത്തന്നെ, ഏതു വരിയാണ് 8,9,10 നുള്ളതെന്ന് മനസ്സിലാവുമല്ലോ.

    ഏറ്റവും ആദ്യം എട്ടാം ക്ലാസ്, പിന്നെ ഒന്‍പതാം ക്ലാസ് ഒടുവില്‍ എട്ടാം ക്ലാസ്.

    ആദ്യ പേജിലുള്ളത് മുസ്ലീം സ്ക്കൂളുകള്‍ക്കുള്ള സെപ്റ്റംബറിലെ ടൈംടേബിള്‍. രണ്ടാം പേജിലുള്ളത് മറ്റ് സ്ക്കൂളുകള്‍ക്ക് ആഗസ്റ്റില്‍ നടക്കുന്ന പരീക്ഷയുടേത്.

  16. Krishnan says:

    “ഈ കോണ്‍ വളരെ ചെറുതായതിനാല്‍ അതിന്റെ sin അളവും cos അളവും ആ കോണളവിനോട് ഏകദേശം തുല്യമായിരിക്കും”.

    ഇതു ശരിയല്ലല്ലോ. കോണ്‍ ചെറുതാകുംതോറും, അതിന്റെ sin മാത്രമേ അതിനോട്‌ അടുക്കുകയുള്ളു; അതിന്റെ cos ആകട്ടെ, 1 എന്ന സംഖ്യയോടാണ്‌ അടുക്കുന്നത്.

  17. JOHN P A says:

    കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍
    ഒരു ചെറിയ പിശകാണ്
    Cos എന്നല്ല tan എന്നാക്കണം
    തിരുത്താം

  18. mons says:

    exam time table is not clear

  19. mons says:

    time table not clear

  20. “ഏറ്റവും ആദ്യം എട്ടാം ക്ലാസ്, പിന്നെ ഒന്‍പതാം ക്ലാസ് ഒടുവില്‍ എട്ടാം ക്ലാസ്.”
    ഇതെന്താ ഫസല്‍മാഷേ, ആദ്യവും അവസാനവും എട്ടാംക്ലാസുതന്നെയോ..?
    ഒടുവില്‍ പത്തായിരിക്കും, അല്ലേ..?

  21. നനഞഞ്ഞ ബ്രഡില്‍ പിറ്റേഏ ദിവസം പൂപ്പല് വരുന്നതിന്റെ കാരണംം എന്തതാണ് സാര്‍്?

  22. Mold enjoys damp climates. If the bread is wet, the mold can feed off of it.

  23. Like all living things, molds (or fungi) need certain things in order to grow.
    Among these are food, water, and proper temperature. Molds get their food by
    extracellular (outside the body) digestion, which is another interesting story
    which we won't go into today.

    Just like humans, molds are mostly water. Water is used in some processes, but
    all of the biochemical reactions necessary for life must take place in a watery
    solution (the cytoplasm) of the cell. (More on these reactions later.) The
    water environment of the cell allows all of the components to move and mix
    properly. It also prevents the mold from drying out, since water is critical
    for normal survival.

  24. sreejith says:

    പോസ്റ്റ് ചിത്രത്തില്‍ ACയുടെആവശ്യം ഇല്ല എന്നും തോന്നുന്നു

  25. This comment has been removed by the author.

  26. @JOHN sir
    Q(11) .
    < A=2x
    < =2y
    < =180-2(x+y)
    DE, CF ഇവ സംഗമിയ്ക്കുന്ന പോയിന്റ്‌ G എന്നിരിക്കട്ടെ
    EF,AD ഇവ സംഗമിയ്ക്കുന്ന പോയിന്റ്‌ H എന്നിരിക്കട്ടെ
    DF,BE ഇവ സംഗമിയ്ക്കുന്ന പോയിന്റ്‌ K എന്നിരിക്കട്ടെ
    O അന്തര്‍ വൃത്ത കേന്ദ്രമായാല്‍ < =180-2y
    < =90-y
    < =y
    അതുപോലെ < =90-(x+y)
    അതുകൊണ്ട് < =< +< =90-x=90-(അതുപോലെ
    < =90-x
    < =x
    അതുപോലെ < =90-(x+y)
    അതുകൊണ്ട് < =< +< =x+90-(x+y)=90-y=90-(അതുപോലെ< =90-(

  27. @john sir
    Q(12)
    Given that
    a,b, and c are positive
    Therefore
    b^2 > (b^2-4ac)
    b>ROOT(b^2-4ac)
    -b< -ROOT(b^2-4ac)
    $-b+ROOT(b^2-4ac) <0$
    Similarly
    -b< (b^2-4ac)
    $-b-ROOT(b^2-4ac) <0$
    Hence
    $-b+ROOT(b^2-4ac) <0$and $-b-ROOT(b^2-4ac) <0$
    Hence if it has a solution then it must be -ve

    Answer for OR question

    If the smaller pipe is opened and other is closed
    then the time taken to fill the tank=x+10 (Say)
    In 1 minute water in the tank=1/(x+10) portion

    If the smaller pipe is closed and other is open
    then the time taken to fill the tank=x
    In 1 minute water in the tank=1/x portion

    If both are open, In 1 minute water in the tank =[1/(x+10)] + [1/x]
    Given that In 12 minutes the tank will be full
    Therefore, 12*[ [1/(x+10)] + [1/x]] =1
    12(2x+10)=x(x+10)
    x^2-14x=120
    x^2-14x+49=169
    (x-7)^2=169
    x-7= 13 or -13
    x= 20
    Therefore the time taken by the smaller pipe to fill the tank when the other is closed=x+10=30minutes

  28. JOHN P A says:

    @Arjun
    ഇപ്പോഴാണ് അര്‍ജുന്റെ പ്രോഫയില്‍ ഞാന്‍ നോക്കിയത് . അര്‍ജുന്‍ ഒരു വിദ്യാര്‍ഥിയാണെന്നറിഞ്ഞതും. സത്യത്തില്‍ എനിക്ക് അര്‍ജനിനോട് ബഹുമാനം തോന്നുന്നു. നല്ല ഭാവി ഉണ്ടാകാന്‍ പ്രാര്‍ഥിക്കുന്നു.

  29. മുസ്ളീം സ്ക്കൂളുകള്‍ക്കുവേണ്ടിയുള്ള ടൈംടേബിള്‍ ആണല്ലോ down loads ല്‍ ഉള്ളത്.

  30. സര്‍,
    രണ്ടാം പേജ് ജനറലാണ്!

  31. sorry sir !
    അശ്രദ്ധ

  32. nazeer says:

    @vijayakumar
    Ha….Ha…….
    Koooooooooooyyyyy

  33. Krishnan says:

    ത്രികോണമിതിയിലെ ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ ഇവിടെ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്

  34. Anand.s says:

    where can i download model questions of this onam examination?

  35. TATA ഡി.ടി.എച്ച്. എങ്ങിനെ സണ്‍ഡയറക്ടാക്കി മാറ്റാം?
    ഇങ്ങനെ!

  36. chera says:

    9 th Question from the Question from KRISHNAN sir , I tried to answer in this way
    mark the point of intersection of AC and BE as P
    Draw a perpendicular from PQ to AB which devides AB in the ratio 1:✓ 3(angle PAB=45, angle PBA=60 with angle at p=75)
    QB:PQ=1:✓3 and QA:PQ= 1:1 ie ✓3:✓3
    therefore if QB=x
    AB= QA+QB
    =(✓3)x+x=4
    x= 4/1+✓3 and
    height of triangle from AB=4✓ 3/(1+✓3)
    therfor Area of ABP=1/2 AB*height
    =1/2*4*4✓3/(1+✓3)
    =8✓3/(1+✓ 3)
    multiplying with conjugate and simplifying =12-4✓3
    Area of Triangle AEC= (✓3/4) *4^2
    =4✓ 3
    Area of the shaded portion= 4✓3-(12-4✓3)
    =8✓3 -12

  37. @JOHN Sir
    Q13

    [im]http://2.bp.blogspot.com/-dc6tIJ_6GZQ/TkV7xIrOntI/AAAAAAAAABE/RXPD0cEO0rk/s1600/right%2Btriangle.png” imageanchor=”1″ style=”margin-left:1em; margin-right:1em”> Reply

  38. chera says:

    Answer to Question 8 of Krishnan Sir
    ഇവിടെ

  39. @john sir

    Q(14)
    Given that
    Base Perimeter=20 *( V““`2“` ) =20*1.414=28.28
    Total length of all edges=28.28 cm

    $We cannot make such a square pyramid ?$
    $???????????????????$

  40. @ JOHN sir
    Q(15)
    Since it has 61 terms
    Sum of 61 terms=t1+t2+t3+t4+…………………..+t61
    Sum of odd terms =t1+t3+t5+t7+t9……………+t61
    [Where t1,t3,t5,….t61.denotes 31 odd terms]
    Let
    t1=a, t2=a+d, t3=a+2d……………………..
    Sum of odd terms=31a+930d=31(a+30d)
    Similarly
    Sum of even terms=t2+t4+t6+…………+t60
    = 30a+900d=30(a+30d)
    Required ratio=31:30
    Let there be odd number of terms say 2n+1 terms
    sum of odd terms : Sum of Even terms = n+1:n

  41. chera says:

    കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ ചോദ്യങ്ങളില്‍ ചോദ്യം 7 ന് ഇങ്ങനെ ഒരു വിശദീകരണമാണ് എനിക്ക് തോന്നിയത്. കുറേക്കൂടി ലളിതമായ മാര്‍ഗ്ഗം പ്രതീക്ഷിക്കുന്നുClick Here

  42. Krishnan says:

    മധുമാഷിന്റെ ജിയോജിബ്ര രീതി നന്നായിട്ടുണ്ട്.

    “വൃത്തത്തിന്റെ ആരം കൂടുമ്പോഴും ആരത്തിന്റെ അതെ നീളമുള്ള ചാപം വൃത്ത കേന്ദ്രത്തില്‍ നിര്‍മിക്കുന്ന കോണ്‍ അളവ് മാറുന്നില്ല”

    ആരത്തിന്റെ രണ്ടുമടങ്ങ് നീളമുള്ള ചാപം എടുത്താലും കോണ്‍ മാറില്ല. പൊതുവേ പറഞ്ഞാല്‍, ആരത്തിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത മടങ്ങോ, ഭാഗമോ ആയചാപം എടുക്കാം. ആരംതന്നെയായി എടുക്കുമ്പോള്‍ കിട്ടുന്ന കോണിനെ ഏകകമായെടുക്കുന്നതാണ്‌ റേഡിയന്‍ അളവ്. അതായത്, ആരത്തിന്റെ രണ്ടുമടങ്ങ് നീളമുള്ള ചാപമുണ്ടാക്കുന്ന കോണ്‍ രണ്ടു റേഡിയന്‍, ആരത്തിന്റെ മൂന്നിലൊന്നു നീളമുള്ള ചാപമുണ്ടാക്കുന്നത്, മൂന്നിലൊന്നു റേഡിയന്‍ എന്നിങ്ങിനെ.

    ആരത്തിലേയ്ക്കു പോകാതെ, വൃത്തത്തിന്റെതന്നെ മുന്നൂറ്റിഅറുപതിലൊരുഭാഗം ഏകകമായുപയോഗിക്കുന്നതാണ്‌ ഡിഗ്രി അളവ്.

  43. teenatitus says:

    ചോദ്യ പേപ്പര്‍ വളരെ നന്നായിരിക്കുന്നു .ജോണ്‍ സാറിനും കൃഷ്ണന്‍ സാറിനും അഭിനന്ദനങ്ങള്‍ .ഓണപരീഷക്ക് തയ്യാറെടുക്കുന്ന പത്താം ക്ലാസ്സ്‌ കുട്ടികള്‍ക്ക് ഉപകരപെടുന്ന പോസ്റ്റ്‌ തന്നെ നന്ദി

  44. chera says:

    @ അര്‍ജുന്‍
    Krishnan sir ന്റെ Question 8 വിശദീകരിച്ചപ്പോള്‍ cos60 ന് പകരം sin60=BN/BA എന്നെടുത്തുവോ? ഉത്തരം ഒന്നുകൂടി നോക്കുക?

  45. @chera
    തെറ്റ് ചൂണ്ടിക്കാണിച്ചതിന് നന്ദി.
    തെറ്റിങ്ങനെ തിരുത്തിവായിയ്ക്കുമല്ലോ ?
    Cos 60=BN/BA
    BA=a*ROOT(3)
    സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ വശം= AC=AB+BC
    =(ROOT(3) *a)+2a

    ത്രികോണത്തിന്റെയും സമചതുരത്തിന്റെയും വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം
    =[2 + root(3)] : root(3)

  46. This comment has been removed by the author.

  47. Arjun
    സമഷട്ഭുജത്ത്തില്‍ നിന്നും അതെ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം നിര്മിയ്ക്കുന്നത് കുറച്ചുകൂടി എളുപ്പത്തില്‍ ചെയ്യാം എന്നുതോന്നുന്നു
    C യില്‍ക്കൂടി DB യ്ക്ക് സമാന്തര വരവരയ്ക്കുക
    ED,AB ഇവ നീട്ടിവരച്ച് സമാന്തര വരയെ G,H എന്നീബിന്ദുക്കളില്‍ ഖണ്ഡിപ്പിക്കുക
    ചതുരം BDGHന് തുല്യപരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരക്കുക

  48. This comment has been removed by the author.

  49. Answer to Krishnan Sir's Qn. 6
    In triangle ABC, let angle B = 72 and angle C = 72 such that angle A = 36.
    Let BC = x unit and AB = y unit.
    Let the angle bisector of B meet AC at D.
    Then angle CBD = 36 such that angle BDC = 180 – (36+72) = 72
    Therefore triangle BDC is isosceles.
    Therefore BD = BC = x
    Again triangle ABD is isosceles ( angles being 36,36 and 108)
    So AD = BD = x
    The angle bisector of ABC bisects AC in the ratio AB:BC.
    Therefore AB/BC= AD/DC

    i.e, y/x = x/DC

    So DC = x^2/y

    Triangle ABC being isosceles AB = AC
    i.e, AB = AD + DC

    i.e, y = x + x^2/y

    y^2 = xy + x^2

    y^2 – xy – x^2 = 0

    Solving y = x ((1+sqrt5)/2)

    y : x = 1+ sqrt5 : 2

    BC ; AB : AC = 2 : 1+ sqrt{5} : 1+ sqrt{5}

    Now draw the angle bisector of A
    Let it meet BC at E such that angle AEB = 90
    Then in triangle AEB, angle A = 18

    sin 18 = 1/(sqrt{5}+1)

    August 15, 2011 7:48 AM
    Delete

  50. This comment has been removed by the author.

  51. sreejith says:

    കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റ 7(c) ചോദ്യം
    let angle BAC=x, then BAD=x/2
    AB/AC =BD/DC=cosx (1)
    tan x/2=BD/AB=DC/AC(from 1)
    =BC/AC -BD/AC
    =sinx-(BD/DC)DC/AC)
    =sinx-cosxtanx/2

    tanx/2 +cosxtanx/2 =sinx
    so tanx/2 =sinx/(1+cosx

  52. Manmohan says:

    1,2,4,7,11,16 എന്ന ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത രൂപം കണ്ടെത്താന്‍ പത്താം ക്ലാസുകാരനോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നത് ശരിയാണോ? അവനത് കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ കഴിയുമോ?

  53. @Manmohan സര്‍
    n ആം പദം= $1/2[n^{2}-n+2]$
    പത്താം ക്ലാസുകാരന് മാത്രമല്ല എട്ടാം ക്ലാസുകാരന് വരെ വളരെ എളുപ്പമായി ഏതൊരു ശ്രേണിയുടേയും n ആം പദവും n പദങ്ങളുടെ തുകയും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു പൊതുരീതി ഞാന്‍ ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ട് .എന്റെ ഗവേഷണ വിഷയം തന്നെ അതായിരുന്നു .അതില്‍ ഞാന്‍ വിജയിക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട് . ഞാനത് പ്രസിദ്ധീകരിയ്ക്കുവാനുള്ള ശ്രമങ്ങള്‍ നടത്തിക്കൊണ്ടിരിയ്ക്കുകയാണ് .

  54. Krishnan says:

    Manmohan “1,2,4,7,11,16 എന്ന ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത രൂപം കണ്ടെത്താന്‍ പത്താം ക്ലാസുകാരനോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നത് ശരിയാണോ? അവനത് കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ കഴിയുമോ?”

    അത് ചോദ്യം അവതരിപ്പിക്കുന്ന രീതിയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ ഇത് അവതരിപ്പിക്കുന്നെവെന്നു കരുതുക:

    1. ഇതിലെ അടുത്തടുത്തു വരുന്ന സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം. ഒന്നിനോട് ഒന്നു കൂട്ടി, അതിനോട് രണ്ടു കൂട്ടി, അതിനോട് മൂന്നു കൂട്ടി,…. ഇക്കാര്യം,മൂന്നാംക്ലാസുകരൻ
    പോലും തിരിച്ചറിയില്ലേ?

    2. ഈ ചോദ്യത്തിനു മുൻപുതന്നെ പൊതുവെ ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകൾ, അവയുടെ സ്ഥാനങ്ങൾ എന്നീ കാര്യങ്ങൾ ധാരാളം ഉദാഹരണങ്ങളിലൂ ടെ അവതരിപ്പിച്ചിട്ടൂണ്ടെന്നു കരുതുക. അഞ്ചാംക്ലാസിലോ ആറാംക്ലാസിലോ ഇതു സാധിക്കും. അപ്പോൾ, ഈ ചോദ്യത്തിലെ ഒരു സംഖ്യയിൽനിന്ന് അടുത്ത സംഖ്യയിലേയ്ക്കു പോകാൻ സ്ഥാനസംഖ്യയാണ് കൂട്ടേണ്ടത് എന്നു തിരിച്ചറിയാം. (ഉദാഹരണമായി, അഞ്ചാമത്തെ സംഖ്യയിൽനിന്നു ആറാമത്തെ സംഖ്യയിലേയ്ക്കു പോകാൻ അഞ്ചു കൂട്ടണം.)

    3. ഇനി ഈ ചിന്തയെ ബീജഗണിത ഭാഷയിലാക്കണം.
    ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകളെ ക്രമമായി
    $x_1,x_2,x_3,\dotsc$ എന്നു സൂചിപ്പിക്കുന്ന പൊതുവായ രീതി എട്ടാംക്ലാസിലെ കുട്ടിക്കുതന്നെ മനസിലാകുമെന്നു തോന്നുന്നു. അപ്പോൾ ചോദ്യത്തിലെ ശ്രേണിയെക്കുറിച്ചു കണ്ടെത്തിയ കാര്യം
    \begin{equation*}
    x_{n+1}=x_n+n
    \end{equation*}
    ഇതുതന്നെ ശ്രേണിയുടെ ഒരു രൂപമാണല്ലോ. (അധ്യാപകസഹായിയിൽപ്പറഞ്ഞ തുടർരൂപം.
    5. ഇനി ഇതിന്റെ നേർരൂപം തന്നെ വേണമെങ്കിലോ? പാഠപുസ്തകത്തിലെ പേജ് 25ൽ പറഞ്ഞിട്ടുള്ള “മറ്റൊരു മാർഗം” എന്ന സൂത്രം ഉപയോഗിക്കാം:
    \begin{align*}
    x_2-x_1 & = 1\\
    x_3-x_2 & = 2\\
    x_4-x_3 & = 3\\
    \dotsc\dotsc\dotsc\\
    x_n-x_{n-1} & = n-1
    \end{align*}
    എന്നെഴുതി കൂട്ടിയാൽ,
    \begin{equation*}
    x_n-x_1=1+2+3+\dotsb+(n-1)
    \end{equation*}
    എന്നും, തുടർന്ന്
    \begin{equation*}
    x_n=\tfrac{1}{2}n(n-1)+1
    \end{equation*}
    എന്നും കാണാമല്ലോ.

  55. shadiya says:

    It is so useful
    to SSLC students…

  56. shadiya says:

    It is so useful to SSLC students

  57. @ കൃഷ്ണന്‍ സര്‍

    ത്രികോണമിതി എന്നാ പാഠത്തില്‍ ഒരു ചിത്രം വരക്കുകയോ പട്ടിക നോക്കുകയോ ചെയാതെ sin1,sin2,cos1,cos2 എന്നിവയെ വലുപ്പ ക്രമത്തില്‍ എഴുതാന്‍ പറയുന്നു .

    കോണളവു പൂജ്യത്തില്‍ നിന്നും തൊണ്ണൂറിലേക്ക് വര്‍ധിക്കുംതോറും sin വില പൂജ്യത്തില്‍ നിന്നും ഒന്നിലേക്ക് വര്‍ധിക്കുന്നു എന്നും കോണളവു പൂജ്യത്തില്‍ നിന്നും തൊണ്ണൂറിലേക്ക് വര്‍ധിക്കുംതോറും cos വില ഒന്നില്‍ നിന്നും പൂജ്യത്തിലേക്ക് കുറയുന്നു എന്നും അറിയാതെ ഇത് എങ്ങിനെ ചെയ്യാന്‍ പറ്റും എന്നാല്‍ നമ്മുടെ പുസ്തകത്തില്‍ പൂജ്യം ഡിഗ്രി തൊണ്ണൂറു ഡിഗ്രി എന്നിവയുടെ ത്രികോണമിതി അംശബന്ധങ്ങള്‍ക്ക് ഒരു പ്രാധാന്യവും കൊടുത്തു കാണുന്നുമില്ല

  58. sreekuttan says:

    the hypotenuse of aright angled triangle is 3.5 meter long and another of its sides is 2.5 meters long.calculate its perimeter correct to centimeter.

  59. @ Sreekuttan sir

    By Pythagorean Theorem

    Base^2=(Hypotenuse)^2 -(Altitude)^2
    = (3.5)^2 -(2.5)^2
    = 12.25 – 6.25
    = 6 m

    Base = root 6
    = root 2 x root 3
    = 1.414 x 1.732
    = 2.45 m

    Perimeter = 3.5+ 2.5+ 2.45
    = 8.45 m
    = 845cm

    Athira , Ananya & Haritha
    Palakkad

  60. Krishnan says:

    ആതിര:

    “ത്രികോണമിതി എന്ന പാഠത്തില്‍ ഒരു ചിത്രം വരക്കുകയോ പട്ടിക നോക്കുകയോ ചെയാതെ sin1,sin2,cos1,cos2 എന്നിവയെ വലുപ്പ ക്രമത്തില്‍ എഴുതാന്‍ പറയുന്നു .കോണളവു പൂജ്യത്തില്‍ നിന്നും തൊണ്ണൂറിലേക്ക് വര്‍ധിക്കുംതോറും sin വില പൂജ്യത്തില്‍ നിന്നും ഒന്നിലേക്ക് വര്‍ധിക്കുന്നു എന്നും കോണളവു പൂജ്യത്തില്‍ നിന്നും തൊണ്ണൂറിലേക്ക് വര്‍ധിക്കുംതോറും cos വില ഒന്നില്‍ നിന്നും പൂജ്യത്തിലേക്ക് കുറയുന്നു എന്നും അറിയാതെ ഇത് എങ്ങിനെ ചെയ്യാന്‍ പറ്റും ?”

    ഒരേ വികർണമുള്ള രണ്ടു മട്ടത്രികോണങ്ങൾ; ആദ്യത്തേതിന്റെ ഒരു കോൺ $1^\circ$, രണ്ടാമത്തേതിൽ $2^\circ$.

    1. ഏതു കോണിന്റെ എതിർവശത്തിനാണ് നീളം കൂടുതൽ?
    2. സമീപവശങ്ങളായാലോ?
    3. $1^\circ$ കോണിന്റെ എതിർവശത്തിനാണോ, സമീപവശത്തിനാണോ നീളം കൂടുതൽ?

  61. Arjunnane pole ennikum entea samsayangal nalkamo?

  62. jp2 says:

    Krishnan sir ന്റെ Q10 ഒരു പിടിയും കിട്ടുന്നില്ല.

  63. jp2 says:

    This comment has been removed by the author.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s