ഭിന്നകങ്ങള്‍-കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്‍റെ കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകളോടെ (Std IX)


പുതിയ പാഠപുസ്തകത്തെക്കുറിച്ച് ഗണിതാധ്യാപകരുടെ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ ആശാവഹമായിരുന്നു. പൊതുവെ അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട അവതരണരീതി. മറ്റു സംസ്ഥാനങ്ങളിലെ പാഠപുസ്തകങ്ങളില്‍ നിന്നും നമ്മുടെ പുസ്തകത്തെ വ്യത്യസ്തമാക്കുന്ന ഘടകങ്ങള്‍ ധാരാളമുണ്ട്. അതിലൊന്ന് ആശയസ്പഷ്ടീകരണത്തിനു നല്‍കിയിരിക്കുന്ന പ്രധാന്യം തന്നെയാണ്.കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ പറയാറുള്ളപോലെ പുസ്തകവായന കുട്ടികളെ ശീലിപ്പിക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ്. ആശയങ്ങള്‍ സ്വയം വെളിപ്പെടുന്നവയല്ല. അധ്യാപകന്‍ ബോധപൂര്‍വ്വം നല്‍കുന്ന പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ കുട്ടി ഏറ്റെടുക്കുമ്പോള്‍ പഠനം ആരംഭിക്കുന്നു.അവരുടെ മനസ്സില്‍ ആശയങ്ങള്‍ രൂപം കൊള്ളുന്നു.ചില അധ്യാപകര്‍ പാഠപുസ്തകത്തിനു പുറത്തേയ്ക്ക് കുട്ടിയുടെ ചിന്തയെ നയിക്കുന്നു……..ഏതു രണ്ടു അഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ ഇടയിലും അസംഖ്യം ഭിന്നകസംഖ്യകളുണ്ട് എന്ന ആശയത്തിലേക്ക്‌ എളുപ്പം നയിക്കാന്‍ സഹായിക്കുന്ന ഒരു പ്രവര്‍ത്തനത്തെക്കുറിച്ച് കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ ചൂണ്ടിക്കാട്ടലുകളും ഉള്‍പ്പെടുത്തി പോസ്റ്റ് അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു.

ശ്രാവണി ടീച്ചറിനെ മറന്നിട്ടില്ലല്ലോ. ശ്രാവണി ടീച്ചര്‍ ക്ലാസില്‍ നല്‍കിയ ഒരു അസൈന്‍മെന്റാണ് ഇന്നത്ത പോസ്റ്റ്. √56 നും √58 നും ഇടയ്ക്കുള്ള ഏതാനും ഭിന്നകസംഖ്യകളെ കണ്ടെത്തുക. ഈ ചോദ്യത്തിന്റെ പ്രസക്തിയെക്കുറിച്ച് ഒരു വാക്ക്…സംഖ്യാഗണിതത്തില്‍നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, ബീജഗണിതമുപയോഗിച്ച് വിശകലനം ചെയ്ത്, ജ്യാമിതീയരീതിയില്‍ ദ്യശ്യവല്കരിക്കുന്നതാണ് പാഠപുസ്തകം നമുക്ക് കാട്ടിത്തരുന്നത്. പാഠപുസ്തകം കാട്ടിത്തരുന്ന മാര്‍ഗ്ഗങ്ങളിലൂടെ തന്നെ കുട്ടിക്ക് മുന്നേറാന്‍ കഴിയും.

√56 നും √58 നും ഇടയിലുള്ള ഭിന്നകസംഖ്യയാണ് x / y എന്നു കരുതുക. x , y അഖണ്ഢസംഖ്യകള്‍ ആണ്.

√56 < x / y < √58

56 < x2 / y2 < 58

56 y2 < x2 < 58y2


y = 2 ആയാല്‍ കിട്ടുന്ന x = 15 എന്ന വില 15/ 2 എന്ന ഭിന്നകം തരുന്നു. y = 4 ആകുമ്പോഴുള്ള 30 / 4 ഉം y = 6 ആകമ്പോഴുള്ള 45 / 6 ഉം ഒരു ഭിന്നകസംഖ്യയുടെ പല പല രൂപങ്ങളാണ്.
പിന്നെ 38 / 5 , 53 / 7 ഇവ പരിഗണിക്കണം.
y വില 7 നു മുകളില്‍ ആകാന്‍ പാടില്ലാത്തതിന്റെ പ്രസക്തി എന്താണ്?
ഈ രീതി മറ്റുസംഖ്യകള്‍ക്ക് ഉപയോഗിക്കാമോ?
ഇത് ഉചിതമായ പഠനപ്രവര്‍ത്തനമാണോ?

പ്രൊഫ. ഇ. കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

linuxലെ bc എന്ന calculator ഉപയോഗിച്ച് ഈ വര്‍ഗമൂലങ്ങള്‍ ആവശ്യമുള്ളത്ര ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെ കണ്ടുപിടിക്കാം. ഇതില്‍നിന്ന്‌ ഇവക്കിടയിലുള്ള എത്ര ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ വീണമെങ്കിലും കണ്ടുപിടീക്കാമല്ലോ. ഉദാഹരണമായി

√56 = 7.48331477354788277116…
√58 = 7.61577310586390828566…

ആദ്യത്തെ രണ്ടുസ്ഥാനങ്ങള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിച്ചുതന്നെ 7.49, 7.50, 7.51, …,7.60 എന്നിങ്ങനെ 12 ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ കിട്ടും. ആദ്യത്തെ മൂന്നു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് 131 എണ്ണം കിട്ടും.

ഈ മാര്‍ഗത്തിന്റെ ഒരു മെച്ചം, ഏതു രണ്ടു അഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ ഇടയിലും അസംഖ്യം ഭിന്നകസംഖ്യകളുണ്ട് എന്ന ആശയത്തിലേക്ക്‌ എളുപ്പം നയിക്കാം എന്നതാണ്.

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in ശാസ്ത്രം, Maths IX. Bookmark the permalink.

66 Responses to ഭിന്നകങ്ങള്‍-കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്‍റെ കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകളോടെ (Std IX)

  1. വളരേ ഉപകാരപ്രദം
    thank you john sir
    ഇതിനിടയ്ക്ക് ഒരു ക്ലാസില്‍ ഉണ്ടായ തര്‍ക്കത്തേക്കുറിച്ച്(ബഹുഭുജങ്ങള്‍ ഏന്ന അദ്ധ്യായത്തേ സംബന്ധിച്ച്) പറയട്ടെ
    ഒരാള്‍ 10 മീറ്റര്‍ നേരെ നടന്നതിനുശേഷം 60 ഡിഗ്രി ഇടത്തോട്ട് തിരിഞ്ഞ് ഇതേ ദൂരം നടക്കുന്നു ഇങ്ങനെ തുടര്‍ന്നാല്‍ അയാള്‍ യാത്രയാരംഭിച്ച സ്ഥാനത്തുതന്നെ എത്തുമോ ? എത്തുമെങ്കില്‍ എത്ര ദൂരം സഞ്ചരിച്ചിരിയ്ക്കും ?
    ഇതായിരുന്നു പ്രശ്നം
    ഒരുകൂട്ടരുടെ ഉത്തരം 30 മീറ്റര്‍ നടന്നാല്‍ എത്തുമെന്നായിരുന്നു
    മറ്റൊരുകൂട്ടരുടെ ഉത്തരം 60 മീറ്റര്‍ നടന്നാല്‍ എത്തുമെന്നായിരുന്നു


  2. @മുരളിസാറേ,
    ഞാന്‍ 30മീറ്റര്‍ എന്നുപറഞ്ഞവരുടെ കൂടെയാണ്.

  3. Manmohan says:

    സമഷഡ്ഭുജാകൃതിയിലാണ് നടന്നത്. അപ്പോള്‍ ആകെ 60 മീറ്റര്‍ സഞ്ചരിച്ചാലേ യാത്ര തുടങ്ങിയ സ്ഥലത്ത് എത്തൂ.

  4. സമ ഷഡ്ഭുജാക്രിതിയില്‍ വരണമെങ്കില്‍ 120 ഡിഗ്രീ ഇടത്തോട്ട് മാറി നടക്കണം. (ഇവിടെ ആകൃതി പറഞ്ഞിട്ടില്ലല്ലോ.)60 ഡിഗ്രീ മാറി നടന്നാല്‍ 30 മീറെര്‍ കൊണ്ട് പുറപ്പെട്ട സ്ഥലത്ത് എത്തും. 90 ഡിഗ്രീ മാറി നടന്നാല്‍ 40 മീറ്റര്‍ കൊണ്ട് പുറപ്പെട്ട സ്ഥലത്ത് എത്തും.108ഡിഗ്രീ മാറി നടന്നാല്‍ 50 മീറെര്‍ കൊണ്ട് പുറപ്പെട്ട സ്ഥലത്ത് എത്തും. 120 ഡിഗ്രീ മാറി നടന്നാല്‍ 60 മീറ്റര്‍ കൊണ്ട് പുറപ്പെട്ട സ്ഥലത്ത് എത്തും…………….

  5. razimantv says:

    നിന്നിടത്തുനിന്ന് 60 ഡിഗ്രി തിരിഞ്ഞു എന്നാണ് മനസ്സിലാകുന്നത്. അപ്പോള്‍ പാതയിലെ line segments തമ്മിലുള്ള കോണ്‍ 120 ഡിഗ്രിയായിരിക്കും. അപ്പോള്‍ ഷഡ്ഭുജമാണാകുക – ഉത്തരം 60 മീറ്റര്‍

    (സംശയമുള്ളവരോട്. അല്‍പദുരം നേര്‍രേഖയില്‍ നടന്ന ശേഷം പാത retrace ചെയ്യാന്‍ തിരിയേണ്ടത് 0 ഡിഗ്രിയല്ല, 180 ഡിഗ്രിയാണ്. ഈ രീതിയില്‍ ആലോചിച്ചുനോക്കൂ)

  6. മുരളി സാര്‍,

    ആന്തരകോണും ബാഹ്യകോണും പഠിപ്പിക്കുന്നതിന് മികച്ച ഉദാഹരണം തന്നെയാണിത്. മാത്‍സ് ബ്ലോഗിലെ മികച്ചൊരു ചര്‍ച്ചയ്ക്ക് തുടക്കവും. എന്തായാലും നടപ്പ് ഒരു ഘടകമല്ലെങ്കില്‍ ഉത്തരം രണ്ടും ശരിയാണെന്നാണ് എന്റെ നിഗമനം.ഈ ചിത്രം കാണുമ്പോള്‍ എനിക്ക് അങ്ങനെ തോന്നുന്നു. പക്ഷെ ഇതൊന്നും അറിയാത്ത ഒരാളെ വിളിച്ച് നിര്‍ദ്ദിഷ്ടരീതിയില്‍ നടത്തിയാല്‍ 60 മീറ്റര്‍ തന്നെയായിരിക്കും ഉത്തരം കിട്ടുക എന്നു പറയാന്‍ പോള്‍ എന്ന നീരാളിയെ കൊണ്ടു വരേണ്ടതില്ല.
    തീര്‍ച്ചയായും അതിര്‍ത്തികളെ ഭേദിച്ചുള്ള ഈ ചിന്തയാകാം റസിമാന്‍ സാറിനെ ഉയരങ്ങളിലേക്കെത്തിക്കാന്‍ സഹായിച്ചതും സഹായിക്കുന്നതും.

  7. ഞാനും 60മീറ്ററിന്റെ കൂടെ. 30 മീറ്ററാകണമെങ്കില്‍ അയാള്‍ 120 ഡിഗ്രി തിരീഞ്ഞിരിക്കണം

  8. ഹരിത says:

    @ John sir
    y വില 7 നു മുകളില്‍ ആകാന്‍ പാടില്ലാത്തതിന്റെ പ്രസക്തി എന്താണ്?

    y വില 7 നു മുകളില്‍ ആകാന്‍ പാടില്ലേ ?
    എന്ത് കൊണ്ട് പാടില്ല

    √56 < x / y < √58 56 < x²/y² < 58 56y² < x² < 58 y² x² എന്നത് 56y² നും 58 y²നും ഇടക്കുള്ള ഒരു പൂര്‍ണ വര്‍ഗ്ഗ സംഖയാണ്.56y² നും 58 y²നും നും ഇടയ്ക്കു ഒരു പൂര്‍ണ വര്‍ഗ്ഗ സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കില്‍ മാത്രമേ x/y നു സാധ്യത ഉള്ളു 56y² നും 58y²നും ഇടയ്ക്കു ഒരു പൂര്‍ണ വര്‍ഗ്ഗ സംഖ്യ ഇല്ല എന്ന് കരുതുക .( അതായതു y=1,y=3എന്നിങ്ങനെ ഉള്ള സാഹചര്യങ്ങള്‍ )
    അങ്ങിനെ വരുന്ന സാഹചര്യങ്ങളില്‍ 58 y²നു തൊട്ടു മുകളില്ലുള്ള പൂര്‍ണ വര്‍ഗ്ഗ സംഖ്യയും (when y=1 it is 64) 56y² നു തൊട്ടു താഴെയുള്ള പൂര്‍ണ വര്‍ഗ്ഗ സംഖ്യയും(When y=1 it is 49)
    തമ്മില്ലുള്ള വ്യത്യാസം(When y=1 it is 64-49=15) 2y² നു മുകളില്‍ ആണ്

    a² ന്റെ തൊട്ടടുത്ത വര്‍ഗ്ഗം (a+1)² രണ്ടു ആയാല്‍ ഇവയുടെ വ്യത്യാസം
    (a+1)²-a² =2a+1

    ഇതില്‍ ‘a’ എന്നത്
    √56y² നു തൊട്ടു താഴെ ഉള്ള പൂര്‍ണ സംഖ്യ (അതായതു √56y²when y=1 , equal to √56 = 7.6158 so integer just below it 7)

    പൊതുവായി പറഞ്ഞാല്‍ 56y² നും 58y²നും ഇടയ്ക്കു ഒരു പൂര്‍ണ വര്‍ഗ്ഗ സംഖ്യ ഉണ്ടാകണം എങ്കില്‍ 2a+1<2y² ആകണം .(when y=1 and 3 it is not possible)
    എന്നാല്‍ ഏഴു കഴിഞ്ഞു വരുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളിലും
    അതായതു y≥8 ആയി വരുന്ന എല്ലാ സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലും 2a+1<2y² എന്ന തത്വം പാലിക്കുന്നതായി കാണാം.
    y≥8
    when y=8 ,x=60 ,x/y=60/8
    y=9 ,x=68 ,x/y=68/9
    y=10 ,x=75 ,x/y=75/10
    and so on

    ചുരുക്കി പറഞ്ഞാല്‍ 1,3 ഒഴിക്കെ ഏതു എണ്ണല്‍സംഖ്യ ചേദങ്ങള്‍ വച്ചും √56 നും √58 നും ഇടയിലുള്ള ഭിന്നകസംഖ്യ എഴുതാം എന്ന് എനിക്ക് തോന്നുന്നു

    മറുപടി പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു

  9. ഹരിത says:

    @ ഹരികുമാര്‍ സര്‍

    എങ്ങിനെ ആണ് സര്‍ 30m എന്ന ഉത്തരത്തിലേക്കു വന്ന ചിത്രം വരച്ചത്.ആ ലോജിക് ശരിയാണോ.
    നാം ഒരു രേഖയിലൂടെ നടന്നു തിരിച്ചു അതിലൂടെ തന്നെ തിരിച്ചു നടക്കാന്‍ 180 ഡിഗ്രി തിരിയെണ്ടേ?
    ഞാന്‍ നമ്മുടെ പ്രിയപ്പെട്ട ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാറിന്റെ ഉത്തരത്തോട് യോജിക്കുന്നു.

  10. എബൌട്ടേണ്‍ സ്റ്റൈലില്‍ 60 ഡിഗ്രി ചരിയാന്‍ പറ്റില്ലേ, ഹരിതേ?

  11. JOHN P A says:

    Well done Haritha Teacher
    നല്ല വിശകലനം. ഇത്തരം ഒരു വിശകലനം തന്നെയാണ് പ്രതീഷിച്ചത് .
    Haritha ആവര്‍ത്തിച്ച ചോദ്യം type ചെയ്തപ്പോള്‍ ഇതു ഞാന്‍ കരുതിയതാണ്

  12. @ ഹരികുമാര്‍ജി
    എബൌട്ടേണ്‍ സ്റ്റൈലില്‍ 60 ഡിഗ്രി ചരിയാന്‍ പറ്റില്ലേ, ഹരിതേ?
    എന്താണ് സാര്‍ എബൌട്ടേണ്‍ സ്റ്റൈല്‍. റൈറ്റ് എബൌട്ടേണ്‍ ആയാലും ലെഫ്റ്റ് എബൌട്ടേണ്‍ ആയാലും 60 ഡിഗ്രി തിരിഞ്ഞ് അതാത് ദിശയിലേക്കാണ് നടക്കുന്നതെങ്കില്‍ സമ ഷഡ്ഭുജാകൃതിയില്‍ അയാള്‍ 60മീറ്റര്‍ നടന്നേ പറ്റൂ. നമ്മുടെ ചോദ്യത്തിലാകട്ടെ ഇടത്തോട്ട് നടക്കാനാണ് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതും.

    (നമ്മുടെ കേരളത്തിലെ സ്ഥിതിയും ഇതു തന്നെ. ഇടത്തോട്ടായാലും വലത്തോട്ടായാലും എത്തുന്നത് പുറപ്പെട്ടെടുത്ത് തന്നെ!)

  13. ഹരിത says:

    @ John sir

    ഹരിത ടീച്ചറോ ?നന്നായി കഥ. ഹരിത എന്ന് വിളിച്ചാല്‍ മതി കേട്ടോ.

  14. എന്റെ കൂടെ ആരെയെങ്കിലും കിട്ടും?
    കോണിന് ഇടതും വലതുമുണ്ടോ?
    360 ഡിഗ്രീ കോണിനെ പറ്റി കേട്ടിരിക്കും.
    ഒരു കപ്പല്‍ യാത്ര ആരംഭിക്കുന്നു. യാത്ര 10 നോടികാല്‍ നാഴിക കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ക്യാപ്ടന്‍ 60 ഡിഗ്രീ തിരിക്കാന്‍ അവശ്യ പ്പെടുന്നു. കപ്പേല്‍ എങ്ങോട്ട്പോകും? വീണ്ടും 10 നോടികാല്‍ നാഴിക പോയപ്പോള്‍ 60 ഡിഗ്രീ തിരിക്കാന്‍ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. കപ്പല്‍ എങ്ങോട്ട് പോകും ? കപ്പല്‍ എവിടെ എത്തും?യാതൊരു സംശയവും വേണ്ട .30നോടികാല്‍ നാഴിക പിന്ന്ട്ടു ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സര്‍ പറഞ്ഞത് പോലെ തുടങ്ങിയ സ്ഥലത്ത് നമ്മുടെ കപ്പല്‍ കാണും.(അതുകൊണ്ട് മുരളി സാറെ , ഇനിമുതല്‍ കോണ്‍ പറയുമ്പോള്‍ ഇടതു,വലതു എന്ന് പറയാതെ 360 ഡിഗ്രീ കോണിനെ കുറിച്ച് സംസാരിച്ചാല്‍ പലരുടെയും സമയം ലാഭിക്കാം

  15. JOHN P A says:

    പോസിറ്റീവ് കോണുകളെക്കുറിച്ചും നെഗറ്റീവ് കോണുകളെക്കുറിച്ചും നമ്മുടെ പാഠപുസ്തകങ്ങളില്‍ പറയുന്നില്ല.
    ഘടികാര ദിശയില്‍ രൂപപ്പെടുന്ന കോണുകള്‍ പോസിറ്റീവ് കോണുകളെന്ന് വിവക്ഷിക്കുന്നു. എതിര്‍ ഘടികാരദിശയിലെത് നെഗറ്റീവും
    നമുക്കില്ലാതെപോയ ദിശാബോധം കപ്പിത്താന് ഉണ്ടാകും.
    പിന്നെ തിരിയുന്നത് സമബഹുഭുജത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണായാല്‍ പ്രശ്നം തീര്‍ന്നു.
    ബാഹ്യകോണുകലുടെ തുക 360
    വശങ്ങളുടെ എണ്ണം 360 /60 = 6
    ദുരം = 6 * 10 ​ എന്നാണ് എന്നിനിക്കുതോന്നുന്നു

  16. JOHN P A says:

    ഹരിസാര്‍ വരച്ച ഷഡ്ഭുജചിത്രത്തോടുമാത്രമേ എനിക്ക് യോജിക്കാന്‍ കഴിയൂ
    The rotation of an angle is determined by the change of its direction
    Here direction of motion changes by an angle 60 degree
    As a repeated process each 60 degree forms the exterior angle of the regular polygon,named hexegon

  17. Sreekala says:

    ജോണ്‍ സാറിന്റെ ഫോട്ടോയും ഒന്‍പതാം ക്ലാസ് ഭിന്നകവും എന്നു കണ്ടപ്പോള്‍ മോഡല്‍ ചോദ്യങ്ങളായിരിക്കും ഒപ്പമുള്ളതെന്നു കരുതി. ശരിക്കും നിരാശപ്പെടുത്തി. എന്തുപറ്റി? ഈ വര്‍ഷം ഇങ്ങനെയുള്ള ഒന്നും തയ്യാറാക്കാന്‍ പരിപാടിയില്ലേ? നേരത്തേ, എല്ലാ ചൊവ്വാഴ്ചയും ഒന്‍പതാം ക്ലാസുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ നല്‍കാമെന്നു ലളിത ടീച്ചര്‍ക്കു മറുപടിയായി പറഞ്ഞെങ്കിലും അങ്ങനെയൊന്നും കണ്ടില്ലല്ലോ. കുറേക്കൂടി ഉയര്‍ന്ന ഗ്രേഡിലുള്ള ക്ലാസ് റൂം ആപ്ലിക്കേഷന്‍സാണ് ജോണ്‍സാറില്‍ നിന്നും പ്രതീക്ഷിക്കുന്നത്.

  18. എന്റെ ഗണിതസഹപ്രവര്‍ത്തകര്‍ക്കും വേണ്ടത് ശ്രീകലടീച്ചര്‍ സൂചിപ്പിച്ചതു തന്നെ!
    പക്ഷേ, ദൈവം സഹായിച്ച് അവരാരും കമന്റുചെയ്യില്ല!

  19. hand book ലെ ഉറുമ്പു പ്രശ്നത്തില്‍(ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശത്തിലൂടെയുളള യാത്ര)നിന്നാണ് ഈ പ്രശ്നം ഉടലംടുത്തത്

  20. യാത്രചെയ്യുന്ന ദിശയും ഇടത്തോട്ടു തിരിഞ്ഞ ദിശയും തമ്മിലുള്ള കോണാണല്ലോ 60 ഡിഗ്രി

  21. JOHN P A says:

    തിരക്കുകൂട്ടല്ലേ ശ്രികല ടീച്ചറെ.
    ഒന്നാമത്ത യൂണിറ്റില്‍ നിന്നും ചോദ്യങ്ങള്‍ തന്നല്ലോ.
    പിന്നെ നിലവാരപ്രശ്നം.ഒന്‍പതാം ക്ലാസുകാരന് പറ്റിയതുതന്നെയാകണമല്ലോ
    ചര്‍ച്ചകള്‍ യാദ്യശ്ചീകമാണ്. പല മേഖലകളില്‍ നിന്നും ബ്ലോഗിലേക്ക് ധാരാളം രചനകള്‍ കിട്ടുന്നുണ്ട് .അവ സമയബന്ധിതമായി ഇടുന്നത് ടീച്ചര്‍ കാണുന്നുണ്ടല്ലോ?
    ഉടനെ തന്നെ രണ്ടാമത്ത യൂണിറ്റിലെ ചോദ്യങ്ങള്‍ ഇടാമെന്നു കരുതുന്നു

  22. ജോണ്‍ സാറിന്റെ ഫോട്ടോയും ഒന്‍പതാം ക്ലാസ് ഭിന്നകവും എന്നു കണ്ടപ്പോള്‍ മോഡല്‍ ചോദ്യങ്ങളായിരിക്കും ഒപ്പമുള്ളതെന്നു കരുതി. ശരിക്കും നിരാശപ്പെടുത്തി. എന്തുപറ്റി?

    ഇതാണ് എന്നെപ്പോലുള്ളവര്‍ക്ക് പൊരുത്തപ്പെടാന്‍ കഴിയാത്ത കാര്യം. ജോണ്‍ സാര്‍ ചോദ്യമുണ്ടാക്കുക, ഞങ്ങളൊക്കെ അത് പകര്‍ത്തുന്നവരാകുക.
    ഈ ബ്ലോഗില്‍ ഇപ്പോള്‍ ദിനംപ്രതി 3000 പേര്‍ വരുന്നുണ്ട്. 10% പേരെങ്കിലും ഗണിതാധ്യാപകരായിരിക്കാം. ഒരാള്‍ ഒരു ചോദ്യമെങ്കിലും സപ്ലിമെന്റു ചെയ്താല്‍ എത്ര ചോദ്യങ്ങളായിരിക്കും നമുക്ക് ലഭിക്കുക.
    ഒരു മികച്ച അധ്യാപകനാവാന്‍ ഏറ്റവും പ്രധാനമായി വേണ്ടത് അന്വേഷണമാണ്. ഹോംസുമാര്‍ക്ക് അവസരം നല്കാതിരിക്കാന്‍ അതത്യാവശ്യവുമാണ്.മാത്രമല്ലാ സ്വയം കണ്ടെത്തലിലൂടെ നേടിയത് കൂടുതല്‍ നിലനിലനില്കുന്നതുമായിരിക്കും

  23. “ഹോംസുമാര്‍ക്ക് അവസരം നല്കാതിരിക്കാന്‍ അതത്യാവശ്യവുമാണ്.”
    നിര്‍ത്തി സാര്‍. ഇനി അലോസരങ്ങളുണ്ടാക്കാന്‍ ഹോംസ് ഇങ്ങോട്ടില്ല!
    പൈത്തണും പഠിച്ച് അവിടെ കഴിഞ്ഞോളാം!
    എല്ലാവരോടും ക്ഷമ ചോദിക്കുന്നു.
    അവിവേകങ്ങള്‍ക്ക് മാപ്പ്!

  24. Lalitha says:

    THIS IS A GOOD PROJECT FOR AVERAGE STUDENTS OF STD IX

  25. 30മീറ്റര്‍ is the right answer

  26. @John sir,
    “ഘടികാര ദിശയില്‍ രൂപപ്പെടുന്ന കോണുകള്‍ പോസിറ്റീവ് കോണുകളെന്ന് വിവക്ഷിക്കുന്നു. എതിര്‍ ഘടികാരദിശയിലെത് നെഗറ്റീവും”
    തിരിച്ചല്ലേ സര്‍?
    എതിര്‍ ഘടികാര ദിശയില്‍ രൂപപ്പെടുന്ന കോണുകള്‍ പോസിറ്റീവ് കോണുകളും ഘടികാരദിശയിലെത് നെഗറ്റീവും അല്ലേ? ഒരു സംശയം, ഓര്‍മ്മ ശരിയാകണമെന്നില്ല

  27. shemi says:

    ജോണ്‍ സാറിനും മുരളിസാറിന്ം നന്ദി.ഒമ്പതാം ക്ളാസ്സിലേക്കു പറ്റിയ നല്ല works.
    @jayasanker -link ഉപകാരമായി

  28. JOHN P A says:

    ശരിയാണ് ജയശങ്കര്‍ സാര്‍.തിരുത്തിയതിനു നന്ദി

  29. Krishnan says:

    ശ്രാവണിറ്റീച്ചറിന്റെ പ്രശ്നത്തെക്കുറിച്ച്:

    56 × 11² = 6776
    58 × 11² = 7018
    83² = 6889

    ഇതില്‍നിന്ന്

    56 × 11² < 83² < 58 × 11² എന്നും, അതിനാല്‍ √56 < 83/11 < √58 എന്നും കിട്ടും. ഇങ്ങനെ എത്രവേണമെങ്കിലും കണ്ടുപിടിക്കാം. y < 7 ആകണമെന്നൊന്നുമില്ല. ഇനി √56നും √58നും ഇടയ്ക്കുള്ള ഭിന്നകങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടീക്കാന്‍ മറ്റൊരു മാര്‍ഗം: linuxലെ bc എന്ന calculator ഉപയോഗിച്ച് ഈ വര്‍ഗമൂലങ്ങള്‍ ആവശ്യമുള്ളത്ര ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെ കണ്ടുപിടിക്കാം. ഇതില്‍നിന്ന്‌ ഇവക്കിടയിലുള്ള എത്ര ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ വീണമെങ്കിലും കണ്ടുപിടീക്കാമല്ലോ. ഉദാഹരണമായി √56 = 7.48331477354788277116…
    √58 = 7.61577310586390828566…

    ആദ്യത്തെ രണ്ടുസ്ഥാനങ്ങള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിച്ചുതന്നെ 7.49, 7.50, 7.51, …,7.60 എന്നിങ്ങനെ 12 ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ കിട്ടും. ആദ്യത്തെ മൂന്നു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് 131 എണ്ണം കിട്ടും.

    ഈ മാര്‍ഗത്തിന്റെ ഒരു മെച്ചം, ഏതു രണ്ടു അഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ ഇടയിലും അസംഖ്യം ഭിന്നകസംഖ്യകളുണ്ട് എന്ന ആശയത്തിലേക്ക്‌ എളുപ്പം നയിക്കാം എന്നതാണ്.

  30. Jayarajan Vadakkayil says:

    ഇന്ത്യയുടെ സ്വന്തം വെബ്‌ ബ്രൌസര്‍ ‘എപിക്’ ഉപയോഗിക്കൂ. ഫ്രീയായി ഡൌണ്‍ലോഡ് ചെയ്യാന്‍ http://www.epicbrowser.com

  31. സ്കൂള്‍ പ്രവേശനോത്സവം- ജനവാതിലില്‍
    കാണുകഇവിടെ

  32. Anjana says:

    This comment has been removed by the author.

  33. Anjana says:

    കൃഷ്ണന്‍ സര്‍,
    വ്യതസ്തമായ രണ്ടു ഭിന്നകങ്ങലുടെ ശരാശരി പുതിയൊരു ഭിന്നകം അവക്കിടയില്‍ നല്‍കുന്നു എന്നിരിക്കെ, അഭിന്നകങ്ങല്‍ക്കിടയില്‍ കേവലം രണ്ടു ഭിന്നകങ്ങള്‍ മാത്രം ചൂണ്ടികാണിച്ചാല്‍ അസംഖ്യം ഭിന്നകസംഖ്യകളുണ്ട് എന്ന ആശയത്തിലേക്ക്‌എത്താമല്ലോ.കണക്കുകൂട്ടലുകളിലൂടെയല്ലാതെ, ഗണിതത്തിന്റെ യുക്തിയിലൂടെ അസംഖ്യം എന്ന ആശയം ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സുകാരിക്ക് മനസ്സിലാവില്ലേ?

    മറ്റൊരുകാര്യം, അസംഖ്യം എന്ന വാക്ക് denumerable എന്നതിന് പകരമായി മാത്രം ഉപയോഗിക്കുന്നതാണോ? അതോ infinitely many എന്നര്‍ത്ഥത്തില്‍ ആണോ?

    ഗണിതകാരന്‍ അനന്തതയെ എങ്ങനെ കാണുന്നു എന്നതിന്റെ സൂചനയായ, ഭിന്നകങ്ങള്‍ denumerable ആണെന്ന Cantor’s diagonal argument ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സുകാരിക്ക് മനസ്സിലാകും എന്നാണെനിക്കു തോന്നുന്നത്. ഭിന്നകങ്ങളെ (ആദ്യഘട്ടത്തില്‍ non-negative rationals – നെയെങ്കിലും) ഒന്നും വിട്ടുപോകാതെ എണ്ണാനുള്ള വഴി ചൂണ്ടികാണിക്കൂന്നതിലൂടെ, വെറും ശുഷ്കമായ കണക്കു കൂട്ടലുകളല്ല ഗണിതമെന്നും, ചില കുരുട്ടുചോദ്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കുകയും ഉത്തരം കണ്ടെത്തുകയും അല്ല ഗണിതത്തില്‍ ചെയ്യുന്നതെന്നും കുട്ടികള്‍ക്ക് അറിയാന്‍ ഒരവസരം ഉണ്ടാകുമെന്ന് തോന്നുന്നു.

    July 15, 2010 2:55 PM

  34. @Anjana

    Cantor’s diagonal argument ഉം denumerable numbers ഉം ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സുകാരെ പഠിപ്പിക്കാന്‍ ശ്രമിച്ചാല്‍ അവസാന കാലത്ത് Cantor നുണ്ടായ അതേ ഗതി (മുഴു ഭ്രാന്ത് !) കുട്ടികള്‍ക്ക് ൧൪ ആം വയസ്സിലും നമുക്ക് അടുത്തൂണ്‍ പറ്റി പിരിയുന്നതിനു മുമ്പും ഉണ്ടാവും . പഴയൊരു ചൊല്ലില്ലേ “പാത്രമറിഞ്ഞേ വിളമ്പാവൂ “ എന്ന് . വല്ലപ്പോഴും അതോര്‍ക്കുന്നത് നന്ന് .

  35. ഹരിത says:

    @ Jayasankar sir

    കാന്ടരുടെ അനന്തങ്ങളെ പറ്റിയുള്ള കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളെ ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ എതിര്‍ത്തത് അദ്ധേഹത്തിന്റെ ഗുരു ആയിരുന്ന ക്രോനെക്കര്‍ ആണ്.അദ്ധേഹത്തിന്റെ അനന്തങ്ങളെ പറ്റിയുള്ള കണ്ടു പിടിത്തങ്ങള്‍ അന്നത്തെ ശാസ്ത്ര ലോകത്തിനു മനസ്സിലായില്ല എന്നതാണ് സത്യം ഭ്രാന്തിന്റെ വക ഭേദം ആയി അവര്‍ അതിനെ കണ്ടു പിന്നീട് കാന്റെര്‍ അതിനു അടിമപെട്ട് എന്നതല്ലേ സത്യം .

    ഗണിതത്തെ സ്നേഹിക്കുന്ന സാറും അദ്ധേഹത്തെ ഭ്രാന്തന്‍ എന്ന് മുദ്ര കുത്തിയത് ശരിയായില്ല കേട്ടോ .

  36. @Haritha

    ക്രോനെക്കരുടെ മതമനുസരിച്ച്ച് ശൂന്യതയും പൂര്‍ണതയും ആണ് എല്ലാം . മറ്റുള്ളതെല്ലാം ഇവയില്‍ ഉണ്ട്ട് . രണ്ടു വ്യക്തികളുടെ ചിന്താ ധോരണി ഒരുപോലെ ആയാല്‍ പൂര്‍ണ്ണം[d(i ,j =1 if i equal to j] അല്ലെങ്കില്‍ ശൂന്യം [d(i ,j =0 if i not equal to j ] . എന്നാല്‍ കാന്റരുടെ മതമനുസരിച്ച്ച് ശൂന്യതയില്‍ എല്ലാം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു . ശൂന്യം ബ്രഹ്മമാണ് . അതിനെ വെറുതെ അറിയാന്‍ ശ്രമിച്ചതാണ് കാന്ടറിനു ഭ്രാന്താവാന്‍ കാരണം. ക്രോനെക്കരുടെയും കാന്റരുടെയും ചിന്താ ധോരണി ഒരുപോലെ ആയില്ല എന്നത് സത്യം . അതുകൊണ്ടു ക്രോനെക്കരുടെ മതമനുസരിച്ച്ച് ഇരുവരും രണ്ടു ധ്രുവങ്ങളില്‍ ആയിപ്പോയി , അത്രമാത്രം .

  37. Jayarajan Vadakkayil says:

    പുതിയ വെബ്‌ ബ്രൌസര്‍ ഡൌണ്‍ലോഡ് ചെയ്യൂ.
    http://www.epicbrowser.com

  38. സൈനാ നെഹ്വാള്‍ ലോക റണ്ടാം റാങ്കില്‍-അഭിനന്ദനങ്ങള്‍

  39. Krishnan says:

    അഞ്ജനറ്റീച്ചര്‍ പറഞ്ഞതുപോലെയും, രണ്ടു അഭിന്നക സംഖ്യകള്‍ക്കിടയില്‍ അനന്തമായ ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ ഉണ്ടെന്നു കാണിക്കാം. ദശാംശരീതി പെട്ടെന്നു മനസ്സിലാകും എന്നു തോന്നി. കുറേ കുട്ടികളില്‍ പരീക്ഷിച്ചു നോക്കിയാലെ പറയാന്‍ സാധിക്കയുള്ളു.

    infinitely manyഎന്നതിന്‌ പെട്ടെന്നു തോന്നിയ വിവര്‍ത്തനമാണ്‌ അസംഖ്യം. ഇപ്പോള്‍ അതിനുതന്നെ അനന്തമായ എന്നാക്കി നോക്കിയിട്ടുണ്ട്. ഏതാണ്‌ നല്ലതെന്ന് ആലോചിക്കണം. countable, uncountableഎന്നിങ്ങനെ അനന്തതയെ വര്‍ഗീകരിക്കുന്ന സന്ദര്‍ഭങ്ങള്‍ വരുമ്പോള്‍, അതിനും മലയാള വാക്കുകള്‍ കണ്ടുപിടിക്കണം.

    ജയശങ്കര്‍ പറയുന്നതുപോലെയുള്ള അതിഭൗതിക (metaphysical) സംജ്ഞകള്‍ (ബ്രഹ്മം, ശൂന്യം) ഗണിതത്തില്‍ ഉപയോഗിക്കാതിരിക്കുകയാണ്‌ നന്നെന്നു തോന്നുന്നു. എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം, അഭിന്നകങ്ങളുടെ ദശാംശരൂപം എന്നിവയെ അനന്തമായി വികസി(പ്പി)ക്കാന്‍ സാധ്യതയുള്ളവ (potentially infinite)എന്ന നിലയില്‍ മാത്രം കാണുക എന്നതായിരുന്നു ക്രോണെക്കറുടെയും അവബോധപ്രസ്ഥാനത്തിന്റെയും (intuitionism) നിലപാട്. എന്നാല്‍ ഇവയെ അനന്തമായ അംഗങ്ങളുള്ള ഗണം, അനന്തമായി നീളുന്ന ദശാംശം എന്നിങ്ങനെ പൂര്‍ത്തീകരിക്കപ്പെട്ട അനന്തത (completed infinity) ആയി എടുക്കുന്നതിലും കാന്‍റ്ററും രൂപഭദ്രതാപ്രസ്ഥാനവും (formalism) തെറ്റൊന്നും കണ്ടില്ല. തുടര്‍ന്നുണ്ടായ വിവാദങ്ങള്‍ ചരിത്രത്തിന്റെ ഭാഗമാണ്.

    അവ്യക്തമായ അതിഭൗതിക സങ്കല്പങ്ങളില്‍ കുരുങ്ങിക്കിട(ക്കു)ന്ന അനന്തത എന്ന ആശയത്തിന്‌ സൂക്ഷ്മമായ യുക്തിയിലൂടെ വ്യക്തത നല്‍കി എന്നതാണ്‌ കാന്ററുടെ ഏറ്റവും വലിയ സംഭാവന. അക്കാലത്തെ ബുദ്ധിജീവികളില്‍ പലര്‍ക്കും ഇതൊന്നും മനസിലാകാതെ പോയി എന്നത് അദ്ദേഹത്തിന്റെ ദുരന്തവും.

  40. വലിയ ഗണിതചര്‍ച്ചകള്‍ നടക്കുന്നതിനിടയില്‍, ആരാ ഈ ‘വെബ്​ബ്രൗസര്‍’ കച്ചവടക്കാരന്‍?
    സുഹൃത്തേ, ഗണിത-കവി പുംഗവന്മാര്‍ക്കിടയില്‍ ശല്യമാകാതെ, നമുക്ക് പൈത്തണ്‍പേജിലേക്കോ മറ്റോ ഒതുങ്ങിമാറിയിരിക്കാം!

  41. @ഹോംസ്
    ഒഴിഞ്ഞു മാറുകയോ പിണങ്ങിപ്പോവുകയോ ചെയ്യരുത് സുഹൃത്തേ.ഇതിനു മുമ്പ് കമന്റ് ബോക്സില്‍ പറഞ്ഞതു പോലെ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നവരെ മാത്രമേ ഞാന്‍ വിമര്‍ശിക്കാറുള്ളു. അതും സ്നേഹത്തിന്റെ ഭാഷയില്‍. മറിച്ചു തോന്നിയോ?

  42. ഒമ്പതാം ക്ലാസിലെ ഗണിതപുസ്തകം ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ എന്ന യൂണിറ്റിലെ പേജ് നമ്പര്‍ 27, 28 കളിലെ ഒരു പ്രശ്നനിര്‍ദ്ധാരണത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു സംശയം ചോദിക്കട്ടെ. അവിടെ x/3 = y/5 എന്നതിനെ ഒരു അക്ഷരം കൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കാം എന്നു പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. എന്നിട്ട് x = 3*(x/3)=3z , y = 5*(y/5) = 5z എന്നെഴുതിയിരിക്കുന്നു. ഇതുതന്നെ x/3 = y/5 = z എന്നെഴുതി equate ചെയ്താല്‍ എന്താ കുഴപ്പം ? അങ്ങനെ പഠിപ്പിച്ചാല്‍പ്പോരേ ?

  43. ambili says:

    കൃഷ്ണന്‍ സാറും അഞ്ചന ടീച്ചറുമൊക്കെ തരുന്ന ഗഹനമായ ചിന്തകള്‍ നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാന്‍ ശ്രമിക്കാം.
    ഇത്രയ്ക്ക് സമ്പന്നമായ ഒരു വേദികിട്ടിയതില്‍ അഭിമാനിക്കുന്നവരാണ് ഞങ്ങള്‍ കണക്കധ്യാപകര്‍
    ഞാന്‍ ഇനി സ്ഥിരസന്ദര്‍ശകയാകും .
    ചര്‍ച്ച വിഷയം വിട്ടുപോകാതിരിക്കാന്‍ ശ്രമിക്കുമല്ലോ

  44. Anjana says:

    അവ്യക്തമായ അതിഭൗതിക സങ്കല്പങ്ങളില്‍ കുരുങ്ങിക്കിട(ക്കു)ന്ന അനന്തത എന്ന ആശയത്തിന്‌ സൂക്ഷ്മമായ യുക്തിയിലൂടെ വ്യക്തത നല്‍കി എന്നതാണ്‌ കാന്ററുടെ ഏറ്റവും വലിയ സംഭാവന.
    അതെ, അതാണ്‌ ശരിയായ വസ്തുത. ആത്മനിഷ് ൦വും അതിഭാവുകത്വം നിറഞ്ഞതുമായ കഥകള്‍ മെനഞ്ഞു പക്ഷെ കാന്റരിനെയും നാം ദിവ്യനാക്കി!

  45. JOHN P A says:

    സോമലത ടീച്ചറിനോടൊപ്പം നിന്നുകൊണ്ട് ഞാനും മറ്റോന്ന് ചോദിക്കുന്നു
    x നെ y യില്‍ എഴുതിയശേഷം അതിനുമുന്‍പ് പാഠപുസ്തകത്തില്‍ പറഞ്ഞിട്ടുള്ള ഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ തുക കാണുന്നതും, വ്യുല്‍ക്രമഗുണനവും, ലഘൂകരണവുമോക്ക നേരിട്ട് ഉപയോഗിച്ചാല്‍ പോരേ?ഒരു പ്രശനവും ഇല്ലാതെ കുട്ടികള്‍ ചെയ്യുന്നുണ്ട്

  46. JOHN P A says:

    റസ്സല്‍ പാരഡോക്സുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി കാന്റെറെക്കുറിച്ച് കേട്ടിട്ടുണ്ട്.ചില അതിഭാവുകത്വങ്ങളും.
    കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ വാക്കുകള്‍ വിലമതിക്കാനാവാത്ത ഒരു അറിവായി.നന്ദി

  47. ഹരിത says:

    The simplest infinite set is the set of natural numbers

    N={1,2,3,4,5,…………..}

    How does this compare to other infinite sets

    Consider the set

    {,51,52,53,54,55……}

    Some times we may think that the second set is smaller than the first numbers because the set starts from 101

    But According to canter

    1——> 51
    2….……> 52
    3……—-> 53
    . .
    . .
    . .
    That is there is a one-to-one correspondence, or bijection, between the two sets. Since each element in the first set pairs with one element in second set and vice versa, the sets must have the same “size”, or, to use Cantor’s language, the same cardinality. Using a bijection to compare the size of two infinite sets was one of Cantor’s most fruitful ideas
    The cardinality of the sets is not of course an ordinary number It’s nevertheless a mathematical object that deserves a name, so Cantor represented it by the first letter in the Hebrew alphabet aleph

  48. ഹരിത says:

    Every whole number k can be written as the fraction k/1. between any two rational numbers, no matter how close, there are infinitely many other rational numbers. And then, between any two of these new and more closely packed rational numbers there is again an infinite number of rational numbers — this seems to show that there are hugely more rational numbers than natural numbers, but Cantor proved that in fact they are equally numerous. An ingenious way to see this is to write down the fractions in an array

    1/1 1/2 1/3 1/4….
    2/1 2/2 2/3 2/4……
    3/1 3/2 3/3 3/4 ……
    … …. … ….
    … …. … ….
    … …. … ….

    Take a moment to convince yourself that the array contains every single positive rational number. Numbers occur more than once as equivalent fractions, for example 1= 1/1 = 2/2, etc. Now we create a list of fractions by starting in the top left corner of the array and moving up and down diagonally:

    Click here

    If we omit those rationals we have met before, this gives the list
    1, 2 ,1/2 , 1/3 , 3, 4, 3/2 , 2/3 ,1/4 …………..

    Now associate to the first fraction on the list the number 1, to the second fraction on the list the number 2, to the third fraction the number 3 and so on.

    1——> 1/2
    2……—-> 1/3
    3……—> 3/2

    This map is a bijection, proving that the set of positive rational numbers has the same cardinality as the set of natural numbers. This can then be extended to show that the set of all rational numbers has the same cardinality as the natural numbers.

    Any infinite set which can be listed is called countable because (given an infinite amount of time) you could go down the list and simply count “one, two, three…”. Because of this simple bijection with the natural numbers, all infinite countable sets have cardinality (aleph not)

  49. ഹരിത says:

    Now we can move on to real numbers

    The real numbers are all the points on the continuous number line, including irrational numbers such as √2 , √13 , ∏ …….

    The set of real numbers contains both the natural numbers and the rational numbers, but is it really “bigger” than both these sets? Cantor proved that it is. To see this assume that the real numbers between zero and one are listable. Imagine such a list:

    1. 0.12
    2. 0.4
    3. 0.39878519436
    4. 0.777777…
    5. 0.141569…

    and so on, where every real number between zero and one occurs somewhere in the infinite list. One of Cantor’s great ideas was to take a diagonal of such a list: take the first digit after the decimal point of the first number, the second digit after the decimal point of the second number, the third digit after the decimal point of the third number, and so on, to get the real number 0.10876…. Since there are infinitely numbers in your list, this number has an infinite decimal expansion.
    Now change each digit of this new number, for example by adding 1. This gives the new number 0.21987… .This new number is not the same as the first number on the list, because their first decimal digits are different. Neither is it the same as the second number on the list, because their second decimal digits are different. Carrying on like this shows that the new number is different from every single number on the list, and so it cannot appear anywhere in the list.
    But we started with the assumption that every real number between zero and one was on the list! Cantor proved that the only way to avoid this contradiction is to admit that our original assumption — that the set of real numbers and the set of natural numbers have the same cardinality — is false.
    This famous diagonal argument shows that there are so many real numbers that they can’t be listed, even with an infinitely long list, and so they cannot be counted, even in an infinitely long time. Because the real numbers are associated with the points on a continuous line, their cardinality is called , the cardinality of the continuum.

    The diagonal argument shows that ‘c ‘ represents a higher order of infinity than aleph not . Cantor adapted the method to show that there are an infinite series of infinities, each one astonishingly bigger than the one before.

  50. ഹരിത says:

    A mistake in my post

    “Some times we may think that the second set is smaller than the first numbers because the set starts from 51 “

  51. Jayarajan Vadakkayil says:

    @ ഹോംസ്
    ഇന്ത്യയില്‍ ആദ്യമായിറങ്ങിയ ഒരു വെബ്‌ ബ്രൌസര്‍ ഫ്രീയായി ഡൌണ്‍ലോഡ് ചെയ്തു നോക്കാനാണ് സുഹൃത്തേ പറഞ്ഞത്. അതെങ്ങനെ കച്ചവടമാകും? ഇന്നലെയാണ് അത് പുറത്തിറക്കിയത്. ആദ്യം താങ്കള്‍ അതൊന്നു ഡൌണ്‍ലോഡ് ചെയ്തു ഇന്‍സ്റ്റാള്‍ ചെയ്തു നോക്കൂ.എന്തിനെയും കച്ചവടകണ്ണ് കൊണ്ട് തന്നെ സമീപിക്കണോ?

  52. ഹിത &amp; ഹരിത says:

    ഗണിതത്തിലും സംഗീതത്തിലും ഒരു പോലെ കഴിവ് തെളിയിച്ച അസാമാന്യ കഴിവുള്ള ആള്‍ ആയിരുന്നു പൈത്തഗോറസ് .സംഗീതത്തെ ആദ്യമായി ശാസ്ത്രീയമായി വീക്ഷിച്ചത്‌ പൈത്തഗോറസ് ആണ് .
    മ്യുസിക്കല്‍ ഇന്റര്‍വെല്ലുകള്‍,ഹാര്മോണിക് മീന്‍,സംഗീത ശ്രേണി എന്നിവ പൈതഗോറിയന്‍മാരുടെ സംഭാവന ആണ് .

    നാല് സംഖ്യകള്‍ a: 2ab/a+b ,a+b/2 ,b എന്ന അംശബന്ധത്തില്‍ ആയാല്‍ അവ സംഗീത ശ്രേണിയില്‍ ആണ് എന്ന് പറയുന്നു.
    ഉദാഹരണം 6,8,9,12.വയലിന്‍ പോലുള്ള സംഗീത ഉപകരങ്ങളുടെ നാദത്തിനു ഈ ശ്രേണിയുമായി ബന്ധം ഉണ്ട് .ഗ്രീക്ക് സംഗീത സമ്പ്രദായത്തില്‍ അടിസ്ഥാന പരമായി ഒക്ടെവ് ,4th ടോണ്‍ ,5th ടോണ്‍ എന്നിങ്ങനെ ഉള്ള ഇന്റര്‍ വെല്ലുകളെ 2:1, 4:3 ,3:2 എന്നിങ്ങനെയാണ് അവര്‍ സൂചിപിച്ചത് .മാത്രമല്ല രണ്ടു ഇന്റര്‍ വെല്ലുകള്‍ തമ്മില്‍ ഉള്ള വ്യത്യാസം മൂന്നാമതൊരെണ്ണം ആകുന്നു എന്നും അതിന്റെ അംശബന്ധം ആദ്യത്തവ ഹരിച്ചാല്‍ കിട്ടും എന്നും അവര്‍ തെളിയിച്ചു .അതായത്
    5th ടോണ്‍ – 4th ടോണ്‍ ->മേജര്‍ ടോണ്‍
    ഇതിന്റെ അംശബന്ധം 3/2 divided by 4/3 = 9/8

  53. Anjana says:

    ഈ പോസ്റ്റിന്റെ ഗതി വിചിത്രവും രസകരവും ആയി തോന്നുന്നു. ഭിന്നകങ്ങളില്‍ തുടങ്ങി, പെട്ടെന്നുതന്നെ ബഹുഭുജങ്ങളിലേക്ക്കു കുതറിപ്പോയ ചര്‍ച്ചയെ തിരിച്ചുകൊണ്ടുവരാന്‍ ശ്രമിച്ചപ്പോള്‍ അത് കാന്ററിലേക്കും അനന്തതയിലെക്കും വഴുതിപ്പോയി. ഇപ്പോഴിതാ പൈത്തഗോറസ്സിലും ഗണിതവും സംഗീതവുമായുള്ള ബന്ധത്തിലും എത്തിനില്‍ക്കുന്നു!
    ഹിത – ഹരിതമാരുടെ കമന്റില്‍ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെയുള്ള കാര്യങ്ങള്‍ മുഖ്യമായും പാശ്ചാത്യ സംഗീതത്തിലാണ് പ്രസക്തമാകുന്നത്. ഇന്ത്യന്‍ സംഗീതത്തില്‍ ഇത്തരം ഗണിതമുദ്രകള്‍ നിരീക്ഷിച്ചിട്ടുണ്ടോ? രാഗങ്ങളുടെ സ്വര സംവിധാനത്തില്‍ കാണുന്ന ചില പാറ്റെനുകളോ , താളത്തിന്റെ പ്രത്യക്ഷമായ കൈകണക്കുകളോ , ശ്രുതിസ്ഥാനങ്ങളുടെ ആവൃത്തി നിലകളോ അല്ലാതെ ഗണിതത്തിന്റെ മറച്ചുവെക്കാനോ, മാറ്റിനിര്‍ത്താനോ പറ്റാത്തവിഥമുള്ള സ്വാധീനം ഇന്ത്യന്‍ സംഗീതത്തില്‍ ഉണ്ടോ? ഇന്ത്യന്‍ സംഗീതം മുഖ്യമായും രാഗത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയതായതുകൊണ്ട് ഇത്തരമൊരു ബന്ധം ഉണ്ടെങ്കില്‍ അതിനു സവിശേഷമായ പ്രാധാന്യം ഉണ്ടെന്നുതോന്നുന്നു. ഓരോ രാഗത്തിന്റെയും അടിസ്ഥാന സ്വരസ്ഥാനങ്ങളില്‍ ഉറച്ചുനിന്നുകൊണ്ടു തന്നെ, രാഗഭാവത്തില്‍ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കാതെ തന്നെ, തീര്‍ത്തും വ്യതസ്തങ്ങളായ ആലാപന രീതികള്‍ വ്യതസ്ത ഗായകര്‍ അനുവര്‍ത്തിച്ചു കാണാറുണ്ട്‌. മൂര്‍ത്ത ചിഹ്നങ്ങളില്‍ നിന്ന് അമൂര്‍ത്ത ഘടനകളിലെക്കും തിരിച്ചുമുള്ള ഗണിതത്തിന്റെ സഞ്ചാരങ്ങള്‍ക്ക് , ഈ പറഞ്ഞതുമായി എന്തെങ്കിലും ബന്ധം ആരെങ്കിലും എവിടെയെങ്കിലും പറഞ്ഞുകേട്ടിട്ടുണ്ടോ?

  54. Lalitha says:

    We are to write all numbers from 2 to 2010 on the board in the following order:

    *
    First, we write all prime numbers in increasing order.
    *
    Second, we write twice of all the prime numbers in increasing order.
    *
    Thirdly, we write thrice of all the prime numbers(excluding the numbers which already have been written eg. 6) in increasing order.
    *
    Fourth, we write four times of all prime numbers(excluding the numbers which already have been written) in increasing order and so on.

    What is the last number we write on the board?

  55. razimantv says:

    @Lalitha

    We need the largest number n< =2010 such that n/(Largest prime factor of n) is maximised Claim : Largest prime factor of n is <5
    Proof of claim :
    2^10 = 1024
    1024/Largest prime factor of 1024 = 512
    Let p>3 be the largest prime factor of n
    n/p >=512
    => n >= 512 p = 2560 > 2010

    Hence the only prime factors of n can be 2 and 3
    The Largest power of 2 alone < =2010 is 1024 with n/p = 512
    The largest number which is a product of powers of 2 and 3 and is < = 2010 is 243*8=1944
    Here n/p = 648

    Hence n = 1944

  56. Krishnan says:

    സോമലതറ്റീച്ചറിന്റെ സംശയത്തെക്കുറിച്ച്:

    x/3 = y/5 എന്ന സമവാക്യത്തില്‍നിന്ന് x = 3z, y = 5z
    എന്ന സമവാക്യങ്ങളിലേക്കെത്തുന്നതിന്റെ യുക്തിയാണ്‌ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത്. ഒരു സംഖ്യയ്ക്കുതന്നെ വ്യത്യസ്ത ബീജഗണിതരൂപങ്ങള്‍ ആവാമെന്നും, അങ്ങനെ വരുമ്പോള്‍ ആ ബീജഗണിത വാചകങ്ങളെ ഒരേ അക്ഷരം കൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കാമെന്നതുമാണ്‌, x/3 = y/5 എന്നതില്‍നിന്ന്
    x/3 = y/5 = z എന്നെഴുതുന്നതിന്റെ അര്‍ത്ഥം (ഇത്തരമൊരു രീതി ഇതുവരെ കുട്ടി കണ്ടിട്ടില്ല എന്നുകൂടി ഓര്‍ക്കണം.)
    ഇതിനെ x/3 = z, y/5 = z എന്നു രണ്ടായി എഴുതാം. x/3 യുടെ മൂന്നുമടങ്ങാണല്ലോ x. അതായത്, zന്റെ മൂന്നു മടങ്ങാണ്‌ x. ഇതാണ്‌ , x = 3 × x/3 = 3z എന്നു പാഠപുസ്തകത്തില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്. z എന്നത് xന്റെ മൂന്നിലൊന്നായതിനാല്‍, zന്റെ മൂന്നുമടങ്ങാണ്‌ x എന്നു വ്യാഖ്യാനിച്ച്, x = 3z എന്നെഴുതുകയും ആവാം.

    ഏതായാലും, ബീജഗണിതവാചകങ്ങളുടെ ക്രിയകള്‍ ചെയ്യുമ്പോള്‍ അവയുടെ അര്‍ത്ഥം കൂടി വിശദീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത്തരം ക്രിയകള്‍ ചിഹ്നങ്ങളുടെ യാന്ത്രികമായ പരിവര്‍ത്തനങ്ങളാകാതെ ആശയം, സാധാരണഭാഷയിലെ അവതരണം, ബീജഗണിതഭാഷയിലെ അവതരണം എന്നീ ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ വിശദീകരിക്കുകയാണ്‌ ആറാംക്ലാസ്‌ മുതലുള്ള ബീജഗണിതപാഠങ്ങളില്‍ സ്വീകരിച്ചിരിക്കുന്ന രീതി.

    ചിന്തയുടെ പിന്‍ബലമില്ലാതെ, ബീജഗണിതക്രിയകള്‍ യാന്ത്രികമാകുമ്പോഴാണ്‌, x/−2 = y എന്നതില്‍നിന്ന് x = −2y
    എന്നെഴുതണോ, x = 2y എന്നെഴുതണോ എന്നറിയാതെ പല കുട്ടികളും കുഴങ്ങുന്നത്.

  57. This comment has been removed by the author.

  58. unniharipad says:

    മുന്‍ 9th പുസ്തകത്തിലെപ്പോലെ ഭിന്നകങ്ങളുടെ ദശാംശ ഭാഗത്തിന്റെ പ്രത്യേകതകള്‍ പൂതിയപുസ്തകത്തില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തിക്കാണുന്നില്ല. അതുകൂടി വേണ്ടിയിരുന്നു.

  59. Krishnan says:

    @unniharipad

    ഭിന്നങ്ങളുടെ ദശാംശരൂപത്തിന്റെ എന്തു പ്രത്യേകതയാണ്‌ വിട്ടുപോയതെന്ന് ഓര്‍മ വരുന്നില്ല. വിശദീകരിക്കാമോ?

  60. This comment has been removed by the author.

  61. ഹിത &amp; ഹരിത says:

    ….

  62. VIVEK says:

    @ C R MURALEEDHARAN SIR….the answr of ur question 'll be 30 metre…because the traveller will form a triangle at an angle 60 degree each…so the answr should be 30 metre…

  63. ravi says:

    who is krishnan?
    please stop the interruption in every post.

  64. ഇതിനിടയ്ക്ക് ഒരു ക്ലാസില്‍ ഉണ്ടായ തര്‍ക്കത്തേക്കുറിച്ച്(ബഹുഭുജങ്ങള്‍ ഏന്ന അദ്ധ്യായത്തേ സംബന്ധിച്ച്) പറയട്ടെ
    ഒരാള്‍ 10 മീറ്റര്‍ നേരെ നടന്നതിനുശേഷം 60 ഡിഗ്രി ഇടത്തോട്ട് തിരിഞ്ഞ് ഇതേ ദൂരം നടക്കുന്നു ഇങ്ങനെ തുടര്‍ന്നാല്‍ അയാള്‍ യാത്രയാരംഭിച്ച സ്ഥാനത്തുതന്നെ എത്തുമോ ? എത്തുമെങ്കില്‍ എത്ര ദൂരം സഞ്ചരിച്ചിരിയ്ക്കും ?
    ഇതായിരുന്നു പ്രശ്നം
    ഒരുകൂട്ടരുടെ ഉത്തരം 30 മീറ്റര്‍ നടന്നാല്‍ എത്തുമെന്നായിരുന്നു
    മറ്റൊരുകൂട്ടരുടെ ഉത്തരം 60 മീറ്റര്‍ നടന്നാല്‍
    Muraleedharan sir,

    If a person walk 10 m,and then turns 60degree from that direction towards his left[ he is not turning back towards the starting point and then turns 60degree], then how is it possible for 30m? In my strong opinion he forms a regular hexagon with 60degree exterior angle. So he reach starting point after walking 60m. I really appreciate muralisir, for giving such a thought. It may lead them to think about vectors[especially angle between two vectors].

    murali.ch-wynd

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s