സാധ്യതയുടെ ഗണിത കൗതുകങ്ങള്‍


സാധ്യതയുടെ ഗണിതം (Probability) പത്താംക്ലാസിലെ പുതിയ പുസ്തകത്തില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഈ പഠനമേഖല സംസ്ഥാന പാഠപുസ്തകത്തില്‍ പുതിയതാണ്. സാധ്യതാസിദ്ധാന്തത്തില്‍ ചര്‍ച്ച ചെയ്യാവുന്നതും നമ്മുടെ ക്ലാസ് മുറികളില്‍ പരീക്ഷിക്കാവുന്നതുമായ ഒരു പ്രവര്‍ത്തമാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി നേര്‍ബന്ധമുള്ള വിഷയം സജീവചര്‍ച്ചയാക്കുകയും അവധിക്കാല പരിശീലനവേദികളില്‍ ഉപയോഗിക്കുയും ചെയ്യാം. താഴെ ഒരു ചിത്രമുണ്ട്. അതില്‍ ഒരു ചാര്‍ട്ട്പേപ്പറില്‍ വരച്ചിരിക്കുന്ന കുറേ സമാന്തരരേഖകള്‍ കാണാം. സമാന്തരരേഖകള്‍ തമ്മിലുള്ള അകലം d ആണ്. L നീളമുള്ള ഒരു സൂചി സമാന്തരരേഖകള്‍ വരച്ചിരിക്കുന്ന കടലാസിലേയ്ക്ക് ഇടുന്നു. ഇതൊരു Random Experiment ആയി കാണാം. സൂചിയുടെ നീളം സമാന്തരരേഖകള്‍ തമ്മിലുള്ള അകലത്തേക്കാള്‍ കുറവായിരിക്കണം. സൂചി വരയിലൊന്നില്‍ തൊടാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കാം. ബഫോണ്‍ പ്രശ്നം എന്നപേരില്‍ സാധ്യതാസിദ്ധാന്തത്തില്‍ ഇത് പ്രസിദ്ധമാണ്. ആവര്‍ത്തിക്കപ്പെട്ട തവണകളുടെ എണ്ണം N, വരയെ സ്പര്‍ശിക്കുന്ന സാഹചര്യങ്ങളുടെ എണ്ണം n ആയാല്‍ വരയില്‍ സൂചി തൊടാനുള്ള സാധ്യത n/N ആണല്ലോ. ബഫോണ്‍ പ്രശ്നവും അതിന്റെ സൈദ്ധാന്തികമായ അപഗ്രഥനവും നടത്തുമ്പോള്‍ കിട്ടുന്ന സാധ്യത താഴെ ചിത്രത്തോടൊപ്പം കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.


ഈ പരീക്ഷണം പല പ്രാവശ്യം നടത്തി അതില്‍നിന്നും കിട്ടിയ സാധ്യത പ്രസ്തുത സമവാക്യത്തില്‍ കൊടുത്ത് പൈയുടെ വില കണ്ടെത്താന്‍ സാധിക്കും. ബഫോണ്‍ പ്രശ്നത്തോടൊപ്പം ഇത്തരമൊരു കണ്ടെത്തലുമുണ്ട് . പരീക്ഷണം 3048 തവണ നടത്തി കണ്ടെത്തിയ പൈ വില 3.1415929 ആണ്. ഇത് തികച്ചും യാദൃശ്ചികമായ ഗണിതസംഭവമാണോ? ഇതോ പ്രപഞ്ച ചേതനയില്‍ നാമറിയാതെ അലിഞ്ഞുചേര്‍ന്നിരിക്കുന്ന ഗണിത കൗതുകമാണോ?

ഇനി ഒരു സംഖ്യാപ്രശ്നം കാണാം. ഇത് സാധ്യതാഗണിതത്തില്‍ നിന്നുതന്നെയാണ്. 3, 1, 4, 0, 9, 2 എന്നീ അക്കങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍ ചില ഒഴിവുകളുണ്ട്.
ആ ഒഴിവുകളില്‍ 5,6,7,8 എന്നിവ യഥേഷ്ടം എഴുതാം.അങ്ങനെ കിട്ടുന്ന പത്തക്കസംഖ്യ 396 ന്റെ ഗുണിതമാകാന്‍ ഉള്ള സാധ്യത എത്ര?
സാധ്യതയുടെ ഗണിതത്തിന്റെ ക്ലാസിക്കല്‍ നിര്‍വചനം കൃഷ്ണന്‍സാര്‍ മലയാളത്തില്‍ എഴുതിയത് ഇവിടെ പരാമര്‍ശിക്കേണ്ടതുണ്ട് ‌. ഒരു പ്രവൃത്തിയുടെ ഫലങ്ങള്‍ പലതരത്തില്‍ സംഭവിക്കാവുന്ന സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍, ഒരു നിശ്ചിത സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത എന്നത് അതിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം, ആകെ ഉണ്ടാകുന്ന ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ എത്രഭാഗമാണ് എന്നതാണ് ആ സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത.

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in General, Maths X. Bookmark the permalink.

38 Responses to സാധ്യതയുടെ ഗണിത കൗതുകങ്ങള്‍

  1. Anitha says:

    396എന്നത് 2x2x9x11 = 4 x 9 x 11 അതായത് 396 എന്നത് 2,9,11 എന്നിവയുടെ ഗുണിതം ആണ്

    3 –1—4 – 0 — 92

    Test for divisibility by 4 :Last two digits divisible by 4
    വിട്ട ഭാഗത്ത്‌ 5,6,7,8 എന്നിവയില്‍ ഏതു സംഖ്യ ഏതു ക്രമത്തില്‍ എഴുതിയാലും ആ സംഖ്യയെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം കാരണം അവസാനത്തെ രണ്ടു അക്കങ്ങള്‍(92)4 ന്റെ ഗുണിതം ആണ്

    Test for divisibility by 9 :Sum of digits is divisible by 9
    3+1+4+0+9+2 = 19
    വിട്ട ഭാഗത്ത്‌ 5,6,7,8 എന്നിവയില്‍ ഏതു സംഖ്യ ഏതു ക്രമത്തില്‍ എഴുതിയാലും
    5+6+7+8 =26
    26+19=45
    45എന്ന സംഖ്യയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം കാരണം 45എന്ന സംഖ്യ 9 ന്റെ ഗുണിതം ആണ്

    Test for divisibility by 11
    The difference between the sum of the odd numbered digits (1st, 3rd, 5th…) and the sum of the even numbered digits (2nd, 4th…) is divisible by 11.

    Odd number digits are 3,1,4,0 and 9
    Sum of odd number digits = 3+1+4+0+9 = 17
    Even number digits are 5,6,7,8, and 2
    Sum of even number digits = 28
    Difference = 28-17=11
    11 is divisible by 11
    ഇതില്‍ നിന്നും വിട്ട ഭാഗത്ത്‌ 5,6,7,8 എന്നിവയില്‍ ഏതു സംഖ്യ ഏതു ക്രമത്തില്‍ എഴുതിയാലും ആ സംഖ്യയെ 11കൊണ്ട് ഹരിക്കാം എന്ന് കാണാം .

    അതായത് വിട്ട ഭാഗത്ത്‌ 5,6,7,8 എന്നിവയില്‍ ഏതു സംഖ്യ ഏതു ക്രമത്തില്‍ എഴുതിയാലും
    ആ സംഖ്യയെ 4,9,11 എന്നി സംഖ്യകള്‍ കൊണ്ട് ഹരിക്കാന്‍ സാധ്യമാണ് എന്ന് കാണാം.

    അതിനാല്‍ വിട്ട ഭാഗത്ത്‌ 5,6,7,8 എന്നിവയില്‍ ഏതു സംഖ്യ ഏതു ക്രമത്തില്‍ എഴുതി ഉണ്ടാക്കുന്ന പത്തു അക്കമുള്ള സംഖ്യ 396ന്റെ ഗുണിതം ആകാന്‍ ഉള്ള സാധ്യത
    ഒന്ന് ആണ് എന്ന് കാണാം

    Anitha Aravind
    Final Year BSc Chemistry
    Mercy College
    Palakkad

  2. Anitha says:

    396എന്നത് 2x2x9x11 = 4 x 9 x 11 അതായത് 396 എന്നത് 4,9,11 എന്നിവയുടെ ഗുണിതം ആണ് എന്ന് തിരുത്തി വായിക്കണം

  3. nazeer says:

    @john sir………..
    It's time to change u r photooooooooo……………………Take a new one and attach…I think u even dont have time to do that!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

  4. nazeer says:

    sir
    our maths teacher s coming to school today to collect the salary………I am going to give a print of u r post …..

  5. “sir
    our maths teacher s coming to school today to collect the salary………I am going to give a print of u r post …..”

    അരുത് സാര്‍,
    കടുംകൈയൊന്നും ചെയ്രുത്!
    പിന്നെ ആ മാത്​സ് ടീച്ചര്‍ സാലറി വാങ്ങാന്‍ കൂടി സ്കൂളില്‍ വരാതാകും!!
    ഇതുപോലെ ഉപകാരപ്രദമായ പോസ്റ്റുകള്‍ ശ്രദ്ധിക്കുന്ന എത്ര മാത്​സ് ടീച്ചര്‍മാരുണ്ടാകും? വിരലിലെണ്ണാന്‍ പറ്റും, തീര്‍ച്ച!!!

  6. vijayan says:

    A BUFFON PROBLEM IN PROBABILITY
    “A drawer contains red socks and black socks .when the two socks are drawn at random the probability that both are red is 1/2 .(a) How small can the number of socks be?
    (b) How small if the number of black socks is even?”

  7. Lalitha says:

    Good Job John Sir

  8. nazeer says:

    @ Homes
    Ha…ha……
    Sir
    Please don't include all maths teachers in the category u have mentioned in u r comment.See… the platform(maths blog) where u r writing comments…it's because of the great effort of some maths teachers.Sir with all respect i want to say….Don't comment like this…I am sensing the humor in that…no problem.
    In my school it's a lady teacher who teaches maths.We can't include her in the category u mentioned..I am sure.
    Being a physics teacher I am ashamed because we Physics teachers don't have this type of a “WONDER”…
    ” Homes” r u a teacher?
    if yes Which school?

    expecting a comment
    (I know u r going to quote my sentence from this and comment)

    Haa..ha…..
    come onnnnn….

  9. Anitha says:

    @ Vijayan Sir

    How small can the number of socks be?

    4 Socks (red 3 and black 1)

    How small if the number of black socks is even?”

    21 socks (15 red and 6 black )

  10. Anitha says:

    പ്രാധാന്യം അര്‍ഹിക്കുന്ന ഒരു പോസ്റ്റ്‌ തന്നെ ആണ് ഇത് എങ്കിലും പോസ്റ്റ്‌ പൂര്‍ണതയിലേക്ക്‌ എത്തിയില്ല .
    ഒരു പോസ്റ്റ്‌ വായിക്കുമ്പോള്‍ വായനക്കാരന് യാതൊരു വിധത്തില്‍ ഉള്ള സംശയത്തിനും ഇട നല്‍കാതെ ആയിരിക്കണം അതിലെ ആശയങ്ങള്‍ പ്രകടമാക്കേണ്ടത്.

    ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്‌ വായിക്കുന്ന ഒരു കുട്ടിക്ക് ബഫോണ്‍ പ്രശ്നം എന്നാ സാധ്യത സിദ്ധാന്തത്തെ കുറിച്ച് ഒരു വ്യക്തമായ ആശയം ഉണ്ടാക്കാന്‍ കഴിയുകയില്ല.ബഫോണ്‍ പ്രശ്നം ഉപയോഗിച്ച് പൈയുടെ മൂല്യത്തിലേക്ക് എത്തുന്ന രീതി , ഈ പ്രശ്നത്തിനെ തെളിവ് മറ്റു സാധ്യതകള്‍ എന്നിവ എല്ലാം ചേര്‍ത്ത് പോസ്റ്റ്‌ കുറച്ചു കൂടി പരിപോഷിപ്പിക്കണം ആയിരുന്നു.

  11. Anitha says:

    കേവലം ഒരു ഗണിത പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരത്തിലേക്കു നയിക്കുക എന്നതാവരുത് ലക്‌ഷ്യം.കുറച്ചു പസിലുകള്‍ക്ക് ഉത്തരം കണ്ടെത്തിയത് കൊണ്ട് മാത്രം ഒരു കുട്ടി ഗണിതത്തില്‍ മിടുക്കനോ മിടുക്കിയോ ആകണം എന്നില്ല.ഗണിത ആശയം കുട്ടിയില്‍ പതിയണം അവന്‍ തനിയെ ഈ ആശയത്തിന്റെ മറ്റു സാധ്യതകളെ കുറിച്ച് അന്വേഷിക്കണം അതിനു തക്കവണം ആകണം ഗണിത പഠനം മുന്നേറെണ്ടത്.

  12. victory says:

    thank you sir , we need more about our new maths text book.

  13. Babu says:

    Thank you John sir for this comment
    Babu.K.U

  14. Johnsir, When U read the comments
    U will get a clear picture of the importance of the work U have done..

    Oru swakaryam…..

    some r simply commenting for the sake of comment.. (including the one who writes this)

    Ignore those comments..

  15. nazeer says:

    Ha…ha….ha…………
    (This s also for increasing the no: of comments)..Haa……ha…ha….

  16. Wilson says:

    ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ ഒരിക്കലും ഉള്‍പ്പെടുത്താന്‍ പാടില്ലാത്ത ഒരു വിഭാഗമായിരുന്നു പ്രൊബബിലിറ്റി. ഗണിതത്തിന്റെ പൊതുസ്വഭാവം കൃത്യതയാണ്. പ്രൊബബിലിറ്റിക്ക് ഇല്ലാത്തതും അതാണ്.

  17. വില്‍സണ്‍ സാര്‍,

    അങ്ങനെയെങ്കില്‍ ജ്യാമിതിയെ ഗണിതത്തില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്താമോ? പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് ഇല്ലാത്ത എന്ത് കൃത്യതയാണ് ജ്യാമിതിക്ക് ഉള്ളത്?

    — ഫിലിപ്പ്

  18. AYOOBKHAN.C. says:

    Very useful for Maths teachers

  19. pkm says:

    very good
    Moideenkutty

  20. muhammad says:

    വളരെ ഉപകാരപ്രദമായിരുന്നു

  21. ഈ പോസ്റ്റ് നന്നായി.ഗണിത സാധ്യതകള്‍ അവതരിപ്പിക്കുന്ന കൂടുതല്‍ പോസ്റ്റുകള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു

  22. Anjana says:

    This comment has been removed by the author.

  23. Anjana says:

    This comment has been removed by the author.

  24. SUNIL V PAUL says:

    I sent a LINK TO IGNOU BED on yesterday,Any teacher with sufficient service(may vary from time to time) (“UNAIDED”,”AIDED” AND “GOV”) CAN DO THIS BED.
    DURATION-2 YEARS.
    WORKSHOP SESSION IS MUST(IN APRIL -12DAYS/YEAR)
    WE CAN SELECT OUR OWN SCHOOL AND OUR OWN CLASS FOR TEACHING PRACTICE.THERE IS ONLY 400 (PLEASE CONFIRM)SEATS UNDER ERNAKULAM REGIONAL OFFICE.THERE IS AN ENTRANCE TEST FOR ADMISSION.(MAY BE IN JULY OR AUGUST OR SEPTEMBER)
    FOR MORE DETAILS VISIT
    http://www.ignou.ac.in

  25. vijayan says:

    Thank for comments. I am in SRG training.

  26. nazeer says:

    100% VICTORY for Kulathupuzha TECHNICAL SCHOOLLLLLLLLLLLLLLL………………..

  27. sreevalsam says:

    സമാന്തരശ്രണിയിലെ ആദ്യഭാഗത്തിന്റെ ചെറിയവിവരണം കിട്ടിയെങ്കില്‍ നന്നായിരുന്നു.. (first chapter of Hand book And Text book).മെയ് 4 ന് ക്ലാസ്സുതുടങ്ങുകയാണ്.

  28. elsy says:

    gud job sir thanks for ur information

  29. Ramesh says:

    Sir,
    I am a new face to mathsblog. The nots given for SSLC Students here are superb. Congrats and thanks a lot.
    Jithesh.M.R,PTMHSS,Tkde.

  30. Ranjith.siji says:

    Off Topic : —Attention Maths Teachers

    Go here

    Open Source Applications for Math Teachers

    Tools other than geogebra

    Open Source Applications for Math Teachers

  31. Thanks Ranjith Sir for pointing out a wonderful blog about ICT in Maths./

  32. jayaprakash says:

    its good introducing in 10 th class becozs in higher classes its very important

  33. teenatitus says:

    what is the difference between fair die and unbiased die? pls give explanation

  34. JOHN P A says:

    ടീന ടീച്ചറേ
    ഒരു dieയ്ക്ക് 6മുഖങ്ങളുണ്ടല്ലോ.Random experiment,അതായത് ഡൈ എറിയുമ്പോള്‍ ഒരു പ്രത്യക മുഖം തന്നെ വീഴാന്‍ ഉള്ള സാഹചര്യം അതിന്റെ നിര്‍മ്മിതിയില്‍ ഉണ്ടായിരിക്കരുത്. അങ്ങനെയുള്ളവയാണ് Unbiased. മറിച്ചുള്ളവ biased ആണ്

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s