‘പൈ’ പലഹാരമാകുമ്പോള്‍..!


‘ഒമ്പതാം ക്ലാസിലെ വൃത്തങ്ങളുടെ അളവുകള്‍ പഠിപ്പിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു കുറിപ്പ്’ എന്ന പേരില്‍ കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ കമന്റില്‍ ചേര്‍ത്ത അമൂല്യമായ ഈ വിവരങ്ങള്‍ ,കേവലം കമന്റില്‍ ഒതുങ്ങേണ്ടതല്ലായെന്നുള്ള തിരിച്ചറിവാണ് ഈ പോസ്റ്റിനു പിന്നില്‍. അധ്യാപകര്‍ക്ക് പാഠപുസ്തകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അധികവിവരങ്ങള്‍, അത് തയ്യാറാക്കിയവരില്‍ നിന്നു തന്നെ ലഭ്യമാക്കാനായാല്‍ അതില്‍ കുറഞ്ഞല്ലേ മറ്റെന്തു സൗഭാഗ്യവും വരൂ? നമ്മുടെ ബ്ലോഗില്‍ കേവലം ശമ്പളപരിഷ്കരണം ചര്‍ച്ച ചെയ്യുമ്പോള്‍ മാത്രം പോസ്റ്റുകള്‍ സജീവമായാല്‍ പോരല്ലോ? അധ്യാപനം സുഗമമാക്കാനുള്ള അറിവുകളും തങ്ങളുടെ സംശയങ്ങള്‍ക്ക് ആധികാരികമായ മറുപടികളും ഉത്തരവാദപ്പെട്ടവര്‍ നല്‍കുമ്പോള്‍, അത് ഉപയോഗപ്പെടുത്താന്‍ കൂടി നാം ശ്രമിക്കേണ്ടതല്ലേ..? ഉദാഹരണത്തിന് നമ്മുടെ pi യും pie-chart ലെ pie യും ഒന്നല്ലായെന്നും രണ്ടാമത്തേത് ഒരു പലഹാരമാണെന്നുമുള്ള അറിവുപോലും ചിലര്‍ക്കെങ്കിലും പുതുതായിരിക്കാന്‍ സാധ്യതയുണ്ട്. ഇതാ കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ ലേഖനത്തിലേയ്ക്ക്….

വൃത്തങ്ങളുടെ അളവുകള്‍
ഒമ്പതാംക്ളാസിലെ വൃത്തം എന്ന പാഠം രണ്ടു പുതിയ ആശയങ്ങള്‍ —ഒന്നു ജ്യാമിതീയവും മറ്റൊന്നു സംഖ്യാപരവും —അവതരിപ്പിക്കുന്നുണ്ട്.
• വളഞ്ഞ വരമ്പുകളുള്ള രൂപങ്ങളുടെ ചുറ്റളവും പരപ്പളവും
• അഭിന്നകങ്ങളില്‍, ഇതുവരെക്കണ്ടതില്‍നിന്നു വ്യത്യസ്തമായ π എന്ന സംഖ്യ
ഒരു ജ്യാമിതീയരൂപത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് എന്നതിന്റെ അര്‍ത്ഥം വീണ്ടും ഓര്‍മിപ്പിച്ചുകൊണ്ടാണ് പാഠം ആരംഭിക്കുന്നത്. ഒരു തലത്തിലെ ഒരു ഭാഗത്തിന്റെ അതിത്തി നിശ്ചയിക്കുന്നത് നേര്‍വരകളാണെങ്കില്‍, അവയുടെ നീളങ്ങളുടെ തുകതന്നെയാണ് ചുറ്റളവ്.
അങ്ങിനെയല്ലെങ്കിലോ ?
പ്രയോഗികമായി ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ വിഷമമില്ല. വേണ്ടത്ര നീളമുള്ള ഒരു കയറോ ചരടോ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം. പരപ്പളവാണു വേണ്ടതെങ്കില്‍ ഇതും സാധ്യമല്ല. അതുകൊണ്ടുതന്നെയാണ് പ്രാചീനകാലം മുതലുള്ള ശ്രമങ്ങളിലെല്ലാം വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ് ഒരു പ്രധാന പ്രശ്നമായതും, ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടുമാത്രം ചുറ്റളവ് പരാമര്‍ശിക്കപ്പെടുന്നതും. ഈ പ്രായോഗികപ്രശ്നത്തില്‍നിന്നു
ഗണിത തത്വത്തിലേക്കുള്ള പ്രയാണമാണ് ഈ പാഠത്തിലെ പാര്‍ശ്വസഞ്ചാരം.
ഏതു വൃത്തത്തിന്റെയും ചുറ്റളവിനെ വ്യാസം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്നത് ഒരേ സംഖ്യയാണെന്ന കാര്യമാണ്, പാഠത്തിലെ ആദ്യപ്രമേയം. ഇതു പൊടുന്നനെ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനു പകരം, നാലുഘട്ടങ്ങളിലൂടെയാണ് ഇതില്‍ എത്തിച്ചേരുന്നത്:

(1) വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസം കൂടുമ്പോള്‍ ചുറ്റളവും കൂടുന്നു എന്ന ലളിതമായ നിരീക്ഷണം

(2) ഈ മാറ്റം ആനുപാതികമാണോ എന്നു പരിശോധിക്കാനുള്ള പ്രായോഗിക പരിക്ഷണം

(3) ഇത് ആനുപാതികംതന്നെയാണെന്ന് ഗണിതരീതിയിലുള്ള തെളിവ്

(4) ആനുപാതികസ്ഥിരം എന്ന ആശയത്തിലൂടെ ചുറ്റളവിനെ വ്യാസം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഒരേ സംഖ്യയാണെന്ന നിഗമനം

ഇതിലൊന്നുംതന്നെ π പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടിട്ടില്ല എന്നു ശ്രദ്ധിയ്ക്കുക. അവസാനം പറഞ്ഞ ആനുപാതികസ്ഥിരം എന്താണെന്ന് പ്രയോഗികമായി ചെയ്തു നോക്കാം. വ്യത്യസ്തങ്ങളായ സംഖ്യകളാണ് കിട്ടുക. ഇത് ഒരു അഭിന്നകസംഖ്യയാണെന്നും, 3.14159… എന്നിങ്ങിനെ തുടരുമെന്നും തെളിയിക്കാം എന്നു പറയുക മാത്രമേ ഇപ്പോള്‍ തരമുള്ളു; ശരിയായ തെളിവു മനസിലാക്കാന്‍ ഇതു വരെ പഠിച്ച ഗണിതം മതിയാകില്ലെന്നും.
ഇതുവരെ കണ്ട അഭിന്നകസംഖ്യകളെല്ലാം, ഏതെങ്കിലും കൃതിയിലേക്കുയത്തിയും ഇത്തരം കൃതികളെ ഭിന്നകങ്ങള്‍കൊണ്ടു ഗുണിച്ചുമെല്ലാം ഭിന്നകങ്ങളായി മാറ്റാന്‍ പറ്റുന്നവയായിരുന്നു; അതനുസരിച്ചാണ് അവയ്ക്കു പേരിട്ടതും. ഉദാഹരണമായി, വര്‍ഗം 2 ആയ സംഖ്യ (അളവ് ) √2; ഇതുപോലെ 4 കുറച്ച്, 2 കൊണ്ടൂ ഹരിച്ച്, മൂന്നാംകൃതി എടുത്താല്‍ 5 കിട്ടുന്ന സംഖ്യ 4 + 2 3√5. എന്നാല്‍ വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിനെ വ്യാസംകൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ഇത്തരം ക്രിയകളിലൂടെ ഭിന്നകമാക്കാന്‍
കഴിയില്ല. (π അതീതസംഖ്യയാണെന്ന് പണ്ടത്തെ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ പറഞ്ഞിരുന്നതിന്റെ അര്‍ത്ഥംഇതാണ്. ) അതിനാല്‍ അതിന് ഈ രീതിയില്‍ പേരിടാന്‍ കഴിയില്ല.
π എന്ന പേരും, അതിന്റെ സാംഗത്യവും ഇവിടെ അവതരിപ്പിയ്ക്കാം. (ഈ pi യും,pie-chart ലെ pie യും തമ്മില്‍ ഒരു ബന്ധവുമില്ലെന്നുകൂടി പറയണമെന്നു തോന്നുന്നു. രണ്ടാമത്തെ pie ഒരു പലഹാരമാണ്. ഏഴാംക്ളാസിലെ
സംഖ്യാചിത്രങ്ങള്‍ എന്ന പാഠത്തില്‍ കൂടുതല്‍ വിശദീകരണമുണ്ട്. )
വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള പല കാലങ്ങളിലേയും ദേശങ്ങളിലേയും ശ്രമങ്ങളെല്ലാം, ഇന്നത്തെ കാഴ്ചപ്പാടില്‍, π കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി കണക്കുകൂട്ടാനുള്ള ശ്രമങ്ങളായി വ്യാഖ്യാനിക്കാം എന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്. ഇതിനുള്ള ജ്യാമിതീയമാര്‍ഗങ്ങള്‍ വളരാനാവാതെ ആയിരം കൊല്ലത്തോളം
വഴിമുട്ടിനിന്നപ്പോള്‍, ബീജഗണിതത്തിലൂടെ ആവശ്യമുള്ളത്ര കൃത്യതയില്‍ ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള പുതിയ ചാല്‍ തുറന്നു എന്നതാണ് കേരളീയനായ മാധവന്റെ പ്രധാന സംഭാവന.
തുടര്‍ന്ന്, ആറാംക്ളാസില്‍ പറഞ്ഞിട്ടുള്ള ഡിഗ്രി അളവിന്റെ അര്‍ത്ഥം (വൃത്തത്തിനെ 360 സമഭാഗങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍ കിട്ടൂന്ന കോണാണ് 1◦ ) ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണ്‍ 360 ന്റെ എത്രഭാഗമാണോ, ചുറ്റളവിന്റെ അത്രയും ഭാഗമാണ് ആ ചാപത്തിന്റെ നീളം എന്ന ആശയത്തിലെത്താം.
ചാപത്തിന്റെനീളം =
2πrx/360 എന്ന സൂത്രവാക്യത്തിനു പകരം, 60◦ കേന്ദ്രകോണുള്ള ചാപത്തിന്റെ നീളം, മൊത്തം വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിന്റെ 1 /6 ഭാഗം; 144◦ കേന്ദ്രകോണുള്ള ചാപത്തിന്റെ നീളം, വൃത്തത്തിന്റെ (ചുറ്റളവിന്റെ ) 144/360 = 2/5 ഭാഗം; എന്നെല്ലാം അവതരിപ്പിക്കുകയാവും ഭംഗി.
അടുത്തത്, വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവാണ്. ഇതില്‍ ആരത്തിന്റെ വര്‍ഗവുമായുള്ള ആനുപാതികതയില്‍നിന്നു തുടങ്ങുന്നതിനു പകരം, ചുറ്റളവും, പരപ്പളവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ് ആദ്യം അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നത്. (ഇതിലും, ചുറ്റളവ് വ്യാസത്തിന് ആനുപാതികമാണ് എന്ന് ആദ്യം തെളിയിച്ചതിലും, limit എന്ന ആശയം ഒളിഞ്ഞിരിപ്പുണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിയ്ക്കുക. )
വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = π x ആരത്തിന്റെ വര്‍ഗം
എന്നു കണ്ടതിനുശേഷം, പരപ്പളവ് ആരത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന് ആനുപാതികമാണെന്നും, ആനുപാതികസ്ഥിരം π ആണെന്നുമാണ് ഇതിന്റെ അര്‍ത്ഥം എന്നു വിശദീകരിയ്ക്കാം. വൃ
ത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്, ആരത്തിന്റെ രണ്ടുമടങ്ങിന് ആനുപാതികമാണെനും, പരപ്പളവാകട്ടെ, ആരത്തിന്റെ വര്‍ഗത്തിന് ആനുപാതികമാണെന്നും, രണ്ടവസരങ്ങളിലും ആനുപാതികസ്ഥിരം π തന്നെയാണെന്നുമുള്ള കാര്യങ്ങളാണ് ഇതിലെ രസം.
പരപ്പളവു കണ്ടുപിടീയ്ക്കാനുള്ള ഒരു പ്രായോഗികരീതികൂടി ഇതില്‍നിന്നു കിട്ടും
വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = ചുറ്റളവിന്റെ പകുതി x വ്യാസത്തിന്റെ പകുതി
ചുറ്റളവിന്റെ പകുതിയും, വ്യാസത്തിന്റെ പകുതിയും അളന്നെടുക്കാവുന്നവയാണല്ലോ. “വട്ടത്തരൈകൊണ്ടൂ വിട്ടത്തരൈ താക്കിന്‍ ശട്ടെനത്തരിയും കുഴി” (വട്ടത്തിന്നരകൊണ്ടു വിട്ടത്തിന്നര പെരുക്കിയാല്‍ പെട്ടെന്നു കിട്ടും കുഴി ) എന്നൊരു തമിഴ് ചൊല്ലു കേട്ടിട്ടുണ്ട്. ഉറവിടം അറിയില്ല.
ചാപനീളത്തിനു സമാനമായി വൃത്തംശത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, അതിന്റെ കേന്ദ്ര കോണ്‍ 360 ന്റെ എത്ര ഭാഗമാണോ, മൊത്തം വൃത്തത്തിന്റെ (പരപ്പളവിന്റെ ) അത്രയും ഭാഗമാണ് എന്നുള്ള നിഗമനത്തോടെയാണ് പാഠം അവസാനിക്കുന്നത്.
…………………………………………………………………………..
ഈ പോസ്റ്റിന്റെ പിഡിഎഫ് കോപ്പി കൂടി പ്രിന്റെടുക്കാനായി നല്‍കിയിരിക്കുന്നു. ചര്‍ച്ചകള്‍ കൊഴുക്കട്ടെ.

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in വിജ്ഞാനം. Bookmark the permalink.

102 Responses to ‘പൈ’ പലഹാരമാകുമ്പോള്‍..!

  1. JOHN P A says:

    കൃഷ്ണന്‍സാറിന്
    വൃത്തത്തിന്റെ അളവുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠഭാഗം തുടങ്ങാനിരിക്കെ അങ്ങയുടെ ഈ വിലയേറിയ വാക്കുകള്‍ക്ക് നന്ദി

  2. mkmali says:

    This comment has been removed by the author.

  3. vijayan says:

    ” ആറാംക്ളാസില്‍ പറഞ്ഞിട്ടുള്ള ഡിഗ്രി അളവിന്റെ അര്‍ത്ഥം (വൃത്തത്തിനെ 360 സമഭാഗങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍ കിട്ടൂന്ന കോണാണ് 1◦ ) ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണ്‍ 360 ന്റെ എത്രഭാഗമാണോ, ചുറ്റളവിന്റെ അത്രയും ഭാഗമാണ് ആ ചാപത്തിന്റെ നീളം എന്ന ആശയത്തിലെത്താം.”

    @കൃഷ്ണന്‍ സര്‍,
    ഡിഗ്രീ അളവിന്റെ കാര്യം പറയുമ്പോള്‍ നാം എന്തുകൊണ്ട് 360* അതിന്റെ അടിസ്ഥാനമായി പരിഗണിക്കുന്നു. ഒന്ന് വിശദീകരിച്ചാല്‍ നന്നായിരുന്നു.

  4. “നമ്മുടെ ബ്ലോഗില്‍ കേവലം ശമ്പളപരിഷ്കരണം ചര്‍ച്ച ചെയ്യുമ്പോള്‍ മാത്രം പോസ്റ്റുകള്‍ സജീവമായാല്‍ പോരല്ലോ?”
    പോര
    പോരല്ലോ..!

  5. mkmali says:

    വൃത്തത്തിന്റെ അളവുകളെക്കുറിച്ചുള്ള കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ അവതരണം വളരെ നന്നായിരിക്കുന്നു.സാറിന് വളരെ നന്ദി. തുടര്‍ന്നും പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

    2011 പുതുവര്‍ഷത്തിന്റെ ഒരു പ്രധാന പ്രത്യേകത നമ്മുടെ ശ്രദ്ധയില്‍ പെടാതെ പോയെന്ന് തോനുന്നു.പതിനൊന്ന് തുടര്‍ച്ചയായ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ തുകയാണ് അഭാജ്യ സംഖ്യയായ 2011
    2011=157+163+167+173+179+181+191+193+197+199+211
    link

  6. N.Sreekumar says:

    This comment has been removed by the author.

  7. N.Sreekumar says:

    വൃത്തവും പരപ്പളവും
    ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിന് PI ഒഴിവാക്കണമെങ്കില്‍ വ്യാസത്തെ ചുറ്റളവു (പരിധി)കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ട് പകുതിയുടെ പകുതി (1/4)എടുത്താല്‍ മതിയാകുമല്ലോ.
    ഉദാ:വ്യാസം = 10 സെമീ.
    വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവു് = 31.42
    പരപ്പളവ് =
    31.42 X 10/4 = (314.20)/4=78.55
    വ്യാസത്തിന്റെ പകുതിയുടെ പകുതി എടുത്ത് (1/4) വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവു് കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാലും പരപ്പളവു കിട്ടും.
    പ്രായോഗികമയി ആരത്തെക്കാള്‍ വ്യാസമാണ് അളക്കുവാന്‍ എളുപ്പം.അതായത് നാലിന്റെ ഗുണിതമാണ് വ്യാസമെങ്കില്‍ പരപ്പളവ് കണ്ടുപിടിക്കുവാന്‍ എളുപ്പമാണ്.

  8. ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠപുസ്തകകമ്മിറ്റിയുടെ ചെയര്‍മാനും നമ്മുടെ രക്ഷാധികാരിയുമായ കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ ഈ ലേഖനം വൃത്തങ്ങളുടെ അളവുകള്‍ പഠിപ്പിക്കുന്നതിന് മുന്‍പുള്ള മനോഹരമായൊരു ആമുഖചര്‍ച്ചയ്ക്ക് വഴി തെളിക്കും. ചര്‍ച്ചയ്ക്ക് തുടക്കമിടുന്നതിന് മുന്‍ക്ലാസുകളില്‍ കുട്ടികള്‍ ഗ്രഹിച്ച ആശയങ്ങളെ ഓര്‍മ്മിക്കാനും അധ്യാപകരെ സഹായിക്കുന്ന ഒരു പോസ്റ്റാണിത്. കൃഷ്ണന്‍ സാറില്‍ നിന്നും വിജ്ഞാനപ്രദമായ ഇത്തരം ലേഖനങ്ങള്‍ ഇനിയും പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

  9. Krishnan says:

    @ വിജയന്‍ സര്‍

    വൃത്തത്തെ 360 ആയി വിഭജിച്ചതിനെക്കുറിച്ച് ഗണിതചരിത്രകാരന്മാരുടെയിടയില്‍ വ്യത്യസ്ത അഭിപ്രായങ്ങളുണ്ട്. ഇതു ലഘുവായി, ആറാംക്ലാസിലെ “ചരിവും വിരിവും” എന്ന പാഠത്തിലെ “കോണളവിന്റെ ചരിത്രം” എന്ന ഭാഗത്തു കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ക്ക്
    ഇവിടെ നോക്കുക

  10. കൃഷ്ണൻ സാറിന്റെ ലേഖനത്തിനു നന്ദി. പഠിച്ചു മറന്ന (എന്താണെന്നു മനസ്സിലാക്കാതെ പഠിച്ചതു കൊണ്ടു മറന്ന)കാര്യങ്ങൾ മനസ്സിലാകുന്ന രീതിയിൽ അവതരിപ്പിച്ചതിനു നന്ദി. ഇവിടെ പലപ്പോഴും ചോദിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങളും അവക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങളും, വേണ്ടത്ര വിവരണങ്ങളില്ലാതെ, ബുദ്ധിജീവികൾക്ക് മാത്രം മനസ്സിലാകുന്ന തരത്തിലാവാറുണ്ട്. കൃഷ്ണൻ സാറിനെ പോലുള്ളവരുടെ വിശദീകരണങ്ങളാണ്‌, സാധാരണക്കാരായ ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നത്. ഇവിടെ വരുന്ന അധ്യാപകരല്ലാത്ത സന്ദർശകരുടെ അഭിപ്രായവും ഇതു തന്നെ ആവാനാണു സാധ്യത. “ഈ കണക്കെന്ന് കേട്ടാലേ എനിക്കും തലവേദന വരും” എന്നു പറയുന്നവരാണ്‌ അധികപേരും. അതിനൊരു മാറ്റം വരുത്താൻ ഈ ബ്ലോഗിനു കഴിയട്ടെ എന്നു ആശംസിക്കുന്നു. പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു

    [IM]http://4.bp.blogspot.com/_8X4JeB3kkWU/TScYfhAQC7I/AAAAAAAAAVU/VxHcvVDqNuY/s1600/pi-circumference_caduser.png[/IM]

    pi_π

  11. sreekumar says:

    thanks to krishnan sir.

  12. “ആറാംക്ലാസിലെ “ചരിവും വിരിവും” എന്ന പാഠത്തിലെ “കോണളവിന്റെ ചരിത്രം” എന്ന ഭാഗത്തു കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്.”
    [im]http://2.bp.blogspot.com/_8X4JeB3kkWU/TSv_FJSS0EI/AAAAAAAAAVc/EYAP0qlxTOg/s1600/angle+measure.jpg[/im]

  13. സിലിണ്ടര്‍ ഗോളം തുടങ്ങിയ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ പഠനത്തിനു അടിസ്ഥാനമായ അറിവുകള്‍ എന്നാ നിലക്കും നിത്യ ജീവിതത്തിലെ ഗണിതം എന്നാ നിലക്കും വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവും പരപ്പളവും ആയി ബന്ധപെട്ട ആശയങ്ങള്‍ കുട്ടികള്‍ നല്ലവണം അറിഞ്ഞിരിക്കണം.

    പേജ് നമ്പര്‍ 165ല്‍ വൃത്തത്തിനുള്ളില്‍ പല പല സമബഹുഭുജങ്ങള്‍ വരക്കുമ്പോള്‍ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുംതോറും വൃത്തസമാനമാകും എന്ന് പറയുന്നു നമ്മുടെ ബഹുഭുജങ്ങള്‍ എന്നാ പാഠഭാഗത്ത്‌ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ നിര്‍വചനം പറയുന്നുമില്ല അത് കൊണ്ട് വൃത്തം ഒരു ബഹുഭുജമാണോ എന്ന് കുട്ടികളില്‍ ഒരു സംശയം കുട്ടികളില്‍ ഉണ്ടാവാന്‍ സാധ്യത കാണുന്നു അത് പരിഹരിക്കാന്‍ അധ്യാപകന്‍ ശ്രമിക്കണം.

    √2,√3,3√5 തുടങ്ങിയ സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗം,ഘനം ,തുടങ്ങിയ ക്രിയകള്‍ ചെയ്താല്‍ ഭിന്നകം കിട്ടും . പക്ഷെ ഇത്തരം ക്രിയകളിലൂടെ π ഒരു ഭിന്നകം ആക്കി മാറ്റാന്‍ കഴിയില്ല എന്ന് പറഞ്ഞ സ്ഥിതിക്ക് ഇത്തരം സംഖ്യകളെ അതീത സംഖ്യകള്‍(Transcendetal Numbers ) എന്ന് പറയുന്നു എന്ന് കൂടി പറയാമായിരുന്നു

    ആതിര,ഹരിത,അനന്യ (3 IDIOTS )
    പ്ലസ്‌ ടു കമ്പ്യൂട്ടര്‍ സയന്‍സ്
    കണ്ണാടി ഹയര്‍ സെക്കന്ററി സ്കൂള്‍
    കണ്ണാടി,പാലക്കാട്

  14. ഹരിത വിദ്യാലയം പരിപാടിയില്‍ ഞങ്ങളുടെ സ്കൂളില്‍ നിരവധി പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ നടക്കുന്നു എന്ന് മിക്ക സ്കൂളുകളും അവകാശപെടുന്നു .നല്ലത് തന്നെ.ഈ പാഠഭാഗവുമായി ബന്ധപെട്ടു ചെയ്യാന്‍ കഴിയുന്ന ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം.മൈതാനത്ത് ഒരു വലിയ വൃത്തം വരച്ചു അതില്‍ ഒരു കുട്ടിയെ നിര്‍ത്തുക.വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്ര ഭാഗത്ത്‌ ഒരു മരകുറ്റി തറച്ചു അതില്‍ ഒരു കയര്‍ കെട്ടുക.കയറിന്റെ മറ്റേ അറ്റം കുട്ടിയുടെ ഇടുപ്പില്‍ കെട്ടുക.കുട്ടി വൃത്ത പരിധിയിലൂടെ നടന്നു നീങ്ങുന്നതിനനുസരിച്ചു ചാപം എന്നാ ആശയം പരിചയപെടുത്താം. വിവിധ നീളമുള്ള ചാപങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകി കേന്ദ്രത്തില്‍ ഉണ്ടാകുന്ന കോണുകള്‍ പരിചയപെടുതുക.കേന്ദ്രകോണിന്റെ നിര്‍വചനത്തിന് വലിയ പ്രാധാന്യംകൊടുക്കേണ്ട ആവശ്യം ആശയത്തിന് ആണ് പ്രാധാന്യം ഇല്ല ആശയത്തിന് പ്രാധാന്യം കൊടുത്താല്‍ മതി

    കുട്ടിയുടെ തിരിവ് അളക്കാന്‍ 90,180 എന്നി കോണുകള്‍ പോരാതെ വരുന്നു എന്ന് ബോധ്യപെടുത്തുക.കുട്ടി ഒന്നില്‍ കൂടുതല്‍ തവണ കറങ്ങുമ്പോള്‍ 360 ലും കൂടുതല്‍ കോണുകള്‍ ആവശ്യമാണ്‌ എന്നാ ആശയം പറഞ്ഞു മനസ്സിലാകുക.

    കുട്ടി 45,60,90,120, 180 എന്നിങ്ങനെ 360 കൊണ്ട് നിശേഷം ഹരിക്കാവുന്ന കോണുകള്‍ കേന്ദ്രത്തില്‍ ഉണ്ടാക്കുമ്പോള്‍ കുട്ടി സഞ്ചരിച്ച ദൂരം വൃത്ത പരിധിയുടെ എത്ര ഭാഗം എന്നാ ആശയം കൊണ്ട് വരിക.ചാപത്തിന്റെ നീളവും കേന്ദ്ര കോണിന്റെ അളവും സമാനുപാതത്തില്‍ ആണ് കുട്ട്ടികള്‍ക്ക് മനസ്സിലാകണം. ഇതിലൂടെ ചാപനീളം
    x/360(2πr) എന്ന് ആശയം കുട്ടികളില്‍ എത്തിക്കുക .(2πr/360)x എന്ന് എഴുതാന്‍ അധ്യാപകര്‍ മുതിരരുത്.

    ഇനി കുട്ടി നേരത്തെ നടന്നു നീങ്ങിയതിന്റെ എതിര്‍ ദിശയില്‍ നടന്നു നീങ്ങുമ്പോള്‍ കോണുകള്‍ നെഗറ്റീവ് ആയും വരും എന്നാ ആശയം കൂടി വെറുതെ ഒന്ന് പറഞ്ഞു കൊടുക്കാം .അത് വലിയ ക്ലാസ്സുകളില്‍ കുട്ടിക്ക് ഗുണം ചെയ്യും.

    ആതിര,ഹരിത,അനന്യ

  15. Jasy kasiM says:

    വൃത്തത്തിന്റെ അളവുകളിലൂടെ “പൈ“ കുട്ടികളെ പരിചയപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ക്ലാസ്സിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും ഉണ്ടാകാറുള്ള ഒരു സംശയം: വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവും വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തെ പറ്റിയൊക്കെ വിശദമായ പഠനത്തിനുശേഷം ആനുപാതികസ്ഥിരമായ പൈ യിൽ എത്തുന്നു.ചുറ്റളവിനെ വ്യാസം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ,അത് ഭിന്നകരൂപത്തിൽ p/q രൂപത്തിലാണല്ലൊ.അതെന്തുകൊണ്ടാണ് അഭിന്നകമാകുന്നത് എന്ന സംശയം സ്വാഭാവികം!
    പൈ പരിചയപ്പെടുത്തിയതിനു ശേഷം ബന്ധപ്പെട്ട കണക്കുകൾ ചെയ്യുമ്പോഴും പൈ = 22/7 ,അല്ലെങ്കിൽ 3.14 ഉപയോഗിക്കുമ്പോഴും, പിന്നെ എന്തുകൊണ്ടാണ് പൈ അഭിന്നകമാവുന്നത് എന്ന സംശയം കുട്ടികളുടെ ഭാഗത്തുണ്ടാകാറുണ്ട്.

  16. Krishnan says:

    @ ആതിര, അനന്യ, ഹരിത

    വൃത്തം ബഹുഭുജമാണോ എന്ന സംശയം കുട്ടികളില്‍നിന്നു വന്നാല്‍ (വന്നാല്‍ മാത്രം) ചില വിശദീകരണങ്ങളാവാം: സമഭുജത്രികോണം, സമചതുരം, സമപഞ്ചഭുജം, എന്നിങ്ങിനെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂട്ടിയാല്‍ക്കിട്ടുന്ന ബഹുഭുജങ്ങള്‍ വൃത്തത്തിനോട് അടുത്തടുത്തു വരുന്നു; എന്നാല്‍ ഇവയൊന്നുംതന്നെ വൃത്തമല്ല. ഇതുപോലെ ദീര്‍ഘവൃത്തത്തിനോട് അടുത്തടുത്തുവരുന്ന ബഹുഭുജങ്ങളുടെ നിരയും ഉണ്ടാക്കാം. യുക്തമായ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ നിര ഉപയോഗിച്ച് ഏതു അടഞ്ഞ വക്രത്തിനേയും സമീപിക്കാം.

    ശ്രേണിയുടെ പര്യന്തം (limit) എടുക്കുമ്പോള്‍ പദങ്ങളില്‍നിന്ന് ഗുണപരമായ (qualitative)വ്യത്യാസമുണ്ടാകാം എന്നതിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. സംഖ്യകളിലും ഇതു കാണാം. 1, 1.4, 1.41, 1.414, .. എന്നിങ്ങിനെയുള്ള ഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ പര്യന്തം √2 എന്ന അഭിന്നകസംഖ്യ ആണല്ലോ.

    ഇനി π എന്ന വിചിത്രചിഹ്നം വിശദീകരിക്കാന്‍ മാത്രമാണ്‌ ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് അതുവരെ കണ്ട അഭിന്നസംഖ്യകളുമായുള്ള വ്യത്യാസം പറഞ്ഞത്. അതീതസംഖ്യ എന്ന പേരു പറയാത്തത്, ഇത്തരം സംഖ്യകളുടെ മറ്റുദാഹരണങ്ങള്‍ ഇപ്പോള്‍ പറയാന്‍ കഴിയാത്തതുകൊണ്ടാണ്‌.

  17. Krishnan says:

    @ Jasy kasiM

    വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിനെ വ്യാസം കൊണ്ടു ഹരിക്കുക എന്നു പറയുമ്പോള്‍ത്തന്നെ ഭിന്നകരൂപമായില്ലേ എന്ന സംശയത്തിന്റെ കാരണം, ഭാവം ശ്രദ്ധിക്കാതെ രൂപത്തില്‍ –അതും അപൂര്‍ണമായി–ഊന്നുന്നതുകൊണ്ടാണെന്നു തോന്നുന്നു. ഒന്‍പതാംക്ലാസിലെ “ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍” എന്ന പാഠത്തിലാണ്‌, അതുവരെ പഠിച്ച സംഖ്യകള്‍–അതായത്, എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍, പൂജ്യം, ഭിന്നസംഖ്യകള്‍, ഇവയുടെ ന്യൂനങ്ങള്‍–എല്ലാറ്റിനും പൊതുവായി ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ എന്ന പേരു കൊടുത്തത്. തുടര്‍ന്ന് ബീജഗണിതത്തില്‍ ഇവയെയെല്ലാം x, y എന്ന പൂര്‍ണസംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ച് x/y എന്ന പൊതുരൂപത്തിലെഴുതാം എന്നും കണ്ടു. എല്ലാ അളവുകളേയും ഭിന്നസംഖ്യകള്‍കൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കാന്‍ കഴിയില്ല എന്നതാണ്‌ “അഭിന്നകസംഖ്യകള്‍” എന്ന പാഠത്തിന്റെ മുഖ്യപ്രമേയം. അത്തരം അളവുകളെ സൂചിപ്പിക്കാനാണ്‌ അഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഉണ്ടാക്കേണ്ടിവന്നത്. ബീജഗണിതഭാഷയില്‍പ്പറഞ്ഞാല്‍, അഭിന്നകസംഖ്യകളെ x/y (x, y പൂര്‍ണസംഖ്യകള്‍) എന്ന രൂപത്തില്‍ എഴുതാന്‍ കഴിയില്ല. ഈ പശ്ചാത്തലം വിശദീകരിക്കാതെ ബീജഗണിതരൂപത്തില്‍മാത്രം അവതരിക്കപ്പെടുമ്പോഴാണ്‌ ഇത്തരം സംശയങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകുന്നത്. അതില്‍ത്തന്നെ, x/y എന്നതില്‍ x, y
    പൂര്‍ണസംഖ്യകള്‍ ആകുമ്പോള്‍മാത്രമാണ്‌ ഭിന്നകം എന്ന്‌ ഊന്നിപ്പറയാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോള്‍ പ്രശ്നം ഗുരുതരമാകുന്നു.

    ഇനി രണ്ടാമത്തെ പ്രശ്നം. പ്രായോഗികപ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങളില്‍ അഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ വന്നെങ്കില്‍ അവയുടെ ഭിന്നകരൂപത്തിലുള്ള ഏകദേശവിലകള്‍,
    സന്ദര്‍ഭത്തിനനുയോജ്യമായ കൃത്യതയോടെ, എഴുതുകയാണ്‌ പതിവ്. (അതല്ലാതെ മറ്റു മാര്‍ഗമില്ല.) ഉദാഹരണമായി, 1 മീറ്റര്‍ വ്യാസമുള്ള വൃത്തമുണ്ടാക്കാന്‍ എത്ര മീറ്റര്‍ നീളമുള്ള കമ്പി വളയ്ക്കണം എന്നു ചോദിക്കുന്നയാളോട്, π മീറ്റര്‍ എന്നു പറഞ്ഞിട്ടു കാര്യമില്ലല്ലോ. 3 മീറ്ററും 142 മില്ലിമീറ്ററും എന്നു പറയുകയാവും നല്ലത്, സൈദ്ധാന്തികമായി ഇത് 1/10 മില്ലിമീറ്ററോ മറ്റോ കൂടുതലാകും; പ്രായോഗികമായി ഇതൊട്ട് അനുഭവപ്പെടുകയുമില്ല.

    സിദ്ധാന്തവും പ്രയോഗവും തമ്മിലുള്ള വിടവ് നേര്‍പ്പിച്ചുകൊണ്ടുവരാം എന്നല്ലാതെ ഇല്ലാതാക്കാന്‍ കഴിയില്ലല്ലോ.

  18. Krishnan says:

    This comment has been removed by the author.

  19. Achu says:

    Thank you Sir.
    I was able to understand mor things about circumference and area of a circle.

  20. Achu says:

    കൃഷ്ണന്‍സാറിന്
    വൃത്തത്തിന്റെ അളവുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠഭാഗം തുടങ്ങാനിരിക്കെ അങ്ങയുടെ ഈ വിലയേറിയ വാക്കുകള്‍ക്ക് നന്ദി

  21. JOHN P A says:

    വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഒരു പേപ്പറില്‍നിന്നും ഒരു സെക്ടര്‍മുറിച്ചെടുത്ത് മടക്കി വൃത്തസ്തൂപികയുണ്ടാക്കുന്നു. ബാക്കിവരുന്ന സെക്ടര്‍ഭാഗവും മടക്കി വൃത്തസ്തൂപികയാക്കുന്നു.രണ്ടുസ്തൂപികക്ളുടെയും ആരങ്ങളുടെ തുക വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിനുതുല്യമാണ്. ഇത് സൈദ്ധാന്തികമായി സ്ഥാപിക്കാം. പ്രയോഗികമുമാണ്. ഈ പ്രക്രീയ തുടരാം. r1+r2+r3 … rn = R ആയിരിക്കും ഇത്ര് മുല്യനിര്‍ണ്ണയം ചെയ്ത ഈ വര്‍ഷത്തെ practical ആയിരുന്നു.

  22. Jasy kasiM says:

    മറുപടി രേഖപ്പെടുത്തിയതിന് നന്ദി.
    (സാറിന്റെ ലേഖനം വായിച്ചപ്പോൾ ഒരുപാട് തവണ കുട്ടികളിൽ നിന്നുണ്ടായ ഈ സംശയത്തെ പറ്റിയാണ് ഞാനാദ്യമോർത്തത്.മിടുക്കന്മാരായ ചില കുട്ടികൾക്ക് first thought ൽ ഉണ്ടാകുന്ന സംശയം:)ഇത്തരം സംശയങ്ങളാണല്ലൊ വസ്തുതകളെ കൂടുതലായി പഠിക്കാൻ കുട്ടികളെ സഹായിക്കുന്നതും)

  23. കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍,
    ഒരു പരാതിയാണ്. ഒമ്പതില്‍ സദൃശത്രികോണങ്ങളുടെ സവിശേഷത ഉപയോഗിച്ച് പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതു പോലെയുള്ള പ്രശ്നമടക്കം (പേജ് 130,131,132) പലതും ഹോട്ട് സ്പോട്ടുകളാണ്. ഈ ഭാഗം വായിക്കുന്ന ആള്‍ക്ക് താന്‍ എന്തിന് വേണ്ടി ഇത് ചെയ്യുന്നുവെന്നു മനസ്സിലാകണമെങ്കില്‍ നന്നായി കഷ്ടപ്പെടാതെ പറ്റില്ല. പലപ്പോഴും വായന അവസാനത്തില്‍ നിന്ന് തുടങ്ങണമെന്നു തോന്നും. വിദ്യാര്‍ത്ഥിക്ക് വേണ്ടിയാണല്ലോ ടെക്സ്റ്റ്ബുക്ക്. എല്ലാ നിലവാരത്തിലും പെട്ടവര്‍ ടെക്സ്റ്റ് വായിക്കേണ്ടതാണെന്ന ചിന്ത ഈ അദ്ധ്യായമെഴുതിയ ആള്‍ക്ക് നഷ്ടപ്പെട്ടതു പോലെ. സദൃശത്രികോണങ്ങള്‍ മാത്രമല്ല, ജ്യാമിതീയ അംശബന്ധങ്ങളും ഇതേ ഗണത്തില്‍ പെടുന്ന ഒരു അദ്ധ്യായമായിപ്പോയി. എഴുതിയ ആള്‍ തന്റെ അറിവ് പ്രകടിപ്പിക്കാന്‍ വേണ്ടി ശ്രമിച്ചിരിക്കുകയാണെന്ന് ആരും പറയും.

  24. Krishnan says:

    Jasy kasiM : “ഇത്തരം സംശയങ്ങളാണല്ലൊ വസ്തുതകളെ കൂടുതലായി പഠിക്കാന്‍ കുട്ടികളെ സഹായിക്കുന്നതും”

    നമ്മെയും!

  25. “ഇത്തരം സംശയങ്ങളാണല്ലൊ വസ്തുതകളെ കൂടുതലായി പഠിക്കാന്‍ കുട്ടികളെ സഹായിക്കുന്നതും”
    അന്നന്ന് എടുക്കുന്ന പാഠങ്ങൾ തന്നെ കുട്ടികളെ കൊണ്ട് തല്ലിപ്പഠിപ്പിക്കേണ്ടി വരുന്ന ബുദ്ധിമുട്ട് അനുഭവിക്കുന്ന രക്ഷിതാക്കളിൽ പലർക്കും , അധിക പഠനത്തിനു എവിടെയാ സാറെ സമയവും സൗകര്യവും? ഒരു ശതമാനം കുട്ടികൾ കാണും, സംശയം തീർത്ത്, പഠനം തുടരുന്നവർ. അധ്യാപകരുടെ ഈ ചിന്താഗതി മാറാതെ , (കുട്ടികളുടെ നിലവാരത്തിലേക്ക് ഇറങ്ങി ചെല്ലുന്ന അധ്യാപകർ വിരളം) എങ്ങിനെ കുട്ടികൾക്കു പഠനം ഒരു 'ബലി കേറാമല' അല്ലാതാകും. പിന്നെ ട്യൂഷനു വിടാതെ മറ്റെന്താ മാർഗം?

  26. Krishnan says:

    @ സോമലത ഷേണായി

    “സദൃശത്രികോണങ്ങളുടെ സവിശേഷത ഉപയോഗിച്ച് പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതു”

    ഇതല്ലല്ലോ ഉദ്ദേശം. സദൃശത്രികോണങ്ങളുടെ സവിശേഷതകളിലൂടെയുള്ള യാത്രയില്‍ പൈഥഗോറസ് സിദ്ധാന്തം സ്വാഭാവികമായി കണ്ടെത്തുകയല്ലേ വേണ്ടത്? പ്രതീക്ഷിക്കാത്തത് കിട്ടുമ്പോള്‍ ഉണ്ടാകുന്ന അത്ഭുതവും ആനന്ദവും അല്ലേ, ഈ ഭാഗത്തിന്റെ രസം? ഈ രസം പകര്‍ന്നുകൊടുക്കലാണ്‌ ഇവിടെ അധ്യാപകര്‍ ചെയ്യേണ്ടതെന്നു തോന്നുന്നു.

    ഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ എങ്ങുനിന്നെന്നറിയാതെ പൊടുന്നനെ അവതരിപ്പിച്ച്, പിന്നീട് എവിടെന്നോ തുടങ്ങി, കുട്ടികളെ ഒട്ടും തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്ത “തെളിവ്” എഴുതുന്നതോ, അറിയാവുന്ന കാര്യങ്ങളില്‍നിന്നു തുടങ്ങി പുതിയ അറിവുകളിലേയ്ക്കു നീങ്ങുന്നതോ നന്നെന്ന് ആലോചിച്ചുനോക്കൂ.

    “വിദ്യാര്‍ത്ഥിക്ക് വേണ്ടിയാണല്ലോ ടെക്സ്റ്റ്ബുക്ക്”

    വിദ്യാര്‍ത്ഥിയ്ക്ക് പാഠപുസ്തകം മാത്രം പോരല്ലോ. അധ്യാപകരും വേണ്ടേ? (ആട്ടക്കഥ വായിച്ചതുകൊണ്ടായില്ലല്ലോ. നല്ല കലാകാരന്റെ ആട്ടവും കണ്ടാലല്ലേ ആസ്വാദനം മുഴുവനാകൂ?)

    “എഴുതിയ ആള്‍ തന്റെ അറിവ് പ്രകടിപ്പിക്കാന്‍ വേണ്ടി ശ്രമിച്ചിരിക്കുകയാണെന്ന് ആരും പറയും.”

    അങ്ങനെ പറയാത്ത ചിലരേയും കണ്ടിട്ടുണ്ട്.

  27. JOHN P A says:

    സോമലതടീച്ചര്‍
    ഒരു വര്‍ക്ക് ഷീറ്റിന്റെ സഹായത്തോടെ കുട്ടികള്‍ സദ്യശ്യത്രികോണങ്ങളെ കണ്ടെത്തുകയും ,അവയുടെ പ്രത്യേകത ഉചിതമായി ഉപയോഗിച്ച് പൈതഗോറിയന്‍ ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്ത.അതുമാത്രമല്ല രണ്ടുവശങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമാണെങ്കില്‍ അതൊരു മട്ടത്രകോണമാണെന്നുസ്ഥാപിക്കാന്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് കഴിഞ്ഞു.ഒന്‍പത്/പത്ത് ക്ലാസുകളില്‍ സദ്യശ്യത്രികോണങ്ങളുടെ പ്രത്യേകതുപയോഗിച്ച് ഇത്തരം ജ്യാമിതീയതത്വങ്ങള്‍ തെളിയിക്കുന്നത് പല സംസ്ഥാനസിലബസുകളിലും ഉണ്ട് . ആറാംക്ലാസുമുതല്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന ഒരു അടിസ്ഥാനതത്വം പണ്ട് ഒരിടത്തും തെളിയിച്ചിരുന്നില്ല. ഞാന്‍ ആദ്യമായി തെളിവുപഠിച്ചത് ഡിഗ്രിഅവസാനവര്‍ഷം വെകടര്‍ ആള്‍ജിബ്രപഠിച്ചപ്പോളായിരുന്നു.ഇന്ന പ്രെമറിക്കുട്ടികള്‍ പോലും മേളകളില്‍ പെതഗോറസ് തത്വം പ്രവര്‍ത്തനമാതൃകയാക്കുന്നു. സാദൃശ്യം എന്ന ജ്യാമിതീയആശയം വളരെ നന്നായി പ്രയോജനപ്പെടുത്താന്‍ സാധിക്കുന്ന ഒരു സന്ദര്‍ഭമായി ഇതിനെ കാണാന്‍ കഴിയും. അതുപോലെ , അടിസ്ഥാന അനുപാതസിദ്ധാന്തമെന്ന കഠിനചിന്തയെ വളരെ സ്വാഭാവികമായി സ്ഥാവിക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞതില്‍ പാഠപുസ്തകരചയിതാക്കള്‍ വിജയിച്ചു എന്നാണ് എനിക്കുതോന്നിയിട്ടുള്ളത്. ലളിതമായപരി‍ശീലനപ്രശനങ്ങള്‍ പുസ്തകത്തില്‍ കുറവാണ്, അതുകണ്ടെത്തി കൊടുക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ മാത്രമെ പഠനം പൂര്‍ണ്ണമാകുകയുള്ളു എന്ന് എനിക്ക് തോന്നുന്നു

  28. എന്റെ പരാതിയെ ഉള്‍ക്കൊള്ളാനുള്ള ശ്രമം കേള്‍ക്കേണ്ടവരാരും കേട്ടില്ല. ഇനിയാര്‍ക്ക് വേണ്ടിയാണ് ഈ മറുപടി? എങ്കിലും എഴുതട്ടെ.

    “പ്രതീക്ഷിക്കാത്തത് കിട്ടുമ്പോള്‍ ഉണ്ടാകുന്ന അത്ഭുതവും ആനന്ദവും അല്ലേ, ഈ ഭാഗത്തിന്റെ രസം?”

    എന്റെ സഹപ്രവര്‍ത്തകര്‍ തങ്ങളുടെ വിദ്യാര്‍ത്ഥികളില്‍ എത്ര പേര്‍ക്ക് ഈ 'രസം' കിട്ടിയിട്ടുണ്ടെന്ന് അന്വേഷിക്കണം. പ്രതീക്ഷിക്കാത്തതു കാണുമ്പോഴുണ്ടാകുന്ന 'ഞെട്ടല്‍' ആയിരിക്കും അധികം.

    “ഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ എങ്ങുനിന്നെന്നറിയാതെ പൊടുന്നനെ അവതരിപ്പിച്ച്, പിന്നീട് എവിടെന്നോ തുടങ്ങി, കുട്ടികളെ ഒട്ടും തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്ത “തെളിവ്” എഴുതുന്നതോ, അറിയാവുന്ന കാര്യങ്ങളില്‍നിന്നു തുടങ്ങി പുതിയ അറിവുകളിലേയ്ക്കു നീങ്ങുന്നതോ നന്നെന്ന് ആലോചിച്ചുനോക്കൂ.”

    കുട്ടികളെ ഒട്ടും തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്ത “തെളിവ്” അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പാഠപുസ്തകങ്ങളായിരുന്നു മുമ്പുണ്ടായിരുന്നതെന്നാണോ പറഞ്ഞു വരുന്നത്? അടുത്ത ടെക്സ്റ്റ് ബുക്ക് മാറ്റത്തിന് ഇനി എന്തായിരിക്കും പറയുക?

    “ആട്ടക്കഥ വായിച്ചതുകൊണ്ടായില്ലല്ലോ. നല്ല കലാകാരന്റെ ആട്ടവും കണ്ടാലല്ലേ ആസ്വാദനം മുഴുവനാകൂ?”

    ഉണ്ണായിവാര്യരുടെ ആട്ടക്കഥകള്‍ ഇതിനൊരു അപവാദമാണ്. കണ്ടാസ്വദിക്കുന്നതിനേക്കാളും വായിച്ചാസ്വദിക്കാനാണ് അത് മികച്ചതെന്ന് പറയുന്നവരാണ് അധികവും.

  29. Free says:

    എന്റെ സഹപ്രവര്‍ത്തകര്‍ തങ്ങളുടെ വിദ്യാര്‍ത്ഥികളില്‍ എത്ര പേര്‍ക്ക് ഈ 'രസം' കിട്ടിയിട്ടുണ്ടെന്ന് അന്വേഷിക്കണം.
    പ്രതീക്ഷിക്കാത്തതു കാണുമ്പോഴുണ്ടാകുന്ന 'ഞെട്ടല്‍' ആയിരിക്കും അധികം.

    അഭിനന്ദനങ്ങള്‍ സോമലത ടീച്ചര്‍ , ഒരു പ്രശ്നത്തെ സത്യസന്ധമായി ഉള്‍ക്കൊണ്ട ഒരു ടീച്ചറിന്റെ പക്വമായ പ്രതികരണമാണിത് .
    പുസ്തകം എഴുതുന്ന ആളിന്റെ ഭാവന എവിടെനില്‍ക്കുന്നു ?
    ക്ലാസ്സിലെ യാഥാര്‍ധ്യങ്ങള്‍ എവിടെ നില്‍ക്കുന്നു ?

    ഇന്ന് പ്രെമറിക്കുട്ടികള്‍ പോലും മേളകളില്‍ പെതഗോറസ് തത്വം പ്രവര്‍ത്തനമാതൃകയാക്കുന്നു.
    ഓര്‍ക്കുക.മേളകള്‍ ഒരിക്കലും വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരത്തിന്റെ പ്രതിച്ഛായ അല്ല .
    അവിടെ അവതരണത്തിന് നിയോഗിക്കുന്ന കുട്ടികള്‍ എങ്ങനെ ഉള്ളവര്‍ ആണെന്നും , അവരെ എങ്ങനെയാണ് പരിശീലിപ്പിച്ചു എടുക്കുന്നതെന്നും വിശദീകരിക്കേണ്ടല്ലോ .

    ആട്ടക്കഥ വായിച്ചതുകൊണ്ടായില്ലല്ലോ. നല്ല കലാകാരന്റെ ആട്ടവും കണ്ടാലല്ലേ ആസ്വാദനം മുഴുവനാകൂ.
    അങ്ങനെയല്ല . കഥ നന്നായി മനസ്സിലാക്കിയിട്ടെ ആട്ടം കാണാവൂ . അല്ലെങ്കില്‍ പൊട്ടന്‍ , ആട്ടം കാണുന്നത് പോലെ ആകും .

  30. “അല്ലെങ്കില്‍ പൊട്ടന്‍ , ആട്ടം കാണുന്നത് പോലെ ആകും .”
    കരുംപൊട്ടന്‍ ആട്ടം കാണുന്നതുപോലെ, അല്ലേ ബാബുമാഷേ..?

  31. Krishnan says:

    This comment has been removed by the author.

  32. Krishnan says:

    @ സോമലത ഷേണായി

    സ്വന്തം അനുഭവങ്ങളെ മാത്രം അടിസ്ഥാനമാക്കി സാമാന്യവത്കരണം നടത്തുന്ന രീതി റ്റീച്ചര്‍ വീണ്ടും തുടരുന്നതില്‍ അല്പം സങ്കടം തോന്നുന്നു. ഏതായാലും ഈ പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ പരിശീലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കേരളത്തിന്റെ പല ഭാഗങ്ങളിലും സഞ്ചരിച്ച എനിക്ക് അല്പം കൂടി അനുഭവങ്ങള്‍ കിട്ടിയിയിട്ടുണ്ടെന്നു പറഞ്ഞാല്‍ എതിര്‍ക്കില്ലല്ലോ? പുസ്തകത്തെക്കുറിച്ച് അനുകൂലവും പ്രതികൂലവുമായ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ കിട്ടി. ഏതിനാണ്‌ മുന്‍തൂക്കം എന്നു കണക്കെടുത്തില്ല. അതിനുസമയമായില്ലെന്നും തോന്നുന്നു.

    യൂറോപ്പിയന്‍ രാജ്യങ്ങളിലെ പാളിപ്പോയ “നവഗണിതം” ഭാരതത്തില്‍മാത്രം ഇരുപത്തഞ്ചു വര്‍ഷത്തോളം തുടര്‍ന്നതിനെയാണ്‌ ഏഴെട്ടു വര്‍ഷം മുന്‍പ് ഞാന്‍കൂടി ഉള്‍പ്പെട്ട ഒരു സംഘം മാറ്റിയെഴുതിയത്. അന്നും ആദ്യം രൂക്ഷമായ എതിര്‍പ്പുകള്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു. ചില വിമര്‍ശനങ്ങളുടെ ശരി തിരിച്ചറിഞ്ഞുകൊണ്ടാണ്‌ ഇത്തവണത്തെ പരിഷ്കരണം നടത്തിയിരിക്കുന്നത്. ഇവിടെ വിമര്‍ശിക്കപ്പെടുന്ന പാഠഭാഗം കുറേയധികം ഹൈസ്കൂള്‍ അധ്യാപകരുമായി ചര്‍ച്ച ചെയ്തതിനുശേഷമാണ്‌ അവസാനരൂപത്തിലാക്കിയത്. ഇതിനെക്കുറിച്ചുള്ള അഭിപ്രായങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലായിരിക്കും അടുത്ത പരിഷ്കരണം.

    ഒരു കാര്യം കൂടി. പുതിയ അറിവുകള്‍ “ഞെട്ടല്‍” ഉണ്ടാക്കുന്നത് ഉറച്ചുപോയ യാഥാസ്ഥിക മനസുകളിലല്ലേ?

    @ Free

    നിലനില്‍ക്കുന്ന മോശമായ അവസ്ഥകളെ “യാഥാര്‍ത്ഥ്യ”മായി അംഗീകരിച്ച്, അതിനു വഴങ്ങുന്നതോ, അതു മെച്ചപ്പെടുത്താന്‍ (സാധിക്കുമെന്ന ഒരുറപ്പും ഇല്ലെങ്കില്‍പ്പോലും) ശ്രമിക്കുന്നതോ നല്ലത്?

    ആട്ടക്കഥയെക്കുറിച്ച് “കഥ അറിയണം, ആട്ടവും കാണണം” എന്നു തന്നെയല്ലേ ഞാനും പറഞ്ഞത്? ഒന്നുകൂടി വായിച്ചുനോക്കൂ

  33. തീര്‍ച്ചയായും ഞാന്‍ കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ അഭിപ്രായത്തോട് യോജിക്കുന്നു.സദ്രിശ്യ ത്രികോണങ്ങള്‍ എന്നാ ആശയം ഉപയോഗിച്ച് പെതഗോറസ് തത്വം തെളിയിക്കുമ്പോള്‍ പെതഗോറസ് തത്വം തെളിയിക്കുക എന്ന ലക്ഷ്യത്തെക്കാള്‍ സദ്രിശ്യ ത്രികോണത്തിന്റെ ആശയം എങ്ങിനെ ഉപയോഗിച്ചു എന്നതാണ് പ്രാധാന്യം.

    ഒരു നിശ്ചിത ലക്ഷ്യത്തെ മുന്‍നിര്‍ത്തി അല്ല ഗണിത പഠനം മുന്നോട്ടു കൊണ്ട് പോകേണ്ടത് . ഗണിത പഠനത്തിന്റെ വഴികളില്‍ ചില ലക്ഷ്യങ്ങള്‍ നാം അറിയാതെ കൈവരിക്കുന്നു . ആ ലക്ഷ്യങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തുന്നതിലാണ് ഗണിതത്തിന്റെ രസം ഒളിഞ്ഞു കിടക്കുന്നതും.നിര്‍വചനങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും മനപാഠം ആക്കുന്നതിനെക്കാള്‍ നല്ലത് ആശയങ്ങളുടെ രൂപീകരണം തന്നെയാണ്.

    കര്‍ണം² =പാദം²+ലംബം² എന്നാ സിദ്ധാന്തം നമ്മളില്‍ പലര്‍ക്കും അറിയാം .എങ്കിലും ഞാന്‍ ഒന്ന് ചോതികട്ടെ ഇപ്പോള്‍ പഠിക്കുന്ന പത്താം ക്ലാസിലെ കുട്ടികള്‍ പ്ലസ്‌ ടു തലത്തില്‍ പഠിക്കുന്ന കുട്ടികള്‍ എന്നിവരില്‍ എത്ര പേര്‍ ഇതിന്റെ ഒരു തെളിവ് നല്‍ക്കാന്‍ പറഞ്ഞാല്‍ ഏറ്റെടുക്കാന്‍ കഴിവുള്ളവര്‍ ഉണ്ട്.എന്നാല്‍ നമ്മുടെ ഒന്‍പതാം ക്ലാസ് കുട്ടികള്‍ ഇന്ന് ഈ വെല്ലുവിളി ഏറ്റെടുക്കാന്‍ പ്രാപ്തര്‍ ആണ് .

    തെളിവ് എന്നാ ആശയത്തിന് ഹൈസ്കൂള്‍ തലത്തില്‍ വലിയ പ്രാധാന്യം ഇല്ല എന്ന് കരുതുന്നതാണ് തെറ്റ്.നമ്മുടെ പല പ്രസിദ്ധീകരണങ്ങളും അധ്യാപകരും ചെയുന്നത് ഏതെങ്കിലും കുറുക്കു വഴികളില്ലൂടെ ഉത്തരത്തില്‍ എത്താന്‍ ആണ് .ആ പ്രവണതക്ക് മാറ്റം വരണം.

  34. ഞങ്ങള്‍ പഠിച്ച ഒന്‍പതാം ക്ലാസ് പുസ്തകത്തേക്കാള്‍ നൂറു മേനി ഗുണം ഇപ്പോഴത്തെ പുസ്തകത്തിന്‌ ഉണ്ട് എന്ന് നിസംശയം പറയാം.ഒരു ത്രികോണത്തിലെ രണ്ടു കോണുകള്‍ മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിലെ രണ്ടു കൊണുകളോട് തുല്ല്യം ആയാല്‍ ത്രികോണങ്ങള്‍ സദ്രിശ്യം ആണ് എന്നും സദ്രിശ്യ ത്രികോണത്തിലെ തുല്ല്യ കോണിന് എതിരെ ഉള്ള വശങ്ങള്‍ ആനുപാതികം ആണ് എന്നും ഉള്ള ആശയത്തിന് മാത്രം ആയിരുന്നു മുന്‍ വര്‍ഷങ്ങളിലെ പുസ്തകം ഊന്നല്‍ കൊടുത്തത്.

    എന്നാല്‍ ഒരു ത്രികോണത്തിലെ വശങ്ങള്‍ മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിലെ വശങ്ങളോട് ആനുപാതികം ആയാല്‍ അവ സദ്രിശ്യം ആണ് എന്ന് നമ്മുടെ പുസ്തകം മനോഹരമായി പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു . ഞങ്ങള്‍ തുറന്നു പറയുന്നു ഒരു പക്ഷെ ഞങ്ങളുടെ ബുദ്ധിശക്തിയുടെ കുറവ് കൊണ്ട് ആയിരിക്കാം . ത്രികോണങ്ങള്‍ സദ്രിശ്യം ആകുനതിനുള്ള മൂന്നാമത്തെ വഴി ആയി പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഒരു ത്രികോണത്തിലെ രണ്ടു വശങ്ങള്‍ മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിലെ രണ്ടു വശങ്ങങ്ങളോട് ആനുപാതികം ആവുകയും ഈ വശങ്ങളുടെ ഉള്‍കോണുകള്‍ തുല്യം ആവുകയും ചെയ്‌താല്‍ ത്രികോണങ്ങള്‍ സദ്രിശ്യം ആവുകയും ചെയും എന്നാ ആശയത്തെ പറ്റി ഞങ്ങള്‍ ഇത് വരെ ചിന്തിച്ചിട്ടേ ഇല്ലായിരുന്നു.അറിവിന്റെ വാതായങ്ങള്‍ തുറന്നു തരുന്ന ഈ പുസ്തകം ഞങളെ ഗണിതത്തിന്റെ ഉള്ളറകളിലേക്ക് കൊണ്ട് പോകാന്‍ സഹായിച്ചു.

  35. ഞാന്‍ നേരത്തെ പറഞ്ഞ ഒരു കാര്യം വീണ്ടും പറയട്ടെ .പേജ് നമ്പര്‍ 197ല്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന മധ്യമരേഖയെ മധ്യബിന്ദു 2:1 എന്നാ അംശബന്ധത്തില്‍ ഭാഗികുന്നു എന്നാ ഭാഗം കുറച്ചു വളഞ്ഞു പോയി.തെറ്റ് ഉണ്ട് എന്നല്ല അറിയാതെ വഴികള്‍ നീണ്ടു പോയി എന്നാല്‍ ഇത് കണ്ടെത്താന്‍ എത്ര അധ്യാപകര്‍ ശ്രമിച്ചു .അല്ലെങ്കില്‍ അത് കണ്ടെത്തി ആ രീതി ക്ലാസ്സില്‍ അവതരിപിച്ചു നോക്കി.

    അവിടെയാണ് അധ്യാപകന്റെ സൂക്ഷ്മത,കഴിവ് എന്നിവ പ്രകടമാക്കേണ്ടത് .നാളെ എന്റെ ക്ലാസ് എങ്ങിനെ ആയിരിക്കണം ആ ക്ലാസിലെ കുട്ടികളുടെ നിലവാരം എങ്ങിനെ ആണ് ? ഏതു രീതിയില്‍ അവതരിപിച്ചാല്‍ ആണ് കാര്യങ്ങള്‍ മനസ്സിലാക്കുക ? എന്നതിനെ കുറിച്ച് അദ്ധ്യാപകന്‍ ഹോം വര്‍ക്ക്‌ ചെയ്യണം(ശമ്പള സ്കയിലിന്റെ കാര്യത്തില്‍ ചെയുന്നത് പോലെ).

    പിന്നെ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ പറയുന്ന പോലെ തന്നെ കാര്യങ്ങള്‍ അവതരിപ്പികണം എന്നുമില്ല.തന്റേതായ വഴികളിലൂടെ സഞ്ചരിച്ചു പുസ്തത്തെ ഒരു സഹായി മാത്രം ആകി എടുത്തു അധ്യാപകന് മുന്നേറാം.

  36. ravi says:

    ഹോം സാര്‍, ഫ്രീ സാറുടെ പേരാണോ ബാബുമാഷ്, നമ്മുടെ ബാബുജേക്കബ് ആണോ ഇത് ?

  37. Krishnan says:

    @ ആതിര, ഹരിത, അനന്യ

    “ഒരു നിശ്ചിത ലക്ഷ്യത്തെ മുന്‍നിര്‍ത്തി അല്ല ഗണിത പഠനം മുന്നോട്ടു കൊണ്ട് പോകേണ്ടത് .”

    ഒരു സംഭവം ഓര്‍മ വരുന്നു. പത്തുമുപ്പതു വര്‍ഷം മുന്‍പാണ്‌. അന്ന്‌ കൊച്ചി സര്‍വകലാശാലയിലെ പ്രൊഫസര്‍ ആയിരുന്ന, മഹാരസികനായ ആബ്ദി സാര്‍ കോളേജ് അധ്യാപകരുടെ ഒരു പരിശീലനക്ലാസ് നടത്തുന്നു. ഗണിതത്തിന്റെ വിവിധമേഖലകളിലൂടെ അനായാസമായി അദ്ദേഹത്തിന്റെ സരസഭാഷണം നീളുന്നതിനിടയില്‍ മുന്നിലിരുന്ന ചെറുപ്പക്കാരനായ ഒരു അധ്യാപകന്‍ ചോദിച്ചു: “Sir, where are you leading with all this?”. സംസാരം നിര്‍ത്തി, താടിക്കു കൈകൊടുത്ത്, ഒരു ചെറു പുഞ്ചിരിയോടെ അയാളെ കുറച്ചുനേരം സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയിട്ട്, അദ്ദേഹം പറഞ്ഞു: “Young man, in mathematics, we never know where we are going!”

  38. ഓരോ സോഫ്റ്റ്വെയറും പുതിയ വേർഷൻ ഇറക്കുമ്പോൾ,ഉപയോക്താക്കൾ കുറച്ചു നാളത്തേക്ക്, അതിനെ കുറ്റം പറയുന്നത് കേൾക്കാറുണ്ട്. അത് പോലെത്തന്നെയാണ്‌ പാഠപ്പുസ്തകങ്ങളും. കുറച്ചൊക്കെ അധ്യാപകർ കഷ്ടപ്പെടേണ്ടി വരും അതൊന്നു മനസ്സിലാക്കി പഠിച്ചെടുക്കാൻ. പഠിച്ചെടുത്തു കഴിഞ്ഞവർ അതിനെ പുകഴ്ത്തുന്നതും കേൾക്കാം. നല്ലതിനെ ഉൾക്കൊള്ളാൻ ഒരിക്കലും മടിക്കേണ്ടതില്ല. “വീട്ടിലെ കാര്യങ്ങളു നോക്കാൻ തന്നെ സമയമില്ല , പിന്നെ അല്ലെ പുതിയത് പഠിക്കാൻ”.

    @കൃഷ്ണൻ ഞാൻ ഈയിടെ നെറ്റിൽ നിന്നു download ചെയ്തെടുത്ത പുസ്തകങ്ങൾ വായിക്കാൻ തുടങ്ങിയപ്പോൾ, ഓരോ section കഴിയുമ്പോഴും കുറെ ചോദ്യങ്ങൾ കൊടുത്തിട്ടിണ്ട്. പക്ഷെ , അതിനുള്ള ഉത്തരം ശരിയാണോ എന്ന് നോക്കാൻ എവിടെയും അതിന്റെ സൂചന കാണുന്നില്ല. ഒരു രക്ഷിതാവ് എന്ന നിലയിൽ ഞാൻ എവിടെ നിന്ന് അത് refer ചെയ്യും?.

  39. @കൃഷ്ണൻ ഞാൻ, എന്നത് @കൃഷ്ണൻ സാർ എന്നു തിരുത്തി വായിക്കുക. സോറി.

  40. Krishnan says:

    @ കാഡ് ഉപയോക്താവ്

    നമ്മുടെ പാഠപുസ്തകങ്ങളെക്കുറിച്ചാണെങ്കില്‍, അധ്യാപകസഹായിയില്‍ പല ചോദ്യങ്ങളുടേയും ഉത്തരം കൊടുത്തിട്ടുണ്ടെന്നു തോന്നുന്നു. ഇവ SCERT യില്‍നിന്നു വാങ്ങാം.

  41. അധ്യാപകസഹായികളുടെ സോഫ്റ്റ് കോപ്പികള്‍ സൈറ്റിലിടാന്‍ സമ്മര്‍ദ്ധം ചെലുത്താമോ..?

  42. @വി.കെ. നിസാര്‍ sir,

    CBSE ബുക്കുകളും , അധ്യാപക സഹായിയും അവരുടെ site-ൽ നിന്നും ഫ്രീ ആയി download ചെയ്യാം. SCERT ക്കും അത് ആകാമല്ലോ. ഉപയോഗപ്പെടുത്തലാണല്ലോ മുഖ്യം.

  43. Anjana says:

    നേരിട്ടുള്ള ക്ലാസ്സുമുറി അനുഭവത്തിന്റെ വെളിച്ചത്തിലല്ല എന്ന പരിമിതി ഇനി പറയുന്ന കാര്യങ്ങള്‍ക്കുണ്ട് എന്ന് ആദ്യമേ സമ്മതിച്ചുകൊള്ളട്ടെ.

    പുതിയ പുസ്തകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒന്ന് രണ്ടു നല്ല കാര്യങ്ങള്‍, അത് വായിക്കുന്നതോടൊപ്പം നമ്മെ ചിന്തിക്കാന്‍ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു എന്നതാണ്. മറ്റൊന്ന്, ചില ക്രിയകള്‍ ചെയ്യാന്‍ പരിശീലിപ്പിക്കുന്നതിനപ്പുറം അവയുടെ അര്‍ത്ഥവും ആശയവും ചര്‍ച്ചചെയ്യാന്‍ ശ്രമിച്ചു കാണുന്നു എന്നതാണ്. ഇത് വാസ്തവത്തില്‍ വളരെ പ്രയാസമുള്ള കാര്യമാണ്. കാലാകാലങ്ങളായി നാം അനുവര്‍ത്തിച്ച രീതി അങ്ങനെയായിരുന്നില്ല എന്ന് തോന്നുന്നു. ഒരു സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുമ്പോള്‍ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട കാര്‍ക്കശ്യം ആവശ്യമില്ലെങ്കില്‍ പോലും മനസ്സിലാക്കിവെച്ചിരിക്കുന്ന ഒട്ടനവധി കാര്യങ്ങള്‍ യുക്തിപൂര്‍വ്വം അണിനിരത്തി പുതിയകാര്യങ്ങളില്‍ എത്തിച്ചേരുക എന്നത് ഒരു വെല്ലുവിളിയാണ്. ചില 'വളയമില്ലാ ചാട്ടങ്ങളിലൂടെയാണ്' മുന്‍ കാലങ്ങളില്‍ ഇത് സാധിച്ചത് എന്ന് പഴയ പുസ്തകം സൂക്ഷ്മമായി പഠിച്ചാല്‍ മനസ്സിലാകും. പക്ഷെ 'എങ്ങനെയും കണക്കു ചെയ്തു ഉത്തരം കണ്ടെത്തുക' എന്ന 'അഭ്യാസ'ത്തില്‍ മാത്രം ഊന്നിയതിനാല്‍ ഇത് വലിയ പ്രശ്നമാകുന്നില്ല, ഒരു പരിധിവരെ ഇന്നും. ഉദാഹരണത്തിന് അഭിന്നകം എന്താണ് എന്ന് വിശദമാക്കാന്‍ നടത്തിയ ശ്രമം പഴയ പുസ്തകത്തില്‍ കാണില്ല, അഭിന്നകം എന്താണെന്ന് ഔപചാരികമായി നിര്‍വചിക്കുകയും ഉടനെ അത് ഉപയോഗിച്ചുള്ള കസര്‍ത്തുകള്‍ ആരംഭിക്കുകയുമാണ് ചെയ്യുന്നത്. മറ്റു ആശയങ്ങളും ഏറെക്കുറെ ഇങ്ങനെതന്നെയാണ് മുന്‍പ് പറഞ്ഞിരുന്നത്. ഈ രീതി ശീലമായ നാം പുതിയ രീതി യിലേക്ക് വരുമ്പോഴുള്ള താത്കാലികമായ അസൌകര്യങ്ങള്‍ മാത്രമാണ് ഇപ്പോള്‍ ഉള്ളത് എന്ന് തോന്നുന്നു. പക്ഷെ ഈ അസൌകര്യങ്ങളെ മറികടക്കാന്‍ പ്രയോജനപ്പെടുത്തേണ്ട cluster പോലെയുള്ള വേദികളില്‍ ഇപ്പോഴും മറ്റെന്തെക്കെയോ ആണ് സംഭവിക്കുന്നത്‌ എന്ന് അറിയുന്നു. ബുധിമുട്ടുകള്‍ക്കെല്ലാം കുട്ടികളെ മുന്‍ നിര്‍ത്തി ന്യായം കാണുന്നതും ശരിയല്ല. കുട്ടികള്‍ക്ക് പഴയതും പുതിയതും പുതിയതുതന്നെയാണ്. വ്യതസ്ത നിലവാരത്തിലുള്ള കുട്ടികള്‍ ഒരേ ക്ലാസിലുണ്ടാവുക എന്നതും പുതിയ കാര്യമല്ല. ഒന്നുകൂടി പറഞ്ഞോട്ടെ: പഠിപ്പിക്കലിന്റെ പുതായിക്കാണുന്ന “പ്രകടനപരത” പലപ്പോഴും അരോചകമായി മാറുന്നുണ്ട്. ഈ പ്രകടനപരതയും അസംബന്ധത്തോളം എത്തുന്ന നാടകീയതയും കുട്ടികളും അനുകരിക്കാന്‍ തുടങ്ങുന്നത് ഹരിത വിദ്യാലയം പോലെയുള്ള പരിപാടികള്‍ കാണുമ്പോള്‍ വേദനയോടെ നാം അറിയുന്നു.

  44. Babu Jacob says:

    .
    @ ഹോംസ് സാര്‍ & രവി സാര്‍ ,
    ഹോം സാര്‍, ഫ്രീ സാറുടെ പേരാണോ ബാബുമാഷ്, നമ്മുടെ ബാബുജേക്കബ് ആണോ ഇത് ?

    ആ മനുഷ്യന്‍ ഞാന്‍ അല്ല .
    അഭിപ്രായങ്ങളോട് യോജിപ്പുണ്ടാകാം .
    എങ്കിലും ഞാന്‍ വിചാരിക്കുന്നതും , പറയുന്നതും , പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നതും സ്വന്തം പേരില്‍ തന്നെയാണ് .
    .

  45. JOHN P A says:

    This comment has been removed by the author.

  46. JOHN P A says:

    ജ്യാമിതീയ അനുപാതം ഒത്തിരിസമയമെടുത്ത് ,ഒട്ടേറെ വര്‍ഷീറ്റുകല്‍ നല്‍കി പൂര്‍ത്തിയാക്കിയ എനിക്ക് ആന്മാര്‍ഥമായി പറയാന്‍ കഴിയും അത് അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നത് നൂറുശതമാനവും ശരിയാണെന്ന്.
    അതുപോലെതന്നെ സദ്യശ്യത്രികോണങ്ങളുടെ കാര്യത്തിളും ഇത് ശരിയായിവരുന്നു.ഈ രണ്ടു യൂണിറ്റുകളും ഒരു പരീക്ഷണമായിതന്നെയാണ് ഏറ്റെടുത്തത്.ആ രണ്ടുയൂണിറ്റുകളും ഒന്നായിക്കണ്ട് കാര്യങ്ങള്‍ മനസിലാക്കാന്‍ മിക്കവാറും എല്ലാ കുട്ടികള്‍ക്കും കഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്.രമ്ടുവര്‍ഷം മുന്‍പ് ഒരു പരിശീലന മൊഡ്യുളില്‍ അടിസ്ഥാനഅനുപാതസിദ്ധാന്തം ലളിതമാക്കാന്‍ നടത്തിയശ്രമങ്ങള്‍ കുറെ RP മാരെങ്കിലും ഓര്‍ക്കുന്നുണ്ടാകുമല്ലോ.അത് കൃത്യമസാഹചര്യങ്ങളില്‍ തെളിയിക്കേണ്ടതല്ലെന്നും തികച്ചും സ്വാഭാവികമായി തെളിഞ്ഞുവരേണ്ടതാണെന്നും ഞാന്‍ അറിഞ്ഞത് പുതിയ പുസ്തകത്തിലൂടെയാണ്.മേളകളെക്കുറിച്ച് നടത്തിയപരാമര്‍ശത്തില്‍ ഒരു കലത്ത് നിലനിന്നിരുന്ന കാര്യങ്ങള്‍ ഇന്ന് അത്രയ്ത്ത് ശരിയാണോ? പാഠപുസ്തക രചയിതാക്കളുടെ ചിന്തകളെ അത്രത്തോളമല്ലെങ്കിലും ഒരു പരിധിവരെ ഉള്‍ക്കോള്ളാന്‍ ഭൂരിപക്ഷം പേര്‍ക്കും കഴിഞ്ഞിട്ടുണെന്നാണ് എനിക്കുതോന്നുന്നത് .

  47. Hi

    Is orukkam of maths available for download…

  48. Krishnan says:

    ബഹുഭുജങ്ങളുടെ അന്തിമരൂപമായ വൃത്തത്തെക്കുറിച്ചു സംസാരിച്ചു തുടങ്ങിയ നാം, ആദിബഹുഭുജമായ ത്രികോണത്തിലെത്തിയത് രസംതന്നെ. വീണ്ടും വൃത്തത്തിലേയ്ക്ക് ഒരു നോട്ടമായാലോ?

    πയെക്കുറിച്ച് അടുത്തിടെ മനസിലാക്കിയ ഒരു കാര്യം: 360 ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെ π എഴുതിയാല്‍ക്കിട്ടുന്ന അവസാന മൂന്നക്കങ്ങള്‍ 3, 6, 0 തന്നെ.

    linux ലെ bc എന്ന പ്രോഗ്രാം (പാഠപുസ്തകത്തിലെ പേജ് 172) ഉപയോഗിച്ച് ഇതു പരിശോധിക്കാം

  49. Anjana says:

    ഏതു വൃത്തത്തിന്റെയും ചുറ്റളവിനെ വ്യാസം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്നത് ഒരേ സംഖ്യയാണ്… ഇത് ഒരു അഭിന്നകസംഖ്യയാണെന്നും, 3.14159… എന്നിങ്ങിനെ തുടരുമെന്നും തെളിയിക്കാം.

    എന്തുകൊണ്ട് 3.14159… എന്നിങ്ങനെ തുടരുന്ന ഒരു അഭിന്നകമായി, മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യയായില്ല എന്ന് ചോദിച്ചു ഒരു വിരുതന്‍.

    എങ്ങനെ അവനെ 'ശരിപ്പെടുത്താം'?🙂

  50. Anjana says:

    This comment has been removed by the author.

  51. Krishnan says:

    @ അഞ്ജന റ്റീച്ചര്‍

    ലളിതമായ ചോദ്യം! പക്ഷേ, അയാളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഉത്തരം പറയുന്നതെങ്ങിനെ? അതിനുമുന്‍പ്, നമ്മെത്തന്നെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഉത്തരം അന്വേഷിക്കണമെന്നു തോന്നുന്നു. അതായത്, അയാളെ “ശരിപ്പെടുത്തുന്നതിനു” മുന്‍പ് നമുക്കൊന്നു “ശരിപ്പെടാന്‍” ശ്രമിച്ചുനോക്കാം🙂

    പരിചിതമല്ലാത്ത അഭിന്നകസംഖ്യകളെ, പരിചയമുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നതാണ്‌ ഇവിടത്തെ പ്രധാന പ്രശ്നം. ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ വികര്‍ണത്തിന്റെ നീളത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ എന്തുകൊണ്ടു 1.4142… എന്ന സംഖ്യ കിട്ടുന്നു എന്നു ചോദിച്ചാല്‍, രണ്ടു മൂന്നു ഘട്ടങ്ങളായി ഒരുത്തരം പറയാം:

    1. ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ വികര്‍ണം വശമായ സമചതുരത്തിന്‌ ആദ്യത്തെ സമചതുരത്തിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങ് പരപ്പളവാണ്‌ എന്നു ചിത്രം വരച്ചു കാണിക്കാം (ഏഴാംക്ലാസ് പാഠപുസ്തകം, പേജ് 139)
    2. വികര്‍ണത്തിന്റെ വര്‍ഗം 2 ആണ്
    3. വര്‍ഗം 2 ആയ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയില്ല. എന്നാല്‍, 1.4, 1.41, 1.414, … എന്നീ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗം 2 നോട് അടുത്തടത്തു വരുന്നു.

    സംഖ്യാപരമായി നോക്കിയാല്‍, ഇവിടെ വികര്‍ണത്തിന്റെ നീളമായ √2 എന്ന അഭിന്നകസംഖ്യയെ പരിമിതമായ (finite) ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ 2 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താന്‍ കഴിയുന്നു എന്നതാണ്‌ ഈ വിശദീകരണത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം. എന്നാല്‍
    π എന്ന അതീതസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തണമെങ്കില്‍, അനന്തമായ (infinite) പ്രക്രിയകള്‍ ആവശ്യമായി വരും. ഉദാഹരണമായി,

    π−π^3/3!+π^5/5!−…=0

    മറിച്ച്, π കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒരു അനന്തപ്രക്രിയയെക്കുറിച്ച് പണ്ടെഴുതിയ ഒരു ലേഖനം ഇവിടെ കൊടുക്കുന്നു.

  52. കൃഷ്ണൻ സാർ വന്നപ്പോൾ, ചർച്ച അതിന്റെ ശരിയായ ദിശയിലായി. നന്ദി സാർ. മാത്സ് ബ്ലോഗിനും നന്ദി.

  53. അഞ്ജന ടീച്ചര്‍,

    ഇവിടെ നോക്കൂ. സാധാരണ ഗതിയില്‍ കുറച്ച് ദിവസത്തേക്ക് അവിടെ ഉത്തരങ്ങള്‍ വന്നുകൊണ്ടേയിരിക്കും. ടീച്ചര്‍ക്ക് അവിടത്തെ ചര്‍ച്ചയില്‍ ഇടപെടുകയും ആവാം. ടീച്ചര്‍ക്ക് നല്ലതെന്ന് തോന്നുന്ന ഒരു ഉത്തരം അവിടെനിന്ന് കിട്ടിയാല്‍ അതിവിടെ പങ്കുവെച്ചാല്‍ നന്നായിരിക്കുമെന്ന് തോന്നുന്നു.

    ഗണിതത്തെപ്പറ്റി (ഗണിതപാഠനത്തെപ്പറ്റിയും) പൊതുവായുള്ള സംശയങ്ങള്‍ ചോദിക്കാന്‍ (ഉത്തരങ്ങള്‍ കൊടുക്കാനും!) ഉള്ള വളരെ നല്ല ഒരു വെബ്സൈറ്റാണ് ഇത്. ഇതുപോലെ ഒട്ടേറെ വിഷയങ്ങള്‍ക്കുവേണ്ടിയുള്ള, നല്ല നിലവാരം പുലര്‍ത്തുന്ന ചോദ്യോത്തര വെബ്സൈറ്റുകള്‍ ഇക്കൂട്ടരുടേതായുണ്ട്.

    — ഫിലിപ്പ്

  54. prasadv says:

    ഞങ്ങളുടെ സ്കൂളില്‍ നിന്നും വയനാട്ടിലേക്ക് ഒരു പഠന യാത്ര പ്ളാന്‍ ചെയ്തിട്ടുണ്ട്.കാണേണ്ട സ്ഥലങ്ങളും റൂട്ടും ആരെങ്കിലും എനിക്ക് മെയില്‍ ചെയ്യാമോ?
    സതീശ് ചേര്‍ത്തല
    satheeshbk@hotmail.com

  55. prasadv says:

    ഞങ്ങളുടെ സ്കൂളില്‍ നിന്നും വയനാട്ടിലേക്ക് ഒരു പഠന യാത്ര പ്ളാന്‍ ചെയ്തിട്ടുണ്ട്.കാണേണ്ട സ്ഥലങ്ങളും റൂട്ടും ആരെങ്കിലും എനിക്ക് മെയില്‍ ചെയ്യാമോ?
    സതീശ് ചേര്‍ത്തല
    satheeshbk@hotmail.com

  56. prasadv says:

    ഞങ്ങളുടെ സ്കൂളില്‍ നിന്നും വയനാട്ടിലേക്ക് ഒരു പഠന യാത്ര പ്ളാന്‍ ചെയ്തിട്ടുണ്ട്.കാണേണ്ട സ്ഥലങ്ങളും റൂട്ടും ആരെങ്കിലും എനിക്ക് മെയില്‍ ചെയ്യാമോ?
    സതീശ് ചേര്‍ത്തല
    satheeshbk@hotmail.com

  57. vijayan says:

    @satheesh sir,
    though this is an off topic,you will get details by tomorrow thru mail.

  58. Anjana says:

    കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍.

    സാര്‍ എഴുതിയ വിശദീകരണം വായിച്ചു. ഈ ചോദ്യത്തെക്കുറിച്ച് ചിന്തിച്ചപ്പോള്‍ ഏതു തരത്തിലുള്ള ഉത്തരമാണ് ഇതിനൊക്കെ നല്‍കുക എന്നൊരു ആശയക്കുഴപ്പതിലായിരുന്നു ഞാന്‍. സാറിന്റെ മറുപടിയില്‍ നിന്നും ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങളെ സമീപിക്കേണ്ട രീതിയെക്കുറിച്ച് ചില വ്യക്തതകള്‍ ഉണ്ടായി. ആലോചിച്ചു നോക്കുമ്പോള്‍ ഗണിതത്തിലും ഭൌതികതിലും ഒക്കെ ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് സാധുതയുള്ള കുറെയേറെ സാഹചര്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടെന്നു തോന്നുന്നു. പക്ഷെ പലപ്പോഴും ഇതുപോലെയുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് അയഥാര്‍ത്ഥമോ അതിഭൌതികാമോ ആയ ചില ആശയങ്ങളെക്കൊണ്ട് പുകമറ സൃഷ്ടിക്കുന്ന വ്യാഖ്യാനങ്ങളാണ് കാണാറ്.

    ഫിലിപ്പ് സാര്‍,

    വെബ്‌സൈറ്റ് സന്ദര്‍ശിച്ചു, ഇതേവരെയുള്ള മറുപടികള്‍ വായിച്ചു നോക്കി. വളരെ sincere ആയിട്ട് തന്നെ ആളുകള്‍ മറുപടി പറയാന്‍ ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് തോന്നി. തുടര്‍ന്നുള്ള പ്രതികരണങ്ങളും വായിക്കാന്‍ കൌതുകത്തോടെ കാത്തിരിക്കുന്നു. Mathsblog സന്ദര്‍ശിക്കുന്ന എല്ലാവര്‍ക്കും ഈ site -നെ പരിചയപ്പെടുത്തിയത് പ്രയോജനപ്പെടും. നന്ദി. നീണ്ട ഇടവേളക്കു ശേഷം mathsblog – ല്‍ വന്നതില്‍ സന്തോഷവും!

  59. സാര്‍,
    അല്പം ഓഫ് ടോപ്പിക് കൂടി.റെഡി റഫറന്‍സ് ആയി ഈ സൈറ്റിനെ കാണുന്നതുകൊണ്ടാണ് ഇവിടെ പോസ്റ്റ് ചെയ്യുന്നത്.
    1. ഉബുണ്ടു 10.04-ല്‍ ഒരു vcd ഇട്ടു. അത് കോപ്പി ചെയ്യണം. vlcറീഡ് ചെയ്യുന്നില്ല.ഇമേജ് അല്ല വേണ്ടത്. .dat.ഫയലുകളാണ് മുഴുവന്‍. ലിനക്സിലെ കമാന്റ് അടിച്ചുനോക്കിയിട്ടും രക്ഷയില്ല.
    2. wipro lap- ഇതിന്റെ നിലവിലുള്ള resolution 800*600 മറ്റ്ഓപ്ഷനുകളില്ല. ഇത് ACER ന്റെ DLPയുമായി
    കണക്ട് ചെയ്യുമ്പോള്‍ DISPLAYവരുത്തണം.DPKG അടിച്ചിട്ടും രക്ഷയില്ല.
    3.ടാലി ഉബുണ്ടുവില്‍ വര്‍ക്ക് ചെയ്യുന്നതുണ്ടോ.

  60. പ്രിയപ്പെട്ട കൃഷ്ണന്‍സര്‍
    അങ്ങയുടെ വിലപ്പെട്ട അഭിപ്രായങ്ങള്‍ ഞങ്ങള്‍ക്ക്
    വളരെ ഉപകരിക്കാറുണ്ട്൰ഈ വിഷയവുമായി
    ബന്ധപ്പെട്ടതായതിനാല്‍ ഒരു അനുഭവം ഇവിടെ
    സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
    ഇപ്രാവശ്യത്തെ ഞങ്ങളുടെ group project,
    വശങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുന്തോറും ബഹുഭുജങ്ങള്‍
    വൃത്തത്തോട് കൂടുതല്‍ അടുക്കുന്നു. എന്നാല്‍ ഒരിക്കലും
    വൃത്തമായി മാറില്ല എന്നതായിരുന്നു.ഇതിനായി റൂളര്‍
    (SCALE എന്നാണ്ഉദ്ദേശിച്ചത്),കോമ്പസ് ഇവ മാത്രം
    ഉപയോഗിച്ച് 20വശങ്ങള്‍ ഉള്ള ബഹുഭുജങ്ങള്‍ വരെ വരക്കുകയും
    1500വശങ്ങള്‍ വരെ ഉള്ളവgeogebra softwareഉപയോഗിച്ചു
    വരക്കുകയും ചെയ്തു.
    അവയുടെ incircle, circumcircleഇവ വരക്കുകയും
    perimeter,areaഇവ കണ്ട് graphന്റെ സഹായത്തോടെ
    Circumcircleന്റെ area, perimeter ഇവയോട് incircle, regular polygon
    ഇവയുടെ perimeter,areaഅടുക്കുന്നുവെന്നും മനസ്സിലാക്കി.
    geogebra softwareഉപയോഗിച്ചു വരച്ചവzoomചെയ്യുമ്പോള്‍
    edge,curveഇവ വളരെ വ്യക്തമായി വെവ്വേറെ കാണാന്‍
    സാധിച്ചു.
    എന്നാല്‍ Laptopഉപയോഗിക്കാന്‍ പറ്റില്ല
    എന്നും നിങ്ങള്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെ അട്ടിമറിക്കുക
    യാണെന്നും വലിയ ക്ളാസില്‍ ഇതിനെപറ്റി കൂടുതല്‍
    പഠിക്കുമെന്നും റൂളര്‍ എന്നത് അങ്കനം ചെയ്യാത്തതാണെന്നും
    പറഞ്ഞ് C gradeകൊടുത്തു വിട്ടു. ഞെട്ടല്‍ ഇതുവരെ
    വിട്ടുമാറിയിട്ടില്ല എന്നുകൂടിപറയട്ടെ. എവിടെയാണ് തെറ്റുപറ്റിയത്?

  61. N.Sreekumar says:

    ഗണിത-ശാസ്ത്രമേളകളുടെ വിധികര്‍ത്താക്കളുടെ പോരായ്മയെപ്പറ്റി ഇതിനുമുന്‍പും ചര്‍ച്ച നടന്നിരുന്നുവല്ലോ.
    റഫറി പരീക്ഷപോലെ ഒരു പരീക്ഷ വിധികര്‍ത്താക്കളുടെ യോഗ്യത നിശ്ചയിക്കുന്നതിന് നടത്തണമെന്നഉള്ളതു തന്നെയാണ് എന്റെ അഭിപ്രായം. അധ്യാപകനാണെന്നതോ അക്കാഡമിക് മികവുള്ളയാളാണെന്നതോ വിധികര്‍ത്താവാകാനുള്ള യോഗ്യത ആയി പരിഗണിക്കരുത്.
    ക്യഷ്ണന്‍ സാറിനെപ്പോലെയുള്ള പ്രഗല്‍ഭന്മാരുടെ ഒരു പാനല്‍ പരീക്ഷാ ചോദ്യങ്ങളും മറ്റും തയ്യാറാക്കണം. അഭിമുഖം നടത്തണം.പ്രായോഗികശേഷിയും വിലയിരുത്തണം. പരീക്ഷ ഓണ്‍ലൈന്‍ ആയി നടത്തിയാലും മതി.

  62. JOHN P A says:

    ശ്രീകുമാര്‍സാര്‍
    നിയമാവലിയിലെ ചില സാങ്കേതികപ്രശാനങ്ങളാണ് ടീച്ചര്‍ പറഞ്ഞകാരണം. നാലുചാര്‍ട്ടുകള്‍ മാത്രം ഉപയോദിക്കാം എന്നത് മറ്റോന്നും പാടില്ല എന്ന് വ്യാഖ്യാനിച്ചു. ഒരു സമയത്ത് പ്രോജക്ട് അവതരണത്തിനായി കുട്ടി ഒത്തിരി ചാര്‍ട്ടുകള്‍ കൊണ്ടുവന്നിരുന്നു. അത് നിയന്ത്രിക്കാനാണ് ഇപ്രകാരം ചെയാതത് . ചാര്‍ട്ടുകളോടൊപ്പം കൊണ്ടുവരുന്ന മറ്റ് മോഡലുകളും പരീക്ഷണസാമഗ്രികളും ഈ ” മാത്ര” ത്തില്‍ പെടില്ല. ലാപ് ടോപ്പിനുമാത്രമേ വിലക്കുള്ളൂ. ആ വശ്യമെങ്കില്‍ അത് അനുവദിക്കേണ്ടത് കാലഘട്ടത്തിന്റെ ആവശ്യമാണ്. ജഡ്ജിമാരുടെ പ്രശ്നങ്ങള്‍ മറ്റു പലതുമാണ്. പരിഞ്ജാനക്കുറവ് ഒരുവശത്ത് ,അപ്രമാതിത്വം മറുവശത്ത് . ഞാന്‍ ഒരിക്കല്‍ പറഞ്ഞില്ലേ , സ്വന്തം സ്ക്കുളിലെ കുട്ടികളെ സ്വന്തമായിപരിശീലിപ്പിച്ച അനുഭവങ്ങളായിരിക്കണം അടില്ഥാനയോഗ്യത.കുട്ടികളെ കേള്‍ക്കാനുള്ള മനസുവേണം. അവരെ കളിയാക്കുന്ന കമന്റുകള്‍ നടത്തരുത്. അല്പസമയംകൊണ്ട് കുട്ടികല്‍ക്കും അവരെ ഒരുക്കിയവര്‍ക്കും സ്റ്റഡിക്ലാസ് എടുക്കരുത്. മാര്‍ക്കിയുന്നതില്‍ കൂടിയാലോചന വേണം മൂന്നുപേര്‍ തമ്മില്‍ . കഴിയുന്നതും കുട്ടിയുടെ അടുത്തേയ്ക്ക് ചെല്ലണം,മാര്‍ക്കിടാന്‍ . ഒരു കുട്ടിയെക്കോണ്ട് മൂന്നുപ്രവശ്യം പറയിക്കരുത് .

  63. JOHN P A says:

    This comment has been removed by the author.

  64. thomas v t says:

    ഒന്‍പതാംക്ലാസിലെ മൂന്നാമധ്യായം വ്രുത്തങ്ങള്‍ പേജ് 47ല്‍
    “ഒരു വ്രുത്തത്തിലെ തുല്യമായ രണ്ട് ഞാണുകള്‍ സമാന്തരമല്ലെന്കില്‍ അവയുടെ അറ്റങ്ങള്‍ യോജിപ്പിച്ചാല്‍ ഏത് തരം ചതുര്‍ഭുജമാണ് ലഭിക്കുക” ഏന്നൊരു അന്വഷണമുണ്ട്.
    ഒരു സമപാര്‍ശ്വലംബകമാണ് മനസ്സില് വരുന്നത്.ഇതിനൊരു തെളിവ് കൊടുക്കാന്‍ കഴിയുമൊ.?

  65. Krishnan says:

    @ അഞ്ജന റ്റീച്ചര്‍

    വളരെ അടിസ്ഥാനപരമായ ഒരു കാര്യം ചോദിക്കുന്ന ഒരു കുട്ടിയോട് ഉത്തരം പറയുന്നതിനുമുന്‍പ് എന്താണ്‌ അയാളെ കുഴയ്ക്കുന്നതെന്ന് വ്യക്തമായി മനസിലാക്കണമല്ലോ. അതിന്‌ ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ തിരിച്ചു ചോദിക്കേണ്ടിവരും. ഇത്തരമൊരു Socratic Dialogue അല്ലേ, ബോധനത്തിന്റെ അടിസഥാനം? ഗുരു പറയുന്നത് ശിഷ്യന്‍ മനസിലാക്കുന്നതിനോടൊപ്പം, ശിഷ്യന്റെ മനസ് ഗുരു മനസിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്ന ദ്വന്ദഭാവം. (ഇതു നടക്കണമെങ്കില്‍ ഗുരു യഥാര്‍ത്ഥ ഗുരു തന്നെയാകണം—അല്പം നീട്ടിപ്പാടിയ ലഘു ആയാല്‍പ്പോരാ.)

    ഈയൊരു ചിന്തയിലാണ്‌, πയെക്കുറിച്ച് നമുക്കുതന്നെ ചില തിരിച്ചറിവുകള്‍ വേണമെന്ന്‌ ആദ്യം എഴുതിയത്. ഇതെങ്ങിനെ കുട്ടിയ്ക്ക് പറഞ്ഞുകൊടുക്കുമെന്ന് ഇനി ആലോചിക്കണം. ജ്യാമിതീയമായി π കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള “മാര്‍ഗം” പുസ്തകത്തിലുണ്ട് . ഇത് ഇങ്ങനെ വിശദീകരിക്കാം:

    1. വൃത്തത്തിനുള്ളില്‍ ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കുക. ഇതിന്റെ ചുറ്റളവിനെ വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസംകൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്നത് 2√2 = 2.828… ആണല്ലോ. സമചതുരത്തിനുപകരം, സമഷഡ്ഭുജമാണെങ്കില്‍, 3 കിട്ടുമെന്നും കാണാന്‍ വിഷമമില്ല.

    2. ഇനി മറ്റു ബഹുഭുജങ്ങള്‍ക്ക് ഈ സംഖ്യ എന്താണെന്നു നോക്കണം.

    3. ഇതിന്‌ ലിയു ഹൂയിയുടെ രീതി (ആദ്യത്തെ ഉത്തരത്തിനോടൊപ്പമുള്ള ലേഖനത്തില്‍ ഇതു വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്) ഉപയോഗിക്കാം.

    മുകളില്‍പ്പറഞ്ഞതെല്ലാം ഒരുമിച്ച് കുട്ടിയോട് പറയണമെന്നില്ല. മുന്നാംഘട്ടത്തിലേയ്ക്കു കടക്കാതെ, മറ്റു ബഹുഭുജങ്ങള്‍ക്ക് ഈ സംഖ്യ കണ്ടൂപിടിക്കുന്നതിന്‌ അത്ര എളുപ്പമല്ലാത്ത മാര്‍ഗമുണ്ടെന്നും, അങ്ങിനെ ചെയ്താല്‍ ക്രമേണ 3.1415.. എന്നിങ്ങനെ കിട്ടുമെന്നും പറഞ്ഞാല്‍ത്തന്നെ അയാള്‍ തൃപ്തനായിയെന്നു വരാം.
    (കുറേനാള്‍ കഴിഞ്ഞ് അതെങ്ങിനെയെന്ന് അന്വേഷിച്ച് വീണ്ടും വന്നേയ്ക്കാം)

    ആദ്യം പറഞ്ഞതുപോലെ, ഉത്തരത്തിന്റെ സ്വഭാവം, ചോദിക്കുന്നയാളുടെ മനസിനു പാകത്തിലാകണം. കുട്ടിയുടെ വളരുന്ന മനസിനെ ഉള്‍ക്കൊള്ളാന്‍മാത്രം വലിപ്പമുള്ള മനസ് അധ്യാപകന്‍ ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കണം. അതിന്‌ ഗണിതജ്ഞാനം മാത്രം പോരതാനും.

  66. JOHN P A says:

    തോമസ്സാര്‍
    സാര്‍ പറഞ്ഞ ചതുര്‍ഭുജം ച്ക്രീയമാണ്. എതിര്‍ കോണുകളുടെ തുക 180. പിന്നെ രണ്ടുവശങ്ങള്‍ തുല്യം
    അവ കര്‍ണ്ണ മാക്കി സര്‍വ്വസമങെന്നു തെളിയിക്കാവുന്ന മട്ടത്രികോണങ്ങള്‍ വരക്കാം
    പിന്നെ പാര്‍ശ്വാന്തരകോണുകലുടെ തുക 180 എന്നു കിട്ടും
    അത് സമപാര്‍ശ്വലംബകത്തിലേയ്ക്ക് എത്തിക്കുന്നു

  67. N.Sreekumar says:

    “സ്വന്തം സ്ക്കുളിലെ കുട്ടികളെ സ്വന്തമായി പരിശീലിപ്പിച്ച അനുഭവങ്ങളായിരിക്കണം അടിസ്ഥാനയോഗ്യത.”
    'സ്വന്ത'മായാണോ പരിശീലിപ്പിച്ചത് എന്നറിയാന്‍ എന്തു മാര്‍ഗമാണ് അവലംബിക്കുവാന്‍ കഴിയുക?
    മൂന്നു ഡിവിഷനിലായി ചുരുങ്ങിപ്പോയ സ്കൂളുകളിലെ അധ്യാപകരില്‍ പലരും സ്വന്തമായി പരിശീലിപ്പിക്കുവാനുള്ള കഴിവില്ലാത്തതുകൊണ്ടു മാത്രമാണോ മേളകളില്‍ പങ്കെടുക്കാതിരിക്കുന്നത്.പരിശീലിപ്പിക്കേണ്ട കുട്ടിയുടെ ശേഷിയും ഒരു ഘടകമല്ലേ?
    സ്കൂളിനു പുറത്തുള്ളവരുടെ സഹായത്താല്‍ മാത്രം മേളകളില്‍ കുട്ടികളെ പങ്കെടുപ്പിക്കുന്ന അധ്യാപകരില്ലേ?ഇത് കുട്ടിയുടെ രക്ഷാകര്‍ത്താവിന്റെ ചുമതലയിലായിരിക്കുകയും ചെയ്യും.
    ആട്ടോമാറ്റിക് റെയില്‍വേ സിഗ്നല്‍ ഗേറ്റും ബോട്ടപകടം വരാതിരിക്കുവാനുള്ള ഇലക്ടോണിക് സംവിധാനവും ഒരുക്കി പ്രദര്‍ശിപ്പിക്കുന്ന സ്കൂളിലെ വൈദ്യുതഫ്യൂസ് പോയാല്‍ കെട്ടാന്‍ ഇലക്ട്രീഷ്യന്‍ വരണമെന്നു വന്നാലോ?

  68. JOHN P A says:

    നാര്‍പറയുന്ന തരത്തിലെല്ലാത്ത അനവധി അധ്യാപകരുമുണ്ടന്ന് അറിയുക.

  69. @ സ്നേഹം നിറഞ്ഞ തോമസ്‌ സര്‍

    “ഒരു വൃത്തത്തിലെ തുല്യമായ രണ്ട് ഞാണുകള്‍ സമാന്തരമല്ലെന്കില്‍ അവയുടെ അറ്റങ്ങള്‍ യോജിപ്പിച്ചാല്‍ഏത് തരം ചതുര്‍ഭുജമാണ് ലഭിക്കുക” ഏന്നൊരുഅന്വഷണമുണ്ട്.ഒരുസമപാര്‍ശ്വലംബകമാണ്
    മനസ്സില് വരുന്നത്.ഇതിനൊരു തെളിവ് കൊടുക്കാന്‍ കഴിയുമൊ.? “

    ഞങ്ങള്‍ക്ക് തോന്നിയ ഒരു തെളിവ് താഴെ കൊടുക്കാം സര്‍ നോക്കിയിട്ട് ശരിയാണോ പറയണം
    ഇവിടെ നോക്കുമല്ലോ

    @ ജോണ്‍ സര്‍

    ഈ ചോദ്യത്തിനു സര്‍ പറഞ്ഞ ഉത്തരം ഒന്ന് കൂടി വിശദം ആയി പറയുമോ ?

  70. @ പ്രിയപ്പെട്ട കൃഷ്ണന്‍ സര്‍
    ഞങ്ങള്‍ നേരത്തെ പറഞ്ഞ ഒരു കാര്യം ആണ് .സര്‍ അന്ന് മറുപടി തന്നില്ല.നമ്മുടെ പുതിയ പുസ്തകം അടുത്ത വര്ഷം വരുമ്പോള്‍ ഓരോ വോല്യത്തിലും ഗണിത ശാസ്ത്രത്തില്‍ ഇന്ന് നടന്നു വരുന്ന പ്രധാന മത്സര പരീക്ഷകളുടെ വിവരങ്ങള്‍ കൊടുക്കുമോ ?

    ഇതിനും മറുപടി തന്നില്ല എങ്കില്‍ പിന്നെ ഞങ്ങള്‍ ഒറ്റ കാര്യവും പറയാന്‍ വരില്ല . ഹാ പറഞ്ഞേക്കാം .മറുപടി തരണം .
    പിന്നെ ഞങ്ങള്‍ പിള്ളേര്‍ അല്ലെ എന്ന് പറഞ്ഞു ഞങ്ങളെ അങ്ങിനെ ഒഴിവാക്കാന്‍ നോക്കണ്ട. ഞങ്ങള്‍ പറയുന്നതിലും ഒക്കെ കുറെ കാര്യം ഉണ്ട് .ഇല്ലേ ?

    ആതിര, ഹരിത, അനന്യ

  71. @ സ്നേഹം നിറഞ്ഞ തോമസ്‌ സര്‍

    “”ഒരു വ്രുത്തത്തിലെ തുല്യമായ രണ്ട് ഞാണുകള്‍ സമാന്തരമല്ലെന്കില്‍ അവയുടെ അറ്റങ്ങള്‍ യോജിപ്പിച്ചാല്‍ ഏത് തരം ചതുര്‍ഭുജമാണ് ലഭിക്കുക” ഏന്നൊരു അന്വഷണമുണ്ട്.
    ഒരു സമപാര്‍ശ്വലംബകമാണ് മനസ്സില് വരുന്നത്.ഇതിനൊരു തെളിവ് കൊടുക്കാന്‍ കഴിയുമൊ.? “

    ഞങ്ങള്‍ ഒരു തെളിവ് താഴെ കൊടുക്കാം സര്‍ നോക്കുമല്ലോ . ഉത്തരം ശരിയാണോ എന്ന് പറയണം .

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  72. Jayasankar says:

    This comment has been removed by the author.

  73. Jayasankar says:

    This comment has been removed by the author.

  74. Jayasankar, Nerinjampilli Illom Chandrasekharan says:

    Hi all,

    I am back after a long period. Because of some personal problems, I could not go through the blog for a long time. I saw the post on circles.
    Here is a small interesting problem :
    Show how to draw using only compasses two intersecting circles such that the tangents to the circle at a point of their intersection are perpendicular(ie, two circles that intersect at right angles)

  75. thomas v t says:

    @ ആതിര,ഹരിത,അനന്യ

    ശരിയാണ് എ+ തന്നിരിക്കുന്നു.
    നിങ്ങളേപ്പോലുള്ള കുട്ടികള് ഒന്പതാം ക്ളാസിലുണ്ടാവുകയും തെളിവന്വഷിക്കുകയും ചെയ്താല് നന്നായിരുന്നു.

  76. @ജയശങ്കര്‍ സര്‍

    ഏറെ നാളുകള്‍ക്ക് ശേഷം സര്‍ മടങ്ങി വന്നതില്‍ സന്തോഷം.സര്‍ കൊടുത്ത ചോദ്യത്തില്‍ കോമ്പസ് മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കാന്‍ പാടുകയുള്ളൂ എന്ന് പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടല്ലോ . റൂളര്‍ ഉപയോഗിക്കാമോ എങ്കില്‍ ഞങ്ങള്‍ പത്താം ക്ലാസ്സില്‍ പഠിച്ച രീതിയില്‍ ചെയ്യാമല്ലോ ?

    രു ചെറിയ ക്ലൂ ഇവിടെ ഇടണം. ഒരു പൊട്ട തെറ്റ് ഉത്തരം ഞങ്ങളുടെ കയ്യില്‍ ഉണ്ട് അത് ഇവിടെ കൊടുത്താല്‍ പറ്റില്ല അതാണ് കൊടുക്കാത്തത്.

    ആതിര,ഹരിത,അനന്യ

  77. Jayasankar, Nerinjampilli Illom Chandrasekharan says:

    @Athira,Haritha and Ananya,
    Use only compasses. Use of ruler is not allowed

  78. Krishnan says:

    @ ആതിര, ഹരിത, അനന്യ

    നിങ്ങള്‍ ആദ്യം മത്സരപ്പരീക്ഷകളുടെ കാര്യം പറഞ്ഞപ്പോള്‍ത്തന്നെ പാഠപുസ്തകം പ്രസ്സിലേയ്ക്ക് പോയിക്കഴിഞ്ഞിരുന്നു. അല്ലെങ്കില്‍ ഇക്കാര്യം പാഠപുസ്തകക്കമ്മിറ്റിയില്‍ ചര്‍ച്ചയ്ക്കു വയ്ക്കാമായിരുന്നു. തികച്ചും വ്യക്തിപരമായിപ്പറഞ്ഞാല്‍ ഇന്നുള്ള രീതിയിലുള്ള ഗണിതമത്സരങ്ങളില്‍ എനിക്കത്ര താത്പര്യം തോന്നിയിട്ടില്ല. മത്സരങ്ങളെക്കാള്‍ സഹകരണം ഇഷ്ടപ്പെടുന്നതുകൊണ്ടാവാം.

    പിന്നെ, കുട്ടികള്‍ എന്നെ ധാരാളം പഠിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന്‌ മുന്‍പൊരിയ്ക്കല്‍ ഞാന്‍ എഴുതിയിരുന്നല്ലോ.

    യുക്തിയുക്തമുപാദേയം
    വചനം ബാലകാദപി
    അന്യത് തൃണമിവത്യാജ-
    മപ്യുക്തം പദ്മജന്മനാ

    (യുക്തിപൂര്‍വം പറയുന്നത് കുട്ടികളാണെങ്കിലും സ്വീകരിക്കുക; അല്ലാത്തത് ബ്രഹ്മാവ്‌ പറഞ്ഞാലും പുല്ലുപോലെ തള്ളിക്കളയുക) എന്നതുതന്നെയാണ്‌ എന്റെയും അഭിപ്രായം.

  79. rafeekhpv says:

    1/പൈ ആരമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ് bhinnakam അല്ലേ

  80. Krishnan says:

    @rafeekhpv

    ഒരു അളവ് ഭിന്നകമാണോ അല്ലയോ എന്നത്, അളക്കാനുപയോഗിക്കുന്നതിനേയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. സമചതുരത്തിന്റെ വികര്‍ണത്തെ വശം കൊണ്ട്‌ അളക്കാന്‍ (മറിച്ചും) ശ്രമിച്ചാലാണ്‌ അഭിന്നകമാകുന്നത്. അതുപോലെ വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിനെ വ്യാസം കൊണ്ടോ (മറിച്ചോ) അളക്കാന്‍ ശ്രമിച്ചാലാണ്‌ അഭിന്നകം വരുന്നത്. അതുകൊണ്ടുതന്നെയാണ്‌ പ്രാചീന ഗ്രീക്കുകാര്‍ അഭിന്നകസംഖ്യ എന്നു പറയാതെ പരസ്പരം അളക്കാന്‍ സാധിക്കാത്തവ (mutually incommensurable magnitudes) എന്നു പറഞ്ഞത്

  81. thomas v t says:

    This comment has been removed by the author.

  82. JOHN P A says:

    ആതിര
    ഒരു സംശയം
    വികര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ തുല്യമായ ലംബകം സമപാര്‍ശ്വം തന്നെ
    രണ്ടു തുല്യവശങ്ങള്‍ സമാന്തരവുമല്ല .ശരി
    മറ്റുരണ്ടുവശങ്ങഴും സമാനതരങ്ങളാണെന്നു സ്ഥാപിക്കണമല്ലോ.എന്നാലല്ലേ ലംബകമാകുകയുള്ളു. എന്നാല്ലേ വികര്‍ണ്ണള്‍ തുല്യമായ ലംബകം എന്ന് യുക്തിപരമായി അവകാശപ്പെടാന്‍ പറ്റു
    എന്റെ തെളിവിനെ വിശഗമാക്കാന്‍ ഒത്തിരി എഴുതണം. scan ചെയ്യാം.കുറച്ചുകഴിയട്ടെ

  83. @ദേവപ്രിയ ജയപ്രകാശ്
    ഗണിതശാസ്ത്ര മേളയില്‍ ഗ്രൂപ്പ് പ്രൊജക്റ്റ് അവതരിപ്പിച്ച കുട്ടികള്‍ തങ്ങളുടെ കണ്ടുപിടുത്തങ്ങള്‍ വിശദമാക്കുന്നതിന് ലാപ്‌റ്റോപ് ഉപയോഗിച്ചപ്പോള്‍ അതു പാടില്ല എന്ന് വിധികര്‍ത്താക്കള്‍ ശാഠ്യം പിടിച്ചത് തികച്ചും പരിഹാസ്യമാണ്. കേരളത്തിലുള്ള എല്ലാ സ്കൂളുകളിലും ലാപ്റ്റോപുകള്‍ വിതരണം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, അധ്യാപകരും ആവശ്യമെങ്കില്‍ കുട്ടികളും അതുപയോഗിക്കുന്നുമുണ്ട്. കേരളത്തിലെ സെക്കന്ററി ക്ലാസുകളില്‍ പഠിക്കുന്ന എല്ലാ കുട്ടികളും കമ്പ്യൂട്ടറുകള്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രായോഗിക ജ്ഞാനം നേടുന്നുമുണ്ട്. ( ഇത് ഒരു കുട്ടിയുടെ അല്ലെങ്കില്‍ ഒരു സ്കൂളിന്റെ മാത്രം സാധ്യതയോ പ്രിവിലിജോ അല്ല എന്നു കാണിക്കാനാണ് ഞാന്‍ ഇത്രയും പറഞ്ഞത്). പ്രൊജക്റ്റില്‍ സാങ്കേതിക ആവശ്യങ്ങള്‍ക്കായി കുട്ടികള്‍ ഉപയോഗിച്ചത് അവരുടെ തന്നെ എട്ടാം ക്ലാസിലെ സിലബസില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ജിയോജിബ്ര എന്ന സോഫ്റ്റ്‌വേര്‍ ആണു താനും. എന്തു കാര്യത്തിലാണാവോ ഈ കുട്ടികള്‍ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞന്‍മാരെ അട്ടിമറിച്ചത് ? തങ്ങളേക്കാള്‍ സാങ്കേതിക വിദ്യയില്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് വിവരം ഉണ്ട് എന്നു കണ്ടതായിരിക്കാം ഈ ഗുരുക്കന്മാരെ ഇത്തരമൊരു ഇണ്ടാസെറക്കാന്‍ പ്രേരിപ്പിച്ചത് ! കഷ്ടം, മേളകള്‍ക്കു വരുന്ന മുന്‍ നിരയിലുള്ള കുട്ടികളോട് ഒത്തു നില്ക്കാന്‍ കഴിയില്ലെങ്കില്‍ കട്ടയും പടവും മടക്കി വീട്ടില്‍ ഇരിക്കുകയായിരിക്കും ഭേദം.

  84. thomas v t says:

    @ ആതിര,
    sorry. നിങ്ങളെ പോലുള്ളവര് 90 ശതമാനവും ശരിയാക്കിയശേഷം കൊണ്ടെ തെറ്റിക്കുമെന്ന് കരുതിയില്ല.അവസാനഭാഗത്തെ Hence ന് ശേഷള്ള സ്റ്റെപ്പുകള്‍ ഞാന്‍ കരുതിയപോലയല്ല.AB,DC എന്നിവ സമാന്തരമാണെന്ന് തെളിയിക്കുകയാണ് വേണ്ടത്.
    ജോണ്‍സാര്‍ thanks ഇനീ ശ്രദ്ധിക്കും

  85. thomas v t says:

    @ ജയശന്കര് സാര്
    ആദ്യ കമന്റ് കാണാത്തതിനാല്‍ ഒരിക്കല്‍കൂടി പോസ്റ്റ് ചെയ്യുന്നു.
    C1,C2. എന്നീവ്രത്തങ്ങള്‍ പരസ്പരം ലംബമായി സംഗമിക്കുന്നു.
    ആദ്യം വരച്ചത് C കേന്ദമായവ്രത്തമാണ്.
    [im]https://sites.google.com/site/thirachil/thomas/iint.png?attredirects=0[/im]

  86. പ്രിയപ്പെട്ട ജോണ്‍സര്‍,ശ്രീകുമാര്‍സര്‍,പ്രദീപ്സര്‍
    പ്രതികരണങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം വളരെ നന്ദിയുണ്ട്൰
    നിങ്ങളോട് ഇതെല്ലാം പറഞ്ഞപ്പോള്‍ വല്ലാത്ത ആശ്വാസം.
    സത്യംപറഞ്ഞാല്‍ ഈ പ്രോജക്ട് ചെയ്തു കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍
    regular polygonsഎങ്ങനെ ruler,compassഇവമാത്രം
    ഉപയോഗിച്ചു വരക്കാമെന്നും trisection of angles
    എന്തുകൊണ്ട് സാധിക്കില്ല എന്നും PI ശരിക്കും
    ഒരു വില്ലന്‍ തന്നെ ആണെന്നും ഒരു infinite sided polygon,
    circleആയി മാറുന്നില്ലഎന്നും fermat's primes എന്താണെന്നും
    അങ്ങനെ എത്ര എത്ര കാര്യങ്ങള്‍!
    അംഗീകാരം കിട്ടിയില്ലെങ്കിലും ഞങ്ങള്‍ക്ക് മറ്റുഅറിവുകള്‍
    കിട്ടിയല്ലോ. Mathsല്‍ കൂടുതലും approximationഉപയോഗിച്ചുള്ള
    പഠിത്തമാണ് എന്നവര്‍ പറഞ്ഞു കൊടുത്തു.

  87. @ ജോണ്‍ സര്‍ & തോമസ്‌ സര്‍

    ചിത്രത്തില്‍ നിന്നും നമുക്ക് AP/PC = BP/PD എന്ന് കിട്ടിയില്ലേ അത് ഞങ്ങള്‍ അവിടെ കാണിക്കുകയും ചെയ്തിരുന്നു

    ΔAPB,ΔCPD എന്നിവ പരിഗണിക്കുക
    AP/PC = BP/PD
    കൂടാതെ < = < CPD
    അതിനാല്‍ ഈ ത്രികോണങ്ങള്‍ സദ്രിശ്യം ആണ് അല്ലോ

    ഈ സദ്രിശ്യ ത്രികൊണങ്ങളില്‍ നിന്നും
    < = < DCP എന്നും
    < = < CDP എന്നും കിട്ടുന്നു
    ഈ കോണുകള്‍ ഏകാന്തര കോണുകള്‍ ആണ് അല്ലോ ?

    ഏകാന്തര കോണുകള്‍ തുല്ല്യം ആയതിനാല്‍ AB,CD എന്നിവ സമാന്തര രേഖകള്‍ ആണ് .ഇതില്‍ നിന്നും ABCD ലംബകം ആണ് എന്ന് കാണാം.

    രാവിലെ സ്കൂളില്‍ നിന്ന് ഉത്തരം ടൈപ്പ് ചെയ്തു അയക്കുമ്പോള്‍ ഇതൊക്കെ വിശദം ആയി ടൈപ്പ് ചെയ്യാന്‍ പറ്റില്ല.ഈ സാധ്യത നിങ്ങള്‍ പരിഗണിക്കും എന്ന് കരുതി

  88. JOHN P A says:

    തോമസ്സാറെ
    നമ്മുടെ പുലിക്കുട്ടികള്‍ക്ക് മാര്‍ക്ക് കുറക്കല്ലേ.

  89. @ദേവപ്രിയ ടീച്ചര്‍

    “അങ്ങനെ എത്ര എത്ര കാര്യങ്ങള്‍!അംഗീകാരം കിട്ടിയില്ലെങ്കിലും ഞങ്ങള്‍ക്ക് മറ്റുഅറിവുകള്‍
    കിട്ടിയല്ലോ.”

    ടീച്ചറുടെ ആ അഭിപ്രായം ആണ് ശരി .കുട്ടികള്‍ ഓരോ പഠന പ്രവര്‍ത്തനവും നേരിട്ട് ചെയ്തു ശീലിച്ചു അല്ലോ.അവര്‍ക്ക് ഇതിന്റെ ഗുണം തീര്‍ച്ചയായും മറ്റു എവിടെയെങ്കിലും പ്രയോജനപെടും. സമ്മാനം അല്ലെങ്കില്‍ ഗ്രേഡ് ഒരു കാര്യം ആകേണ്ട ടീച്ചര്‍ .കുട്ടികളുടെ അറിവ് ആണ് പ്രധാനം.ഇവിടെ മറ്റു പലരും പറഞ്ഞ പോലെ വിധി കര്‍ത്താക്കള്‍ ഒരു പക്ഷെ മുന്‍ വിധിയോടെ ആണ് കാര്യങ്ങളെ കാണുന്നത്.രസകരമായ ഒരു കാര്യം പറയാം ഈ കഴിഞ്ഞ ഗണിത മേളയില്‍ ഹയര്‍ സെക്കന്ററി വിഭാഗം ശുദ്ധ നിര്‍മിതി മത്സരത്തില്‍ ഒന്നാം സ്ഥന്നം ലഭിച്ച തൃശൂര്‍ ജില്ലയില്‍ നിന്നും വന്ന കുട്ടി അവിടെ നടന്ന ജില്ല മേളയില്‍ ഒന്നാം സമാനമോ രണ്ടാം സമ്മാനമോ കിട്ടാതെ കോടതി വിധിയുമായി ആണ് മത്സരത്തില്‍ പങ്കെടുക്കാന്‍ വന്നത്.ജില്ലയില്‍ ഒരു സമ്മാനവും കിട്ടാത്ത ആ കുട്ടിക്ക് സംസ്ഥാന മേളയില്‍ ഒന്നാം സ്ഥാനം .ആര്‍ക്കാണ്‌ എവിടെയാണ് പിഴച്ചത് .അത് കൊണ്ട് ടീച്ചര്‍ ദൈര്യമായി ഇത്തരം പഠന പ്രവര്‍ത്തനവുമായി മുന്നോട്ടു പോകുക .

  90. This comment has been removed by the author.

  91. ABCD ഒരു സാമാന്തരികം ആണ്.P,Q എന്നിവ
    BC,CD എന്നി വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കള്‍ ആണ്.
    ഒരു ഏകദേശ ചിത്രം വരച്ചു ΔAPQന്റെ പരപ്പളവ്‌
    സാമാന്തരികം ABCDയുടെ പരപ്പളവിന്റെ 3/8 ഭാഗം ആണ് എന്ന് തെളിയിക്കുക.

    ആതിര,ഹരിത,അനന്യ

  92. N.Sreekumar says:

    @John sir,
    “നാര്‍പറയുന്ന തരത്തിലെല്ലാത്ത അനവധി അധ്യാപകരുമുണ്ടന്ന് അറിയുക.”
    അറിയാം.അധ്യാപകപരിശീലകനായും അധ്യാപകനായും മേളകളിലെ വിധികര്‍ത്താവായും ഉള്ള അനുഭവം കൊണ്ട് ശരിക്കറിയാം. ശരിക്കറിയാവുന്നതുകൊണ്ടാണ് എഴുതിയത്.
    ആ നല്ല അധ്യാപകരുടെ തണലിലാണല്ലോ ചിലര്‍ വാടാതെ കഴിയുന്നത്.അവരെ പൊരിവെയിലത്തു കൊണ്ടുവരാന്‍ നമുക്ക് എന്തു ചെയ്യാന്‍ കഴിയും?
    പിന്നെ…
    അര്‍ഹിക്കുന്ന സമ്മാനം കിട്ടിയില്ലെങ്കിലും കിട്ടിയതാകട്ടെ എന്നു വിചാരിച്ചു സമാധാനിച്ചിരുന്നുവെങ്കില്‍ താഴെപ്പറയുന്നതു സംഭവിക്കുമായിരുന്നോ?
    “രസകരമായ ഒരു കാര്യം പറയാം ഈ കഴിഞ്ഞ ഗണിത മേളയില്‍ ഹയര്‍ സെക്കന്ററി വിഭാഗം ശുദ്ധ നിര്‍മിതി മത്സരത്തില്‍ ഒന്നാം സ്ഥന്നം ലഭിച്ച തൃശൂര്‍ ജില്ലയില്‍ നിന്നും വന്ന കുട്ടി അവിടെ നടന്ന ജില്ല മേളയില്‍ ഒന്നാം സമ്മാനമോ രണ്ടാം സമ്മാനമോ കിട്ടാതെ കോടതി വിധിയുമായി ആണ് മത്സരത്തില്‍ പങ്കെടുക്കാന്‍ വന്നത്.ജില്ലയില്‍ ഒരു സമ്മാനവും കിട്ടാത്ത ആ കുട്ടിക്ക് സംസ്ഥാന മേളയില്‍ ഒന്നാം സ്ഥാനം .ആര്‍ക്കാണ്‌ എവിടെയാണ് പിഴച്ചത് “

  93. ഇന്നലെ ഞങ്ങള്‍ ഒരു ചോദ്യം കൊടുത്തിരുന്നു.ആരും അത് മൈന്‍ഡ് ചെയ്തതേ ഇല്ല.എല്ലാവരും കൊടുക്കുന്ന ചോദ്യത്തില്‍ ഞങ്ങള്‍ തെറ്റ് ആണ് എങ്കിലും ഞങളുടെ ഉത്തരം ഉത്തരം കൊടുക്കുന്നുണ്ടല്ലോ ? ഞങ്ങള്‍ ഒരു ചോദ്യം കൊടുത്തപ്പോള്‍ അത് പറയാന്‍ ആരും ഇല്ല ഇവിടെ.

    ABCD ഒരു സാമാന്തരികം ആണ്.P,Q എന്നിവ
    BC,CD എന്നി വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കള്‍ ആണ്.
    ഒരു ഏകദേശ ചിത്രം വരച്ചു ΔAPQന്റെ പരപ്പളവ്‌
    സാമാന്തരികം ABCDയുടെ പരപ്പളവിന്റെ 3/8 ഭാഗം ആണ് എന്ന് തെളിയിക്കുക.

  94. മാത്സ് ബ്ലോഗിന്റെ മെയില്‍ ഐഡിയില്‍ ഞങള്‍ ഫിസിക്സ്‌ നോട്ട് അയച്ചിരിന്നു അത് ബ്ലോഗില്‍ ഇടുമോ എന്ന് അറിയാന്‍ ആഗ്രഹം ഉണ്ട് .

    Three idiots

  95. @ തോമസ്‌ സര്‍

    ജയശങ്കര്‍ സാറിന്റെ ചോദ്യത്തിനു സര്‍ കൊടുത്ത ഉത്തരം ഒന്ന് വിശദമായി പറയുമോ ?

  96. Jayasankar, Nerinjampilli Illom Chandrasekharan says:

    Dear Thomas sir,

    Your drawing is correct. Please explain the procedure and how the circles c1 and c2 intersect at right angles

  97. ആതിര,ഹരിത,അനന്യ
    let area of ABCD be x
    area of triangle APB =area of triangle AQD = 1/4 x
    but area of triangle CQP =1/8 x
    sum of these areas = (1/4 + 1/4 + 1/8)x = 5/8 x
    required area =(1-5/8)x =(3/8) x

  98. thomas v t says:

    ജയശന്കര് സാര്,ആതിര,ഹരിത,അനന്യ.

    പഴയ ചിത്രം വെച്ച് തന്നെയാണ് വിശദീകരിക്കുന്നത്

    ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ മട്ടശീര്ഷത്തിലൂടെ കടന്നു പോകുന്ന രണ്ട് വ്രത്തങ്ങളുടെ കേന്ദ്രങ്ങള്‍ ഓരോന്നും പാദത്തിലും ലംബത്തിലും ആയാല്‍ മതിയല്ലൊ.

    കോംബസ് മാത്രം ഉപയോഗിച്ച ഒരു 30-60-90 ത്രികോണം വരക്കാന്‍ കഴിയും.
    (1) C കേന്ദ്രമായ വ്രത്തത്തില് ഒരു സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ ശീര്ഷങ്ങള്‍ നിര്ണ്ണയിച്ചു.C,B,D.(D ചിത്രത്തിലില്ല,Aയുടേയും Cയുടേയും
    നടുക്കാണ് D)
    (2) Bയിലെ കോണ് 90 ആക്കാന്‍ Cയില് തുടങ്ങി B യിലൂടെ പോകുന്ന D കേന്ദ്രമായ ഒരു semicircle വരക്കണം.semicircle ന്റെ അതിര് കാണാന്‍ 3 ചാപങ്ങള്‍ മതിയല്ലൊ.അതിരിലാണ് A.
    (3) ABC ഒരു 30-60-90 ത്രികോണത്തിന്റെ ശീര്ഷങ്ങളാകുമല്ലൊ.
    (4)C യും Aയും കേന്ദ്രങ്ങളാകുന്നതും Bയിലുടെ കടന്ന് പോകുന്നതുമായ വ്രത്തങ്ങളുടെ Bയിലെ tangents പരസ്പരം ലംബമായിരിക്കും

  99. thomas v t says:

    തിരുത്ത്
    മൂന്നാമത്തെ വാചകത്തില് 30-60-90കോണുകളോട് കുടിയ ത്രികോണത്തിന്റെ ശീര്ഷങ്ങള് അടയാളപ്പെടുത്താന് കഴിയും എന്ന് വായിക്കുക

  100. ആതിര,ഹരിത,അനന്യ,
    ഞങ്ങളെ supportചെയ്തതിനു വളരെ വളരെ നന്ദി!
    “അര്‍ഹിക്കുന്ന സമ്മാനം കിട്ടിയില്ലെങ്കിലും
    കിട്ടിയതാകട്ടെ എന്നു വിചാരിച്ചു
    സമാധാനിച്ചിരുന്നുവെങ്കില്‍ ………..?”

    ആ സമയം മനസ്സു മരവിച്ചു പോയിരുന്നു.
    ഇനി ഉറപ്പായും രണ്ടാമത് ആലോചിക്കാന്‍
    സമയം കളയില്ല!

    ഗണിതം മോഹനം

  101. @മുരളി സര്‍

    ഉത്തരം വളരെ ശരി.എ പ്ലസ്‌ തരുന്നു

    @തോമസ്‌ സര്‍

    സാറിന്റെ കഴിവ് അപാരം. എങ്ങിനെ സര്‍ ഇങ്ങനെ ഒക്കെ ചിന്തിക്കാന്‍ പറ്റുന്നു. ഞങ്ങള്‍ രണ്ടു ദിവസം നോക്കി .അര്‍ദ്ധ വൃത്തത്തിലെ കോണ്‍ മട്ടകോണ്‍ എന്ന ആശയവും ത്രികോണമിതിയിലെ ആശയവും വച്ച് തന്നെ ആണ് ചിന്തിച്ചത് പക്ഷെ കിട്ടിയില്ല.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s