പൈതഗോറസ് തത്വം : തെളിവുകള്‍


ഒന്‍പതാംക്ലാസിലെ സദൃശത്രികോണങ്ങളെന്ന (Similar Triangles) പാഠഭാഗത്തെക്കുറിച്ച് ശാക്തീകരണ മൊഡ്യൂളില്‍ പരാമര്‍ശിക്കുന്നുണ്ട്. സദൃശത്രികോണങ്ങളുടെ പ്രത്യേകതയുപയോഗിച്ച് പൈതഗൊറസ് തത്വം തെളിയിക്കാന്‍ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. പൈതഗൊറസ് തത്വത്തിന്റെ വിവിധതരം തെളിവുകള്‍ അമ്പേഷിക്കാന്‍ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. സെപ്റ്റംബര്‍ 25 ന് നടക്കുന്ന ശാക്തീകരണ പരിപാടിയുടെ ഭാഗമായി വരുന്ന ഒരു ചര്‍ച്ചയെ ആധാരമാക്കിയുള്ള ഈ പോസ്റ്റ് കുറെയെങ്കിലും അധ്യാപകര്‍ക്ക് സഹായകമാകുമെന്ന് പ്രത്യാശിക്കുന്നു. പോസ്റ്റിലേക്ക്.


ABC ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്. AB എന്ന കര്‍ണ്ണത്തെ വശമാക്കി AEDB എന്ന സമചതുരം വരച്ചിരിക്കുന്നു. BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി Aയിലൂടെയും, Dയിലൂടെയും വരച്ചിരിക്കുന്നു. അതുപോലെ ACക്ക് സമാന്തരമായി Bയിലൂടെയും Eയിലൂടെയും വരച്ചിരിക്കുന്നു. നടുക്ക് ഒരു സമചതുരം ഉണ്ടാകും. അത് യുക്തിപരമായി തെളിയിക്കാനും പറ്റുമല്ലോ. അതിനു ചുറ്റുമായി നാലു മട്ടത്രികോണങ്ങള്‍ കാണാം.അവ സര്‍വ്വസമങ്ങള്‍ തന്നെ. കര്‍ണ്ണം cയും മറ്റുവശങ്ങള്‍ a,bവീതമാണ്. ഇവ മുറിച്ചെടുത്ത് ചേര്‍ത്തുവെച്ചാല്‍ ഒരു ചതുരവും ബാക്കി നടുവിലുള്ള സമചതുരവും കിട്ടും.

ഇവയുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുക ABDE യുടെ പരപ്പളവായിരിക്കുമല്ലോ.
(b – a)2 + 2ab = c2
ഇത് b2 + a2 = c2 എന്ന് എഴുതാം. ഇങ്ങനെ പൈതഗോറസ് തത്വം തെളിയിക്കാമല്ലോ.
ഇനി മറ്റൊരു തെളിവു നോക്കാം.

ABCD ഒരു സമചതുരമാണ്.അതിന്റെ വശങ്ങളില്‍ AP = BQ =CR = DS എന്ന തരത്തില്‍ P, Q , R , S എന്നീ ബിന്ദുക്കള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തുക. അവ ക്രമത്തില്‍ യോജിപ്പിക്കാമല്ലോ.അപ്പോള്‍ മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം കിട്ടും.PQRS എന്നത് ഒരു സമചതുരമാണ്
DR = CQ = BP = AS = b ​എന്നും AP = BQ = CR = DS എന്നും , PQRS ന്റെ വശം c എന്നുമെടുക്കുക. സര്‍വ്വസമങ്ങളായ നാലു മട്ടത്രികോണങ്ങളും സമചതുരവും ചേര്‍ത്താല്‍ വലിയസമചതുരം കിട്ടുമല്ലോ.


2ab + c2 = (a+b)2
ഇതില്‍ നിന്നും a2 + b2 = c2 എന്നു കിട്ടുമല്ലോ.

ഇനി മറ്റൊരു തെളിവുനോക്കാം

സമാന്തര വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ തുക സമാന്തരവശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അകലമാകത്തക്ക വിധത്തില്‍ ഒരു ലംബകം വരക്കാം .

BC = AP , AD = PB ആകും വിധം P അടയാളപ്പെടുത്തുക.
ത്രികോണം APD , ത്രികോണം BPC എന്നിവ മട്ടത്രികോണങ്ങളാണ്.അവ സര്‍വ്വസമങ്ങളുമാണ്.
ത്രികോണം DPC സമപാര്‍ശ്വമട്ടത്രികോണവുമാണ്. അതിന്റെ കര്‍ണ്ണമല്ലാത്ത തുല്യവശങ്ങള്‍ c വീതം
ലംബകത്തിന്റെ പരപ്പളവിനെ മൂന്നു ത്രികോണങ്ങളുടെ തുകയായെഴുതി തത്വം തെളിയിക്കാം.ശ്രമിക്കുമല്ലോ?
ഇരുപത്തിയഞ്ചാം തിയതി നടക്കുന്ന രണ്ടാംദിവസപരിശീലനത്തില്‍ ,സദ്യശത്രികോണങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുമ്പോള്‍ ഈ തെളിവുകള്‍ കൂടി പരിഗണിക്കാം.
ഇതൊരു ലാബ് പ്രവര്‍ത്തനമായി വികസിപ്പിച്ചെടുക്കാവുന്നതാണ്.പിന്നെ നല്ലൊരു വര്‍ക്കിങ്ങ് മോഡലാണ്.

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in ശാസ്ത്രം, Maths IX. Bookmark the permalink.

80 Responses to പൈതഗോറസ് തത്വം : തെളിവുകള്‍

  1. സെപ്റ്റംബര്‍ 24 ന് നടക്കുന്ന ശാക്തീകരണ പരിപാടിയുടെ ഭാഗമായി വരുന്ന ഒരു ചര്‍ച്ചയെ ആധാരമാക്കിയുള്ള ഈ പോസ്റ്റ് കുറെയെങ്കിലും അധ്യാപകര്‍ക്ക് സഹായകമാകുമെന്ന് പ്രത്യാശിക്കുന്നു

  2. ഹരിത says:

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

    Consider ΔAPD and ΔPBC
    Given that AP = BC = ‘a’ —–(1)
    Also Given AD = PB = ‘b’ —–(2)
    So they are congruent each other
    Hence PD = PC ( C.P.C.T )
    Here it is given as PD = ‘c’ Hence PC = ‘c’

    Δ DPC is isosceles triangle

    Area of Trapezium ACBD =
    ½ (a+b)(a+b)=½ ( a^2 + 2ab + b^2 )

    Area of ΔAPD + Area of ΔPBC + Area of Δ DPC = ½ ab + ½ ab+ ½ c^2

    Area of Trapezium ACBD = Area of ΔAPD + Area of ΔPBC + Area of Δ DPC

    ½(a^2+2ab+b^2)= ½ ab + ½ ab+ ½ c^2

    ½(a^2+2ab+b^2 ) = ab + ½ c^2

    ½(a^2+2ab+b^2)=(2ab+c^2)/ 2

    Hence a^2+2ab+b^2=2ab+c^2

    From this we can see that

    a^2 + b^2 = c^2

  3. ഹരിത says:

    @ ജോണ്‍ സര്‍

    ത്രികോണം DPC ഏതു തരം ത്രികോണം ആണ് എന്ന് ചോതിക്കാം ആയിരുന്നു നേരിട്ട് ഇത് സമപാര്‍ശ്വമട്ടത്രികോണവുമാണ് എന്ന് പറഞ്ഞു തരണ്ടായിരുന്നു

    ചിത്രത്തില്‍ < = 90
    അതിനാല്‍ < = 'x' ആയാല്‍ <='x'
    (സര്‍വസമ ത്രികോണത്തിന്റെ സമാന കോണുകള്‍)
    < ='y' ആയാല്‍ < ='y'
    (സര്‍വസമ ത്രികോണത്തിന്റെ സമാന കോണുകള്‍)

    ത്രികോണം APD പരിഗണിച്ചാല്‍
    x+y = 90 ( ത്രികോണത്തിലെ കോണുകള്‍ )

    < ,< എന്നിവ രേഖിയ ജോടികള്‍ ആണ് < + < BPD =180 x+y+< =180 x+y = 90 90+< =180 < = 90 കൂടാതെ PD=PC അതിനാല്‍
    ത്രികോണം DPC സമപാര്‍ശ്വമട്ടത്രികോണമാണ്

  4. ഹരിത says:

    @ ജോണ്‍ സര്‍

    “ലംബകം ABCD യില്‍ BC = AP , AD = PB ആകും വിധം P അടയാളപ്പെടുത്തുക “

    എന്ന് മാത്രം പറഞ്ഞാല്‍ മതിയല്ലോ അപ്പോള്‍ പിന്നെ
    “സമാന്തര വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ തുക സമാന്തരവശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അകലമാകത്തക്ക വിധത്തില്‍ ഒരു ലംബകം വരക്കാം”
    എന്ന് പറയേണ്ട ആവശ്യം ഉണ്ടോ

  5. An Animated proof of Pythagorean Theorem.

    CLICK HERE

  6. ഹരിത says:

    യുക്ളിടിന്റെ എലമെന്റ്സ് എന്ന പുസ്തകത്തില്‍ നിന്നും ഒരു തെളിവ്

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  7. Krishnan says:

    നമ്മുടെ ഏഴാംക്ലാസ് പുസ്തകത്തില്‍ പൈഥഗോറസ് സിദ്ധാന്തത്തിന്‌ ഒന്നോ രണ്ടോ തെളിവുകള്‍ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്. ഈ വെബ്പേജില്‍ 87 തെളിവുകള്‍ കാണാം. Elisha Loomis എഴുതിയ The Pythagorean Proposition എന്ന പുസ്തകത്തില്‍
    367 തെളിവുകളുണ്ടത്രേ!

    ഒരു തെളിവിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞാനുണ്ടാകിയ ഒരു PDF ഇവിടെ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്.

  8. JOHN P A says:

    കൃഷ്ണന്‍ സാറിന് നന്ദി.
    ഹരിതയുടെ അഭിപ്രായം കണ്ടു. ശരിയാണ്. ഒരു വര്‍ക്കിങ്ങ് മോഡലായി ഇതു ചെയ്യുമ്പോള്‍ ,പേപ്പര്‍ കട്ടിങ്ങ് നടത്തുമ്പോള്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് തെറ്റുവരാതിരിക്കാന്‍ അങ്ങനെ പറഞ്ഞു . അത്രമാത്രം.
    ഹരിതയുടെ ഇടപെടലുകള്‍ പ്രശംസനീയമാണ്.

  9. Free says:

    തീര്ച്ചയായും കളിയാക്കിയതല്ല ഹരിത .
    ഹരിതയുടെ പെര്‍ഫോര്‍മന്‍സ് കണ്ടു പറഞ്ഞതാണ് .
    അഭിനന്ദനങ്ങള്‍ .
    എന്റെ മുന്‍ കമന്റ് ഡിലീറ്റ് ചെയ്യുന്നു .
    ഹരിത തുടര്‍ന്നുകൊള്ളൂ .

  10. ഹരിത says:

    മട്ടത്രികോണം PQR ല്‍ PR കര്‍ണം ആണ്. PQ=’n’
    QR=’m’. QSTM എന്ന ഒരു സമചതുരം വരച്ചിരിക്കുന്നു.S എന്ന ബിന്ദു PQ എന്ന വശത്തിലും T എന്ന ബിന്ദു PR എന്ന വശത്തിലും M എന്ന ബിന്ദു QR എന്ന വശത്തിലും ആണ്.സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശം ‘a’ എന്ന് എടുത്താല്‍ 1/a = 1/m + 1/n എന്ന് തെളിയിക്കുക

  11. കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍,
    പി.ഡി.എഫിന് പെര്‍മിഷന്‍….മറന്നോ?

  12. “സെപ്റ്റംബര്‍ 24 ന് നടക്കുന്ന ശാക്തീകരണ പരിപാടിയുടെ ഭാഗമായി വരുന്ന ഒരു ചര്‍ച്ചയെ ആധാരമാക്കിയുള്ള ഈ പോസ്റ്റ് കുറെയെങ്കിലും അധ്യാപകര്‍ക്ക് സഹായകമാകുമെന്ന്…”
    24 നോ, 25 നോ?

  13. vijayan says:

    ഒരു വശം 15 വരുന്നതും മാറ്റുവ ശങ്ങള്‍ പൂര്‍ണ സംഖ്യ കളുമായ പൈതഗോറീന്‍ ത്രികൊനങ്ങളാണ്(9,12,15),(25,20,15),(113,112,15),(17,8,15),(39,36,15).ഈ പ്രത്യേകതയുള്ള 5 സെറ്റ് ത്രികൊനങ്ങളുണ്ട്(?).
    ഇതുപോലെ മറ്റു സെറ്റ് ത്രി കൊണ്ങ്ങള്‍ കണ്ടെത്താന്‍ ശ്രമിക്കുക. .ഒരു പട്ടിക തയ്യാറാക്കുക.15 നു മുകളില്‍ 5 ഓ ,കൂടുതലോ സെറ്റ് ത്രികോണങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തി നമ്മുടെ പോസ്റ്റ്‌ കൂടുതല്‍ ചര്‍ച്ചയിലേക്ക് നയിച്ചാലും.

  14. ഹരിത says:

    കൃഷ്ണന്‍ സര്‍ പറഞ്ഞ Elisha Loomis എഴുതിയ The Pythagorean Proposition എന്ന പുസ്തകത്തില്‍ നിന്നും ഒരു പ്രൂഫ്‌ താഴെ കൊടുക്കുന്നു

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  15. vijayan says:

    @Geetha sudhi teacher,
    Teacher empowerment programme is on 25 th itself.

  16. വിജയന്‍ സാര്‍,

    “ഇതുപോലെ മറ്റു സെറ്റ് ത്രി കൊണ്ങ്ങള്‍ കണ്ടെത്താന്‍ ശ്രമിക്കുക.”

    ഇതുപോലെ മറ്റ് സെറ്റ് എന്നതുകൊണ്ട് ഉദ്ദേശിച്ചത് എന്താണ്? ഒരു വശം ഒരു നിശ്ചിത പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ വരുന്നതും (15-ന് പകരം മറ്റൊരു സംഖ്യ) മറ്റു വശങ്ങള്‍ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളുമായിട്ടുള്ള സെറ്റുകള്‍ എന്നാണോ?

    — ഫിലിപ്പ്

  17. @ ഗീതാസുധി ടീച്ചര്‍
    24 നോ, 25 നോ?

    24 നോ, 25 യസ്

  18. സ്ക്കുളില്‍ വെച്ചാണ് കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ കമന്റ് കണ്ടത്. വീട്ടില്‍ വന്നു തുറക്കാന്‍ നോക്കിയിട്ടു പറ്റുന്നില്ല.
    അസീസ് സാറ് തന്ന മനോഹരമായ അനിമേറ്റഡ് തെളിവ് കണ്ടു. ഒത്തിരി നന്ദി
    ഹരിത മാത്സ്ബ്ലോഗിന്റെ അനുഗ്രഹമാണ്. ഹരിതയും ഹിതയും ഗായത്രിയുമൊക്കെയില്ലാതെ പിന്നെന്തുഗണിതചര്‍ച്ച!

  19. JOHN P A says:

    ഒരു പഴയകമന്റ് വീണ്ടുമിടുന്നു. ഇപ്പോള്‍ അത് ഉചിതമാണ്.
    1/X^2 +1/Y^2 = 1/z^2 ആകത്തക്കവിധം ഏറ്റവും ചെറിയ X ,Y,Z കാണുക

  20. vijayan says:

    “ഒരു വശം ഒരു നിശ്ചിത പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ വരുന്നതും (15-ന് പകരം മറ്റൊരു സംഖ്യ) മറ്റു വശങ്ങള്‍ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളുമായിട്ടുള്ള സെറ്റുകള്‍ എന്നാണോ?”
    @ഫിലിപ് സര്‍,
    ഉദ്ദേശിച്ചത് അതുതന്നെ

  21. razimantv says:

    @ ഹരിത

    sqrt(a^2+(m-a)^2) + sqrt(a^2+(n-a)^2) = sqrt(m^2+n^2)

    On squaring and moving the surd term to one side and squaring again, you get a quadratic

    [2a^2+(m+n)a]^2 = (2a^2+m^2-2ma)(2a^2+n^2-2na)

    On expanding the quartic and cubic terms cancel and we get a quadratic in a

    a^2[(m+n)^2] – 2amn(m+n) + (mn)^2 = 0

    The solution of the quadratic is

    a = mn/(m+n)

    ie, 1/a = 1/m + 1/n

    Any easier way?

  22. വിജയന്‍ സാര്‍,

    പൈത്തണ്‍ പാഠങ്ങള്‍ ഇതുവരെയുള്ളവ പഠിച്ച ആര്‍ക്കും ഇങ്ങനെയുള്ള സെറ്റുകള്‍ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള പ്രോഗ്രാം അധികം പ്രയാസപ്പെടാതെ എഴുതാന്‍ കഴിയും. നിമിഷ നേരം കൊണ്ട് കംപ്യൂട്ടര്‍ ഈ സെറ്റുകളെ കണ്ടുപിടിച്ച് തരികയും ചെയ്യും. എട്ടു വരികളുള്ള ലളിതമായ ഒരു പ്രോഗ്രാം 16 മുതല്‍ 20 വരെയുള്ള സംഖ്യകള്‍ക്ക് കണ്ടുപിടിച്ചുതന്ന സെറ്റുകള്‍:

    16 :

    12^2 + 16^2 = 20^2
    30^2 + 16^2 = 34^2
    63^2 + 16^2 = 65^2

    17 :

    8^2 + 15^2 = 17^2
    144^2 + 17^2 = 145^2

    18 :

    24^2 + 18^2 = 30^2
    80^2 + 18^2 = 82^2

    19 :

    180^2 + 19^2 = 181^2

    20 :

    12^2 + 16^2 = 20^2
    15^2 + 20^2 = 25^2
    21^2 + 20^2 = 29^2
    48^2 + 20^2 = 52^2
    99^2 + 20^2 = 101^2

  23. vijayan says:

    നന്ദി ഫിലിപ് സര്‍,5 ഇല്‍ കൂടുതല്‍ വരുന്ന സെറ്റുകള്‍ ഉണ്ടോ എന്ന് അറിഞ്ഞാല്‍ കൊള്ളാം
    (2).(5,12,13) (6,8,10)എന്ന പൈതഗോരീന്‍ ത്രിഗോനതിണ്ടേ പ്രത്യേകത ചുറ്റളവും പരപ്പളവും തുല്യം എന്നതാണ് .ഇതുപോലെ മറ്റു ത്രികോണങ്ങള്‍ ഉണ്ടോ?

  24. ഓഫ് ടോപ്പിക്കാണ്..
    1. യു.പി യുടെ സ്‌കീം കണ്ടിരുന്നോ..? ഉവ്വെങ്കില്‍ ലിങ്ക് തരാമോ..?
    2. എട്ടാം ക്ലാസിലെ ഐ.ടി യുടെ പോര്‍ഷനു് ഒക്ടോബറില്‍
    എവിടെ വരെയാ തീര്‍ ക്കണ്ടേ…?
    3. എട്ടാം ക്ലാസില്‍ മാത്സ് പഠിപ്പിക്കുന്നവര്‍ക്ക് സഹായകരമായ ചോദ്യങ്ങളോ മറ്റോ ഇപ്പോള്‍ മാത്സ് ബ്ലോഗില്‍ ഉണ്ടോ..?

  25. ഹരിത says:

    @ ജോണ്‍ സര്‍
    1/x^2 +1/y^2 = 1/z^2 ആകത്തക്കവിധം ഏറ്റവും ചെറിയ X ,Y,Z കാണുക ?

    20 ,15 and 12

  26. വിജയന്‍ സാര്‍,
    16 മുതല്‍ മുകളിലേക്കുള്ള സംഖ്യകള്‍ പ്രോഗ്രാമിന് കൊടുത്തുനോക്കിയപ്പോള്‍ അഞ്ചില്‍ കൂടുതല്‍ വന്ന ആദ്യത്തെ സെറ്റ് :

    7^2 + 24^2 = 25^2
    10^2 + 24^2 = 26^2
    18^2 + 24^2 = 30^2
    32^2 + 24^2 = 40^2
    45^2 + 24^2 = 51^2
    70^2 + 24^2 = 74^2
    143^2 + 24^2 = 145^2

    (6,8,10), (5,12,13) എന്നിവയല്ലാതെ ഇങ്ങനെ ചുറ്റളവും പരപ്പളവും ഒരേ സംഖ്യ വരുന്ന പൈതഗോറിയന്‍ സെറ്റുകള്‍ ഇല്ല. ഇങ്ങനെയുള്ള ഒരു സെറ്റിലെ ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ പത്തില്‍ കുറവായിരിക്കണം എന്ന് സ്ഥിരീകരിക്കാന്‍ പ്രയാസമില്ല (ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യകള്‍ 10 + u, 10 + v എന്നിവയാണെന്ന് സങ്കല്‍പ്പിച്ച് ചുറ്റളവും പരപ്പളവും സമീകരിച്ചാല്‍ ഇത് വ്യക്തമാകും). പത്തില്‍ താഴെയുള്ള സംഖ്യകള്‍ അംഗങ്ങളായി വരുന്ന സെറ്റുകളെയെല്ലാം മുകളില്‍ പറഞ്ഞ പ്രോഗ്രാമുപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിച്ചപ്പോള്‍ ഈ രണ്ടു സെറ്റുകള്‍ക്ക് മാത്രമാണ് ഈ പ്രത്യേകത കണ്ടത്.

    ജോണ്‍ സാര്‍,

    ഇങ്ങനെയുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ x,y,z വിലകള്‍:x = 15 , y = 20 , z = 12

    നൂറില്‍ താഴെയുള്ള് ഇങ്ങനത്തെ മറ്റ് x,y,z ത്രയങ്ങള്‍ :

    x = 20 , y = 15 , z = 12
    x = 30 , y = 40 , z = 24
    x = 40 , y = 30 , z = 24
    x = 45 , y = 60 , z = 36
    x = 60 , y = 45 , z = 36
    x = 60 , y = 80 , z = 48
    x = 80 , y = 60 , z = 48

    എല്ലാം ഇതുവരെ പഠിപ്പിച്ച് പൈത്തണ്‍ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതിയ (എട്ടുവരിയുള്ള!) പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിച്ചത്.

  27. JAYAN says:

    വളരെ മികച്ച പോസ്റ്റ്‌ ,അതിലും മികച്ച കമെന്റുകള്‍ .

  28. vijayan says:

    നന്ദി ഫിലിപ് സര്‍ ,
    പ്രസിദ്ധമായ പൈതഗോര്യന്‍ ത്രയമാണല്ലോ 3,4,5 .തുടര്‍ച്ചയായ മൂന്നു എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ നമുക്കിവിടെ ദര്‍ശിക്കാം. ഇതുപോലെ മറ്റുദാഹരണങ്ങള്‍ ഇല്ലല്ലോ?തുടര്‍ച്ചയായ രണ്ടു എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ ഉള്‍പെടുന്ന ത്രയമാണ് (20,21,29).
    100ല്‍ കുറവ് വരുന്ന ഇതുപോലുള്ള മറ്റു ത്രയങ്ങള്‍ ഉണ്ടോ? 1000 ല്‍ കുറവുള്ള രണ്ടു സെറ്റുകളില്‍ കൂടുതല്‍ ഉണ്ടോ? 10000 ല്‍ കുറവ് വരുന്ന എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുടെ സെറ്റും കാണുമല്ലോ?

  29. ഹരിത says:

    @ ജോണ്‍ സര്‍

    തുടര്‍ച്ചയായ രണ്ടു എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ ഉള്‍പെടുന്ന ത്രയമാണ് (20,21,29).
    100ല്‍ കുറവ് വരുന്ന ഇതുപോലുള്ള മറ്റു ത്രയങ്ങള്‍ ഉണ്ടോ?

    (5,12,13)
    (7,24,25)
    (9,40,41)
    (11,60,61)
    (13,84,85)

  30. വിജയന്‍ സാര്‍,
    ആയിരത്തില്‍ കുറഞ്ഞ ഇത്തരത്തിലുള്ള ത്രയങ്ങള്‍:

    3 , 4 , 5
    5 , 12 , 13
    7 , 24 , 25
    9 , 40 , 41
    11 , 60 , 61
    13 , 84 , 85
    15 , 112 , 113
    17 , 144 , 145
    19 , 180 , 181
    20 , 21 , 29
    21 , 220 , 221
    23 , 264 , 265
    25 , 312 , 313
    27 , 364 , 365
    29 , 420 , 421
    31 , 480 , 481
    33 , 544 , 545
    35 , 612 , 613
    37 , 684 , 685
    39 , 760 , 761
    41 , 840 , 841
    43 , 924 , 925
    119 , 120 , 169
    696 , 697 , 985

  31. ഹരിത says:

    @ ജോണ്‍ സര്‍

    x^2 + y^2 = z^2

    സമവാക്യത്തെ x^2y^2z^2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍

    1/y^2z^2 + 1/x^2z^2 = 1/x^2y^2

    ഏറ്റവും ചെറിയ പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ ആയി വരുന്ന പൈതഗോറിയന്‍ത്രയം 3,4,5

    അപ്പോള്‍

    1/(yz)^2 + 1/(xz)^2 = 1/(xy)^2

    1/(4.5)^2 + 1/(3.5)^2 = 1/(3.4)^2

    1/20^2 + 1/ 15^2 = 1/12^2

    ഇങ്ങനെയുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ x,y,z വിലകള്‍:x = 20 , y = 15 , z = 12

  32. vijayan says:

    നന്ദി ഫിലിപ് സര്:
    ബോറടിക്കുന്നില്ലല്ലോ?
    (144,192,240) ചുറ്റളവ്‌ പൂര്നവര്‍ഗവും (24^2=576),പരപ്പളവ്‌ പൂര്‍ണ ഘനവും(24^3=13824 )ആയ ഒരു പൈതഗോര്യന്‍ ട്രിപ്പിള്‍ ആണ് . ഇതേ സവിശേഷതയുള്ള അനേകം പൈതഗോര്യന്‍ ത്രയങ്ങള്‍ ഉണ്ടോ? ഒരു ചുരുങ്ങിയ ലിസ്റ്റ് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു

  33. ഹരിത says:

    @ വിജയന്‍ സര്‍

    ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ലംബം ‘a’ യും പാദം ‘b’ യും കര്‍ണം ‘c’യും ആണെന്ന് കരുതുക

    എങ്കില്‍ നമുക്ക് a^2+b^2=c^2 എന്ന് എഴുതാമല്ലോ

    ഇതില്‍ പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ ആയി വരുന്ന പൈതഗോറിയന്‍ത്രയം പരിഗണിക്കുമ്പോള്‍

    ‘a’ഒറ്റ സംഖ്യ ആയാല്‍
    ‘b’എന്നത് (a^2-1)/2 ആയിരിക്കും
    ‘c’ എന്നത് b + 1 ആയിരിക്കും

    അതില്‍ എല്ലാം സര്‍ പറഞ്ഞ പോലെ തുടര്‍ച്ചയായ രണ്ടു എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ ഉള്‍പെടുന്ന ത്രയങ്ങള്‍ കിട്ടും

    a b c
    3 4 5
    5 12 13
    7 24 25
    9 40 41
    11 60 61
    13 84 85
    15 112 113
    17 144 145

    ഇങ്ങിനെ ‘a’ ക്ക് ഓരോ ഒറ്റ സംഖ്യ വില കൊടുക്കുമ്പോള്‍ തുടര്‍ച്ചയായ രണ്ടു എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ ഉള്‍പെടുന്ന ത്രയങ്ങള്‍ കിട്ടും

  34. ഹരിത says:

    ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ലംബം ‘a’ യും പാദം ‘b’ യും കര്‍ണം ‘c’യും ആണെന്ന് കരുതുക

    എങ്കില്‍ നമുക്ക് a^2+b^2=c^2 എന്ന് എഴുതാമല്ലോ

    ഇതില്‍ പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ ആയി വരുന്ന പൈതഗോറിയന്‍ത്രയം പരിഗണിക്കുമ്പോള്‍

    ‘a’ ഇരട്ട സംഖ്യ ആയാല്‍
    ‘b’എന്നത് (a/2)^2-1 ആയിരിക്കും
    ‘c’ എന്നത് b + 2 ആയിരിക്കും

    അപ്പോള്‍ കിട്ടുന്ന ത്രയങ്ങളുടെ പട്ടിക നോക്കുക

    a b c
    4 3 5
    6 8 10
    8 15 17
    10 24 26
    12 35 37
    14 48 50
    16 63 65
    18 80 82
    20 99 101

    ഇങ്ങിനെ ‘a’ ക്ക് ഓരോ ഇരട്ട സംഖ്യ വില കൊടുക്കുമ്പോള്‍ ഒന്നിടവിട്ട രണ്ടു എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ ഉള്‍പെടുന്ന ത്രയങ്ങള്‍ കിട്ടും

  35. vijayan says:

    ഹരിത,
    a b c
    3 4 5
    5 12 13
    7 24 25
    9 40 41
    11 60 61
    13 84 85
    15 112 113
    17 144 145

    മുകളിലുള്ള ഉദാഹരനങ്ങളില്‍ “a^2=b+c “എന്ന് എഴുതിയാലും ആരും കുറ്റം പറയില്ലല്ലോ?
    2.
    a b c
    4 3 5
    6 8 10
    8 15 17
    10 24 26
    12 35 37
    14 48 50
    16 63 65
    18 80 82
    20 99 101
    “a^2=2(b+c )”എന്ന് എഴുതിയാലും

  36. vijayan says:

    wish you all a “HAPPY ID MUBARACK”

    HAVE A NICE SLLEP.

  37. Anjana says:

    4n+1 എന്ന രൂപത്തില്‍ എഴുതാന്‍ പറ്റാത്ത ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യയേയും രണ്ടു പൂര്‍ണ സംഖ്യകളുടെ തുകയായി എഴുതാന്‍ പറ്റില്ലെന്ന് ഫെര്‍മ പറഞ്ഞിട്ടില്ലേ?

    ഹരിത കൊടുത്ത ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ശരിയായോ?

  38. ഹരിത says:

    ഫെര്‍മയുടെ ചില ആശയങ്ങള്‍

    1)4n + 1 എന്നാ രൂപത്തില്‍ എഴുതാന്‍ കഴിയുന്ന എതൊരു അഭാജ്യ സംഖ്യയും രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗങ്ങളുടെ തുക ആയി എഴുതാം

    Eg : 5 = 2^2+1^2
    13 = 2^2+3^2
    17 = 1^2+4^2
    2)അങ്ങിനെ എഴുതാന്‍ കഴിയുന്ന അഭാജ്യസംഖ്യ ഒരു മട്ട ത്രികോണത്തിന്റെ കര്‍ണം ആയിരിക്കും

  39. JOHN P A says:

    സദ്യശ്യത്രികോണങ്ങളുടെ പ്രത്യേകത ഉപയോഗിച്ച് പൈതഗോറിയന്‍ ബന്ധം തെളിയിക്കാനുള്ള ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം ശാക്തീകരണ മെഡ്യൂളിലുണ്ട് . കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ തന്ന സുചനയില്‍ നിന്നും ഹരിതയിട്ട ലിങ്ക് അതാണ്.

  40. ഹരിത says:

    This comment has been removed by the author.

  41. ഇന്ന് നല്ല ഒരു ദിവസമായിട്ട് ഇമ്മാതിരി കുനുഷ്ട് ചോദ്യം ചോദിക്കാന്‍ തോന്നിയല്ലോ? കുനുഷ്ട് ചോദ്യം എന്നാല്‍ എനിക്ക് ഉത്തരം അറിഞ്ഞു കൂടാത്ത ചോദ്യം എന്നാണ് അര്‍ത്ഥം
    പിന്നെ പത്തിരിയുടെ കാര്യം. ആകെ കൊണ്ടുവന്നു വെച്ച പത്തിരിയില്‍ നിന്ന് നാലിലൊന്ന് ഞാനെന്റെ പ്ലേറ്റില്‍ എടുത്തുവെച്ചുവെങ്കിലും അതിന്റെ നാലിലൊന്ന് കഴിക്കാനേ ഞാനുദ്ദേശിച്ചിരുന്നുള്ളൂ. കഴിച്ചു തുടങ്ങിയപ്പോള്‍ അതിന്റെ പകുതി മതിയെന്ന് ഞാന്‍ തീരുമാനിച്ചു. പക്ഷെ എനിക്ക് ഷുഗറാണെന്നും പറഞ്ഞ് വിജയന്‍ ഒരെണ്ണം കൂടി എടുത്തുമാറ്റി.ജോണ്‍ സാര്‍ എത്ര പത്തിരി കുറഞ്ഞത് കൊണ്ടുവെച്ചിരിക്കും?

  42. thulasi says:

    ജനാര്‍ദനന്‍ സാറിന്നു ഒരു പത്തിരി തിന്നണമെങ്കില്‍ (വിജയന്‍ ഒന്ന് മാറ്റിയ പ്പോള്‍ ) ജോണ് സര്‍ ചുരുങ്ങിയത് 32 പത്തിരി പ്ലേറ്റില്‍ വെക്കണം .

    റമളാന്‍ദിനത്തില്‍ ആശംസിച്ച എല്ലാര്ക്കും നന്ദി പ്രകാശിപ്പിച്ച ഹരിചേട്ടന്നു ഒരു നന്ദി കൂടി

  43. thulasi says:

    Blogger vijayan larva said…

    നന്ദി ഫിലിപ് സര്:
    ബോറടിക്കുന്നില്ലല്ലോ?
    (144,192,240) ചുറ്റളവ്‌ പൂര്നവര്‍ഗവും (24^2=576),പരപ്പളവ്‌ പൂര്‍ണ ഘനവും(24^3=13824 )ആയ ഒരു പൈതഗോര്യന്‍ ട്രിപ്പിള്‍ ആണ് . ഇതേ സവിശേഷതയുള്ള അനേകം പൈതഗോര്യന്‍ ത്രയങ്ങള്‍ ഉണ്ടോ? ഒരു ചുരുങ്ങിയ ലിസ്റ്റ് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു

    September 9, 2010 10:03 PM

  44. thulasi says:

    ഒരു ത്രയങ്ങളുടെയും ഗുണിതങ്ങള്‍ എഴുതിയിട്ടില്ല്ല .1000 ല് കുറവുള്ള ത്രയങ്ങള്‍ ഇതാ ……
    (3,4,5)
    (5,12,13)
    (7,24,25)
    (8,15,17)
    (9,40,41)
    (11,60,61)
    (12,35,37)
    (13,84,85)
    (15,112,113)
    (16,63,65)
    (17,144,145)
    (19,180,181)
    (20,21,29)
    (20,99,101)
    (21,220,221)
    (23,264,265)
    (24,143,145)
    (25,312,313)
    (27,364,365)
    (28,45,53)
    (28,195,197)
    (29,420,421)
    (31,480,481)
    (32,255,257)
    (33,56,65)
    (33,544,545)
    (35,612,613)
    (36,77,85)
    (36,323,325)
    (37,684,685)
    (39,80,89)
    (39,760,761)
    (40,399,401)
    (41,840,841)
    (43,924,925)
    (44,117,125)
    (44,483,485)
    (48,55,73)
    (48,575,577)
    (51,140,149)
    (52,165,173)
    (52,675,677)
    (56,783,785)
    (57,176,185)
    (60,91,109)
    (60,221,229)
    (60,899,901)
    (65,72,97)
    (68,285,293)
    (69,260,269)
    (75,308,317)
    (76,357,365)
    (84,187,205)
    (84,437,445)
    (85,132,157)
    (87,416,425)
    (88,105,137)
    (92,525,533)
    (93,476,485)
    (95,168,193)
    (96,247,265)
    (100,621,629)
    (104,153,185)
    (105,208,233)
    (105,608,617)
    (108,725,733)
    (111,680,689)
    (115,252,277)
    (116,837,845)
    (119,120,169)
    (120,209,241)
    (120,391,409)
    (123,836,845)
    (124,957,965)
    (129,920,929)
    (132,475,493)
    (133,156,205)
    (135,352,377)
    (136,273,305)
    (140,171,221)
    (145,408,433)
    (152,345,377)
    (155,468,493)
    (156,667,685)

  45. thulasi says:

    (160,231,281)
    (165,532,557)
    (168,425,457)
    (168,775,793)
    (175,288,337)
    (180,299,349)
    (184,513,545)
    (185,672,697)
    (189,340,389)
    (195,748,773)
    (200,609,641)
    (203,396,445)
    (207,224,305)
    (215,912,937)
    (216,713,745)
    (217,456,505)
    (220,459,509)
    (225,272,353)
    (228,325,397)
    (231,520,569)
    (232,825,857)
    (240,551,601)
    (248,945,977)
    (252,275,373)
    (259,660,709)
    (260,651,701)
    (261,380,461)
    (273,736,785)
    (276,493,565)
    (279,440,521)
    (280,351,449)
    (280,759,809)
    (287,816,865)
    (297,304,425)
    (300,589,661)
    (301,900,949)
    (308,435,533)
    (315,572,653)
    (319,360,481)
    (333,644,725)
    (336,377,505)
    (336,527,625)
    (341,420,541)
    (348,805,877)
    (364,627,725)
    (368,465,593)
    (369,800,881)
    (372,925,997)
    (385,552,673)
    (387,884,965)
    (396,403,565)
    (400,561,689)
    (407,624,745)
    (420,851,949)
    (429,460,629)
    (429,700,821)
    (432,665,793)
    (451,780,901)
    (455,528,697)
    (464,777,905)
    (468,595,757)
    (473,864,985)
    (481,600,769)
    (504,703,865)
    (533,756,925)
    (540,629,829)
    (555,572,797)
    (580,741,941)
    (615,728,953)
    (616,663,905)
    (696,697,985)

  46. @തുളസി ടീച്ചര്‍
    പത്തിരിക്കണക്ക് ശരിയായോ എന്ന് ഒന്നു കൂടി നോക്കൂ

  47. thulasi says:

    @ജനാര്‍ദനന്‍ സര്‍,
    64 പത്തിരി കൊള്ളുന്ന പ്ലേറ്റ് ഇല്ലെന്നു കരുതിയാണ് 32 എന്ന് എഴുതിയത് .(32 വെച്ചാല്‍ സര്‍ വെറും കറി കുടിക്കേണ്ടി വരും.)

  48. a+a+2, a(a+2), {a(a+2)+2},ഇവ പൈതഗോറിയന്‍ ത്രയങ്ങളല്ലെ
    a,a+1,a(a+1) ഇവയുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുകയാണല്ലോ {a(a+1)+1}ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം

  49. ഹരിത says:

    ഇന്ന് നമ്മുടെ അസീസ്‌ സാറിന്റെ വീട്ടില്‍ പെരുന്നാള്‍ സദ്യ ഉണ്ടായിരുന്നു.ജോണ്‍ സര്‍ , ഹരി സര്‍,ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സര്‍,വിജയന്‍ സര്‍ എന്നിവരെ അസീസ്‌ സര്‍ ക്ഷണിച്ചിരുന്നു (നമ്മള്‍ ചില പാവങ്ങള്‍ ഇവിടെ ഉണ്ട് ഹും പോട്ടെ )
    ഇവര്‍ വളരെ നേരത്തെ അസീസ്‌ സാറിന്റെ വീട്ടില്‍ എത്തിയപ്പോള്‍ ഒന്ന് പുരയിടത്തിലൂടെ നടന്നു.
    അപ്പോള്‍ അസീസ്‌ സര്‍ ചതുരാകൃതിയില്‍ ഉള്ള ഒരു സ്ഥലത്തില്‍ രണ്ടു ത്രികോണം വരച്ചു അതിനെ 8 ഭാഗങ്ങള്‍ ആകി 1,6 ഭാഗങ്ങളില്‍ പയറും 3,8 ഭാഗങ്ങളില്‍ ചീരയും 5 എന്ന ഭാഗത്ത്‌ ചോളവും 2,4,7 എന്നാ ഭാഗങ്ങളില്‍ വെണ്ട ചെടികളും നട്ടിരിക്കുന്നതായി കണ്ടു .
    ചിത്രം താഴെ കൊടുക്കുന്നു

    ഇത് കണ്ട ഉടനെ നമ്മുടെ വിജയന്‍ സര്‍ പറഞ്ഞു
    ” പയര്‍ ചെടികള്‍ വളര്‍ന്നു നില്‍കുന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം ചീര ചെടികള്‍ വളര്‍ന്നു നില്‍കുന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണത്തിനു തുല്യമാണ്.ചോളം ചെടികള്‍ വളര്‍ന്നു നില്‍കുന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം വെണ്ട ചെടികള്‍ വളര്‍ന്നു നില്‍കുന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണത്തിനു തുല്യമാണ്.തെളിയിക്കാമോ ”

    ഇത് കേട്ട ഉടനെ ജോണ്‍ സര്‍ ഒരു പേപ്പറും പേനയും എടുത്തു കണക്കു കൂട്ടാന്‍ തുടങ്ങി ഈ സമയം കൊണ്ട് ഹരി സാറും ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാറും പത്തിരി അടിച്ചു വിടാന്‍ തുടങ്ങി.

    ജോണ്‍ സാറെ നിങ്ങള്‍ സഹായിക്കുമോ?

  50. പത്തിരിക്കണക്ക് മനസ്സിലായില്ല!!

  51. പയര്‍ ചെടികള്‍ വളര്‍ന്നു നില്‍കുന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം ചീര ചെടികള്‍ വളര്‍ന്നു നില്‍കുന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണത്തിനു തുല്യമാണ്.ചോളം ചെടികള്‍ വളര്‍ന്നു നില്‍കുന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം വെണ്ട ചെടികള്‍ വളര്‍ന്നു നില്‍കുന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണത്തിനു തുല്യമാണെന്നു തെളിയിക്കുന്നവര്‍ക്കു മാത്രം പത്തിരിയും കറിയും. yes come on fast.

  52. vijayan says:

    let the area of pieces are 1,2,3,4,5,6,7,8 .
    we know 1+5+6=3+5+8(same area)
    there fore 1+6=3+8
    and 2+3+4+7+8=1+5+6(same area)
    substitute “1+5+6 ” as 3+5+8.
    so 2+3+4+7+8=3+5+8.
    therefore 2+4+7=5
    ——
    ——
    take my pathiri

  53. ഹരിത says:

    അതിമനോഹരമായി ഉത്തരം പറഞ്ഞ വിജയന്‍ സാറിന് പത്തിരിയും കോഴികറിയുംയും ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാറിന്റെ ചിലവില്‍ വാങ്ങി തരുന്നതാണ്.

    പിന്നെ ഉത്തരം ശരിയാണ് എങ്കിലും അതിന്റെ കാരണം വ്യക്തമായി വിശദീകരിച്ചു കണ്ടില്ല അതിനാല്‍ പരമാവധി 5 പത്തിരി മാത്രമേ കഴിക്കാന്‍ പാടുള്ളൂ അതില്‍ കൂടുതല്‍ കഴിച്ചാല്‍ സ്വന്തം കയ്യില്‍ നിന്നും പൈസ കൊടുക്കണം എന്ന് രാജാരാജചോഴന്‍ ശ്രി നിസാര്‍ സര്‍ ഇതിനാല്‍ അറിയിച്ചു കൊള്ളുന്നു ഡും ഡും ഡും

  54. vijayan says:

    ഹരിത,പത്തിരി യുടെ തിരക്കില്‍ വിശധ മായി വഴി കാണിച്ചിട്ടില്ല. ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പലവ് ചാടുര്ബുജതിന്റെ പരപ്പലവിന്റെ പകുതിയനല്ലോ? അതുകൊണ്ട് 1+5+6,3+5+8,2+3+4+7+8,1+2+4+6+7 ഉം തുല്യമെന്ന് പറയേണ്ടതില്ലല്ലോ.

  55. വിജയന്‍ സാര്‍ ഏതു പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ചാണ് മലയാളം ടൈപ്പ് ചെയ്യുന്നത്. മംഗ്ലീഷാണോ?

  56. vijayan says:

    @ജനാര്‍ദനന്‍ സര്‍ , മലയാളം ടൈപ്പ് തെറ്റിയത് ചുണ്ടിക്കാട്ടി, കോഴി കറിയും പത്തിരിയും തരാതിരിക്കാന്‍
    കാരണം കണ്ടതാണെങ്കില്‍ താങ്കളെ സമ്മതിച്ചിരിക്കുന്നു..സംഖ്യകളില്‍ തെറ്റ് വന്നിട്ടില്ലല്ലോ..അതുമതി പത്തിരിക്ക് മാത്രം. ഇനി മംഗ്ലീഷ് , ഞാന്‍ പതുക്കെ നന്നാക്കാം.

  57. vijayan says:

    ഇന്നെന്താണ് ഒരു മൌനം?
    നമുക്കറിയാം 3,4,5എന്നി പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ വശങ്ങലുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ്‌ 6 ആണ് എന്നത് .ഇവ നാലും പൂര്‍ണസംഖ്യകളാണ്.ഇതുപോലെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഒരേ വിസ്തീര്‍ണമുള്ള രണ്ടു വത്യസ്ഥ അളവുള്ള പയ്താഗോരീന്‍ ത്രയങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തുക…

  58. shemi says:

    നാലഞ്ചു ദിവസമായി ബ്ളോഗു തുറന്നിട്ട്.ഇനി കമെന്റ്സ് മുഴുവന്‍ എപ്പോഴാണാവോ നോക്കിക്കഴിയുക.
    @ ജോണ്‍സാര്‍
    പോസ്റ്റ് ഉചിതമായി.

  59. ഹരിത says:

    താഴെ തന്നിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തില്‍ ചെറിയ സമചതുരങ്ങല്കെല്ലാം തുല്ല്യ പരപ്പളവ്‌ ആണ് .
    രണ്ടാം ത്രികോണത്തില്‍ സമചതുരങ്ങളുടെ സ്ഥാനം ഒന്ന് മാറിയപ്പോള്‍ എവിടെ നിന്ന് ആണ് ഒരു ചെറിയ സമചതുരം കൂടുതല്‍ ലഭിച്ചത്

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

    ഉത്തരം കൃത്യമായി ആദ്യം പറയുന്ന ആളിന്

    ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാറിന്റെ സാറിന്റെ വക പത്തിരിയും കോഴികറിയും.വിജയന്‍ സാറിന്റെ വക ബിരിയാണി.ഹരിതയുടെ വക ഒരു എ പ്ലസ്‌

    കൃത്യം 48 മണിക്കൂര്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ ഇതിന്റെ ഉത്തരം ഞാന്‍ കൊടുക്കും.

  60. ഹരിത says:

    താഴെ തന്നിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തില്‍ ചെറിയ സമചതുരങ്ങല്കെല്ലാം തുല്ല്യ പരപ്പളവ്‌ ആണ് .
    രണ്ടാം ത്രികോണത്തില്‍ സമചതുരങ്ങളുടെ സ്ഥാനം ഒന്ന് മാറിയപ്പോള്‍ എവിടെ നിന്ന് ആണ് ഒരു ചെറിയ സമചതുരം കൂടുതല്‍ ലഭിച്ചത്

    ഉത്തരം കൃത്യമായി ആദ്യം പറയുന്ന ആളിന്

    ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാറിന്റെ സാറിന്റെ വക പത്തിരിയും കോഴികറിയും.വിജയന്‍ സാറിന്റെ വക ബിരിയാണി.ഹരിതയുടെ വക ഒരു എ പ്ലസ്‌

    കൃത്യം 48 മണിക്കൂര്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ ഇതിന്റെ ഉത്തരം ഞാന്‍ കൊടുക്കും.

  61. razimantv says:

    @ ഹരിത

    മുകളിലെയും താഴത്തെയും ചിത്രങ്ങള്‍ സര്‍വസമമാണെന്ന് കരുതുന്നിടത്താണ് തെറ്റ്. രണ്ട് രൂപങ്ങളും ത്രികോണങ്ങള്‍ പോലുമല്ല : ചുവന്ന ത്രികോണത്തിന്റെയും നീല ത്രികോണത്തിന്റെയും കര്‍ണ്ണങ്ങളുടെ slope വ്യത്യസ്തമാണ്. അതിനാല്‍ രണ്ട് രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം വ്യത്യസ്തമാകുന്നതില്‍ അസ്വാഭാവികമായി ഒന്നുമില്ല

  62. vijayan says:

    @ haritha & razimantv,
    i will not give you biriyani because the above qn was asked by azees sir and the same answer was given by me.(refer old posts)
    now try the other qns. before that.

  63. ഹരിത says:

    താഴെ തന്നിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തില്‍ < =30ഡിഗ്രി <=50ഡിഗ്രി,<=60ഡിഗ്രി,<=20ഡിഗ്രി
    എങ്കില്‍ < എത്ര ?

  64. ഹരിത says:

    @ വിജയന്‍ സര്‍

    ഇത് നേരത്തെ അസീസ്‌ സര്‍ പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്തതാണ് എന്ന് എനിക്ക് അറിയില്ലായിരുന്നു.ശരി സര്‍ രണ്ടു ദിവസം കഴിഞ്ഞു ഇനി ഞാന്‍ വരുമ്പോഴേക്കും സര്‍ ഈ ചോദ്യംചെയ്തു വച്ചാല്‍ മതി

  65. joseph m j says:

    < =80
    is it right ?

  66. Manmohan says:

    ഇന്റര്‍നെറ്റില്‍ നിന്ന് ഏത് അറിവും ശേഖരിക്കാമെന്നിരിക്കെ ഈ ചോദ്യം ചോദിക്കുന്നത് വിഡ്ഢിത്തമാണ്. എന്നാലും ചോദിക്കട്ടെ,
    റിസ്റ്റ് വാച്ചിന്റെ ശരിയായ പേരെന്താണ്?

  67. ഹരിത says:

    2011 ല്‍ വിവിധ രാജ്യങ്ങളില്‍ ആയി നടക്കുന്ന അന്താരാഷ്ട്ര ഫിസിക്സ്‌ ,കെമിസ്ട്രി ,ബയോളജി ,ആസ്ട്രോണമി Olympiad ലേക്ക് കുട്ടികളെ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന് വേണ്ടി നവംബര്‍ 28 തിയതിയില്‍ +1, +2 കുട്ടികള്‍ക്ക് National Standard Examination നടക്കുന്നു
    1991 July ഒന്നിനോ അതിനു ശേഷമോ ജനിച്ച കുട്ടികള്‍ക്ക് ഇതില്‍ പങ്കെടുക്കാം

    9,10 ക്ലാസ്സുകളില്‍ പഠിക്കുന്ന പ്രതിഭാധനരായ കുട്ടികള്‍ക്ക് പങ്കെടുക്കാന്‍ കഴിയുന്ന National Standard Examination In Junior Science എന്ന പരീക്ഷയും ഇതോടൊപ്പം നടക്കുന്നു.

    കേരളത്തിലെ പരീക്ഷ കേന്ദ്രങ്ങള്‍ താഴെ കൊടുക്കുന്നു

    Exam Centers in Kerala

    പത്തോ അധിലധികമോ കുട്ടികള്‍ ഒരു സ്കൂളില്‍ നിന്നും പങ്കെടുക്കാം ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ട് എങ്കില്‍ ഒരു Enrollment form പൂരിപിച്ചു നല്‍കിയാല്‍ ആ സ്കൂളില്‍ പരീക്ഷ കേന്ദ്രം അനുവദിച്ചു തരും

  68. ഹരിത says:

    പത്തോ അധിലധികമോ കുട്ടികള്‍ ഒരു സ്കൂളില്‍ നിന്നും പങ്കെടുക്കാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ട് എങ്കില്‍ ഒരു Enrollment form പൂരിപ്പിച്ചു നല്‍കിയാല്‍ ആ സ്കൂളില്‍ പരീക്ഷ കേന്ദ്രം അനുവദിച്ചു തരും

    Enrollment form

  69. ഹരിത says:

    കുട്ടികളെ പങ്കെടുപ്പിക്കാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്ന അധ്യാപകര്‍ താഴെ കാണുന്ന Registration Form പൂരിപ്പിച്ചു നാളെ തന്നെ നിങ്ങളുടെ സമീപത്തുള്ള പരീക്ഷ കേന്ദ്രത്തില്‍ കൊണ്ട് ചെല്ലണം .അവസാന തിയതി Sept.15 ആണ്

    Student Registration Form

  70. നന്ദി ഹരിതാ,
    ശ്രദ്ധിക്കാം.

  71. how can we download
    studying vedios

  72. i want technical high school mid term time table

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s