STD IX – ബഹുഭുജങ്ങള്‍ (ഒരു അവലോകനം)


കേരളത്തിലെ ഗണിതാധ്യാപകര്‍ക്ക് മുന്നിലേക്ക് അനുഗ്രഹീതനായ മറ്റൊരു അധ്യാപകനെക്കൂടി അഭിമാനപുരസ്സരം മാത്‍സ് ബ്ലോഗ് അവതരിപ്പിക്കുകയാണ്. പത്ത് വര്‍ഷത്തോളം സി.ബി.എസ്.ഇ പന്ത്രണ്ടാം ക്ലാസില്‍ പഠിപ്പിച്ച അനുഭവ പരിജ്ഞാനവുമായാണ് വെണ്ണല ഗവണ്‍മെന്‍റ് ഹൈസ്ക്കൂളിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകനായ ഹരിഗോവിന്ദ് സാര്‍ 2008-2009 അധ്യയനവര്‍ഷത്തിലാണ് സര്‍ക്കാര്‍‍ വിദ്യാഭ്യാസമേഖലയിലേക്ക് കടന്നുവരുന്നത്. കേരളത്തിനു പുറത്ത് നിരവധി ഗണിതസെമിനാറുകളില്‍ സജീവ പങ്കാളിത്തം വഹിക്കാന്‍ അദ്ദേഹത്തിന് അപൂര്‍വ്വമായ ഭാഗ്യം ലഭിച്ചിട്ടുണ്ട്. അത്തരമൊരിടത്തു നിന്നു ലഭിച്ച സുഹൃദ്ബന്ധം കൊണ്ട് തന്നെ പൂനയിലെ ഒരു ഗണിതാധ്യാപകനുമായി ചേര്‍ന്ന് രംഗോമെട്രി എന്നൊരു പുതിയ മാത്‍സ് ടൂള്‍ സൃഷ്ടിക്കാന്‍ അദ്ദേഹത്തിന് സാധിച്ചു. ഇന്നത് വിദേശങ്ങളിലടക്കം മാര്‍ക്കറ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നുണ്ടെന്നുള്ളത് കേരളീയര്‍ക്ക് അഭിമാനിക്കാന്‍ വക നല്‍കുന്നു. ഒരൊറ്റ ക്ലാസുകൊണ്ടു തന്നെ കുട്ടികളെ ഗണിതതല്പരരാക്കാനുള്ള വൈദഗ്ദ്ധ്യം അദ്ദേഹത്തിനുണ്ടെന്ന് മനസ്സിലാക്കിക്കൊണ്ടുതന്നെയാണ് ഞങ്ങളദ്ദേഹത്തെ മാത്‍സ് ബ്ലോഗിലേക്ക് ക്ഷണിക്കുന്നത്. ഒപ്പം എറണാകുളം ജില്ലയിലെ പല അധ്യാപകരുടേയും അഭ്യര്‍ത്ഥന കൂടിയായപ്പോള്‍ മാത്‍സ് ബ്ലോഗിലെ ലേഖകരുടെ കൂട്ടത്തിലേക്കെത്താതിരിക്കാന്‍ അദ്ദേഹത്തിന് കഴിഞ്ഞില്ല. തുടര്‍ന്നും അക്കാദമിക വിഷയങ്ങളില്‍ അദ്ദേഹത്തിന്‍റെ സാന്നിധ്യം ബ്ലോഗിലുണ്ടാകുന്നത് നമുക്ക് അനുഗ്രഹമാകുമെന്ന് പറയാതെ വയ്യ. പുതിയ ഒന്‍പതാം ക്ലാസ് പാഠപുസ്തകത്തിലെ ബഹുഭുജങ്ങളെന്ന ആദ്യ അധ്യായം ക്ലാസിലെടുത്തു കൊണ്ടിരിക്കുമ്പോള്‍ ഒരു അധ്യാപകനെന്ന നിലയില്‍ മനസ്സില്‍ രൂപപ്പെട്ട ചില ചിന്തകള്‍ അദ്ദേഹമിവിടെ പങ്കുവെക്കുന്നു. അവയിലേക്ക്….

ഒമ്പതാം ക്ളാസ്സിലെ പുതിയ പാഠപുസ്തകവുമായി നാം ഒരു യുദ്ധം സമാരംഭിച്
ചിരിക്കുകയാണല്ലോ? പഴയ പാഠപുസ്തകം മാറുന്നു എന്നു കേട്ടതോടെ നെടുവീര്‍പ്പിട്ട നമുക്ക് പുതിയ കുപ്പിയിലടച്ച പഴയ വൈന്‍ തന്നെയാണോ ലഭിച്ചത് അതോ മറിച്ചോ? ഈ പാഠപുസ്തകം പുതിയൊരു വീക്ഷണ കോണില്‍ വിശകലനം ചെയ്യുവാനാണ് ഞാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്നത്. പാഠപുസ്തക രചനയില്‍ ചെറിയ മുന്‍ പരിചയമുള്ളതിനാല്‍ പുസ്തകത്തിന്റെ രചനയുടെ ഗുണദോഷ വശങ്ങളെ ആപാദചൂഡം കീറിമുറിച്ച് പോസ്റ്റുമോര്‍ട്ടം നടത്താനല്ല ഞാന്‍ തുനിയുന്നത്,മറിച്ച് നമ്മള്‍ അദ്ധ്യാപകര്‍ക്ക് ഇനി എന്തൊക്കെ ചെയ്യാം എന്നതിനാണ് പ്രാധാന്യം നല്കിയിരിക്കുന്നത്.

പോയന്റ് 0:
ഏതൊരു പാഠഭാഗവും ഒരു പ്രവര്‍ത്തനത്തിലൂടെ തുടങ്ങുക എന്ന തത്വം ഈ അദ്ധ്യായത്തില്‍ ലംഘിച്ചിരിക്കുന്നതായി കാണുന്നു. കുട്ടികള്‍ക്ക് വളരെയധികം താല്പര്യമുള്ള ടാന്‍ഗ്രാം നിര്‍മ്മിച്ചു കൊണ്ട് ഈ അദ്ധ്യായം ആരംഭിച്ചാല്‍ ബഹുഭുജം (polygon) എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് കുട്ടി തന്നെ എത്തിച്ചേരും. ഉത്തല അവതല ബഹുഭുജം (convex, concave polygon) എന്ന ആശയം വളരെ എളുപ്പം വ്യക്തമാക്കാനാകും. ടാന്‍ഗ്രാം എന്ന കളിയുടെ ചരിത്രവും കുട്ടികള്‍ക്ക് ഹൃദ്യമായേനെ

പോയന്റ് 1:
അദ്ധ്യായം തുടങ്ങുന്നതിനു മുമ്പ് അതിന്റെ തലക്കെട്ടിനെ കുറിച്ച് ഒരു ലഘു വിവരണം നല്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ്. polygon എന്ന വാക്കിന്റെ ഉത്ഭവം അറിയുക എന്നത് കുട്ടിയുടെ അറിവിലേക്ക് അത്യന്താപേക്ഷിതമാണ്. ത്രികോണം, ചതുര്‍ഭുജം, പഞ്ചഭുജം എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിച്ച് പൊതുവായ പേര് Polygon എന്നു നല്കിയിരിക്കുന്നതാണ് പുതിയ പുസ്തകത്തിലെ സമീപനം. ശരാശരിയില്‍ പെടുന്നവര്‍ക്കും അതില്‍ താഴെ വരുന്നവര്‍ക്കും വിശപ്പടക്കാനുള്ളതായി. എന്നാല്‍ gifted എന്നു ഓമനപ്പേരിട്ടിരിക്കുന്ന വിഭാഗത്തിന് വിശപ്പ് തുടര്‍ന്നു കൊണ്ടേയിരിക്കും. ഈ വിഭാഗത്തെ അവഗണിക്കുന്നത് നമ്മള്‍ ചെയ്യുന്ന മഹാപാപമാണെന്നു ഞാന്‍ കരുതുന്നു. അതിനാല്‍ ഇവര്‍ക്കു നാം ബലവത്തായ ആശയം Polygon നെ സംബന്ധിച്ച് നല്കേണ്ടതാണ്. മാത്രമല്ല ഈ പാഠഭാഗം ഒമ്പതാം ക്ലാസ്സോടെ അവസാനിക്കുകയാണല്ലോ.

പോയന്റ് 2:
Polygon കളുടെ ത്രികോണീകരണം എന്ന ഭാഗത്ത് എന്തു കൊണ്ട് ത്രികോണം മാത്രം എന്ന ഒരു ചോദ്യത്തിന് പ്രസക്തിയില്ലേ ? എട്ടാം ക്ലാസ്സ് മുതല്‍ ത്രികോണത്തിനു നല്കിയിരിക്കുന്ന അമിത പ്രാധാന്യം ചില കുട്ടികളെങ്കിലും തിരിച്ചറിഞ്ഞിരിക്കും. ഒരു ത്രികോണത്തെ നിയന്ത്രിക്കാന്‍ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് 6 ഘടകങ്ങള്‍ മതി എന്നതാണ് ഇതിന് ഒരു കാരണമെന്നു കൂടി വ്യക്തമാക്കാമായിരുന്നു.

പോയന്റ് 3:
പോയന്റ് 0 ല്‍ കണ്ട ടാന്‍ഗ്രാം എന്ന പ്രക്രിയയിലൂടെ ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണവും ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വേഗത്തില്‍ സ്ഥാപിച്ചെടുക്കാം. ഇതിലൂടെ ആകെ ഉള്‍ക്കോണുകളുടെ തുക കുട്ടി തന്നെ കണ്ടെത്തിക്കൊള്ളും.

പോയന്റ് 4:
ഗണിതത്തെ ജീവിതഗന്ധിയാക്കുക എന്ന തത്വം ഈ അദ്ധ്യായത്തില്‍ പാടെ അവഗണിക്കപ്പെട്ടതായി കാണുന്നു. എന്തിനാണ് ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ ഉള്‍ക്കോണുകളുടെ തുകയും ബാഹ്യകോണുകളുടെ തുകയും കാണുന്നത് എന്ന കുട്ടിയുടെ ചോദ്യം ന്യായമല്ലേ ? നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങള്‍ നമുക്ക് ചുറ്റിലും ഉണ്ട്. എറണാകുളം നഗരത്തിലെ ചില ഫ്ലാറ്റുകളില്‍ ഷഡ്ഭുജാകൃതിയിലുള്ള ഹെലിപാഡുകള്‍ ഉണ്ട്. അതു നിര്‍മ്മിച്ച എഞ്ചിനീയര്‍ എന്തൊക്കെ കാര്യങ്ങള്‍ കണക്കിലെടുത്തിട്ടുണ്ടാകും എന്ന ഒറ്റ ചോദ്യത്തിലൂടെ ഇത് നമുക്ക് വ്യക്തമാക്കാം.

പോയന്റ് 5:
പേജ് 15 ല്‍ നല്കിയിട്ടുള്ള സൈഡ് ബോക്സില്‍ കൊടുത്തിട്ടുള്ള പ്രവര്‍ത്തനം ഒരു ഫ്ലാനല്‍ ബോര്‍ഡും കുറച്ചു ചരടുകളുമുണ്ടെങ്കില്‍ ക്ലാസ്സില്‍ വ്യക്തമാക്കി കാണിച്ചു കൊടുക്കാം. ഈ പ്രവര്‍ത്തനം വളരെ യോജിച്ചതും പുതുമയുള്ളതുമായി എന്നതില്‍ തര്‍ക്കമില്ല.

പോയന്റ് 6:
പേജ് 17 ല്‍ നല്കിയിട്ടുള്ള വൃത്തവും സമബഹുഭുജങ്ങളും എന്ന ഭാഗം കുറച്ചുകൂടി വ്യക്തതയോടെ വിശദമായി നല്കേണ്ടതായിരുന്നു. ഇത് കുട്ടികള്‍ക്ക് ബഹുഭുജത്തേയും നിര്‍മ്മിതികളേയും കുറിച്ച് ധാരണയുണ്ടാക്കുമായിരുന്നു. മാത്രമല്ല “Ten men in one”എന്നറിയപ്പെട്ടിരുന്ന പ്രസിദ്ധ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലിയാനാര്‍ഡോ ഡാവിഞ്ചി തന്റെ പെയിന്റിങ്ങുകള്‍ക്ക് ബഹുഭുജനിര്‍മ്മിതി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു എന്നത് സൂചിപ്പിച്ചാല്‍ നന്നായിരുന്നു.

പോയന്റ് 7:
ചോദ്യങ്ങളുടെ എണ്ണം ഇത്ര കുറക്കേണ്ടിയിരുന്നോ എന്നൊരു സംശയം തോന്നി. മാത്രമല്ല വ്യത്യസ്തതയുള്ള
കുറച്ചു ചോദ്യങ്ങള്‍ കൂടി നല്കാമായിരുന്നു.

Conclusion
ഇത്രയും കാര്യങ്ങള്‍ ഞാന്‍ ഈ ബ്ളോഗിന്റെ പ്രിയപ്പെട്ട സന്ദര്‍ശകര്‍ക്കു മുമ്പില്‍ സമര്‍പ്പിക്കുന്നു. സൃഷ്ടിപരമായ യോജിപ്പുകളും വിയോജിപ്പുകളും പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

ഇനി 7 ചോദ്യങ്ങള്‍
താഴെ പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് ഉത്തരം നല്കുന്ന വിദ്യാര്‍ത്ഥികളായ കൂട്ടുകാര്‍ക്ക് എന്റെ വക ഒരു സമ്മാനം (Mathematical Gift) വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

  1. Three regular polygons have one vertex in common and just fill the whole space at that vertex. If the number of sides of the polygons are a, b and c , prove that 1/a + 1/b + 1/c = 1/2
  2. For a convex hexagon ABCDEF given that AB | | DE , BC | | EF, CD | | FA , AE = BD , BF = CE and CA = DF . Can you prove that all the vertices of this hexagon lie on a circle ?
  3. What is the maximum number of acute angles in an octagon ?
  4. Let S be the sum of the interior angles of a polygon for which each interior angles is 15/2 times the exterior angles at the same vertex . Show that S is 2700degree . Must P regular ? Why ?
  5. The picture illustrates a regular hexagon with the side length equal to √3
    Quadrilaterals XABC and QPXR are squares . What is the area of the shaded
    triangle CPS ?

  6. A pentagon with area 40 unit has equal sides but not necessarily equal angles .The sum of the 5 distances from a point inside the pentagon to the sides of the pentagon is 16. Find the side lengths of the pentagon.
  7. Can you inscribe a regular heptagon in a circle ? Try it ?

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in ശാസ്ത്രം, Maths IX. Bookmark the permalink.

51 Responses to STD IX – ബഹുഭുജങ്ങള്‍ (ഒരു അവലോകനം)

  1. ഭിന്ന നിലവാരക്കാരായ കുട്ടികളെ സമീപിക്കുന്നു എന്ന ഗുണം ഇതിലുണ്ട്. പിന്നോക്കം നിൽക്കുന്നകുട്ടികളെ അവഗണിക്കുന്നതാണല്ലോ അധിക പാപം.

  2. “പത്താം ക്ലാസിലെ പുസ്തക നിര്‍മാണം ഉടനെ ആരംഭിക്കും. ഇതു ജനകിയമാക്കാന്‍ മാത്സ്ബ്ലോഗ് ഉപയോഗിച്ചാലോ? നിലവിലുള്ള പുസ്തകങ്ങളിലെ പോരായ്മകള്‍, പുതിയ പുസ്തകത്തില്‍നിന്നു പ്രതീക്ഷിക്കുന്നത് എന്നിവയെക്കുറിച്ചെല്ലാം ചര്‍ച്ചകള്‍ ആവാം”
    കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ ഒരുമാസം മുമ്പ് മാത്​സ് ബ്ലോഗിനയച്ച മെയിലില്‍ നിന്നുള്ള ഒരു ഭാഗമാണ് മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത്.
    കമന്റു ചെയ്യുന്നവര്‍ ഇതു കൂടി പരിഗണിക്കണേ…

  3. Swapna John says:

    ഒന്നാം അധ്യായത്തെ എല്ലാ കോണുകളില്‍ നിന്നും ശ്രദ്ധാപൂര്‍വ്വം കീറിമുറിക്കാന്‍ ഹരിഗോവിന്ദ് സാര്‍ ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ട്. പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളുടെ കുറവ് വലിയൊരു കുറവ് തന്നെയാണ്. പക്ഷെ മുന്‍ ടെക്സ്റ്റ് ബുക്കിലോ. ചോദ്യങ്ങളുടെ ആധിക്യം നമ്മെ ചെറുതായൊന്നുമല്ല ശ്വാസം മുട്ടിച്ചത്.

  4. Sankaran mash says:

    പാഠപുസ്തകത്തില്‍ വെബ്പജുകളുടെ ലിങ്കുകള്‍ കൊടുത്തത് നന്നായി. ഐ.സി.ടി സാധ്യത പ്രയോജനപ്പെടുത്താന്‍ അത് സഹായിക്കും. പക്ഷെ വിക്കി പോലുള്ള പേജുകളുടെ ലിങ്കുകള്‍ എന്തു ധൈര്യത്തിലാണ് ഏതാണ്ട് 5 വര്‍ഷത്തോളം ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്ന പാഠപുസ്തകത്തില്‍ കൊടുക്കുക. ആര്‍ക്കും എപ്പോള്‍ വേണമെങ്കിലും എഡിറ്റ് ചെയ്യാന്‍ കഴിയുന്ന ഒന്നാണ് വിക്കി.

  5. മുന്‍പോസ്റ്റിലൊരിടത്ത് ഇട്ട കമന്‍റ് സന്ദര്‍ഭോചിതമായി വീണ്ടും പോസ്റ്റ് ചെയ്യുന്നു.

    ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ ഒന്നാം പാഠം ക്ലാസില്‍ അവതരിപ്പിച്ചു തുടങ്ങി. ചോദ്യങ്ങളുടെ അമിതപ്രസരം എന്ന ഒറ്റക്കാരണം കൊണ്ടു തന്നെ കഴിഞ്ഞ ടെക്സ്റ്റ് ബുക്കിനോട് അധ്യാപകര്‍ക്ക് അത്രയൊന്നും താല്പര്യം ഉണ്ടായിരുന്നില്ലായെന്നുള്ളതാണ് (?) എന്‍റെ അറിവ്. നിശ്ചിത സമയപരിധിക്കുള്ളില്‍ നിന്നുകൊണ്ട് പാഠഭാഗങ്ങളെ കുട്ടികളിലേക്കെത്തിക്കുന്നതിന് ഈ ചോദ്യപ്പെരുമഴ പലപ്പോഴും കാലതാമസം വരുത്തിയിരുന്നുവെന്നുള്ളത് എന്‍റെ കൂടി ഒരു പരാതിയാണ്.

    പക്ഷെ ഇത്തവണ അവതരണരീതിയില്‍ പലയിടത്തും പുതുമയുണ്ട്. ഇപ്പോഴാണ് പാഠപുസ്തകം കുട്ടിയോട് സംസാരിച്ചു തുടങ്ങിയതെന്നാണ് എന്‍റെ അഭിപ്രായം. പ്രത്യേകിച്ച് ത്രികോണത്തില്‍ നിന്ന് ചതുര്‍ഭുജത്തിന്‍റെ വിസ്തീര്‍ണത്തിലേക്ക് – അവിടെ നിന്ന് വീണ്ടും ത്രികോണസഹായത്തോടെ പഞ്ചഭുജത്തിന്‍റെ വിസ്തീര്‍ണം… ഐ.സി.ടി സാധ്യത ഇവിടെയാണ് നമുക്ക് പരമാവധി വിനിയോഗിക്കാനാവുക.

    സൈഡ് ബോക്സുകള്‍ പരമാവധി കുട്ടിയെയും അധ്യാപകനെയും സഹായിക്കുന്നുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന് 14, 15 പേജുകളിലെ ‘ഈര്‍ക്കില്‍ക്കണക്കും’, ചുരുങ്ങിച്ചുരുങ്ങി’ എന്നീ തലക്കെട്ടുകളോടെ അവതരിപ്പിക്കപ്പെട്ടവ. ബാഹ്യകോണുകളുടെ തുകയില്‍ നിന്നും ഒരു ബിന്ദുവിനു ചുറ്റുമുള്ള കോണുകളുടെ തുകയിലേക്കെത്തുന്നത് കുട്ടിക്ക് സ്വയം പരീക്ഷണങ്ങള്‍ക്ക് വക നല്‍കുന്നു. 8-ം തരത്തിലെ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ വിശദീകരണങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍ ഉത്തരം നല്‍കാതെ ചോദ്യങ്ങള്‍ മാത്രമാണ് നല്‍കിയിരുന്നതെങ്കില്‍ ഇത്തവണ ചോദ്യത്തോടൊപ്പം പലയിടത്തും ഉത്തരങ്ങള്‍ കൂടി നല്‍കിയിരിക്കുന്നത് നാവുപിഴയൊഴിവാക്കാന്‍ ഇടനല്‍കുമെന്നതുകൊണ്ടുതന്നെ സ്വാഗതാര്‍ഹമാണ്. അനാവശ്യമായി ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍ ‘ലൈഫ് സിറ്റ്വേഷനുകള്‍’ കുത്തിത്തിരുകല്‍ പ്രവണത ഒഴിവാക്കാനുള്ള ശ്രമം ഇത്തവണ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടെന്ന് ആദ്യപാഠത്തെ മുന്‍നിര്‍ത്തി സധൈര്യം പറയാം. ഉള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ നേരിട്ടുള്ളവയാണ്.

  6. bhama says:

    ഹരിഗോവിന്ദ് സാര്‍ പറഞ്ഞതു പോലെ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളുടെ കുറവ് വലിയൊരു കുറവ് തന്നെയാണ്. പക്ഷെ മുന്‍ ടെക്സ്റ്റ് ബുക്കിലെ ചോദ്യങ്ങളുടെ ആധിക്യം അധ്യാപകരേയും വിദ്യാര്‍ഥികളേയും ഒരുപോലെ ശ്വാസം മുട്ടിച്ചിരുന്നില്ലേ.

    പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളുടെ കുറവ് അധ്യാപകര്‍ക്ക് നികത്താവിന്നതല്ലേ. കുട്ടികളുടെ നിലവാരമനുസരിച്ചുള്ള പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തി നല്കാമല്ലോ. അധ്യാപകര്‍ അതിനുള്ള സമയം കണ്ടെത്തണം എന്നു മാത്രം.

  7. മുന്നോക്കക്കാര്‍ സ്വയം തേടിപ്പിടിക്കാന്‍ കഴിവുള്ളവരായിരിക്കും.പിന്നോക്കകാരെ ഒരു കാരണവശാലും ഒഴിവാക്കാന്‍ പറ്റില്ല .ഹരി ഗോവിന്ദ് സാറിന്റെ അവലോകനം നന്നായി. എന്നാലും ……
    ചോദ്യങ്ങളും ഗിഫ്റെട് നെ മാത്രം ഉദ്ടെസിച്ചതായി തോന്നി .(നിസ്സാര ചോദ്യങ്ങള്‍ ചോദിച്ചാല്‍ ഗിഫ്റെട് പെട്ടെന്ന് ഉത്തരം വിളിച്ചോതി സമ്മാനം വാങ്ങിക്കുമല്ലോ ?, എളുപ്പം ചോദിക്കാനും വഴിയില്ല )പിന്നോക്കം നില്‍കുന്ന വര്‍ക്ക് വേണ്ടി സാറിന്റെ കുറച്ചു ചോദ്യങ്ങള്‍ പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്താല്‍ നന്ന്.(സമ്മാനം വാഗ്ദാനം ചെയ്യേണ്ട.
    congratulations HARIGOVIND SIR.

  8. Anjana says:

    ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ ഒന്നുകൂടി എഡിറ്റ്‌ ചെയ്യേണ്ടിയിരിക്കുന്നു. ചിത്രങ്ങളും കാണുന്നില്ല

  9. Krishnan says:

    ഹരിഗോവിന്ദ് മാഷിന്റെ ഒന്നാം ചോദ്യത്തെക്കുറിച്ച് ഇതുകൂടി:
    a, b, c ഇവ എണ്ണല്‍സംഖ്യകളായതിനാല്‍ ആകെ 10 ഉത്തരങ്ങളേയുള്ളു. മറ്റൊരു രസം എന്താണെന്നുവച്ചാല്‍, വ്യാപ്തവും ഉപരിതലപരപ്പളവും ഒരേ സംഖ്യ ആയ ചതുരസ്തംഭങ്ങളുടെ അളവുകള്‍ കണ്ടൂപിടിക്കാനും ഇതേ സൂത്രവാക്യം തന്നെയാണ്‌ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതല്‍ അറിയാന്‍ ഇവിടെ നോക്കുക

  10. Krishnan says:

    വിക്കിപീഡിയയെക്കുറിച്ചുള്ള ശങ്കരന്‍ മാഷിന്റെ ആശങ്കയെക്കുറിച്ച്: കച്ചവടത്തിന്റേതായ ഒരു കാലഘട്ടത്തില്‍, അറിവുപോലും സ്വകാര്യസ്വത്താക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍, വിക്കിപീഡിയ പോലുള്ള കൂട്ടായ്മയുടെ വിജയങ്ങള്‍ നാം ആഘോഷിക്കണ്ടേ? ഇത്തരം സംരംഭങ്ങളെ സഹായിക്കുക എന്നത് ഒരു സന്ദേശവും ഒരു പ്രതിരോധവും ആണ്.

    ആര്‍ക്കും മാറ്റം വരുത്താവുന്നതാണെങ്കിലും വിക്കിപീഡിയയുടെ ആധികാരികതെയെക്കുറിച്ച് ഇതുവരെ ആരും സംശയമൊന്നും പറഞ്ഞിട്ടില്ല. മറിച്ച്,
    Encyclopedia Britannica യെക്കാള്‍ ആധികാരികതയുണ്ടെന്ന് ചില പഠനങ്ങള്‍ സൂചിപ്പിക്കുന്നു,

    ഓരോ വിഷയത്തിലും കാലക്രമത്തിലുണ്ടാകുന്ന മാറ്റങ്ങള്‍ വിക്കിപീഡിയയിലും പ്രതിഫലിക്കും. ഇതു നല്ലതല്ലേ? പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ അഞ്ചുവര്‍ഷക്കാലാവധിയില്‍ അറിവ് നിശ്ചലമാകില്ലല്ലോ!

  11. സ്കൂളിലെ ഐ.ടി. കോര്‍ഡിനേറ്റര്‍മാരെ (സ്ഥലം മാറ്റം മൂലമല്ലാതെ) ഓരോ വര്‍ഷവും മാറ്റുന്നതിനുള്ള പ്രൊവിഷന്‍ നിലവിലുണ്ടോ?
    ഇക്കാര്യത്തെ സംബന്ധിച്ച് എന്തങ്കിലും സര്‍ക്കുലര്‍ ഉണ്ടോ? നടപടിക്രമം വിശദീകരിക്കാമോ?
    ശ്രീജിത്ത് മുപ്ലിയം

  12. This comment has been removed by the author.

  13. Anjana says:

    ഗായത്രീ, ആദ്യത്തെ ചോദ്യത്തില്‍ മൂന്നു regular polygons – ന്റെയും പൊതു ശീര്‍ഷം V എന്ന് കരുതുക. V – ല്‍ മൂന്നു regular polygons – ന്റെയും interior angles കൂട്ടി യാല്‍ 360 degree ആണ്. ( …just fill the whole space at that vertex എന്നതുകൊണ്ട്‌ ഉദ്ദേശിച്ചത് ഇതായിരിക്കാം ) ഇനി ഇത് ചെയ്യാമല്ലോ?

    രണ്ടാമത്തെ ചോദ്യത്തില്‍ AB parallel to DE , BC parallel to EF, CD parallel to FA എന്നായാല്‍ അതും ചെയ്യാം.

    ചോദ്യം ഇത്ര നേരമായിട്ടും തിരുത്താത്തതും ചിത്രം ചേര്‍ക്കാത്തതും എനിക്ക് മനസ്സിലാകുന്നില്ല! പ്രശ്നം നമുക്ക് രണ്ടുപേര്‍ക്കും മാത്രമാണോ?

  14. ഹരിഗോവിന്ദ് സാര്‍ മെയില്‍ ചെയ്തു തന്ന ചിത്രം ചേര്‍ത്തിട്ടുണ്ട്. ഓര്‍മ്മപ്പെടുത്തലിനോടൊപ്പമുള്ള ചൂടു കണ്ട് സത്യത്തില്‍ പടം വരയ്ക്കാന്‍ ജിയോജിബ്രയെ ആശ്രയിച്ചില്ല. പെട്ടന്ന് തന്നെ അതങ്ങ് അപ്‍ലോഡ് ചെയ്തു. ചോദ്യകര്‍ത്താവിന്‍റെ അനുവാദം കിട്ടിയാലുടന്‍ തിരുത്തലും നടത്താം.

  15. This comment has been removed by the author.

  16. Anjana says:

    ശ്രീ ഹരി സാര്‍,
    sorry , ചൂടായിട്ടൊന്നുമില്ല, (അങ്ങനെയൊരു സ്വഭാവവുമില്ല) പ്രോബ്ലെംസ് ചെയ്യാന്‍ ശ്രമിച്ചവരൊക്കെ ഉഴലുന്നതു കണ്ടപ്പോള്‍ പെട്ടെന്ന് അങ്ങനെ എഴുതിപ്പോയി. വേണ്ടായിരുന്നു എന്ന് ഇപ്പോള്‍ തോന്നുന്നു. Really sorry.

  17. അഞ്ജന ടീച്ചര്‍,

    ഇത്രയും ആത്മാര്‍ത്ഥയും വിഷയപരിജ്ഞാനവുമുള്ള അഞ്ജന ടീച്ചര്‍ ഞങ്ങള്‍ക്കെന്നും ഒരു ധൈര്യമാണ്. 2000ലധികം ഹിറ്റുകളുള്ള ബ്ലോഗായിട്ടും ഈ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് ഉത്തരമെഴുതാനുള്ള ധൈര്യമോ ആര്‍ജ്ജവമോ പലരും കാട്ടാത്തതിലുള്ള ഒരു ഖേദം മറ്റൊരു വശത്തുണ്ടെന്നുള്ളത് വാസ്തവം. അഞ്ചാം ചോദ്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ചിത്രം ഉള്‍പ്പെടുത്താനാവശ്യപ്പെട്ടിട്ടും ബ്ലോഗ് ടീം മുന്നോട്ട് വരാതിരുന്നതിനോട് ഏറ്റവും മനോഹരമായ ഭാഷയില്‍ത്തന്നെയാണ് അഞ്ജന ടീച്ചര്‍ പ്രതികരിച്ചിരിക്കുന്നത്. അത് ഞങ്ങളാസ്വദിക്കുകയും ചെയ്തു. ഇത്രയേറെ സഹകരണമുള്ള നിങ്ങളൊക്കെ എത്ര രൂക്ഷമായ ഭാഷയില്‍ വിമര്‍ശിച്ചാലും അതൊന്നും ഞങ്ങള്‍ക്ക് വിഷമമാകില്ലെന്ന് അറിയിക്കട്ടെ. ഇനിയും സഹായിക്കുക. ചൂണ്ടിക്കാട്ടലുകള്‍ നടത്തുക. ഒരു കുടുംബത്തിലെ അംഗങ്ങളെപ്പോലായ നമുക്ക് sorry, Excuse me എന്നീ പദങ്ങള്‍ മാത്‍സ് ബ്ലോഗിലെങ്കിലും കഴിവതും ഒഴിവാക്കാന്‍ ശ്രമിക്കാം

  18. JOHN P A says:

    അന്തര്‍വ്യത്തവും പരിവ്യത്തവും വരക്കാന്‍കഴിയുന്ന ചില ചതുര്‍ഭുജങ്ങളുണ്ട്.
    bicentric quadrilaterals എന്നു വിളിക്കാം
    വശങ്ങള്‍ a , b , c , d ആയാല്‍
    പരപ്പളവ് root(a*b*c*d) ആയിരിക്കും
    പ്രതികരിക്കുമല്ലോ

  19. This comment has been removed by the author.

  20. Question 1

    Three regular polygons have one vertex in common and just fill the whole space at that vertex. If the number of sides of the polygons are a, b and c , prove that 1/a + 1/b + 1/c = ½

    Explanation

    The sum of all the angles meeting at a vertex has to be 360 degree

    (180-360/a) + (180-360/b) + (180-360/c) =360

    Dividing by 180

    (1-2/a)+(1-2/b)+(1-2/c) = 2

    3 -2/a-2/b-2/c = 2

    3-2 = 2/a+2/b+2/c

    1= 2(1/a+1/b+1/c)
    Therefore

    1/a+1/b+1/c = ½

    For example if we use one ne equilateral triangle, one regular heptagon and one regular polygon with 42 sides

    1/3+1/7+1/42 = 3-2/2 =1/2

    Question 2

    For a convex hexagon ABCDEF given that AB parallel DE , BC parallel EF, CD parallel FA , AE = BD , BF = CE and CA = DF . Can you prove that all the vertices of this hexagon lie on a circle ?

    Here it is given as ABCDEF is a hexagon .Let the mid points of each side be G,H,I,J,K and L join the perpendiculars GJ,HK and LI.

    Join opposite vertices AD,BE and CF.let they meet at a point O .This point falls on the perpendicular bisector of each sides therefore OA=OB=OC=OD=OE=OF.
    From this we can see that all vertices are on a circle centered at O .

    Question 3

    what is the maximum number of acute angles in an octagon ?

    Answer : 3

    Explanation
    Sum of angles in an octagon=(8-2)180
    =8*180 =1080
    If all the 8 angles are acute angled the sum of angles will be less than 720 degree
    Every non acute angled can be represented by 90+x
    Where ‘x’ is an acute angle

    So we have 1080< 90n+720….(1)
    Where n denotes number of non acute angles
    Dividing (1) by 90
    124For that ‘n’ should be minimum of 5

    So number of non acute angled is 5
    There are totally 8 angles in an octagon

    So number of maximum acute angled is 3

    Question 4

    Let S be the sum of the interior angles of a polygon for which each interior angles is 15/2 times the exterior angles at the same vertex . Show that S is 2700degree . Must P regular ? Why ?

    Explanation

    Let the external angle be x then internal angle is 15/2 x
    Since they are linear pairs
    x+15/2 x =180
    17x =360
    x= 360/17

    Number of sides of this polygon =360 / 360/17
    =17

    Sum of angles =(n-2)*180
    =15*180=2700

    All angles are equals in this polygon but here the sides are not equal hence it is not a regular polygon
    Question 6

    A pentagon with area 40 unit has equal sides but not necessarily equal angles .The sum of the 5 distances from a point inside the pentagon to the sides of the pentagon is 16. Find the side lengths of the pentagon.

    Answer : 5 units

    Explanation

    Assume that the side length of the pentagon be ‘s’
    Then

    1/2*s*(a1+a2+a3+a4+a5) = 40 ….(1)

    Here a1+a2+a3+a4+a5 represents sum of perpendiculars from nay points to sides

    (1) is sum of areas of 5 triangles formed with same base length ‘s ‘

    1/2 * s * 16 = 40

    s * 16 =80

    s = 80/16 =5 units

    Question 7

    Can you inscribe a regular heptagon in a circle ? Try it ?

    Explanation

    Yes we can draw . Although the regular heptagon is not constructable using classical techniques, we can construct several central angles angles very close to 360/7 by approximation. A regular heptagon with side 3 and 2/11 can be inscribed in a circle of radius 3 and 2/3 with an error of less than 0.00013%.This follows from a rational approximation of Side to radius ratio 2 sin pie/7 .

  21. This comment has been removed by the author.

  22. Edavanakadan says:

    ഹരിഗോവിന്ദ്മാഷ് സര്‍വ്വീസില്‍ കയറിയിട്ട് രണ്ട് വര്‍ഷം കഴിയുന്നു എന്നാണ് എന്റെ വിശ്വാസം.
    മാഷിനെക്കുറിച്ചുള്ള കമന്ററിയില്‍ ഒന്ന് എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചുകണ്ടു.
    മാത്സ് ബ്ലോഗ് ഒരാളുടെ സര്‍വ്വീസ് കുറക്കുന്നതു ശരിയല്ല.
    എനിക്കാണു തെറ്റുപറ്റിയതെങ്കില്‍ എന്നെ തിരുത്താന്‍ മറക്കേണ്ട.ഗണിത ഒളിമ്പ്യാടിലടക്കം പയറ്റിതെളിഞ്ഞ
    ഹരിഗോവിന്ദ്മാഷിനെ പോലെ ആത്മാര്‍തയും അര്‍പ്പണബോധവും കഴിവുമുള്ള ധാരാളം പേര്‍ ഇനിയും മാത്സ് ബ്ലോഗില്‍ എത്തേണ്ടതായിട്ടുണ്ട്.
    ഹരിഗോവിന്ദ്മാഷ് കൂടുതല്‍ സംഭാവനകള്‍ മാത്സ് ബ്ലോഗില്‍ കൂടി അദ്ധ്യപകര്‍ക്കും വിദ്യാത്ഥികള്‍ക്കും നല്കട്ടെയെന്നാശംസിക്കുന്നു.

  23. Sreekala says:

    ഗായത്രി എല്ലാ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കും നന്നായി ഉത്തരമെഴുതി. ഹരിഗോവിന്ദ് മാഷ്, എന്താണ് ഇതുവരെ ഉത്തരങ്ങള്‍ കറക്ട് ചെയ്യാത്തത്?

  24. @john sir
    (bicentric quadrilaterals)
    in a regular polygon, both centres are same.consider the side is ‘a’,
    the area of a regular polygon is
    (N /4)*a^2*[tan(N-2)*180/2N]
    HERE N =4,
    AREA = a^2 or root(a*a*a*a).

    hope the text book committee (especially KRISHNAN SIR note this point ) include the formula to calculate the area of regular polygons in the X th class next year.
    the calculation of area of regular polygons when ‘length of side is given,number of side is given,apothem(inradius )is given.
    [Area of regular pentagon is 5*a^2*tan 54,AREA OF REGULAR HEXOGON IS 6*a^2*tan 60, etc.]

  25. Manmohan says:

    ഒരു സമബഹുഭുജത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണ് ആകാവുന്ന പരമാവധി വലിയ സംഖ്യ ഏതാണെന്നും അപ്പോള് ലഭിക്കുന്ന ബഹുഭുജം ഏതാണെന്നും കണ്ടെത്താന് അനിയനോട് ടീച്ചര് ആവശ്യപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇന്നു തന്നെ ഉത്തരം തരണം.

  26. എനിക്കത്ഭുതം തോന്നുന്നു. ഒമ്പതാം ക്ലാസിലെ ഒരധ്യായം വിശദമായി വിവരിച്ചു. അതിനു ശേഷം പോരായ്മകളൊ കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകളോ ഉണ്ടെങ്കില്‍ പ്രതികരിക്കാന്‍ ആവശ്യപ്പെട്ടു കൊണ്ട് നല്ലൊരു വിശകലനവും നല്‍കി. അതിനു ശേഷം രണ്ടു ദിവസം കൊണ്ട് 4000 പേരിലധികം വന്നു പോയി. ഒരു സമ്മാനം വാഗ്ദാനം ചെയ്തിട്ടു പോലും ചോദ്യപ്പരീക്ഷയില്‍ ആരും? (ഗായത്രിയെ ഒഴിവാക്കുന്നു)പങ്കെടുത്തില്ല!!!!
    ഗണിതത്തോട് അകല്‍ച്ച് തന്നെയാണോ? അതോ….

  27. എനിയ്ക്ക് ഉത്തരങ്ങളില്‍ പലതും കിട്ടിയില്ല ജനാര്‍ദ്ധനന്‍മാഷേ..
    അതാ പലപ്രാവശ്യം കയറിയിറങ്ങിയിട്ടും കമന്റാഞ്ഞത്!

  28. Ammu says:

    @ Manmohan

    ഒരു സമബഹുഭുജത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണ് ആകാവുന്ന പരമാവധി വലിയ സംഖ്യ 120 ഡിഗ്രി ആണ് അത് ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം ആണ്

  29. Anjana says:

    ശ്രീ ജനാര്‍ധനന്‍ സാര്‍, ഇത് കണ്ടില്ലേ?: “താഴെ പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് ഉത്തരം നല്കുന്ന വിദ്യാര്‍ത്ഥികളായ കൂട്ടുകാര്‍ക്ക് എന്റെ വക ഒരു സമ്മാനം (Mathematical Gift) വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

    ഇനി ഗായത്രിയുടെ ഉത്തരങ്ങള്‍ക്കു ചില അടിക്കുറിപ്പുകള്‍:

    ഒന്നാമത്തെ ചോദ്യത്തിന് കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ സൂചിപ്പിച്ച പത്തു വിലകള്‍:
    (a,b,c) = (3,7,42), (3,8,24), ( 3,9,18), (3,10,15), (3,12,12), (4,5,20), (4,6,12), (4,8,8), (5,5,10), (6,6,6)

    മൂന്നാമത്തെ ചോദ്യത്തില്‍ Octagon – നു മാത്രമായി ഒരുത്തരമില്ല.
    ഏതു ബഹുഭുജതിനും ഇത് ശരിയാകും. ഉദാഹരണത്തിന് ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം n എന്നെടുക്കുക . Acute angles -ന്റെ എണ്ണം m എന്നും കരുതുക. അപ്പോള്‍
    ബഹുഭുജത്തിന്റെ ഉള്‍കോണുകളുടെ തുക
    (n-2)180 ആണെന്നറിയാം.Acute angles – ന്റെയും അല്ലാത്തവയുടേയും (least) upper bound – കള്‍ പരിഗണിച്ചാല്‍ നമുക്ക് ഇനി പറയുന്ന inequality ലഭിക്കും :

    (n-2)180 < m 90+ (n-m) 180 ഇത് ലഘൂകരിച്ചാല്‍ m < 4 എന്ന് കിട്ടും. ഇതിനര്‍ത്ഥം m -ന്റെ പരമാവധി വില 3

  30. Manmohan says:

    അമ്മു ടീച്ചര്,

    ഉത്തരത്തിന് നന്ദി. എന്റെ മനസ്സില് ഇങ്ങനെയൊന്നും വന്നില്ല. അതാണ് ചോദ്യം പോസ്റ്റ് ചെയ്തത്.

  31. Anjana says:

    I think the picture related to problem 5 should be like THIS

  32. അഞ്ജന ടീച്ചര്‍,

    ഹരിഗോവിന്ദ് സാറിനോട് ഈ ചിത്രം നോക്കാനാവശ്യപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. ഇതില്‍ നിന്ന് വ്യത്യാസമുണ്ടാകാനിടയില്ല എന്നു തന്നെയാണ് എന്റെ ചിന്തയും. ഗായത്രിയുടെ ഉത്തരങ്ങള്‍ കണ്ടുവെന്നും സാറിന്‍റെ വക പ്രത്യേക അഭിനന്ദനങ്ങള്‍ അറിയിക്കാനും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. (മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ ഗിഫ്റ്റിന്‍റെ കാര്യം ഓര്‍മ്മിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്.) ബ്ലോഗിങ് രീതികള്‍ സാറ് പഠിച്ചു വരുന്നതേയുള്ളു. സദയം സഹകരിക്കുമല്ലോ.

  33. This comment has been removed by the author.

  34. Anjana says:

    This comment has been removed by the author.

  35. Anjana says:

    This comment has been removed by the author.

  36. Anjana says:

    Gayathri,let me give some hints now and the full answer later

    Though from the figure it appears that B and Q are midpoints of the respective sides, while solving the problem I came to know that they are not so.The equal squares starting from R and A should meet at X. So the side of the square need not be (sqrt(3))/2. In fact it is 1. Anyway I believe that I now got the solution and my answer is
    (5 – sqrt(3))/ 4.
    I will post the detailed solution as soon as I get time to type the details ( most probably by today night)

    I write this now in a hurry, reading your final remarks!

  37. This comment has been removed by the author.

  38. This comment has been removed by the author.

  39. Anjana says:

    Gayathri, here is my answer:

    FIGURE

    The side of the hexagon is sqrt(3).

    So the width ( GD) of the hexagon is
    sqrt(3) x sqrt(3) = 3

    From the right angled triangle ADX, we get,
    Cos 30 = AD / AX

    This implies AX = (AD / Cos 30 )
    = [(sqrt(3))/2] / [(sqrt(3))/2] = 1

    Again, Sin 30 = DX / AX

    This implies DX = ½

    Since the side of the equilateral triangle XCP is 1 its altitude EX = (sqrt(3))/2

    The altitude of the triangle CPS is SF, which is the same as GE (see figure)

    But GE = GD – [DX + EX] = 3 – [1/2 + (sqrt(3))/2]
    = ( 5 -(sqrt(3)) /2

    Finally, area of the triangle CPS
    = (1/2) x Base x Height

    = (1/2) x 1 x ( 5 -(sqrt(3)) /2

    = ( 5 -(sqrt(3)) /4

  40. This comment has been removed by the author.

  41. SHAHRAZAD says:

    @ ANAJANA TEACHER

    I HAVE A DOUBT

    HOW THE AITITUDE OF THE TRIANGLE PCX CAME ON THE LINE GD?

  42. Anjana says:

    Ruby,
    Note that PCX is an equilateral triangle and its altitude is just the length of any of its median.

  43. Anjana Tr, Gayathri, Philip Sir,

    നിങ്ങള്‍ക്ക് ഒരു മെയില്‍ അയച്ചിട്ടുണ്ട്. കണ്ടിരുന്നോ?

  44. RUBY says:

    This comment has been removed by the author.

  45. SHAHRAZAD says:

    Sorry to desturbing again.
    But my doubt is, how can we say that the line GD will always goes through the median of the equillatoral triangle PCX.

    OR Will “GD” will always goes through “X” ?

  46. Anjana says:

    Ruby,
    Width of a regular hexagon is the (perpendicular) distance between (any ) two parallel sides. Here D and G are mid-points of the respective sides and DG is equal to the width of the hexagon. In this question we take DG in such a way that it coincides with the median XE. This is for our convenience. Don’t be under the impression that the width can be measured only in the way we did here.

  47. This comment has been removed by the author.

  48. SHAHRAZAD says:

    The width is perpendicular and coinside with the median at the same time.

    Is it possible?

    I mean either we draw it as perpenducular or coinside with the median.
    Is it possible the two conditions at the same time?

  49. Anjana says:

    Ruby,
    Width of a regular hexagon is the (perpendicular) distance between (any ) two parallel sides. If you join S and A it also represents the width of the hexagon. You can imagine that the line segment SA is pushed and placed over the median; where we draw the width is our convenience.

  50. SHAHRAZAD says:

    Thank you Anjana Teacher

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s