STD IX വൃത്തങ്ങള്‍ (ടീച്ചിങ് മാനുവല്‍)

പല അധ്യാപകരും ബി.എഡ് വിദ്യാര്‍ത്ഥികളുമെല്ലാം ഒരു മാതൃകാ ടീച്ചിങ് മാനുവല്‍ വേണമെന്ന് ആവശ്യപ്പെട്ടിരുന്നു. പക്ഷെ യാതൊരു കാരണവശാലും മാത്‍സ് ബ്ലോഗ് ഇത്തരമൊരു സംരംഭത്തെ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുന്നതേയില്ല. കാരണം, ടീച്ചിങ് മാനുവല്‍ അധ്യാപകന്റെ ക്ലാസ് മുറിയിലെ ആശയസംവേദനത്തിന്റെ തിരക്കഥയാണ്. ഒരാളുടെ രീതിയായിരിക്കില്ല മറ്റൊരാളുടേത്. അതുകൊണ്ടു തന്നെ ജോണ്‍ സാര്‍ തയ്യാറാക്കിയ ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ വൃത്തങ്ങള്‍ എന്ന പാഠവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഈ പോസ്റ്റിന്റെ ഭാഗമായി വരുന്ന ടീച്ചിങ്ങ് മാനുവലുകള്‍ ഒരു മാതൃകയായി കണക്കാക്കരുതെന്ന് അഭ്യര്‍ഥിക്കുന്നു. ഇത് കമന്റുകളിലൂടെ മെച്ചപ്പെടുത്തി, കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകളോടെ മാറ്റിയെഴുതി ഉപയോഗിക്കാമെന്നു കരുതുന്നു. സൈഡ് ബോക്സുകളെ തുടര്‍മുല്യനിര്‍ണ്ണയത്തിനായി ഉപയോഗിക്കാനുള്ള ശ്രമമാണ് ഇവിടെ നടത്തിയിരിക്കുന്നത്. പാര്‍ശ്വങ്ങളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്നവ എല്ലാം തന്നെ മുഖ്യധാരയുമായി ഇഴപിരിക്കാനാവാത്തവയാണ്. വ്യസിക്കുക എന്ന വാക്കിനര്‍ഥം തുല്യമായി മുറിക്കുക എന്നാണെന്ന് തൊണ്ണൂറുവയസായ ഒരു പഴയ കണക്കധ്യാപകന്‍ ഈയിടെ എന്നോടുപറഞ്ഞു.വേദങ്ങളെ വ്യസിച്ചവനാണത്രേ വ്യാസന്‍. വൃത്തത്തെ വ്യസിച്ചത് വ്യാസവും. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ചെറുപ്പകാലത്ത് നടന്നിരുന്ന ഗണിതാധ്യാപനത്തെ ക്കുറിച്ചു പറഞ്ഞപ്പോള്‍ ലേഖകന്‍ തിരിച്ചറിഞ്ഞത് ഗണിതബോധനത്തിന്റെ ഒരു സുവര്‍ണ്ണകാലത്തെയാണ്. ഇത് മറ്റൊരു പോസ്റ്റിനുള്ള വിഷയമത്രേ. താഴെയുള്ള ലിങ്കുകളില്‍ നിന്നും ഇവ ഡൌണ്‍ലോഡ് ചെയ്തെടുക്കാം. ഒപ്പം ചുവടെ നല്‍കിയിരിക്കുന്ന വര്‍ക്ക് ഷീറ്റും വായിച്ചു നോക്കുമല്ലോ.

കോട്ടയത്തുനടന്ന DRG പരിശീലനത്തില്‍ ലേഖകന്‍ അവതരിപ്പിച്ചഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനമാണിത്.

ABCഎന്ന സമഭുജത്രികോണവും അതിനോടുചേര്‍ന്ന് ചേര്‍ന്ന് ഒരു സമചതുരവും കാണാം.A,D,E എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലീടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വൃത്തമുണ്ട്. ഈ വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം കണ്ടെത്താന്‍ ഒരു മാര്‍ഗ്ഗം നിര്‍ദ്ദേശിക്കാമോ?
പിന്നെ, ഈ വൃത്തത്തിന്റെ ആരം സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിനു തുല്യമാണെന്ന അഭിപ്രായത്തോട് നിങ്ങള്‍ യോജിക്കുന്നുണ്ടോ? ചിത്രം വരച്ചുകൊടുത്ത് ഈ ചോദ്യങ്ങള്‍ കുട്ടികളോട് ചോദിക്കാം.രണ്ടാമത്ത ചോദ്യത്തിനുത്തരം പത്താം ക്ലാസുകാരനും നല്‍കാം.അവര്‍ക്ക് നല്ലൊരു ആപ്ലികേഷനായിരിക്കും. കുട്ടികള്‍ക്ക് നല്‍കാന്‍ ഒരു വര്‍ക്ക് ഷീറ്റു കൂടിയുണ്ട്. വര്‍ക്ക് ഷീറ്റില്ലാതെ കുട്ടിക്ക് ചെയ്യാന്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ വളരെ നന്ന്. ഇതൊരു അസൈന്‍മെന്റായി നല്‍കിയാലോ?ആലോചിച്ചുനോക്കൂ……

വര്‍ക്ക് ഷീറ്റ്

1)AE യും ADയും വൃത്തത്തിലെ എന്താണ് ?
2)ADയുടെ ലംബസമഭാജിയും AE യുടെ ലംബസമഭാജിയും ഖണ്ഡിക്കുന്ന സ്ഥാനം എവിടെയാണ്?
3)കോണ്‍ ACE എത്രയാണ്?
4)കോണ്‍ CAE യും കോണ്‍ CEAയും എത്രവീതം?
5)കോണ്‍ BAD എത്ര?
6)കോണ്‍ DAE എത്രയാണ്?
7)കേന്ദ്രം O ആയാല്‍ കോണ്‍ DOE എത്രയാണ്?
8)ത്രികോണം ODE യുടെ കോണുകള്‍ എത്രവീതം?
9)ത്രികോണം ODE ഏതുതരം ത്രികോണമാണ്?
10)നിഗമനം എഴുതുക

Download the Teaching Notes for discussion- Part IPart II

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in ശാസ്ത്രം, Maths IX. Bookmark the permalink.

110 Responses to STD IX വൃത്തങ്ങള്‍ (ടീച്ചിങ് മാനുവല്‍)

  1. ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ വൃത്തങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കാര്യങ്ങള്‍ മാത്രം ഇവിടെ അവതരിപ്പിക്കാന്‍ ശ്രമിക്കുമല്ലോ. എങ്കില്‍ മാത്രമേ ഭാവിയിലും നല്ലൊരു റഫറന്‍സായി ഈ പോസ്റ്റിനെ നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാനാവൂ. അതിനാല്‍ വിഷയ സംബന്ധിയായ പ്രശ്നങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിക്കുന്നതില്‍ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കുമല്ലോ.

  2. bhama says:

    പത്താം ക്ളാസ്സിലെ കുട്ടികള്‍ക്കു നല്കാവുന്ന നല്ല ഒരു അസൈന്മെന്റു തന്നെ.

    ഒമ്പതാം ക്ളാസ്സില്‍ സര് വ്വസമത്രികോണം ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കുന്നതിനേക്കാളും സമപാര് ശ്വത്രികോണത്തിന്റെ പ്രതേകതകളുപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കുന്നതിനാണ് പ്രാധാന്യം നല്കിയിരിക്കുന്നത്.

  3. thulasi says:

    1.draw perpendicular bisectors of AD,AE,DE.
    THE BISECTORS INTERSECT AT THE CENTRE OF THE CIRCLE
    ‘O”.
    1.CHORDS.
    2.Centre of the circle
    3.150
    4.15
    5.15
    6.30
    7.60
    8.60
    9.equilateral

    I THINK the name of the square is better name as BCDE, INSTEAD OF BCED.

  4. @ John sir

    1) AE യും ADയും വൃത്തത്തിലെ എന്താണ്
    ഞാണുകള്‍
    2)ADയുടെ ലംബസമഭാജിയും AE യുടെ ലംബസമഭാജിയും ഖണ്ഡിക്കുന്ന സ്ഥാനം എവിടെയാണ്?

    വൃത്ത കേന്ദ്രത്തില്‍

    3)കോണ്‍ ACE എത്രയാണ്?
    < = < +< = 60+90 =150 4)കോണ്‍ CAE യും കോണ്‍ CEAയും എത്രവീതം ?
    ത്രികോണം ACE യില്‍
    < = 150
    AC=CE
    അതിനാല്‍
    < = < = 15 5)കോണ്‍ BAD എത്ര?
    ത്രികോണം AEC ,ADB എന്നിവ സര്‍വസമങ്ങള്‍ ആണ്
    < = <
    അതിനാല്‍
    < =15 6)കോണ്‍ DAE എത്രയാണ്? < = 15+15=30 7)കേന്ദ്രം O ആയാല്‍ കോണ്‍ DOE എത്രയാണ്? DE എന്ന ചാപം അതിന്റെ ശിഷ്ട ചാപത്തില്‍ ഉണ്ടാകിയിരിക്കുന്ന കോണ്‍ ആണ് <
    അതിനാല്‍
    < = 2*30 =60 8)ത്രികോണം ODE യുടെ കോണുകള്‍ എത്രവീതം? OD =OD (ഒരേ വൃത്തത്തിന്റെ ആരങ്ങള്‍ )
    അതിനാല്‍ ത്രികോണം DOE ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം ആണ് .ത്രികോണം ODE യുടെ കോണുകള്‍ 60 വീതം ആണ്

    9)ത്രികോണം ODE ഏതുതരം ത്രികോണമാണ്?

    അതിനാല്‍ ത്രികോണം DOE ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം ആണ്

    10)നിഗമനം എഴുതുക

    അതായത് സമഭുജ ത്രികോണംODE യുടെ ഒരു വശം ആയ സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശം(DE) തന്നെ ആണ്.മറ്റു രണ്ടു വശങ്ങള്‍(OD,OE) വൃത്തത്തിന്റെ ആരം ആണ്.അതിനാല്‍
    വൃത്തത്തിന്റെ ആരം സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിനു തുല്യമാണ് എന്ന് കാണാം

  5. സ്ക്കൂള്‍ ഡയറി – 8 മനസ്സിലൊരു സംഘനൃത്തം
    ജനവാതിലില്‍ഇവിടെ ക്ലിക്കുക

  6. @ John sir

    ഇവിടെ നല്‍കിയ ചോദ്യം പല രീതികളിലും ചെയ്യാം .ലൈന്‍ ഓഫ് സിമ്മെട്രി എന്നാ ആശയം വച്ചും മറ്റു പല രീതികളിലും നമുക്ക് ഈ നിഗമനത്തിലേക്ക് എത്താന്‍ കഴിയും

  7. വ്യാസം എന്ന പദത്തിന് പകുക്കുക എന്നതു കൂടാതെ വിസ്താരം / വിസ്തൃതി എന്നൊരു അര്‍ത്ഥവും കൂടി ശബ്ദതാരാവലിയില്‍ കാണുന്നുണ്ട്. അതായത് വിസ്തൃതിയുടെ പരിധിയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താന്‍ കഴിയുന്നത് തന്നെ വ്യാസം. ഒരു ബിന്ദുവില്‍ നിന്നാരംഭിച്ച് എല്ലാ ഭാഗത്തേക്കും സമദൂര വിസ്തൃതിയാവുമ്പോള്‍ അത് വൃത്തം തന്നെയായിരിക്കുമല്ലോ. പരിധിയുടെയും വ്യാസത്തിന്റെയും ഇടയ്ക്കുള്ളത് ᚂ .അത് നിത്യസത്യം. വേദം എന്നുള്ളത് വിദ് (അറിവ്) എന്ന ധാതുവില്‍ നിന്നുണ്ടായത്. ഈ പ്രപഞ്ചത്തില്‍ എന്തെല്ലാമുണ്ടോ അതാണ് അറിവ്. അതളക്കാന്‍ ശ്രമിക്കുന്നവന്‍ വ്യാസന്‍. അറിവിന്റെ പരിധി അനന്തതയിലേക്കു നീളുന്നു. അതായത് നമ്മുടെ ഉള്ളിലുള്ള വ്യാസന്‍ എത്ര വലുതായി വരുന്നുവോ അത്രത്തോളം നമ്മുടെ അറിവിന്റെ പരിധിയും വലുതാവുന്നു. പരിധിക്കപ്പുറമുള്ളത് അജ്ഞാനം.

    ജ്ഞാനേന തു തദജ്ഞാനം യേഷാം നാശിതമാത്മന:
    തേഷാമാദിത്യവത് ജ്ഞാനം പ്രകാശയതി തല്‍പരം

  8. manju says:

    അസൈന്മെന്റ് ആയി കുട്ടികള്‍ക്ക് കൊടുക്കാന്‍ പറ്റിയ നല്ല ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം.മാതൃഭൂമിയില്‍ ഈ ബ്ലോഗിനെ കുറിച്ച് വായിച്ചതുമുതല്‍ ഞാന്‍ ഇതിന്റെ ഒരു ഗുണ ഭോക്തവാണ്‌.ഇതിലൂടെ കിട്ടിയ ഉപകാരപ്രദമായ ഒരുപാടു കാര്യങ്ങള്‍ക്ക് ആദ്യമായി നന്ദി അറിയിക്കട്ടെ.കമന്റ്സ് ഇടാന്‍ എന്തോ ഒരു പ്രയാസമായിരുന്നു.ഇപ്പോഴെങ്കിലും ഇത് അറിയിച്ചില്ലെങ്കില്‍ നിങ്ങളോട് കാണിക്കുന നന്ദികേടായി തോന്നി.ഈ ബ്ലോഗിന്റെ വളര്‍ച്ചയില്‍ ഒരുപാടു സന്തോഷിക്കുന്നു.

  9. JOHN P A says:

    എന്റെ ജനാര്‍ദ്ധനന്‍ സാറെ സ​മ്മതിച്ചിരിക്കുന്നു.ഇതു ഞാന്‍ പലയിടത്തും പറയും.എന്റെ കുട്ടികളോട് നാളെത്തന്നെ പറയും

  10. JOHN P A says:

    @ഗായത്രി
    ഒന്നു വിശദീകരിക്കാമോ?
    പലതീതിയില്‍ ഇതിനെ സമീപിക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ നല്ലൊരു അസെന്‍മെന്റായി നല്‍കാമല്ലോ
    Divergent thinking ഗണിതപഠനത്തില്‍ വളരെ പ്രസക്തമാണ്

  11. This comment has been removed by the author.

  12. പ്രിയപ്പെട്ട ജോണ്‍ സര്‍, പറയാതിരിക്കാന്‍ വയ്യ. സാറിനെ പോലത്തെ കുറച്ചു അധ്യാപകരുടെ കീഴില്‍ രണ്ടാമത് പ്രൈമറിയും ഹൈസ്കൂളും ചെയ്താലോ എന്ന് ആഗ്രഹിച്ചു പോകുന്നു!

    You are all great teachers! Great Mathematicians! A teacher is one who shows the students how things can be seen, and in how many ways it can be analysed, and in how different ways it can be implemented in life! Really great, sir!

    Arunanand T A

  13. ഈ പാഠഭാഗത്തിലെ സൈഡ് ബോക്സുകള്‍ താരതമ്യേന മികച്ചു നില്‍ക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും ‘വൃത്തത്തിനുള്ളിലെ വൃത്തം’ പോലുള്ളവ. കണ്ടുപരിചയിച്ച ഈ പടത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവും അന്വേഷണവും കുട്ടികളില്‍ ആകാംക്ഷയുണര്‍ത്തും. പക്ഷെ വൃത്തവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒട്ടേറെ ശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരെയും അവരുടെ കഥകളെയും അവതരിപ്പിക്കാനുള്ള അവസരം വേണ്ടവിധം പാഠപുസ്തകത്തില്‍ അവതരിപ്പിക്കപ്പെട്ടില്ലെന്ന് വേണം പറയാന്‍. തൊടുകറിക്കെന്ന വണ്ണം ജൊഹനാസ് കെപ്ലറെയും ഭാസ്ക്കരാചാര്യരെയും ഒന്നു പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടുണ്ട്.

    പക്ഷെ ഈ ശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരെ സംബന്ധിക്കുന്ന കഥകളും മറ്റും അവതരിപ്പിച്ചാല്‍ ഗണിതപുസ്തകത്തോട് കുറേക്കൂടി ആഭിമുഖ്യം കുട്ടികള്‍ക്കുണ്ടാവില്ലേ? സ്വയം വായിക്കാനുള്ള ഒരു ആകാംക്ഷ കുറച്ചു പേരിലെങ്കിലും ഉണ്ടാകാനിടയില്ലേ? എന്നാല്‍ Locus പോലുള്ള തുടര്‍പഠനസാധ്യതയുള്ള പദങ്ങളെ വിനിയോഗിച്ചത് അഭിനന്ദനം അര്‍ഹിക്കുന്നു.

    പക്ഷെ, ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കു നമ്പറിടാത്തതിന് എന്ത് ന്യായീകരണമാണ് പറയാനാവുക?

  14. Krishnan says:

    @ സോമലത ഷേണായി

    വൃത്തത്തെ സംബന്ധിക്കുന്ന പ്രധാന ചരിത്രം, അതിന്റെ ചുറ്റളവളക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങളാണ്‌. ആ ചരിത്രം, പുസ്തകത്തിന്റെ രണ്ടാംഭാഗത്തില്‍ വിശദമായിത്തന്നെ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്‌. ഭാസ്കരാചാര്യരേയും, കെപ്ലറേയും ഇവിടെത്തന്നെ പരാമര്‍ശിച്ചത്, കേവലം തൊടുകുറിയായല്ല, ആ സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ ഏറ്റവും യോജിക്കുന്നതുകൊണ്ടാണ്‌.
    ഇനി, ഈ പാഠത്തിലെ ആശയങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട “ഒട്ടേറെ ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ കഥകള്‍” പരിചയമുണ്ടെങ്കില്‍, അവ ഈ blog ലൂടെ പങ്കുവയ്ക്കുകയും ആകാമല്ലോ.

  15. Swapna John says:

    കഥ പറഞ്ഞ് ചര്‍ച്ച വഴി തിരിക്കുന്നില്ല. പകരം, വൃത്തങ്ങളിലെ കൂടുതല്‍ പ്രശ്നങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ച ചെയ്യുക. എല്ലാ കമന്റും വായിക്കാറുണ്ട്. എന്റെ ക്ലാസുകളെ അത് സ്വാധീനിക്കാറുമുണ്ട്. പക്ഷെ പലപ്പോഴും ഈ ചര്‍ച്ചകളില്‍ ഇടപെടാറില്ല. എങ്കിലും കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ പറഞ്ഞതു പോലെ ഒരു കഥ പറയാന്‍ ശ്രമിച്ചേക്കാം.

    ഗണിതവുമായി ഏറെ ബന്ധപ്പെട്ടു നില്‍ക്കുന്ന ഒന്നാണ് ക്ലോക്കിലെ പെന്‍ഡുലം. അത് ആടുമ്പോള്‍ സൃഷ്ടിക്കുന്ന ചാപവും സെക്റുമെല്ലാം മുന്‍വര്‍ഷങ്ങളില്‍ നമ്മള്‍ ചര്‍ച്ച ചെയ്തിരുന്നു. അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു കഥയായാലോ?

    വര്‍ഷം 1580 കളില്‍ എന്നോ ഗലീലിയോ പിസാ കത്തീഡ്രലില്‍ പ്രാര്‍ത്ഥനക്ക് പോയി. മച്ചില്‍ തൂങ്ങിയാടുന്ന വിളക്കിലായിരുന്നു ഗലീലിയോയുടെ ശ്രദ്ധ. ഏത് കോണളവില്‍ വിളക്ക് ആട്ടം തുടങ്ങിയാലും ഒരു തലക്കല്‍ നിന്ന് മറുതലക്കലേക്ക് ആടി തുടങ്ങിയേടത്ത് തിരികെ വരാന്‍ ഒരേ സമയമാണെടുക്കുന്നതെന്ന് അദ്ദേഹം തിരിച്ചറിഞ്ഞു. ഒരായിരം വിളക്കു തെളിഞ്ഞു കാണണം ഗലീലിയോയുടെ മനസ്സിലപ്പോള്‍! കൃത്യമായി സമയം അറിയിക്കാനുള്ള ഒരു സംവിധാനത്തിന്റെ മൂലഘടകമാക്കാനാവും ഈ പ്രതിഭാസം.

    ഗലീലിയോ പെന്‍ഡുലം ക്ലോക്ക് ഉണ്ടാക്കാന്‍ സ്വജീവിതത്തില്‍ വളരെ അധ്വാനിച്ചെങ്കീലും 1642 ലെ തന്റെ മരണത്തിനു മുമ്പ് പൂര്‍ത്തികരിക്കാനായില്ല. 1656 ല്‍ ക്രിസ്റ്റ്യന്‍ ഹൈജന്‍സ് എന്ന ഡച്ച് ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ഗലീലിയോയുടെ ഈ കണ്ടെത്തല്‍ ആധാരമാക്കി ലോകത്തിലെ ആദ്യത്തെ കൃത്യമായ പെന്‍ഡുലം ക്ലോക്ക് നിര്‍മ്മിച്ചു. നാം ഇന്ന് അത്ര പ്രാധാന്യം കല്‍പ്പിക്കുന്നില്ലെങ്കിലും പലരുടെ വര്‍ഷങ്ങള്‍ നീണ്ട തുടരധ്വാനങ്ങളുടെ ഫലമായിരുന്നു ആദ്യ പെന്‍ഡുലം ക്ലോക്ക്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ കൃത്യത ക്ലോക്കിന്റെ നിര്‍മ്മാണത്തിലും പുലര്‍ത്തിയതിനാല്‍ ഹൈജന്‍സിന്റെ ആദ്യകാല ക്ലോക്കുകള്‍ ദിവസത്തില്‍ ഒരു മിനിറ്റ് വ്യത്യാസമേ കാണിച്ചിരുന്നുള്ളൂ. പിന്നെയും തുടര്‍ന്ന കൃത്യതയ്ക്കുവേണ്ടിയുള്ള യത്നത്തില്‍ ഈ വ്യത്യാസം 10 സെക്കന്‍ഡില്‍ കുറയ്ക്കാനും കഴിഞ്ഞു.

  16. @ ജോണ്‍ സാര്‍
    സാര്‍ കഷ്ടപ്പെട്ട് ടീച്ചിംഗ് മാന്വല്‍ തയ്യാറാക്കി. അനുബന്ധമായി അസൈന്‍മെന്റ് നല്‍കി. രണ്ടു ദിവസമായി രണ്ടായിരം പേരെങ്കിലും ഇതെല്ലാം വായിച്ചു നോക്കി.ചിലപ്പോള്‍ എഴുതിയെടുത്തിട്ടും ഉണ്ടാവാം. നമ്മള്‍ സാധാരണ കമന്റിടുന്നവരില്‍ ചിലര്‍ മാത്രം എന്തെങ്കിലുമൊക്കെ പറഞ്ഞു പോയി. കുഴപ്പമുണ്ടെങ്കില്‍ അതു കാണിച്ച് അല്ലെങ്കില്‍ ഒരു നല്ല വാക്ക് -ഇതൊന്നുമില്ലാത്തത് കഷ്ടം തന്നെ. ഇതിന്റെ പിന്നിലുള്ള അധ്വാനം, സമയം, സന്മനസ്സ് ആരും കാണുന്നില്ലേ.

  17. എന്റെ അനുജത്തിക്ക് says:

    ഭൂമി എന്ന് അര്‍ത്ഥം വരുന്ന ജ്യാ എന്ന സംസ്കൃത പദവും അളവ് എന്ന് അര്‍ത്ഥം വരുന്ന മിതി എന്ന
    സംസ്കൃത പദവും ചേര്‍ന്നാണ് ജ്യാമിതി എന്നാ പദം ഉണ്ടായത് .ആദ്യ കാലത്ത് പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളുമായി ആണ് ജ്യാമിതി രൂപം കൊണ്ടത്‌ .വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കു ശേഷം അത് ഒരു പ്രായോഗിക ശാസ്ത്രമായി വളര്‍ന്നു വന്നു.

    പ്രായോഗിക ശാസ്ത്രമായ ജ്യാമിതി ക്രെമേണ കേവല രൂപങ്ങളെ കുറിച്ചുള്ള അമൂര്‍ത്ത സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ പഠനത്തിലേക്ക് നീങ്ങി.കണിശമായ യുക്തിയിലൂടെ പുതിയ സിധാന്തങ്ങളിലേക്ക് ഉയരുന്ന യുക്ലീടിയന്‍ രീതി എല്ലാ ശാസ്ത്രങ്ങളെയും സ്വാധീനിച്ചു

    A circle is a plane figure contained by one line such that all straight lines falling upon it from one point among those lying with in the figure are equal to one another.And the point is called centre of the circle.

    യുക്ലിഡിന്റെ വീക്ഷണത്തില്‍ ഒരു തലത്തില്‍ വലയം ചെയ്യപെട്ട ഭാഗമാണ് വൃത്തം.ഡയമീറ്റര്‍ എന്നാ പദം ആദ്യമായി ഉപയോഗിച്ചത് യുക്ലിഡ് ആണ്.ആരത്തെ അര്‍ദ്ധവ്യാസം എന്നാ തരത്തില്‍ ആദ്യം പ്രയോഗിച്ചവരില്‍ ഒരാള്‍ ആര്യഭടന്‍ ആണ് എന്ന് പറയപെടുന്നു

    ഇന്നത്തെ തരത്തില്‍ ആരത്തിന്റെ പ്രയോഗം Ramus(1569) ഗ്രന്ഥങ്ങളില്‍ ആണ് കാണപെടുന്നത്.1590ല്‍ വിയറ്റയോടൊപ്പം ഈ പ്രയോഗം സര്‍വ സാധാരണമായി

  18. ഇങ്ങനെ കുട്ടികള്‍ ചോദിച്ചാല്‍‍….

    എന്റെ പത്താം ക്ലാസിലെ ഒരു കുട്ടി ചോദിച്ചു. സ്പര്‍ശരേഖയും ആരവും ചേര്‍ത്തു വരക്കുമ്പോളുണ്ടാകുന്ന കോണ്‍ ലംബമാണെന്ന് പാഠപുസ്തകത്തിലുണ്ട്. ഇത് ജ്യാമിതീയമായി വരച്ചു കൊണ്ടല്ലാതെ എങ്ങനെയാണ് തെളിയിക്കാനാവുക? ഗണിതമായതിനാല്‍ അതിന് സാധ്യത കാണുമല്ലോ.

    സമാനമായ ഒരു ചോദ്യം ഒമ്പതാം ക്ലാസിലെ വൃത്തങ്ങളിലുമുണ്ടല്ലോ. ഒരു ഞാണിലേക്ക് വൃത്തകേന്ദ്രത്തില്‍ നിന്നും വരക്കുന്ന ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ദൂരം ലംബദൂരമാണ്. ഇതെങ്ങനെ വരച്ചു നോക്കാതെ തെളിയിക്കാനാകും?

    മറുപടി പറയേണ്ടേ..

  19. Sir
    മിക്കവാറും എല്ലാ ദിവസവും ഈ blogതുറക്കാറുണ്ട് ,
    വായിക്കാറുണ്ട്ചര്‍ച്ച ചെയ്യാറുമുണ്ട്.
    നിങ്ങള്‍ തരാറുള്ളQuestions,Assignmentsഇവയെല്ലാം
    തന്നെ ഞങ്ങള്‍ക്ക് ക്ലാസില്‍
    പോകാന്‍ധൈര്യം തരാറുമുണ്ട്.പ്രതികരിക്കാന്‍
    സമയം കിട്ടാത്തതുകൊണ്ടു മാത്രമാണ്എഴുതാത്തത്.
    Mathsblogന് എല്ലാവിധ ആശംസകളും നേരുന്നു!
    ഈ മഹാവൃക്ഷം ഞങ്ങള്‍ക്ക്
    തണലും കുളിരും ആവോളം തരുന്നു.

  20. @ഹരി സര്‍,
    100 മീറ്റര്‍ ഓട്ട മത്സരത്തില്‍ ട്രാക്ക് മാറി ആരെങ്കിലും ഓടിയാല്‍ ഓടുന്നവന് ദൂരം ലഭാകരമല്ലല്ലോ.ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ദൂരം ലംബദൂരമായത് കൊണ്ട് തന്നെയാണല്ലോഇത് .

  21. Krishnan says:

    @ ഹരി

    ശരിക്കുപറഞ്ഞാല്‍, ഇവിടെ രണ്ടു പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. (i) സ്പര്‍ശരേഖ ആരത്തിനു ലംബമാണോ? (ii) ആരത്തിനു ലംബമായി, അതിന്റെ അറ്റത്തിലൂടെ വരയ്ക്കുന്ന രേഖ സ്പര്‍ശരേഖയാണോ? രണ്ടിനും പാഠപുസ്തകത്തിലെ അതതിടങ്ങളില്‍ വിശദീകരണം കൊടുത്തിട്ടുണ്ടല്ലോ. വളരെ കൃത്യമായ അര്‍ത്ഥത്തില്‍, ഈ വിശദീകരണങ്ങള്‍ തെളിവുകളല്ല എന്നു പറയാം. അത്തരം തെളിവുകള്‍ യൂക്ലിദിന്റെ എലിമെന്റ്സിലെ Book III യിലെ Proposition 16, Proposition 18 ഇവയില്‍ കാണാം.

    ബിന്ദുവില്‍നിന്ന് രേഖയിലേക്കുള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ദൂരം ലംബമാണെന്ന് യൂക്ലിദ് നേരിട്ടു പറഞ്ഞിട്ടീല്ലെന്നാണ്‌ തോന്നുന്നത്. എങ്കിലും Book I ലെ Proposition 19 ല്‍നിന്ന് ഈ നിഗമനത്തിലെത്താന്‍ വലിയ വിഷമമില്ല.

    ഏലിമെന്റ്സിന്റെ online interactive version ഇവിടെ കാണാം.

  22. Manmohan says:

    വിജയന്‍ ലാര്‍വ സര്‍ & കൃഷ്ണന്‍ സര്‍,

    അധ്യാപകരെക്കൂടാതെ കുട്ടികളും സന്ദര്‍ശിക്കുന്ന ഒരു ബ്ലോഗാണല്ലോ ഇത്. ഇത് കാണുന്ന ഒരുത്തന്‍ നാളെ ടീച്ചറെ ഒന്നു വെട്ടിലാക്കാം എന്ന് വിചാരിച്ച് ചോദിച്ചാല്‍ അധ്യാപകര്‍ എന്തു മറുപടി പറയും?

    ഹരി സര്‍ പറഞ്ഞതു പോലെ “ഗണിതമായതിനാല്‍ തെളിയിച്ചു കാണിച്ചു കൊടുക്കണമല്ലോ”. നിസ്സാരമായ ഒരു ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം ടീച്ചര്‍ക്കറിയില്ല എന്നാകില്ലേ കുട്ടികള്‍ കരുതുക. അറിയാവുന്നവര്‍ മാര്‍ഗം നിര്‍ദ്ദേശിക്കട്ടെ.

  23. Krishnan says:

    @ സ്വപ്ന ജോണ്‍

    പെന്‍ഡുലത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഗലീലിയോയുടെ കണ്ടുപിടിത്തത്തിന്റെ കഥ കൗതുകകരമാണെന്നതില്‍ സംശയമില്ല. പക്ഷേ, വൃത്തത്തിന്റെ ജ്യാമിതിയുമായി ഇതിനെന്താണു ബന്ധം? ഒരു ഭൗതിക തത്വത്തിലേക്കു നയിക്കുകയോ, അല്ലെങ്കില്‍ ഒരു ഭൗതികതത്വം വിശദീകരിക്കാന്‍ ഉപയുക്തമാകുകയോ ചെയ്യുമ്പോളല്ലേ ഗണിതത്തിന്റെ സാര്‍ത്ഥകമായ പ്രയോഗമാകുകയുള്ളു?

    മാത്രവുമല്ല, വൃത്തചാപത്തിലൂടെ ആടുന്ന പെന്‍ഡുലം ഒരു ആട്ടം പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ എടുക്കുന്ന സമയം, ആട്ടത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യത്തിനനുസരിച്ച് മാറുന്നില്ല എന്ന ഗലീലിയോയുടെ തത്വം അത്രകണ്ടു ശരിയല്ല എന്നു പില്‍ക്കാലത്ത് ഹയ്ജന്‍സ് തെളിയിക്കുകയും ചെയ്തു. ഗലീലിയോയുടെ തത്വം ശരിയാകണമെങ്കില്‍, പെന്‍ഡുലത്തിന്റെ പാത cycloid ആയിരിക്കണമെന്ന് അദ്ദേഹം ഗണിതത്തിലൂടെ തെളിയിച്ചു. പതിനൊന്നാം ക്ലാസില്‍ cycloidനെക്കുറിച്ചു പഠിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ ഈ ചരിത്രം പറയുന്നത് നന്നായിരിക്കും.

  24. JAYAN says:

    വളരെ പ്രയോജനകരമായ ഒരു ടീച്ചിംഗ് മാനുഅല്‍ തയാറാക്കിയ ജോണ്‍ സാറിനും
    കംമെന്റുകളില്ലൂടെ പുതിയ അറിവുകള്‍ നല്‍കുന്ന എല്ലാവര്ക്കും അഭിനന്ദനങ്ങള്‍ .

  25. JOHN P A says:


    ഞാന്‍ ഒന്നു ശ്രമിക്കട്ടെ
    O വൃത്തകേന്ദ്രവും P സ്പര്‍ശബിന്ദുവുമാണെന്നു കരുതുക
    OP ലംബം സ്പര്‍ശരേഖ ആണ്
    OP കുറഞ്ഞദുരം അല്ലന്നും കരുതുക
    അപ്പോള്‍ള്‍ O യില്‍ നിന്ന് സ്പര്‍ശരേഖയിലേക്ക് OQ എന്ന കുറഞ്ഞദൂരം ഉണ്ടാകണമല്ലോ?
    ആരേഖ വൃത്തത്തെ R ല്‍ മുറിക്കും
    OQ < OP
    OR +RQ < OP
    but OR = OP (both R and P on the circle)
    therefore RQ <0
    Which makes a contradiction. Assumption is wrong
    OQ is NOT THE SHORTEST DISTANCE
    OP is shortest distance

  26. Sir,

    I wish to buy “the Elements” by Euclid. I am not even a graduate in Mathematics, but have a keen interest in it! Could you please suggest where I can have a copy of it? Is it available in Kerala? Is a Malayalam version available?

    Arunanand T A,
    College of Engineering, Chengannur.

  27. @Arunanand T A
    The latest version of ‘The Elements’
    is not readily available. You will have to Order it. You may contact Orient Books Ernakulam to get the copy. They are supplying math books to colleges and Universities,
    For the reference purpose, it is available in the department library of the Department of Mathematics, Cochin University.

  28. Here is a problem:

    The vertices of a right angled triangle are on a circle of radius ‘R’ and the sides of the triangle are tangent to another circle of radius ‘r’. If the lengths of the sides about the right angle are 16 and 30, determine the value of R+r ?

    ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ മൂലകളെല്ലാം’R’ ആരമുള്ള വൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുക്കളാണ് മാത്രമല്ല ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങള്‍ ‘r’ ആരമുള്ള മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിന്റെ സ്പര്‍ശ രേഖകളാണ് . മട്ട കോണിന് ചേര്‍ന്നുള്ള വശങ്ങള്‍ 16 ഉം 30 ഉം ആയാല്‍ R + r എത്ര ?

  29. Krishnan says:

    @ Arunand

    The authoritative translation of Eucliid’s Elements is by Thomas L Heath and it is published in three volumes by Dover. You can order it online from flipkart.com. The total cost is slightly more than 2000 rupees

  30. Krishnan says:

    @ ജോണ്‍

    നല്‍കിയ തെളിവ് ഒന്നുകൂടി സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കൂ: എന്താണ്‌ യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ തെളിയിച്ചത്? വൃത്തകേന്ദ്രത്തില്‍നിന്ന്‌ സ്പര്‍ശബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരം, സ്പര്‍ശരേഖയിലെ മറ്റേതൊരു ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരത്തേക്കാള്‍ കുറവാണ്‌ എന്നു മാത്രമല്ലേ? സ്പര്‍ശരേഖയ്ക്ക് ഈ തെളിവില്‍ കാര്യമായി ഒന്നും ചെയ്യാനില്ല. അതു മാറ്റി നിര്‍ത്തിയാല്‍, ഈ തെളിവില്‍നിന്നു ലഭിക്കുന്നത്, വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തില്‍നിന്ന് വൃത്തവലയത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരം, അതിനു പുറത്തുള്ള ഏതു ബിന്ദുവിലേക്കുമുള്ള ദൂരത്തേക്കാള്‍ കുറവാണ്‌ എന്നു മാത്രമാണ്‌.

  31. In the figure triangle ABC is rightangled at A. The circle with centre A and radius AB cuts BC and AC internally at D and E respectively. If BD =20 and DC = 16 find AC?

    ചിത്രത്തില്‍ ABC A =90* ആയ മട്ട ത്രികോണമാണ്. A കേന്ദ്രവും AB ആരവുമായ വൃത്തം BC യെയും AC യേയും യഥാക്രമംD,E എന്നീ ബിന്ദുക്കളില്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു .BD = 20ഉം DC =16 ഉം ആയാല്‍ അച എത്ര ?

  32. bhama says:

    @ Jayasankar Sir,

    R+r = 23

    ശരിയല്ലെ ?

  33. @Bhama,
    Answer is correct. Please post the logic also

  34. Three circles touch each other externally and all the three touch a line. If two of them are equal and the third has radius 4 cm, Find the radius of the equal circles?

  35. The diametrets AB of a circle is divided into 4 equal parts at P,O,Q in that order. CD is a chord of the circle passing through P such that PD = 3/2 AP. Find the ratio of the area of the quadrilateral abcd to that of the triangle CAP ?

  36. @jayasanker sir,
    is it 8:1 ?

  37. @Vijayan larva

    I’m afraid you are wrong !

  38. ഹരിത says:

    @ Jayasankar sir
    The vertices of a right angled triangle are on a circle of radius ‘R’ and the sides of the triangle are tangent to another circle of radius ‘r’. If the lengths of the sides about the right angle are 16 and 30, determine the value of R+r

    എന്റെ ഉത്തരം താഴെ നല്‍കുന്നു

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  39. bhama says:

    @ jayasankar Sir,

    Since triangle ABC is a right triangle using Pythagoras theorem length of CA = 34. Since the vertices of the right triangle ABC are on a circle, CA is a diameter of the circle and hence R is half the length of CA ie R = 17

    G is the centre of the small circle and D, E, and F are the points where the small circle is tangent to the sides of the triangle ABC.

    Since BEGF is a square, BE=EG=GF=FB = r
    BC=16 so FC = 16-r
    AB= 30 so AE = 30-r
    CF=CD and AE = AD ( Tangents from a point )
    30-r + 16-r = 34
    From this we get r = 6
    R+r = 17 + 6 = 23

  40. ഹരിത says:

    @ Jayasankar sir

    In the figure triangle ABC is rightangled at A. The circle with centre A and radius AB cuts BC and AC internally at D and E respectively. If BD =20 and DC = 16 find AC?

    എന്റെ ഉത്തരം താഴെ നല്‍കുന്നു

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  41. ഹരിത says:

    @ Jayasankar sir

    The diametrets AB of a circle is divided into 4 equal parts at P,O,Q in that order. CD is a chord of the circle passing through P such that PD = 3/2 AP. Find the ratio of the area of the quadrilateral abcd to that of the triangle CAP ?

    My answer is 7:1 .Explanation later

  42. ഹരിത says:

    @ Jayasankar sir

    Three circles touch each other externally and all the three touch a line. If two of them are equal and the third has radius 4 cm, Find the radius of the equal circles?

    (Figure not included )


    Assume that the radius of the equal circles be ‘r ‘

    (r-4)^2 + r^2 = (r + 4)2

    r^2-8r+16 +r^2 = r^2+8r+16

    r^2- 16r =0

    r(r-16) =0

    r= 0 and r =16

    Since r can not be zero

    We have Radius of the circles are 16cm each

  43. Thanks Jayasankar sir and Krishnan sir for the detail!

    Arunanand T A

  44. ഹരിത says:

    @ Jayasankar sir

    In a village 1998 persons volunteered to clean up for a fair , a rectangular field with integer sides and perimeter equal to 3996 feet. For the purpose, the field was divided into 1998 equal parts. If each part had an integer area (measured in square feet), find the length and breadth of the field ?

    ഈ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം ഞാന്‍ അന്ന് പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്തപ്പോള്‍ സര്‍ തന്ന മറുപടി
    “I’m afraid you went wrong in between. The answer is not correct. Try again”

    എന്നാണ് പക്ഷെ വീണ്ടും ചെയ്തപ്പോള്‍ അത് തന്നെ ആണ് കിട്ടിയത് .ഞാന്‍ രണ്ടു വഴികളിലൂടെ ആണ് നോക്കിയത് അത് താഴെ കാണിക്കാം

    Method 1

    Let ‘a’ and ‘b’ be the length and breadth
    2a+2b=3996
    a+b=1998
    Here it is given as area ‘lb’ is exactly divisible by 1998
    ie , a(1998-b) is exactly divisible by 1998

    1998 | a^2 and a less than or equal to 1998/2 =999

    Since 1998 = 2 x 9 x 3 x 37 divides a^2 , the least value for ‘a’ is 2 x 9 x 37 =666 but since ‘a’ is the length of the field a>999 and hence a= 666 x 2 =1332
    and b= 666

    Method 2

    1998 | ab where a + b = 1998

    i.e. ab = 1998k

    Consider the polynomial:

    (x – a)(x – b)
    = x^2 – (a + b)x + ab
    = x^2 – 1998 x + 1998 k

    This has integer zeros (a and b) if the discriminant is a square, i.e.

    1998^2 – 4 . 1998 k = N^2

    Get the prime factorisation of 1998.
    1998 | ab where a + b = 1998

    i.e. ab = 1998k

    Consider the polynomial:

    (x – a)(x – b)
    = x^2 – (a + b)x + ab
    = x^2 – 1998 x + 1998 k

    This has integer zeros (a and b) if the discriminant is a square, i.e.

    1998^2 – 4 . 1998 k = N^2

    Get the prime factorisation of 1998.

    രണ്ടു രീതിയിലും ഉത്തരം ഇത് തന്നെ ആണ് കിട്ടുന്നത് ഇനി സര്‍ ഉത്തരം പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യൂ
    (താഴെ ഉള്ളത് കണ്ണന്‍ സര്‍ തന്ന ക്ലുവില്‍ നിന്ന് ആണ് കിട്ടിയത് )

  45. ഹരിത says:

    This comment has been removed by the author.

  46. Krishnan says:

    @ bhama

    It’s not difficult to prove that in any triangle, the in-radius is equal to the area divided by the semi-perimeter. So, in Jayashanker’s problem,
    r = 240 ÷ 40 = 6

  47. Praveena says:

    I found an attempt to prove the proposition “ Tangent to the circle is perpendicular to the radius through the point of contact”
    We know that among all the segments joining the centre to the points on the tangent, shortest one is perpendicular to the tangent
    If P is the point of tangency and AB is a tangent we have to prove that OP is perpendicular to AB
    It is sufficient to prove that OP is shorter than any other line joining O to any point on AB
    Take OQ where Q is other than P on AB
    Clearly OQ cut the circle at R
    OQ = OR +RQ
    therefore we can say OQ> OR ( because RQ is not negative)
    Therefore OQ>OP
    OP< OQ
    Thus OP is shorter than any other line joining P to any point on AB
    Hence OP is perpendicular to AB

  48. ഹരിത says:

    @ Jayasankar sir

    Show that there do not exist polynomials p(x) and q(x) each having inter coefficients and a degree greater than or equal to one such tthat p(x)× q(x) =x^5 + 2x + 1 ?

    Since the only positive integer root of x^5 + 2x + 1 are +1,-1 and these are not the solutions of this polynomials we can understand there is no linear factors.so we can express x^5 + 2x + 1 =p(x).(q(x) where ‘p(x)’ is of degree 2 and q(x) is of degree 3.

    Let
    p(x) = x^2+ax+b
    q(x) = x^3 + cx^2 + dx + e

    since be = 1 either both of them are 1 or both of them are -1

    Consider the first case

    ie, both of them are 1

    comparing the ‘x’ terms on both sides ae+bd =2 …..(1)

    Comparing coefficients of x^4 and x^3 we get

    a+c=0
    c=-a—–(2)

    d+ac+b=0
    b+d= -ac
    b+d= -a*-a
    b+d =a^2
    but here we assume that b=1then
    d+1=a^2 ….(3)

    From (1) and (3)

    a^2-1+a=2
    a^2+a-3=0
    here the discriminant is 14 from this we can see that the equation has no integer solutions .No solution in this case

    Consider the second case

    b=e=-1

    we get a+d=-2 and b+d=a^2 as earlier

    a+d=-2
    a^2 = d-1 (since here b=-1)
    In this case we get the quadratic equation
    a^2+a+3=0
    discriminant is -11 so no solution at all

    Hence the proof

    ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഇവിടെയും ഒരു ചെറിയ സഹായം ചൊക്കന്‍ (കണ്ണന്‍ ) ചെയ്തു തന്നു

  49. ഹരിത says:

    @ കൃഷ്ണന്‍ സര്‍

    The diametrets AB of a circle is divided into 4 equal parts at P,O,Q in that order. CD is a chord of the circle passing through P such that PD = 3/2 AP. Find the ratio of the area of the quadrilateral abcd to that of the triangle CAP ?

    ഈ ചോദ്യം സര്‍ ഒന്ന് ചെയൂ എനിക്ക് കിട്ടിയ ഉത്തരം 7:1 എന്ന് ആണ് പക്ഷെ എന്റെ ഉത്തരത്തിലേക്കു ഞാന്‍ എത്തിയ വഴി ശരിയായില്ല എന്ന് തോന്നുന്നു സര്‍ പറയു ഉത്തരം എത്ര ആണ് ?

    ജയശങ്കര്‍ സാറെ കാണാനേ ഇല്ല .ഇന്ന് സാറിന്റെ കയ്യില്‍ നിന്ന് ഒരു ഡി പ്ലസ്‌ എങ്കിലും വാങ്ങണം

  50. bhama says:

    @ Krishnan Sir,

    ശരിയാണല്ലോ. പത്താം ക്ളാസ്സില് പറഞ്ഞു കൊടുക്കുന്നതുമാണല്ലോ.
    പക്ഷെ ആ ചോദ്യം കണ്ടപ്പോള് പെട്ടെന്നു തോന്നിയത് സമചതുരം എന്ന ആശയമായിരുന്നു. ആ രീതിയില് തന്നെ ഉത്തരത്തിലെത്തുകയാണുണ്ടായത്.

    Thank You Sir .

  51. ഹരിത says:

    @ ഹരി സര്‍ / ജോണ്‍ സര്‍

    കഴിഞ്ഞ വര്ഷം നടന്ന സംസ്ഥാന ഗണിത മേളയുടെ ഗണിത ക്വിസ് മത്സരത്തിന്റെ ചോദ്യങ്ങള്‍ കിട്ടാന്‍ എന്തെങ്കിലും വഴി ഉണ്ടോ?

    ഒന്നാം സ്ഥാനം ലഭിച്ച ആയി തിരഞ്ഞെടുത്ത പ്രോജക്ടിന്റെ ഒരു കോപ്പി കിട്ടാന്‍ വഴി ഉണ്ടോ ?
    രാമാനുജം പേപ്പര്‍ പ്രസന്റേഷന്‍ ഗണിതമേളയുടെ കൂടെ ആണോ ഇപ്പോള്‍ നടക്കുന്നത് ?

  52. Krishnan says:

    @ haritha

    I have uploaded a solution
    here

  53. ഹരിതാ,

    ഇതാ, കഴിഞ്ഞ വര്‍ഷത്തെ ഹൈസ്ക്കൂള്‍ വിഭാഗം സംസ്ഥാന ഗണിത ക്വിസിന്റെ ചോദ്യപേപ്പര്‍ ഈ പോസ്റ്റിനൊപ്പമുണ്ട്.

  54. @jayasanker sar,
    In the figure triangle ABC is rightangled at A. The circle with centre A and radius AB cuts BC and AC internally at D and E respectively. If BD =20 and DC = 16 find AC?

    PUT EC=X
    and radius be ‘r”
    BC*DC=(2r+x)*x
    x^2+2rx=36*16
    x^2+2rx=576……..(1)
    but we know
    (r+x)^2=36^2-r^2
    2r^2+2rx+x^2=1296
    2r^2+576=1296
    2r^2=720
    r=root 360
    then r+x= ROOT(1296-360)
    r+x=root(936)
    ie AC= 30.4

  55. @Haritha
    In the village problem you have written “1998 | a^2 and a less than or equal to 1998/2 =999”. It is ‘greater than or equal to’.Except for this your answer is correct . It is to make you think the other way I told that the answer is not correct.
    Most of the problems can be more easily proved. Think of the easiest method

  56. @Haritha
    All the answers are ABSOLUTELY RIGHT. These are some sample questions of the preliminary test of Olympiad.

  57. Now try this :

    Let ABCD be a quadrilateral inscribed in a circle. Let M be the point of intersection of the diagonals AC and BD and let E,F,G and H be the feet of the perpendiculars from M on the sides AB, BC, CD, DA respectively.
    Find the centre of the circle that can be inscribed in the quadrilateral EFCH (ie; touching all its sides)?

  58. Here is a simple question :
    In the figure ABCD is a cyclic quadrilateral in which AB is a diametre, AL , BM are perpendiculars to CD. Then show that DL = CM

  59. Prove that the inradius of a right angled triangle with integer sides is an integer.

  60. ഹരിത says:

    This comment has been removed by the author.

  61. ഹരിത says:

    @ കൃഷ്ണന്‍ സര്‍
    The diametrets AB of a circle is divided into 4 equal parts at P,O,Q in that order. CD is a chord of the circle passing through P such that PD = 3/2 AP. Find the ratio of the area of the quadrilateral abcd to that of the triangle CAP ?

    എന്ന ചോദ്യത്തിന്റെ സാറിന്റെ ഉത്തരം കണ്ടു ഞാന്‍ ഉത്തരം കണ്ടെത്തിയ വഴി താഴെ കാണിക്കാം നോക്കുമല്ലോ ? ഇത് ശരിയാണോ

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  62. ഹരിത says:

    @ Jayasankar sir

    Prove that the inradius of a right angled triangle with integer sides is an integer.

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  63. JOHN P A says:

    @Haritha
    2009 Dec 31 ലെ പോസ്റ്റ് കാണുക
    quiz maths എന്ന് സര്‍ച്ച് ചെയ്യുമോ ‌ഹരിത

  64. Now try this :
    Two intersecting circles C1 and C2 have a common tangent which touches C1 at P and C2 at Q. The circles meet at M and N where N is nearer to PQ than M is. The line PN meets the circle C2 again at R. Prove that MQ bisects angle PMR ?

  65. Krishnan says:

    @ ഹരിത
    വൃത്തത്തിനുള്ളിലെ ചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെയും അതിലെ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ് താരതമ്യം ചെയ്യുന്ന പ്രശ്നത്തില്‍, ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ് കണ്ടുപിടിച്ച രീതി ശരിയല്ലല്ലോ. ഉദാഹരണമായി, ABD എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 1/2 × AB × DP എന്നെഴുതിയത് ശരിയാകണമെങ്കില്‍, DPഎന്ന വര,AB യ്ക്ക് ലംബമാകണം. അതൊട്ടല്ലതാനും (എന്തുകൊണ്ട്?) കുറേ തെറ്റുകള്‍ ഒരു ശരിയിലേക്കെത്തുന്നതിന്റെ രസം ഇതിലുണ്ട്.

  66. thulasi says:

    @krishnan sir and haritha,
    The diametrets AB of a circle is divided into 4 equal parts at P,O,Q in that order. CD is a chord of the circle passing through P such that PD = 3/2 AP. Find the ratio of the area of the quadrilateral abcd to that of the triangle CAP ?
    in the answer it is mentioned PC=2a & PD=3/2a
    and the area of quadrilateral is 7a^2,the area of triangle is a^2.

    MY DOUBT IS THIS ” is PC,PD perpendicular to AB ?
    IS THERE ANY HINT ?

  67. @All.
    The diametrets AB of a circle is divided into 4 equal parts at P,O,Q in that order. CD is a chord of the circle passing through P such that PD = 3/2 AP. Find the ratio of the area of the quadrilateral abcd to that of the triangle CAP ?
    SOLUTION
    HERE

  68. ‘O’ is the cetre of a circle.P is a point 10 cm away from centre and it is outside of the circle. PA ,PB are tangents and X is the intersecting point of AB and OP .IF OX is 3.6 cm
    calculate its radius and length of tangents?

  69. ഹരിത says:

    @ Vijayan sir

    ‘O’ is the cetre of a circle.P is a point 10 cm away from centre and it is outside of the circle. PA ,PB are tangents and X is the intersecting point of AB and OP .IF OX is 3.6 cm
    calculate its radius and length of tangents?

    Here is my answer

    Radius of the circle = 6cm
    Length of tangents =8cm

    Explanation below

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  70. ഹരിത says:

    @ Jayasankar sir

    Two intersecting circles C1 and C2 have a common tangent which touches C1 at P and C2 at Q. The circles meet at M and N where N is nearer to PQ than M is. The line PN meets the circle C2 again at R. Prove that MQ bisects angle PMR ?

    My answer is given below

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  71. ഹരിത says:

    @ Jayasankar sir
    നല്ല ചോദ്യം ആയിരുന്നു സര്‍. ശരിക്കും ഞാന്‍ രസിച്ചു ചെയ്ത ചോദ്യം ആയിരുന്നു .നാളെ വൈകുന്നേരം വീണ്ടും കാണാം .

  72. ഹരിത says:

    @ കൃഷ്ണന്‍ സര്‍ / തുളസി ടീച്ചര്‍

    എനിക്ക് അറിയാമായിരുന്നു PC,PD are not perpendicular to AB . പക്ഷെ ഞാന്‍ ഒരു തരികിട വഴി പയറ്റി നോക്കിയതാണ് .ചിലപ്പോള്‍ സര്‍ പറഞ്ഞത് പോലെ “കുറേ തെറ്റുകള്‍ ഒരു ശരിയിലേക്കെത്തുന്നതിന്റെ രസം ഇതിലുണ്ട്.”അത് കൊണ്ട് ആണ് പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്തത്

    Do well in a maths needs persistence and patience, and, for preparation, lots of practice, and
    development of ideas by self-discovery (if you try lots of
    alternative ways, the false steps are still helpful, because
    you learn that those ways are not likely to lead anywhere).

  73. This comment has been removed by the author.

  74. @Haritha
    Good work. Try for a more simple solution.
    Why did you omit the ‘simple question’ in between ?

  75. @Haritha
    “Let ABCD be a quadrilateral inscribed in a circle. Let M be the point of intersection of the diagonals AC and BD and let E,F,G and H be the feet of the perpendiculars from M on the sides AB, BC, CD, DA respectively.
    Find the centre of the circle that can be inscribed in the quadrilateral EFCH (ie; touching all its sides)?”

    This problem also is left with out solving.
    Why anybody else is not trying to solve other than Haritha ? Is it because I posted the question in English? If so let me know. I shall try to post the problems in Malayalam.

    Here it is:

    ABCD ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണ്‌. AC , BD എന്നീ വികർണങൾ സന്ധിക്കുന്ന ബിന്ദുവാണു M. M ഇൽ നിന്നും AB,BC,CD, DA എന്നീ വശങലിലെക്കു ലംബങലുടെ പാദബിന്ദുക്കളാനു യഥാക്രമംE,F,G ,
    H.EFCH ഇന്റെ എല്ലാ വശങലീയുൻ സ്പർശിക്കുമ്ന്ന വിധതിൽ അതിനകത്തു വരയ്ക്കാവുന്ന വൃത്തതിന്റെ കേന്ദ്രം ഏത്‌?

  76. Krishnan says:

    Jayashankar had posted the problem “Prove that the in-radius of a right angled triangle with integer sides is also an integer” for which Haritha gave a nice proof.

    Now since the in-radius of any triangle is the area divided by the semi-perimeter, the geometric fact above has an interesting number theoretic interpretation:

    If a, b, c are natural numbers with a^2 + b^2 = c^2, then ab is a multiple of a + b + c

    In other words, in any Pythagorean triple, the product of the two smaller numbers is a multiple of the sum of all three numbers.

    Question is, can we prove this using only algebra?

  77. Anjana says:

    Krishnan Sir,

    It is well known that any Pythagorian triple (a, b, c) is proportional to
    (m² – n², 2mn, m² +n²) for integers m, n.

    The said property (i.e; the product of the two smaller numbers is a multiple of the sum of all three numbers) is then obvious.For,

    The product of the two smaller numbers
    = (m² – n²) x 2mn

    = 2mn (m+n) (m-n)

    The sum of all three numbers
    = m² – n² + 2mn + m² +n²

    = 2m(m + n)

    Is this what you mean sir?

  78. Krishnan says:

    @ Anjana

    It is easy to see that for any natural numbers m and n with m > n, the numbers m^2 – n^2, 2mn,
    m^2 + n^2 form a Pythagorean triple, but how do we prove that every Pythagorean triple is of this form?

  79. Anjana says:

    Krishnan sir,
    “… how do we prove that every Pythagorean triple is of this form?”
    There is a standard proof to this effect also. One needs only some elementary ideas in divisibility to establish this. I am sure that you are aware of this, still I give the proof below for ready reference.
    One can obviously assume that gcd (a, b, c) =1.
    ⇒ gcd(a , b) , gcd (b , c), gcd (a , c) = 1
    Further a and b have different parity (ie., a even with b odd or a odd with b even)
    Assume that a is even so that both b and c are odd.
    ⇒ c + b and c – b are even
    ⇒ c +b = 2u and c-b = 2v for some integers u and v.
    ⇒ a ² = c ² – b ² = (c + b) (c – b) = 2u x 2v = 4uv
    ⇒( a/2) ² = uv
    We now claim that gcd(u , v) = 1
    If not, let gcd(u , v) = d > 1
    ⇒ d divides both u and v ⇒ d divides c + b and c – b ⇒ d divides c and b , which is a contradiction. Hence the claim.
    Again , since uv is a square and since gcd (u , v) = 1 both u and v are squares. Thus there are positive integers m and n such that u = m² and v = n². Then a²= 4uv = 4 m²n²⇒
    a = 2mn , b = u – v = m²– n²
    and
    c = u+ v = m²+ n²
    In fact we can proceed further to prove that m and n are of opposite parity and they are relatively prime.

    Sir, can’t we say that this method is algebraic? Is that the problem?

  80. Krishnan says:

    @ Anjana

    That is it. We first prove that the numbers every Pythagorean Triple are of a certain form and then use it to prove Jayashankar’s assertion. Now my question is, can we do it directly? In other words, is there a simpler proof?

  81. ഹരിത says:

    @ Jayasankar sir

    @Haritha
    “Let ABCD be a quadrilateral inscribed in a circle. Let M be the point of intersection of the diagonals AC and BD and let E,F,G and H be the feet of the perpendiculars from M on the sides AB, BC, CD, DA respectively.
    Find the centre of the circle that can be inscribed in the quadrilateral EFCH (ie; touching all its sides)?”

    സര്‍ ഞാന്‍ കഴിഞ്ഞ രണ്ടു ദിവസം കുറച്ചു തിരക്കില്‍ ആയിരുന്നത് കൊണ്ട് ബ്ലോഗില്‍ വരാന്‍ കഴിഞ്ഞില്ല .
    ഞാന്‍ സാറിന്റെ ഈ ചോദ്യം നേരത്തെ ശ്രദ്ധിച്ചിരുന്നില്ല ഞാന്‍ ഇപ്പോഴാണ് ചോദ്യം കണ്ടത് പക്ഷെ എനിക്ക് പെട്ടാന്നു ഉത്തരം കണ്ടു പിടിക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞില്ല .ഞാന്‍ ചെയ്ത വഴി താഴെ പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യാം സര്‍ നോക്കണം .എവിടെയാണ് തെറ്റ് പറ്റിയത് എന്ന് പറഞ്ഞാല്‍ മതി ഉത്തരം പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യണ്ട കെട്ടോ

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  82. ഹരിത says:

    @ കൃഷ്ണന്‍ സര്‍

    സര്‍ പറഞ്ഞ വഴി ഞാന്‍ നേരത്തെ ചിന്തിച്ചിരുന്നു. അത് ഞാന്‍ താഴെ കൊടുക്കാം കെട്ടോ .

    I mean not simple proof another method to prove the in-radius of a right angled triangle with integer sides is also an integer

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  83. ഹരിത says:

    @ Jayasankar sir

    Mathematics Olympiad സ്കൂള്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് മാത്രം ആണോ നടത്തുന്നത്?സര്‍ എന്താ ഇതിനെ കുറിച്ച് ഒരു പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യാന്‍ മടിക്കുന്നത്.
    ഈ പരീക്ഷ ആര്‍ക്കൊക്കെ എഴുതാം അതിനു വേണ്ട തയാറെടുപ്പുകള്‍ എങ്ങിനെ ? പരീക്ഷയെ സംബന്ധിച്ചുള്ള എല്ലാ വിവരങ്ങളും ചേര്‍ത്ത് കൊണ്ട് ഒരു പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യണം സര്‍

    @ Raziman chettan

    എവിടെ പോയി കാണാനെ ഇല്ലാലോ ഇപ്പോള്‍ എന്താ ഉത്തരങ്ങള്‍ ഒന്നും പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യാത്തത്.

    @ Anjana chechi

    സര്‍ പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് എന്താ ഉത്തരം പറയാത്തത് .ചേച്ചി എന്ത് ചെയുന്നു.ടീച്ചര്‍ ആണോ?ചേച്ചിയുടെ ഉത്തരങ്ങള്‍ സമയം കിട്ടുമ്പോള്‍ കൊടുക്കണം .

    @ ഫിലിപ്പ് സര്‍
    ഇപ്പോള്‍ പൈത്തണ്‍ മാത്രമേ നോക്കുന്നുള്ളൂ അല്ലെ ഞങ്ങളുടെ കൂടെയും ഇടക്കൊക്കെ വരണം .
    ജയശങ്കര്‍ സാറിന്റെ ചോദ്യങ്ങള്‍ കാണാറില്ലേ ?എന്താ ഉത്തരം പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യാത്തത് ?

  84. @Haritha,
    Your answer is alomost complete except for neglegent mistake. Where does the point P come from ?

    Now olympiad can be attempted by all students from 10th standard onwards at various levels. You can expect the detailed post by next week. I am not doing well now.That’s why the post is getting delayed. Sorry for the inconvenience caused.

  85. This comment has been removed by the author.

  86. Krishnan says:

    @ ഹരിത

    പൈഥഗോറസ് ത്രയങ്ങളുടെ പൊതുരൂപം ഉപയോഗിക്കാതെതന്നെ, a^2 + b^2 = c^2 ആയ എണ്ണല്‍സംഖ്യകളില്‍ a + b + c യുടെ ഗുണിതമാണ്‌ ab എന്നു നേരിട്ടു തെളിയിക്കാം. (a + b + c)(a + b – c) ചെയ്തുനോക്കൂ

  87. Anjana says:

    Krishnan Sir,
    ഞാന്‍ ധരിച്ചത് പൈഥഗോറസ് ത്രയങ്ങളുടെ പൊതുരൂപതിലേക്കു നയിക്കാനാണ് സാര്‍ ഈ ചോദ്യം ഉന്നയിച്ചത് എന്നാണു. സാര്‍ ഉദ്ദേശിച്ച ഉത്തരം കണ്ടപ്പോഴാണ് കാര്യം വ്യക്തമായത്.
    .
    സാര്‍ മറ്റൊരു വിഷയത്തിലേക്ക് കടക്കട്ടെ.
    സ്കൂള്‍ തലത്തിലുള്ള Physics, Chemistry, Biology എന്നിവയുടെ സിലബസ്സ് പരിശോധിച്ചാല്‍ കുറേക്കൂടി ആധുനികമായ ഒരുപാടു വിഷയങ്ങള്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തിക്കാണുന്നു. ഗണിതത്തില്‍ അതു ഒട്ടും ഇല്ലെന്നു തോന്നുന്നു. ഇപ്പോള്‍ ഗണിതം അവതരിപ്പിക്കുന്ന രീതിയില്‍ വരുത്തിയ മാറ്റം വളരെ സ്വാഗതാര്‍ഹം ആണെങ്കിലും , ഉള്ളടക്കം മാറാത്തത് ശരിയാണോ?

  88. Krishnan says:

    @ അഞ്ജനറ്റീച്ചര്‍

    പൈഥഗോറസ് ത്രയങ്ങളുടെ പൊതുരൂപം (അതറിയാത്തവരുണ്ടാകാമല്ലോ) അവതരിപ്പിക്കുകയും, അതുപയോഗിക്കാതെതന്നെ ജയശങ്കറുടെ ചോദ്യത്തിന്‌ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കുകയും—രണ്ടായിരുന്നു ഉദ്ദേശം🙂

  89. Krishnan says:

    This comment has been removed by the author.

  90. Krishnan says:

    This comment has been removed by the author.

  91. Krishnan says:

    @ അഞ്ജനറ്റീച്ചര്‍

    ഗണിതപാഠപുസ്തകത്തില്‍, “ആധുനിക” വിഷയങ്ങള്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്താത്തതിനെക്കുറിച്ച്:

    മറ്റു ശാസ്ത്രങ്ങളിലെല്ലാം, ഏറ്റവും ആധുനികമായ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങള്‍ പോലും സാമാന്യരൂപത്തില്‍ വിവരിക്കാന്‍ കഴിയും. ആപേക്ഷികതാ സിദ്ധാന്തവും, ക ക്ലോണിങ്ങുമെല്ലാം, സങ്കീര്‍ണമായ വിശദാംശങ്ങളിലേയ്ക്ക് കടക്കാതെതന്നെ ചര്‍ച്ച ചെയ്യാം. എന്നാല്‍ ഗണിതത്തിന്റെ കാര്യത്തിലോ? സമീപകാലത്തെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഗണിത സംഭവം ഗ്രിഗറി പെരല്‍മാന്‍ “പോങ്റെ അഭ്യൂഹം” തെളിയിച്ചതാണ്‌. കുറേയധികം ഗണിതം മനസിലാക്കിയാല്‍ മാത്രമാ ണ്‌ ഇതിന്റെ പ്രാധാന്യം വ്യക്തമാകുന്നത്. എങ്കിലും, കുട്ടികള്‍ക്ക് മനസിലാകുന്ന ചില ആധുനിക കാര്യങ്ങള്‍ പുസ്തകത്തിലുണ്ട്. ഉദാഹരണമായി, “ഫെര്‍മയുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം”.

    ഇതില്‍ മറ്റൊരു രസകരമായ കാര്യം, മറ്റു ശാസ്ത്രങ്ങളിലെ പല പ്രധാന കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളിലും സങ്കീര്‍ണമായ ഗണിതക്രിയകള്‍ ഉണ്ടെന്നുള്ളതാണ്‌. ഇവയുടെ പെട്ടെന്നു മനസിലാക്കാന്‍ കഴിയുന്ന ഭൗതികരൂപങ്ങളാണ്‌ വേഗം പ്രചരിപ്പിക്കാന്‍ സാധിക്കുന്നത് . മറ്റൊരു രീതിയില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, സഥൂലാനുഭവങ്ങള്‍ വിവരിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണ്‌; സൂക്ഷ്മതത്വങ്ങള്‍ ഗ്രഹിക്കാന്‍ വിഷമവും.

    ഒരു കാര്യം കൂടി. പൂര്‍ണമായി മനസിലാകാനാവാത്ത പുതിയ കാര്യങ്ങള്‍ അപ്പപ്പോള്‍ അവതരിപ്പിക്കുന്നതാണോ, വിദ്യാഭ്യാസം? അതോ, അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് വ്യക്തമായ ധാരണകള്‍ സാവധാനം ഉറപ്പിച്ച് ശരിയായ അറിവിലേക്ക് നയിക്കുന്നതോ? വേഗത്തിന്‌ അമിതപ്രാധാന്യം കൊടുക്കുന്ന ഈ കാലഘട്ടത്തിന്‌, വിവരശേഖരണവും ജ്ഞാനസമ്പാദനവും ഒന്നാണെന്ന തെറ്റിദ്ധാരണയുണ്ടോ എന്നൊരു സംശയം.

  92. ഹരിത says:

    @ Jayasankar sir

    Actually in a paper I draw a rough figure at that time I marked the point of intersection of diagonals as ‘P’ that’s why ‘P’ in the answer

    Coming back to the question
    Find the centre of the circle that can be inscribed in the quadrilateral EFCH (ie; touching all its sides)?

    Yesterday I posted my answer . we can simply prove EFGH is cyclic .But in the question we have to prove that EFCH is cyclic

    The incentre of EFCH is the point that is equidistant from all
    its sides (the distance of a point from a line is the perpendicular distance of the point from the line, which means that the locus of points that are equidistant from two lines is the angle bisector of the angle between
    the two lines).

    So the incentre I of EFCH lies …

    .on the angle bisector of EFC, since it is equidistant from lines EF and FC
    .on the angle bisector of FCH, since it is equidistant from lines FC and CH
    .on the angle bisector of CHE, since it is equidistant from lines CH and HE
    .on the angle bisector of HEF, since it is equidistant from lines HE and EF

    So we should show that each pair of angle bisectors intersects in the samepoint (that’s the concurrence check)

    അവിടെ നിന്ന് മുന്നോട്ടു പോകാന്‍ കഴിയുന്നില്ല ഇനി സര്‍ ഉത്തരം പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യണം .അഞ്ജന ചേച്ചി ,രസിമാന്‍ ചേട്ടന്‍ ,കൃഷ്ണന്‍ സര്‍ എന്നിവരുടെ അഭിപ്രായം പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു .

  93. ഹരിത says:

    @ Krishnan sir

    “It is easy to see that for any natural numbers m and n with m > n, the numbers m^2 – n^2, 2mn,
    m^2 + n^2 form a Pythagorean triple, but how do we prove that every Pythagorean triple is of this form? “

    ഞാന്‍ താഴെ ഒരു ലിങ്ക് കൊടുക്കുന്നു ഈ മാര്‍ഗം ശരിയാണോ ?
    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  94. ഹരിത says:

    @ Krishnan sir

    “It is easy to see that for any natural numbers m and n with m > n, the numbers m^2 – n^2, 2mn,
    m^2 + n^2 form a Pythagorean triple, but how do we prove that every Pythagorean triple is of this form? “

    ഞാന്‍ താഴെ ഒരു ലിങ്ക് കൊടുക്കുന്നു ഈ മാര്‍ഗം ശരിയാണോ ?
    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  95. razimantv says:

    EFCH എന്നത് അക്ഷരപ്പിശകാണെന്നാരുന്നു ഞാന്‍ വിചാരിച്ചത്. EFGH ല്‍ ഇന്‍സ്ക്രൈബ് ചെയ്യാവുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം കണ്ടെത്താനേ എനിക്ക് പറ്റുന്നുള്ളൂ

    @ഹരിത
    കാല്‍ടെക്കിലായിരുന്നപ്പോള്‍ അവസാന ആഴ്ച പ്രൊജക്റ്റ് പൂര്‍ത്തിയാക്കുന്ന തിരക്കായിരുന്നു. ഇപ്പോള്‍ സെമസ്റ്റര്‍ തുടങ്ങിയതിന്റെയും🙂
    മാത്സ് ബ്ലോഗില്‍ കുറേ പോസ്റ്റുകളുടെ കമന്റുകള്‍ക്കിടയിലായി കുറേ ചോദ്യങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളുമൊക്കെ നിരന്ന് കിടക്കുമ്പോള്‍ തുടര്‍ച്ചയായി നോക്കിയിരുന്നില്ലെങ്കില്‍ പിന്തുടരാനും ഉത്തരമിടാനുമൊക്കെ വിഷമവുമാണ്. ഇതൊന്ന് കുറച്ചുകൂടി യൂസര്‍ ഫ്രണ്ട്ലി ആക്കി എടുത്തൂടേ?

  96. ഹരിത says:

    @കൃഷ്ണന്‍ സര്‍

    ഞാന്‍ അയച്ച പോസ്റ്റ്‌ നോക്കിയോ ?എന്താ മറുപടി തരാത്തത് ?

  97. ഹരിത says:

    @ രസിമന്‍ ചേട്ടന്‍

    ഞാനും അങ്ങിനെ ആണ് ആദ്യം കരുതിയത്‌ പക്ഷെ
    (EFGH) പക്ഷെ സര്‍ ഓരോ തവണ പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യുമ്പോഴും (EFCH ) എന്ന് തന്നെ ആണ് പറഞ്ഞത് പക്ഷെ ചേട്ടന്‍ പറഞ്ഞതുപോലെ എനിക്കും
    EFGH ല്‍ ഇന്‍സ്ക്രൈബ് ചെയ്യാവുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം കണ്ടെത്താനേ പറ്റുന്നുള്ളൂ

    ചേട്ടാ സത്യത്തില്‍ Olympiad എത്ര തരത്തില്‍
    ഉണ്ട് ?എന്താണ് ഈ RMO, INMO , IMO എന്നിവ തമ്മില്‍ ഉള്ള വ്യത്യാസം ?
    ചേട്ടന്‍ ഇതു കിട്ടാന്‍ ഏത് തരത്തിലുള്ള പഠനം ആണ് നടത്തിയത് ?ഇത്ര ബുദ്ധി എവിടുന്നു കിട്ടി ? കുട്ടികള്‍ എങ്ങിനെ ഉള്ള പഠനം ആണ് നടത്തേണ്ടത് ?ചെറുപ്പത്തില്‍ തന്നെ കുട്ടികള്‍ ഏത് രീതിയില്‍ ആണ് പഠനം നടത്തേണ്ടത് ?

  98. razimantv says:

    @ഹരിത

    ഒളിമ്പ്യാഡ് പലവിധമുണ്ട്. ഗണിതം, ഭൌതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം, ജ്യോതിശാസ്ത്രം (2 എണ്ണം), ഇന്‍ഫര്‍മാറ്റിക്സ്, എര്‍ത്ത് സയന്‍സ് ഇങ്ങനെ പല വിഷയത്തിലും ഒളിമ്പ്യാഡുകളുണ്ട്.

    RMO, INMO, IMO എന്നിവ ഗണിത ഒളിമ്പ്യാഡിന്റെ മൂന്ന് ലെവലുകളാണ്. ഇതിനെക്കുറിച്ച് ജയശങ്കര്‍ സാര്‍ വിശദമായ ഒരു പോസ്റ്റിടുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

    എങ്ങനെ പഠിക്കണം എന്ന് നിര്‍ദ്ദേശിക്കാന്‍ മാത്രം ഞാന്‍ ആളല്ല. ഞാന്‍ സ്കൂളില്‍ പഠിക്കുന്ന കാലത്തേ ഉയര്‍ന്ന ക്ലാസ്സുകളിലെ ഗണിത, ഭൌതികശാസ്ത്ര പാഠങ്ങള്‍ വായിക്കുകയും അവയിലെ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കുത്തരം കാണുകയുമൊക്കെ ചെയ്യുമായിരുന്നു. കുറേ പ്രോബ്ലംസ് ചെയ്ത് പരിശീലിച്ചതിന്റെ ഗുണം ഒളിമ്പ്യാഡുകളുള്‍പ്പെടെ പലയിടത്തും അനുഭവിച്ചിട്ടുണ്ട്, അത്രയേ ഉള്ളൂ. മുന്‍ ഒളിമ്പ്യാഡൂകളിലെ ചോദ്യങ്ങളൊക്കെ ഒന്ന് ചെയ്തുനോക്കുന്നത് നന്നായിരിക്കും

  99. Anjana says:

    കൃഷ്ണന്‍ സര്‍,
    ഗണിതപാഠപുസ്തകത്തില്‍, “ആധുനിക” വിഷയങ്ങള്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്താത്തതിനെക്കുറിച്ച് സാര്‍ പറഞ്ഞ കാര്യങ്ങളോട് പൊതുവേ യോജിക്കുന്നു. ഏതാണ്ട് 25 വര്‍ഷം മുമ്പുള്ള സ്കൂള്‍ ഗണിതപുസ്തകം ഇതിനിടെ കണ്ടു. മറിച്ചുനോക്കിയപ്പോള്‍ ഉള്ളടക്കത്തിന്റെ കാര്യത്തില്‍ ഇപ്പോഴത്തെതില്‍ നിന്നും കാര്യമായ മാറ്റമൊന്നുമില്ല.പുതിയ തലമുറ ഗണിതം പഠിക്കാന്‍ വിമുഖത കാണിക്കുന്നത്, പുതിയലോകത്തില്‍ ഗണിതത്തിന്റെ സംഭാവന ഒന്നുമില്ലെന്ന് തെറ്റിധരിച്ചായിരിക്കുമോ എന്ന് സംശയം തോന്നി. കൂട്ടത്തില്‍ , number theory – ലെ congruence പോലെയുള്ളവ കുറെയെങ്കിലും സ്കൂള്‍ ക്ലാസ്സില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്താമെന്നും അവിടെ ഒരല്പം cryptography – യെക്കുറിച്ചൊക്കെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ പറ്റില്ലേ എന്നൊക്കെ തോന്നി, അത്രമാത്രം.

  100. Anjana says:

    @ ഹരിത
    ഈയിടെയായി Regular ആയി ബ്ലോഗ്‌ കാണാന്‍ കഴിയാറില്ല. വരുമ്പോള്‍ അതുവരെയുള്ളത് മുഴുവന്‍ വായിക്കും. പല ചോദ്യങ്ങളും പലരും ചര്‍ച്ചചെയ്തു തുടങ്ങിയതോ ചെയ്തു കഴിഞ്ഞതോ ആയിരിക്കും. ആ ഘട്ടത്തില്‍ അതൊക്കെ വായിച്ചുനോക്കാനെ പറ്റാറുള്ളൂ. ശ്രീ റസിമാന്‍ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഇടക്ക് വരുന്നവര്‍ക്ക്, ഒരുപാടു കാര്യങ്ങള്‍ കൂടികുഴഞ്ഞുള്ള ഒരിടത്തുനിന്നു , കാര്യങ്ങള്‍ മനസ്സിലാകിയെടുക്കാന്‍ തന്നെ സമയം വേണ്ടിവരും.
    ഹരിത സൂചിപ്പിച്ച ചോദ്യത്തില്‍, അക്ഷര പിശാചായിരിക്കും എന്നാണു എന്റെയും തോന്നല്‍. ഏതായാലും റസിമാനും ഹരിതയും ഒക്കെ ഉപേക്ഷിച്ചതിനെ തൊടുന്നത് ബുദ്ധിയല്ലല്ലോ!

  101. Krishnan says:

    @ ഹരിത

    പൈഥഗോറസ് ത്രയങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള pdf ല്‍ പല ഭാഗങ്ങളും കാണുന്നില്ല. കണ്ടിടത്തോളം അത്ര ശരിയായിട്ടീല്ലെന്നാണ്‌ തോന്നുന്നത്. നമുക്കു തെളിയിക്കേണ്ടത്, ഏതെങ്കിലും രണ്ടു എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗങ്ങളുടെ തുക, മൂന്നാമതൊരു എണ്ണല്‍സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗത്തിനു തുല്യമാണെങ്കില്‍, ആദ്യത്തെ രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിനെ ഈ മൂന്നു സംഖ്യകളുടേയും തുക കൊണ്ട് ശിഷ്ടമില്ലാതെ ഹരിക്കാം എന്നാണ്‌. ഹരിതയുടെ വാദങ്ങള്‍ ഇതു തെളിയിക്കുന്നുണ്ടോ എന്ന്‌ ഒന്നുകൂടി പരിശോധിച്ചു നോക്കൂ.

    മറ്റൊരു കാര്യം. LaTeX പഠിക്കാന്‍ വിഷമമാണെങ്കില്‍, ഗണിതസംബന്ധിയായ ലേഖനങ്ങള്‍ pdf ലാക്കാന്‍, Open Office Writer ഉപയോഗിച്ചുനോക്കൂ. അതിലെ Insert > Object > Formula വഴി ബീജഗണിതവാചകങ്ങള്‍ സാമാന്യം നന്നായി എഴുതാം. GeoGebraയില്‍ വരച്ച ചിത്രങ്ങള്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്താം. ഒറ്റ click കൊണ്ട് pdf ആക്കുകയും ചെയ്യാം.

  102. sruthi says:

    KRISHNAN SIR,
    എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ പദങ്ങളായുള്ള AP യില്‍ ഒരുപദം പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗം വന്നാല്‍ ആ AP യില്‍ അനേകം പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ വരും എന്ന് എങ്ങനെയാണ് തെളിയിയ്ക്കുന്നത്

  103. Krishnan says:

    @ അഞ്ജനറ്റീച്ചര്‍

    Number theoryയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില കാര്യങ്ങളെങ്കിലും ഇത്തവണത്തെ പാഠ്യപദ്ധതിയില്‍ വേണമെന്നു കരുതിയിരുന്നതാണ്‌. പക്ഷേ, ഇപ്പോഴുള്ള വിഷയങ്ങളില്‍ ചിലത് ഒഴിവാക്കിയലല്ലേ ഇതു സാധിക്കയുള്ളു? അഭിന്നകസംഖ്യകള്‍, ത്രികോണമിതി മുതലായവ പത്തു വരെയുള്ള ക്ലാസുകളില്‍ ആവശ്യമുണ്ടോ എന്നു ചിന്തിക്കേണ്ടതുണ്ട്. പക്ഷേ, 11, 12 ക്ലാസുകളിലെ പാഠങ്ങള്‍ CBSE യുടെ രീതിയിലായതിനാല്‍ ഇവ ഒഴിവാക്കാനും കഴിയില്ല.

    Cryptography യെക്കുറീച്ചുള്ള പരാമര്‍ശം കണ്ടപ്പോള്‍, വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കുമുന്‍പ് ഇതു കോളേജ് പഠനത്തില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്താന്‍ ശ്രമിച്ചതും, മറ്റു board of studies അംഗങ്ങള്‍ സംഘടിതമായി എതിര്‍ത്തു തോല്പിച്ചതും ഓര്‍ത്തുപോയി.

  104. Krishnan says:

    @ ശ്രുതി

    ഇപ്പോള്‍ത്തന്നെ “വൃത്തങ്ങള്‍” എന്ന threadല്‍നിന്ന് ഈ ഭാഗത്തെ ചര്‍ച്ചകള്‍ കുറേയധികം അകന്നുപോയെന്നു തോന്നുന്നു. വിഷയങ്ങള്‍ കൂടിക്കലര്‍ന്നു പോകുന്നതുകൊണ്ടുള്ള വിഷമം പലരും പറഞ്ഞിരുന്നു. അതിനാല്‍ സമാന്തരശ്രേണിയെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം, പത്താംക്ലാസിലെ Question Bank എന്ന ഭാഗത്ത് കൊടുക്കുന്നു. ദയവായി അവിടെ നോക്കുക

  105. ഹരിത says:

    This comment has been removed by the author.

  106. ഹരിത says:

    @ ജയശങ്കര്‍ സര്‍
    ഇപ്പോള്‍ എന്താ R.M.O ചോദ്യങ്ങള്‍ ഒന്നും കൊടുക്കാത്തത് ഒരു ചോദ്യം കൊടുക്കുമോ ?
    ഇപ്പോള്‍ ഞാന്‍ ലൈബ്രററിയില്‍ നിന്നും ആണ് ബ്ലോഗ്‌ നോക്കുന്നത്.വൈകുന്നേരം വീട്ടില്‍ എത്തിയിട്ട് ചെയ്തു നോക്കാം.കൊടുക്കുമോ ?
    രാവിലെ നെറ്റ് നോക്കാന്‍ പറ്റില്ല വൈകുന്നേരം മാത്രമേ നോക്കാന്‍ പറ്റുകയുള്ളു.

  107. ഹരിത says:

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s