തേനീച്ചക്കൂടിന് ഈ ആകൃതി എന്തുകൊണ്ട് ?

ഈ വര്‍ഷം മാറിവരുന്ന ഒമ്പതാം ക്ലാസ്സിലെ ഗണിതപുസ്തകത്തിലെ ആദ്യ യൂണിറ്റായ ‘ബഹുഭുജങ്ങള്‍ ‘ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ടുള്ള ജോണ്‍മാഷിന്റെ പോസ്റ്റ് കഴിഞ്ഞയാഴ്ച പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത് കണ്ടുകാണുമല്ലോ..! അതില്‍ നിന്നും പ്രചോദനമുള്‍ക്കൊണ്ടുകൊണ്ട് തത്സംബന്ധമായ ചില പ്രയോജനകരമായ പഠനക്കുറിപ്പുകള്‍ അയച്ചുതന്നിരിക്കുകയാണ്, പേരു വെളിപ്പെടുത്താനാഗ്രഹിക്കാത്ത ഒരധ്യാപകന്‍.ഇതിലെ പട്ടികകള്‍ കുട്ടികള്‍ പൂരിപ്പിക്കലായിരിക്കും ഉചിതമെന്നു തോന്നുന്നു. വായിച്ചാല്‍ മാത്രം പോരാ, കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ പങ്കുവെക്കുക കൂടി വേണം. ഇനി വായിക്കുക….

പ്രകൃതിയിലെ എന്‍ജിനീയര്‍മാരാണ് തേനീച്ചകള്‍. തേനീച്ചക്കൂടിന്റെ പ്രത്യേകത എന്താണെന്നറിയാമോ?
അതിന്റെ എല്ലാ അറകളും സമഷഡ്ഭുജാകൃതിയിലാണ് . ഇത് എന്തു കൊണ്ടാണ്?
നമുക്കൊന്ന് പരിശോധിക്കാം .
താഴെ കൊടുത്ത പ്രവര്‍ത്തനം ഒന്ന് ചെയ്തു നോക്കാം.

ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള ഏതാനും ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം കാണുക .
ചുവടെ കൊടുത്ത പട്ടിക പൂരിപ്പിക്കുക

നിഗമനം :—ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള ത്രികോണങ്ങളില്‍ , സമഭുജത്രികോണത്തിനാണ് ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ വിസ്തീര്‍ണ്ണം
നിഗമനം :—ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള ചതുര്‍ഭുജങ്ങളില്‍ , സമചതുരത്തിനാണ് ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ വിസ്തീര്‍ണ്ണം
പൊതുനിഗമനം:- ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളില്‍ , സമബഹുഭുജത്തിനാണ് ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ വിസ്തീര്‍ണ്ണം.

ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം. ചുവടെ, ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള , ഏതാനും ബഹുഭുജങ്ങള്‍ തന്നിരിക്കുന്നു. പട്ടിക പൂരിപ്പിക്കുക.
നിഗമനം :-ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളില്‍ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുംതോറും വിസ്തീര്‍ണ്ണവും കൂടുന്നു.
ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ വിസ്തീര്‍ണ്ണം ലഭിക്കുക വൃത്തത്തിനാണ്.
പിന്നെ എന്തുകൊണ്ട് തേനീച്ചകള്‍ അവയുടെ അറകള്‍ വൃത്താകൃതിയില്‍ ഉണ്ടാക്കുന്നില്ല? നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം.

താഴെ കൊടുത്ത പട്ടിക ശ്രദ്ധിക്കൂ.
ഇനി ഒരു ചോദ്യം:-ഒരു ബിന്ദുവിനു ചുറ്റുമുള്ള കോണുകളുടെ അളവുകളുടെ തുക എത്ര?

ഇനി ചുവടെ കൊടുത്ത ചിത്രം നോക്കൂആറ് സമബഹുഭുജത്രികോണങ്ങള്‍ ഒരു ബിന്ദുവിനു ചുറ്റും വെച്ചിരിക്കുന്നു.
അവയ്ക്കിടയില്‍ സ്ഥലം തീരെ പാഴാകുന്നില്ല എന്ന് കാണാം.എന്തുകൊണ്ടാണ് ആറ് ത്രികോണങ്ങള്‍ ഇങ്ങനെ കൃത്യമായി വെക്കാന്‍ കഴിയുന്നത്?
(കാരണം ഒരു സമഭുജതിക്കോണത്തിന്റെ ഒരു കോണ്‍ അറുപത് ഡിഗ്രി ആണ്. ഇത് 360ന്റെ ഘടകമാണ്) 6×60=360

ഇത്പോലെ സമചതുരങ്ങള്‍ ക്രമീകരിക്കാന്‍ കഴിയുമോ?

നാല് ചതുരങ്ങള്‍ വെക്കാം, എന്തുകൊണ്ട്? (കാരണം ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു കോണ്‍ തൊണ്ണൂറു ഡിഗ്രി ആണ്. ഇത് 360ന്റെ ഘടകമാണ്) 4×90=360
ഇത്പോലെ പഞ്ചഭുജങ്ങള്‍ ക്രമീകരിക്കാന്‍ കഴിയുമോ?


കഴിയില്ല എന്ന് കാണാം. (ഒരു സമ പന്ചഭുജത്തിന്റെ ഒരു കോണ്‍ 128.57 ആണ്,ഇതുഹ് 360ന്ടെ ഘടകമല്ല.)

ഇനി സമഷട്ഭുജം ക്രമീകരിക്കാന്‍ പറ്റുമോ എന്ന് നോക്കൂ?


സമഷട്ഭുജത്തിന്റെ ഒരു കോണ്‍ 120 ഡിഗ്രി ആയത് കൊണ്ട് ക്രമീകരികാന്‍ കഴിയുമെന്ന് കാണാം.
ഇനി അങ്ങോട്ടുള്ള ഏതൊരു സമബഹുഭുജവും ഈ വിധത്തില്‍ ക്രമീകരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല എന്ന് കാണാം.

അതായത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചെലവില്‍, തീരെ സ്ഥലം പാഴാക്കാതെ ,ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ വിസ്തീര്‍ണ്ണം ലഭിക്കുക സമഷഡ്ഭുജത്തിനാണ്. അതുകൊണ്ടാണ് തേനീച്ചകള്‍ അവയുടെ കൂടിന്റെ അറകള്‍ സമഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ ആകൃതിയില്‍ നിര്‍മ്മിക്കുന്നത്.

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in ശാസ്ത്രം, Maths IX, Maths Project. Bookmark the permalink.

49 Responses to തേനീച്ചക്കൂടിന് ഈ ആകൃതി എന്തുകൊണ്ട് ?

  1. JOHN P A says:

    ഇത് നല്ല പഠനപ്രവര്‍ത്തനമാണ്.പുതിയഗണിതപഠനരീതിയോട് ചേര്‍ന്നുനില്‍ക്കുന്നു.അഭിനന്ദനങ്ങള്‍

  2. santhwanam says:

    ഇത് കഴിഞ്ഞവര്‍ഷം മലപ്പുറം ജില്ലയിലെ ഗണിതശാസ്ത്രമേളക്ക്
    പ്രോജക്ട് ആയി ഒരു കുട്ടി അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു.നല്ല പ്രവര്‍ത്തനമാണ്.പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത് നന്നായി. അഭിനന്ദനങ്ങള്‍.

  3. Swapna John says:

    This comment has been removed by the author.

  4. Swapna John says:

    ഈ ലേഖനം ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ ഒന്നാം പാഠത്തിന്‍റെ പഠനപ്രവര്‍ത്തനമായി നല്‍കാന്‍ കഴിയും എന്നുറപ്പ്. എന്തുകൊണ്ട് തേനീച്ചക്കൂടിന്‍റെ അറകള്‍ക്ക് ഇത്തരമൊരു ആകൃതി എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഗണിതതെളിവുകളോടെ ഉത്തരം നല്‍കാന്‍ ലേഖകന്‍ ശ്രമിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത് നല്ലൊരു പ്രൊജക്ട് കൂടിയാണ് എന്ന് സാന്ത്വനം പറഞ്ഞതും വളരെ ശരിയാണ്.

    ജോണ്‍ മാഷെ കുറേ നാളായി കാണാറില്ലല്ലോ. സാറില്‍ നിന്നും ഈ വര്‍ഷവും ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ എക്സ്ട്രാ ചോദ്യങ്ങളും പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങളും ലഭിക്കുമല്ലോ. ഇവിടെ ഞങ്ങള്‍ കുറച്ച് അധ്യാപകര്‍ അതിനായി കാത്തിരിക്കുന്നു.

  5. വളരെ നല്ല ഒരു പഠന പ്രവര്‍ത്തനമാണ്൰പ്രോജക്ടായും നല്‍കാം.
    ഇങ്ങനെയുള്ള പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ ഇനിയും പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു

  6. നല്ലൊരു ലേഖനം. ഓരോ സൃഷ്ടിയും കൃത്യമായി ബോധനം നല്‍കി സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ടവ തന്നെ!

  7. Lalitha says:

    വളരെ ശ്രേഷ്ടവും ഉപകാരപ്രധവുമായ ലേഖനം . ലേഖകന് നന്ദി

    @ john sir
    കാനേഷുമാരിയുടെ തിരക്കൊക്കെ കഴിഞ്ഞില്ലേ …. പൂര്‍ത്തിയാക്കി ആദ്യം എത്തിച്ചതിനു അവാര്‍ഡ്‌ കിട്ടും കേട്ടോ…..
    ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സിലെ work sheet ഉണ്ടാക്കിയിട്ടുണ്ടോ ? ഉണ്ടെങ്കില്‍ പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യുമല്ലോ

  8. Sankaran mash says:

    ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകര്ക്ക് മാത്രമല്ല, ഏതു വിഷയക്കാര്ക്കും ഉപകാരപ്രദമായ ലേഖനങ്ങളാണ് മാത്സ് ബ്ലോഗില് പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നത്. തേനീച്ച കൂടുണ്ടാക്കുന്നതിനു പിന്നിലും ഗണിതമുണ്ടെന്ന് ഈ ലേഖനം വായിച്ചപ്പോഴാണ് മനസ്സിലായത്. കിണര്കുഴിക്കുന്നത് വൃത്താകൃതിയിലായതിനു പിന്നിലും ഇതുപോലൊരു ഗണിതതത്വമുണ്ടെന്ന് പണ്ട് കണക്കു പഠിപ്പിച്ച ഏലിയാമ്മ ടീച്ചര് പറഞ്ഞത് ഓര്ത്തുപോയി.

    ലേഖകന് പേര് വെക്കാതിരുന്നത് ശരിയായില്ലെന്ന് പരിഭവം പറയട്ടെ

  9. JOHN P A says:

    CENSUS തിരക്കുകഴിഞ്ഞു.ഇനി കണക്കും പഠനപ്രവത്തനങ്ങളുമായി സുഖം സന്തോഷം.സ്വപ്ന ടീച്ചറെ ഒന്‍പതാം ക്ലാസുതന്നെയാണ് മനസ്സില്‍.കുട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകള്‍ ഉണ്ടാകണം.

  10. നല്ല പ്രവര്‍ത്തനം തന്നെ
    അഭിനന്ദനങ്ങള്‍

  11. ഹിത & ഹരിത says:

    ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യ കോണുകള്‍ 1:2:3 എന്ന അംശബന്ധത്തില്‍ ആകാന്‍ കഴിയുമോ?

  12. @ hitha
    i think it is not possible. if my answer is correct iwill give the explanation

  13. തേനിച്ചകൾക്കിത്ര area ബോധം ഉണ്ടെന്നതിനു എന്താ തെളിവ്? പരിണാമചക്രത്തിൽ വളരെ ഉയർന്ന നിലയിലുള്ള ഒരു ജീവിയുടെ(മനുഷ്യൻ) അറിവുകൾ താരത‌മ്യേന താഴ്ന്ന നിലയിലുള്ള ഒരു ജീവിയിൽ ഉണ്ടെന്ന് പറയാൻ കഴിയുമോ?മാത്രമല്ല, പഠനപ്രവർത്തനം എന്നത് ഇതുപോലുള്ള അറിവാരോപണം ആകരുത് എന്നും തോന്നുന്നു. തേനീച്ചയുടെ അഭിപ്രായം നമുക്കറിയാൻ വഴിയില്ലല്ലോ.

  14. Anjana says:

    ഏതാനും ചില ഉദാഹരണങ്ങളില്‍ നിന്നും ഇങ്ങനെ എടുത്തുചാടി നിഗമനങ്ങളില്‍ എത്തുന്നത്‌ ശരിയായ രീതിയാണോ? യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ ഇവിടെ നാം നേരത്തെ മനസ്സിലാക്കിവച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഗണിതതത്വതിനു കൃത്രിമമായി ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ചമച്ചു ഒരു പുതിയ ഗണിതതത്വം കണ്ടെത്തിയതായി നമ്മെതന്നെയും (കുട്ടികളേയും) കബളിപ്പിക്കുകയല്ലെ? നിശ്ചിത ചുറ്റളവില്‍ പരമാവധി വിസ്തീര്‍ണം സമബഹുഭുജങ്ങല്ക്കാനെന്നു നാം ഇങ്ങനെയാണോ തെളിയിക്കുന്നത്?

    നേരിട്ടുള്ള ഇത്തരം പരിശോധനകള്‍ ചില സൂചനകള്‍ (സൂചനകള്‍ മാത്രം) നമുക്ക് നല്‍കാം. പക്ഷെ ഈ സൂചനകളെ മുന്‍ നിര്‍ത്തി ഒരു പ്രസ്താവം നടത്തുമ്പോള്‍ അത് ഗണിതത്തിന്റെ സവിശേഷമായ യുക്തിയിലൂടെ തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈയൊരു കാര്യം- verification – ഉം proof- ഉം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം – വിസ്മരിക്കുന്നത് ശരിയല്ല.

  15. Evidence-ഉം proof-ഉം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്നാണോ അഞ്ജന ടീച്ചര്‍
    ഉദ്ദേശിച്ചത്?

    തേനീച്ചക്കൂടിന്റെ ഉദാഹരണം അത്രകണ്ട് കൃത്രിമമാണോ? ഇതും ktmhs-ന്റെ ചോദ്യങ്ങളും
    ഗണിതശാസ്ത്ര
    തത്വചിന്തയെ
    അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തിയുള്ള ഗഹനങ്ങളായ ഉത്തരങ്ങള്‍ അര്‍ഹിക്കുന്നവയാണെന്ന്
    തോന്നുന്നു. അറിവുള്ളവര്‍ സദയം പറഞ്ഞുതരിക!

    — ഫിലിപ്പ്

  16. Sreekala says:

    മഴത്തുള്ളി ഗോളാകൃതി സ്വീകരിക്കുന്നതിന് കാരണം മഴത്തുള്ളി അറിഞ്ഞിട്ടാണോ?

    ജലാംശം കൂടുതലുള്ള മുന്തിരി, തണ്ണിമത്തന്‍, തുടങ്ങിയവയും ഗോളാകൃതി സ്വീകരിക്കുന്നത് ഇവയെല്ലാം സയന്‍സോ, കണക്കോ പഠിച്ചിട്ടാണോ?

    എട്ടുകാലി വലകെട്ടുമ്പോള്‍ സമബഹുഭുജാകൃതി സ്വീകരിക്കുന്നത് കണക്ക് പഠിച്ചിട്ടാണോ?

    ദേശാടനപ്പക്ഷികള്‍ പറക്കുമ്പോള്‍ V ആകൃതി സ്വീകരിക്കുന്നത് ഇംഗ്ലീഷ് പഠിച്ചിട്ടാണോ?

    ഈ ചോദ്യത്തിനൊക്കെ ഉത്തരം ആരു തരും? കാരണം ഇതേപ്പറ്റിയൊന്നും പോയി മേല്‍പ്പറഞ്ഞ വസ്തുക്കളോടോ ജീവികളോടോ ചോദിച്ചു മനസ്സിലാക്കാന്‍ പറ്റില്ലല്ലോ. എന്നുവച്ച് മനുഷ്യനല്ലാത്ത മറ്റൊന്നിനേക്കുറിച്ചും ഒരു നിഗമനത്തിലും എത്താന്‍ പാടില്ലെന്നുണ്ടോ?

    ഒരു പ്രൊജക്ടാണ് ഇവിടെ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നത്. അത് കുറേ നിഗമനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ തെളിയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇനി അത് തെറ്റാണെന്ന് തെളിയിക്കാനും ഒരു പ്രൊജക്ടാകാമല്ലോ.

  17. congratulations everybody those who are on duty on 1/6/2010 and afterwards.
    ബഹുബുജങ്ങളെ പറ്റി പറയുമ്പോള്‍ ഒരേ പരപ്പളവും ചുറ്റളവുമുള്ള ത്രികോണ ത്തെയും ചതുരത്തെയും പറ്റി ചിന്തിക്കുന്നത് നന്നെന്നു തോനുന്നു.വശങ്ങള്‍ പൂര്‍ണ സംഖ്യ യായ ഇത്തരം രണ്ടു ജോഡി യാണ് ചുവടെ കൊടുക്കുന്നത് .മറ്റു ജോടികള്‍ കണ്ടെത്തി ഈ പോസ്റ്റ്‌ കുട്ടികള്‍ക്ക് ഉപകരമാക്കാന്‍ പോസ്റ്റ്‌ ശ്രദ്ടിക്കുന്നവരോട് അപേക്ഷ.
    1,triangle 5,5,6:rectangle 6,2;area=12,perimeter=16.
    2)triangle:68,83,75.rectangle: 30,95:area=2800,perimeter=250.

  18. one type error: the above area is 2850.

  19. one more type error:the sides of the triangle are: 68,87,95:area 2850,perimeter:250.(sides of rectangle 30,95)

  20. JOHN P A says:

    ശ്രികല ടീച്ചര്‍
    വളരെ നന്നായിരിക്കുന്നു.നല്ല ഒരു പ്രോജക്ട് വിഷയം.
    മരങ്ങള്‍ എന്തുകൊണ്ട് സിലിണ്ടര്‍ രൂപം ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു?
    ടീച്ചര്‍ എന്നും ഇത്തരം വേറിട്ടചിന്തകളുമായി കൂടെ ഉണ്ടാകണം

  21. JOHN P A says:

    അഞ്ചന ടീച്ചര്‍
    ഒരു ഹൈസ്ടൂള്‍ കുട്ടിയുടെയും ,കരിക്കുലത്തിന്റെയും പരിമിതികള്‍ അറിയാമല്ലോ?
    നിശ്ചിത ചുറ്റളവുള്ള രൂപങ്ങളില്‍ വൃത്തമാണ് പരമാവധി പരപ്പളവുള്ളതെന്ന് കലനവും മാക്ലിമൈസേഷന്‍ രീതികളും പഠിച്ച ടീച്ചര്‍ക്കറിയാം.
    വലിയോരു തത്വമൊന്നും ഇവിടെ തെലിയിക്കുന്നില്ല.
    എന്തുകോണ്ട് തേനീച്ചകള്‍ ത്രികോണാക്യതിയിലും ചതുരാക്യതിയിലും അറ നിര്‍മ്മിക്കുന്നില്ല ​എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ഹൈല്കുള്‍ വിദ്യാര്ഥിയുടെ അന്വേഷണം മാത്രമാണ് ഇത്
    പിന്നീട് ,കാല്‍ക്കുലസും ഉപപത്തിസിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സങ്കീണ്ണതകളും അറിയുമ്പോള്‍ ഒന്‍പതാംക്ലാസില ഈ ഓര്‍മ്മ അവന് തുണയായിരിക്കും . തീര്‍ച്ച

  22. ktmhs-ഉം അഞ്ജന, ശ്രീകല ടീച്ചര്‍മാരും ഉന്നയിച്ച ചോദ്യങ്ങളിലടങ്ങിയിരിക്കുന്ന
    പ്രധാന സംശയങ്ങള്‍ — ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് പ്രകൃതിയെ വിവരിക്കാന്‍ ഇത്രയും കഴിവ്
    എങ്ങനെ? ഇതു നമ്മുടെ തോന്നല്‍ “മാത്ര”മാണോ? നാം കണ്ടുപിടിച്ചെടുത്ത അറിവുകള്‍
    പ്രകൃതിയില്‍ തെറ്റായി ആരോപിക്കുകയാണോ നാം ചെയ്യുന്നത്? — ഗണിതജ്ഞരുടേയും
    ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ തത്വശാസ്ത്രത്തില്‍ (The Philosophy of Mathematics)
    താത്പര്യമുള്ളവരുടെയും ശ്രദ്ധയെ ആകര്‍ഷിച്ചിട്ടുള്ളവയാണ്. ഈ വിഷയത്തെപ്പറ്റിയുള്ള
    പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരുകൂട്ടം ചര്‍ച്ചകള്‍ നടക്കുന്നത് ഗണിതജ്ഞനും ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനുമായിരുന്ന യൂജീന്‍ വിഗ്നറുടെ
    The
    Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural
    Sciences
    (“പ്രകൃതിശാസ്ത്രങ്ങളില്‍ ഗണിതത്തിനുള്ള അതിശയകരമായ കാര്യപ്രാപ്തി”
    — കൂടുതല്‍ ശരിയാക്കാമോ ഉമേഷ്ജി/ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാര്‍/… ?) എന്ന പ്രശസ്തമായ ലേഖനത്തെ
    ചുറ്റിപ്പറ്റിയാണ്. ഈ കാര്യങ്ങളില്‍ താത്പര്യമുള്ളവര്‍ ഈ ലേഖനവും ഇതിനു മറുപടിയായി
    വന്ന ലേഖനങ്ങളും വായിക്കുന്നത് ഇതിനെക്കുറിച്ച് കുറച്ചുകൂടെ വ്യക്തമായി ചിന്തിക്കാന്‍ സഹായിക്കും.

    — ഫിലിപ്പ്

  23. സമ ബഹുഭുജങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചാണ് ചില കമ്പനികള്‍ ഫുട്ബോള്‍ (foot ball)ഉണ്ടാക്കുന്നത്.
    ബഹുഭുജ രൂപങ്ങള്‍ ഏതൊക്കെ?
    നിര്‍മ്മിക്കുന്നത് എങ്ങനെ?

  24. Anjana says:

    ശ്രീ ജോണ്‍ സാര്‍
    നിശ്ചിത ചുറ്റളവുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളില്‍ (വൃത്തത്തിലേക്ക് പോകുന്നില്ല) സമബഹുഭുജങ്ങള്‍ക്കാണ് കൂടുതല്‍ വിസ്തീര്‍ണം എന്ന് സ്കൂള്‍ ക്ലാസ്സുകളില്‍ Calculus ഉപയോഗിച്ച് prove ചെയ്യണം എന്ന് ഞാന്‍ ഉദ്ദേശിച്ചിട്ടേയില്ല. ഏതാനും ചില സവിശേഷ സാഹചര്യങ്ങളില്‍ ശരിയാകുന്നതുകൊണ്ട് മാത്രം ഒരു വസ്തുത തെളിയിക്കപ്പെടുന്നില്ല;”ശരിയാകാം” എന്ന ഒരു സൂചന ലഭിക്കുന്നുണ്ട് താനും.പക്ഷെ, ഈ സൂചനകളെ പിന്നീട് നമുക്ക് ഗണിതത്തിന്റെ യുക്തിയിലൂടെ prove ചെയ്യേണ്ടതായിട്ടുണ്ട്. ആ ഭാഗത്തെ വിട്ടുകളയുന്ന രീതി ശരിയല്ല എന്നാണ് ഞാന്‍ പറഞ്ഞത്. പ്രൂഫ്‌ കണ്ടെത്താന്‍ പറ്റുന്നില്ലെങ്കില്‍, അത് ഒരു conjecture ആയി പ്രസ്താവിക്കവുന്നതാണ്. ഇത്രയും പറഞ്ഞതുകൊണ്ട് സൂചനകള്‍ ആരായുന്നതിനു പ്രാധാന്യമില്ല എന്നര്‍ത്ഥമില്ല.ശരിക്ക് പറഞ്ഞാല്‍ before proving a theorem one has to ‘discover’ it! പക്ഷെ പ്രൂഫ്‌ ആയി ലേഖനത്തിലെ പട്ടികയില്‍ കൊടുത്തതു പോലെയുള്ള കാര്യങ്ങള്‍ പോര എന്ന് നിര്‍ബന്ധമായും മനസ്സിലാക്കണം.

    നേരത്തെ തെളിയിക്കപ്പെട്ട ഒരു വസ്തുത(ഉദാഹരണത്തിന്, നിശ്ചിത ചുറ്റളവുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളില്‍ സമബഹുഭുജങ്ങള്‍ക്കാണ് കൂടുതല്‍ വിസ്തീര്‍ണം എന്ന കാര്യം) അനുഭവപരമായി ബോധ്യപ്പെടാന്‍ ലേഖനത്തിലെത് പോലെയുള്ള ക്രിയകള്‍ ആവാം; അമൂര്‍ത്തമായ ഒരു ആശയം കൂടുതല്‍ വ്യക്തമായി മനസ്സില്‍ പതിയാന്‍ ഇത് സഹായിക്കും. പക്ഷെ അപ്പോഴും ഇതൊക്കെ proof നു പകരം വെക്കാവുന്നതാണെന്ന സന്ദേശം അവതരണത്തില്‍ വരുന്നത് ശരിയല്ല.

    ശ്രീ ഫിലിപ്പ് സാര്‍ സൂചിപ്പിച്ച കാര്യങ്ങള്‍ (ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് പ്രകൃതിയെ വിവരിക്കാന്‍ ഇത്രയും കഴിവ് എങ്ങനെ? ഇതു നമ്മുടെ തോന്നല്‍ “മാത്ര”മാണോ? നാം കണ്ടുപിടിച്ചെടുത്ത അറിവുകള്‍ പ്രകൃതിയില്‍ തെറ്റായി ആരോപിക്കുകയാണോ നാം ചെയ്യുന്നത്? —).ഇത് കൂടുതല്‍ വിശാലമായ ചര്‍ച്ചയ്ക്കു അനുയോജ്യമായ വിഷയങ്ങള്‍ തന്നെ. ഗണിതത്തിന്റെ തത്വശാസ്ത്രം അറിയുന്നത് ഒരുപാടു ആശയക്കുഴപ്പങ്ങള്‍ക്ക് വ്യക്തത വരുത്തും. യൂജീന്‍ വിഗ്നറുടെ ലേഖനം പരാമര്‍ശിച്ചതും ഉചിതമായി.യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ ഇത്തരം ചര്‍ച്ചകള്‍ കൂടി ബ്ലോഗില്‍ വന്നിരുന്നെങ്കില്‍ എന്ന് നേരത്തെ ആഗ്രഹിച്ചിരുന്നു. സാര്‍ തന്നെ തുടങ്ങിവയ്ക്കൂ. Terence Tao യെ പരിചയപ്പെടുത്തി എഴുതിയതുപോലെ ഈ പരാമര്‍ശങ്ങള്‍ക്കും പുതുമയുടെ സുഗന്ധമുണ്ട്.

    ഒരു തമാശകൂടി:

    Theorem: 60 is divisible by all natural numbers

    Proof: 1 divides 60, 2 divides 60, 3 divides 60, 4 divides 60, 5 divides 60, 6 divides 60, …
    Let us now check a few more numbers taken at random, say 10 and 15… they also divide 60. Now let us choose some big numbers,say 20 and 30 …again no problem! So, 60 is divisible by all numbers.

    ◊ ◊ ◊

  25. സൂര്യകാന്തി പൂവിന്റെ കേന്ദ്ര ഭാഗത്തെ മുകുളങ്ങള്‍ ഫിബനോച്ചി സംഖ്യകള്‍ ആണ്.മിക്ക ചെടികളുടെയും കമ്പുകള്‍ വളരുന്നതും ഫിബനോച്ചി സംഖ്യകളുടെ ക്രമം അനുസരിക്കുന്നു .കൈതച്ചക്കയുടെ മുകള്‍ഭാഗത്തെ കരുക്കള്‍ പരിശോധിച്ചാല്‍ അവയിലും കാണാം ഇത്

    മഴവില്ലില്‍ ഒരേ നിറമുള്ള എല്ലാ കണികകളും ഒരു വൃത്ത ചപത്തില്‍ ആയിരിക്കും .എതു കോണില്‍ വീണാലും വജ്രത്തിനുള്ളില്‍ പ്രവേശികുമ്പോള്‍ പ്രകാശ രശ്മി കൊണിനുള്ളില്‍ 49 degree ഒതുക്കപെടുന്നു .ഇതെല്ലം പ്രകൃതിയിലെ ഗണിതം തന്നെ

    തേനീച്ചയോ സൂര്യകാന്തി പൂവോ ഗണിതം പഠിച്ചിട്ടുണ്ടോ ഇല്ലയോ അല്ലെങ്കില്‍ നാം കണ്ടുപിടിച്ചെടുത്ത അറിവുകള്‍ പ്രകൃതിയില്‍ തെറ്റായി ആരോപിക്കുകയാണോ നാം ചെയ്യുന്നത്?
    എന്നതിനേക്കാള്‍ സമബഹുഭുജത്തിന്റെ ആശയം ,കേന്ദ്ര കൊണുകളുടെ തുക , സമബഹുഭുജങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണം ,സമബഹുഭുജതില്‍ ഓരോ കേന്ദ്രകോണും എങ്ങിനെ വിഭജിക്കപെടുന്നു എന്നി ആശയങ്ങള്‍ മനസ്സിലാക്കാന്‍ ഈ പ്രവര്‍ത്തനം ഗുണകരം തന്നെ.

    ഒരു നല്ല സിനിമ നാം കണ്ടു കഴിഞ്ഞാല്‍ എത്ര കാലം കഴിഞ്ഞാലും അതിലെ രംഗങ്ങള്‍ നാം ഓര്‍ക്കാറുണ്ട്.എന്നാല്‍ നമുക്ക് ഇഷ്ടപെടാത്ത ഒരു സിനിമ ആണെങ്കിലോ ?അത് പോലെ ആദ്യം കുട്ടിക്ക് വിഷയത്തോട് താല്പര്യം ഉണ്ടാക്കാന്‍ കഴിയണം അതിനു ഇത്തരം പ്രവര്‍ത്തങ്ങള്‍ ഗുണകരം തന്നെ

    പത്താം ക്ലാസ്സില്‍ പഠിക്കുന്ന എത്ര കുട്ടികള്‍ക്ക് സമാന്തര രേഖകളെ tranversal line intersect ചെയുമ്പോള്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന മൂന്ന് തരാം കോണുകളെ തിരിച്ചറിയാന്‍ കഴിവുണ്ട്.എല്ലാ ഗണിത അധ്യാപകരും ഒന്ന് പരിശോധിച്ച് നോക്കൂ .എന്താണ് ഇതിനു കാരണം.നമ്മുടെ പുസ്തകം അത് കുട്ടികളിലേക്ക് എത്തിച്ച രീതി ആണോ കാരണം ?

    പാത്രം അറിഞ്ഞു ചോറ് വിളമ്പുക എന്നൊരു പഴമൊഴി ഉണ്ട് ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സുകാരന്റെ പാത്രത്തില്‍ തീര്‍ച്ചയായും ഈ ചോറ് വിളംബാന്‍ കഴിയും .

    Mathematical proofs നല്ലത് തന്നെ .എന്നാല്‍ അവയിലൂടെ മാത്രമേ ഗണിത പഠനം നടക്കുകയുള്ളു എന്നാ അഭിപ്രായത്തോട് ഞാന്‍ യോജിക്കുന്നില്ല .വിനോദ് സര്‍ നേരത്തെ ചൂണ്ടി കാണിച്ച ഒരു കാര്യം തന്നെ പറയാം നമുടെ എത്ര കുട്ടികള്‍ Mathematics Olympiad പോലുള്ള പരീക്ഷകള്‍ ജയിക്കുന്നു എന്നാ കാര്യം .കുട്ടികള്‍ mathematical proofs പഠിക്കാത്തത് കൊണ്ട് മാത്രമാണോ അത് ? നമുടെ എത്ര കുട്ടികള്‍ full dedicated ആയി ഇതിനു വേണ്ടി ശ്രമിക്കുനുണ്ട് .എത്ര കഴിവുള്ള അധ്യാപകര്‍ ഇതിനു വേണ്ടി കുട്ടികളെ തയരെടുപ്പികുന്നുണ്ട് ? എത്ര കുട്ടികള്‍ ഇത്തരം പരീക്ഷകളെ കുറിച്ച് അറിവുള്ളവര്‍ ആണ് ?ഞാന്‍ ചോതികട്ടെ ഈ ബ്ലോഗില്‍ വരുന്ന അദ്ധ്യാപകരില്‍ എത്ര പേര്‍ തങ്ങളുടെ സ്കൂളുകളില്‍ നിന്ന് കുട്ടികളെ ഇതിനു വേണ്ടി പരിശീലിപിച്ചു തയ്യാറാക്കുന്നുണ്ട് അല്ലെങ്കില്‍ എത്ര കുട്ടികള്‍ അതിനു തയാറായി വരുന്നുണ്ട് . ഒരു ശതമാനം പോലും ഇല്ല എന്ന് ഉറപ്പു .ഞാന്‍ നാളെ ഒരു വീഡിയോ ഇതില്‍ അപ്‌ലോഡ്‌ ചെയ്യാം കണ്ടു നോകുക അത് കര്‍ണാടകയിലെ ഒരുസാധാരണ സര്‍കാര്‍ സ്കൂളില്‍ കുട്ടികളെ ഈ മത്സര പരീക്ഷക്ക്‌ വേണ്ടിI.I.T Chennaiയിലെ മിടുക്കര്‍ പടിപിക്കുനതാണ്

    Mathematics Olympiad site നോക്കിയാല്‍ കാണാം most questions are solved using logical approach only not with the help of theorems.

    നേരത്തെ Sha സര്‍ സൂചിപിച്ചിരുന്നു കേരളത്തിലെ കുട്ടികള്‍ Civil service പരീക്ഷയില്‍ പിന്നോക്കം പോകുന്നു എന്താണ് കാരണം നമ്മുടെ പഠന വിഷയങ്ങള്‍ നിലവാരം ഇല്ലാത്തതു കൊണ്ട് ആണോ ? അല്ല നമ്മുടെ കുട്ടികള്‍ എത്ര പേര്‍ ഇതിനു വേണ്ടി മത്സരബുദ്ധിയോടെ തയ്യാറെടുക്കുന്നു.ഈ കഴിഞ്ഞ പരീക്ഷയില്‍ Economics ബിരുദം മാത്രം കൈമുതലായുള്ള ഒരു കുട്ടിക്ക് കേരളത്തില്‍ നിന്നും Rank :489 കിട്ടിയത് ഓര്‍മയില്ലേ എഞ്ചിനീയറിംഗ് ബിരുദമോ അല്ലെങ്കില്‍ വലിയ Educational qualifications ഒന്നും തന്നെ ഇല്ലാത്ത ആ കുട്ടി എങ്ങിനെയാണ്‌ ഇത് നേടിയെടുത്തത്?

    കുറിപ്പ് : ഒരു ക്ലാസ്സിലെ എല്ലാ കുട്ടികളും ഒരേ രീതിയില്‍ ചിന്തിക്കുന്നവര്‍ അല്ലാലോ .താഴ്ന്ന നിലവാരം കുട്ടികളുടെ മനസ്സിലും ആശയങ്ങള്‍ രൂപപെടുത്താന്‍ ഇത്തരംപ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ സഹായകം ആണ്

  26. 1 ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ തന്നെയല്ലേ
    വിശദീകരിക്കാമോ
    ശ്രീ…………………….

  27. JOHN P A says:

    അഞ്ചന ടീച്ചര്‍
    ഒരു എണ്ണല്‍ സംഖ്യയേയും അതിനു താഴെയുള്ള എല്ലാ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകൊണ്ടും പൂര്‍ണ്ണമായി ഹരിക്കാന്‍ പറ്റില്ല.ഇതോരു സാമാന്യവത്ക്കണം തന്നെയാണ്.ഇതിനായി ഒരു പരിശോധനയുടെ ആവശ്യമുണ്ടോ?
    തേനീച്ചക്കൂടിന് ഈ ആക്യതി എന്തുകോണ്ട്? ഇതാണ് ഒന്‍പതാംക്ലാസുകാരന്റെ പ്രോജക്ട് വിഷയം
    കുട്ടി അവന്റെ അറിവിന്റെ പരിധിയില്‍ നിന്നുകൊണ്ട് ഒരു അന്വേഷണം നടത്തുന്നു.നിഗമനം എഴുതുന്നു,‌
    അഞ്ചന ടീച്ചറിന്റെ ചിന്തകളുടെ ശരികള്‍ എനിക്കുമനസ്സിലാകുന്നുണ്ട്.ഒരു ഒന്‍പതാംക്സാസുകാരനെക്കൊണ്ട് ഇതിനപ്പുറം ഇതുനപ്പുറം എങ്ങനെയാണ് ചിന്തിപ്പിക്കുക

  28. നല്ല ചർച്ച നടക്കുന്നു. 1. ഗണിതത്തിന്റെ തത്വ ശാസ്ത്രം. 2. ഗണിതക്ല്ലാസുകളിൽ ഉപയോഗിക്കേണ്ട ആക്ടിവിറ്റികളൂടെ ശാസ്ത്രീയത. 3. ആക്റ്റിവിറ്റിയും നിഗമനവും തമ്മിലുള്ള യുക്തി. /ഒരു ഗണിതപ്രശ്നം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് ഒരു ജൈവപ്രവർത്തനം (തേനീച്ചയുടെ പണി) കൊണ്ടാകാമോ? സമൂഹത്തിൽ ദരിദ്രരും സമ്പന്നരുമുണ്ട്. ഇതിന്ന് സമാധാനം ഒരു കുന്നിന്ന് ഒരു കുഴിയുണ്ട് എന്നാ‍വാമോ? അല്ലെങ്കിൽ സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രപ്രശ്ശ്നത്തിന്ന് ഭൂമിശാസ്ത്രയുക്തി സാധുവോ? അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കയ്യിലെ എല്ലാ വിരലും ഒരുപോലെയ്യല്ലല്ലോ എന്ന ശരീരശാസ്ത്രയുക്തി മതിയോ? കുട്ടികളെ ഇങ്ങ്ങനെയൊക്കെയാണോ നാം പഠിപ്പിക്കേണ്ടത്? പപ്പടം വട്ടത്തിലായതുകൊണ്ടാകാം പയ്യിന്റെ പാലു വെളുത്തതായി? എന്നു കുഞ്ഞുണ്ണിമാഷ് എഴുതിയിട്ടില്ലേ? അതന്നെ!നല്ലൊരു ചർച്ച നടക്കണമെന്നു ആഗ്രഹിക്കുന്നു.

  29. “മഴത്തുള്ളി ഗോളാകൃതി സ്വീകരിക്കുന്നത്…“തുടങ്ങിയ പ്രയോഗങ്ങൾ നമ്മുടെ മാഷമ്മാർക്കുണ്ടാവരുത്. നാം ഉപയോഗിക്കുന്ന ഭാ‍ഷയുടെ കൃത്യത പ്രധാനമാണ്. ഒരു മഴത്തുള്ളിയും ഗോളാകൃതി സ്വീകരിക്കുകയല്ല; അതു ഗോളാകൃതിയിൽ ആവുകയാണ്.അതിന്ന് കാരണം ഗണിതമല്ല.പ്രകൃതിപ്രതിഭാസങ്ങളാണ്. മർദ്ദം, താപം, തുടങ്ങിയവ.“സ്വീകരിക്കലും“ “ആവലും“ ഒന്നല്ല. എട്ടുകാലി വലകെട്ടുന്നത്….അതിന്റെ ഒരു ജൈവക്രിയ മാത്രം. എട്ടുകാലികൾ വലകെട്ടാൻ തുടങ്ങിയകാലം മുതൽ ഇതേ കെട്ടുതന്നെ. അതിൽ ഗണിതമോ യുക്തിയോ ബുദ്ധിയോ ഒന്നും പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലല്ലോ. ഒരു ജൈവക്രിയ.അത്രമാത്രം. അല്ലേ?

  30. എന്തായാലും ചർച്ചകളുടെ സ്വഭാവം മാറിവരുന്നു. കൂടുതൽ കാര്യഗൌരവത്തോടെയുള്ളസമീപനം.ചില ഉത്തരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനേക്കാൾ ഗണിതത്തിന്റെ ഉള്ളറകളിലേക്കിറങ്ങുന്ന സുഖം.കണക്കിന്റെ കണക്ക്!അഭിവാദ്യങ്ങൾ!

  31. Blogger says:

    This comment has been removed by the author.

  32. തേനീച്ചക്കൂട്ടം says:

    .

    ദയവു ചെയ്തു ഞങ്ങളെ വെറുതെ വിടുക.

    ഞങ്ങള്‍ സ്കൂളില്‍ പോയിട്ടില്ല .

    പഠിച്ചിട്ടില്ല .

    എന്ജിനീയര്മാരുമല്ല.

    നിങ്ങള്‍ ആരോപിക്കുന്ന ഒരു കുറ്റവും ഞങ്ങള്‍ ചെയ്തിട്ടില്ല.

    ഞങ്ങള്‍ക്ക് ഇങ്ങനെയേ കൂട്ടിലെ അറകള്‍ ഉണ്ടാക്കാന്‍ കഴിയൂ.

    ഇത് ഞങ്ങളുടെ കൂടിന്റെ മാത്രം പ്രത്യേകത അല്ല.
    പ്രകൃതിയിലേക്ക് ഒന്ന് നോക്കുക.

    കണ്ണ് തുറന്നു തന്നെ നോക്കണം.

    സൂക്ഷ്മവും , സ്ഥൂലവുമായ ഏതും നിരീക്ഷണത്തിന് വിധേയമാക്കണം.

    എല്ലായിടത്തും നിങ്ങള്‍ പറയുന്ന കണക്കും , ശാസ്ത്ര സത്യങ്ങളും കാണാം.

    ഇതൊക്കെ യാദൃശ്ചികമായി അങ്ങനെ സംഭവിച്ചു പോകുന്നതാണ് എന്ന മുട്ടായുക്തി മാത്രം പറയരുത്.

    ഇതിന്റെയൊക്കെ പിന്നിലുള്ള ആ മഹാശക്തിയെ തിരിച്ചറിയുവാനുള്ള കഴിവുണ്ടാകണം.

    അതിനെ എന്ത് പേരിട്ടു വേണമെങ്കിലും വിളിച്ചുകൊള്ളൂ.

    പക്ഷെ ‘ഇല്ല ‘ എന്ന പരമ വിഡ്ഢിത്തം മാത്രം പറയരുത്.

    .
    സ്നേഹപൂര്‍വ്വം ,

    സ്വന്തം തേനീച്ചക്കൂട്ടം.

    .

  33. JOHN P A says:

    എന്താണു ശാസ്ത്രം?
    സൃഷ്ടാവിന്റെ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള മനുഷ്യന്റെ അന്വേഷണമാണ് ശാസ്ത്രം.

    എട്ടുകാലിവലയെക്കറിച്ചും,തേനറകളെക്കുറിച്ചും,ചിന്തിക്കാന്‍ എനിക്കും ,ഒരു കൊച്ചുകുട്ടിക്കും അവകാശവുണ്ട്
    ഇതോരു സൗന്ദര്യാന്വേഷണമാണ്
    പിന്നെ ഗണിതത്തെക്കുറിച്ച്
    മനുഷ്യബുദ്ധിയുടെ വികാസപരിണാമങ്ങളുടെ ചരിത്രമാണ് ഗണിതചരിത്രം.ബുദ്ധിയും മനസ്സും രണ്ടല്ല.ഭാഷയുടെ ധര്‍മ്മം ചിന്തയുടെ സങ്കീര്‍ണ്ണതലങ്ങളില്‍ നിറവേറ്റുകമാത്രമാണ് ഗണിതം ചെയ്യുന്നത്

  34. ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങള്‍ 10cm വീതമാണ് .ഇതിന്റെ അകത്തു കൃത്യമായി കൊള്ളതക്ക വിധം ഒരു സമഷഡ്ഭുജം നിര്‍മിച്ചാല്‍ അതിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം എത്ര ആണ് ?

  35. ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങള്‍ 10cm വീതമാണ് .ഇതിന്റെ അകത്തു കൃത്യമായി കൊള്ളതക്ക വിധം ഒരു സമഷഡ്ഭുജം നിര്‍മിച്ചാല്‍ അതിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം എത്ര ആണ് ?

  36. Anjana says:

    ശ്രീ ജോണ്‍ സാര്‍
    ഞാന്‍ “ഒരു തമാശകൂടി” എന്നെഴുതിയത് സാര്‍ ശ്രദ്ധിച്ചില്ലേ?

    ചില ഉദാഹരങ്ങളില്‍ നിന്ന് ‘നിഗമനങ്ങളില്‍’ എത്തുമ്പോള്‍ സംഭവിക്കാവുന്ന പിഴവ് നര്‍മം കലര്‍ത്തി പറഞ്ഞു എന്ന് മാത്രം.

    നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സുകാരന്‍ “നിശ്ചിത ചുറ്റളവുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളില്‍ സമബഹുഭുജങ്ങള്‍ക്കാണ് കൂടുതല്‍ വിസ്തീര്‍ണം” എന്ന കാര്യം prove ചെയ്യണം എന്നല്ല പറഞ്ഞത്, ലേഖനത്തില്‍ പറഞ്ഞത് proof ആകുന്നില്ല എന്ന് ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സുകാരനോടും സൂചിപ്പിക്കണം എന്നാണ്. ഈ കാര്യം കഴിഞ്ഞ പോസ്റ്റില്‍ വ്യക്തമാക്കിയതിനാല്‍ ആവര്‍ത്തിക്കുന്നില്ല.

    Mathematical Olympiad -നെക്കുറിച്ച് പറഞ്ഞതുകൊണ്ട് പറയട്ടെ, ഗായത്രി & അമ്മു എന്നിവര്‍ സൂചിപ്പിച്ചത് പോലെ , ഇതിലെ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങള്‍ കുറെ standard theorems – ന്റെ direct consequences ആയി ലഭിക്കുന്നവയല്ല. എന്നാല്‍ പഴുതില്ലാത്തതും സുതാര്യവും വൈരുധ്യങ്ങളിലേക്ക് തെന്നിപ്പോകാത്തതുമായ യുക്തിചിന്ത അത്യാവശ്യമാണ്. NBHM (National Board for Higher Mathematics) നല്‍കുന്ന Olympiad പരിശീലനത്തില്‍ ഈ കാര്യത്തില്‍ ഊന്നല്‍ നല്‍കുന്നുണ്ട്. Number theory, Combinatorics, Geometry, Basic Algebra ഇവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് ചോദ്യങ്ങള്‍ മിക്കതും വരുന്നത്. ഈ വിഷയങ്ങള്‍ക്ക്‌ പ്രാമുഖ്യം ലഭിക്കാനുള്ള കാരണം, സാങ്കേതികമായ അറിവ് ഒരുപാടു ഇല്ലാതെ തന്നെ, മൌലികമായ ചോദ്യങ്ങള്‍ ഈ വിഷയത്തില്‍ നിന്ന് ചോദിക്കാന്‍ പറ്റും എന്നതാണ്. ചോദ്യങ്ങള്‍ മിക്കതും എളുപ്പത്തില്‍ മനസ്സിലാക്കാവുന്നതാണ്, എന്നാല്‍ ഉത്തരങ്ങള്‍ ലഭിക്കാന്‍ നല്ല ഉള്‍ക്കാഴ്ചയും ഒപ്പം വിട്ടുവീഴ്ചയില്ലാത്ത യുക്തിയുടെ പിന്‍ബലവും വേണം. ഇതൊക്കെയുണ്ടായാലും ഗായത്രി & അമ്മു എന്നിവര്‍ പറഞ്ഞതുപോലെ കഠിനമായ പരിശ്രമവും പരിശീലനവും ഒഴിവാക്കാന്‍ പറ്റാത്തതാണ്.

  37. സ്നേഹം നിറഞ്ഞ അഞ്ജന ചേച്ചിക്ക്

    ഞാന്‍ അങ്ങിനെ ഒക്കെ എഴുതിയപ്പോള്‍ ചേച്ചിക്ക് എന്നോട് ദേഷ്യം കാണും എന്ന് കരുതി.പക്ഷെ ചേച്ചിയുടെ ഈ മറുപടി കണ്ടപ്പോള്‍ എനിക്ക് വളരെ സന്തോഷം ആയി.കണ്ണന്‍ സാറിന്റെ അമ്മ പറഞ്ഞതാണ്‌ ആ കുട്ടിക്ക് ഗണിതത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും നന്നായി അറിയും നീ അങ്ങിനെ ഒന്നും എഴുതരുത് എന്ന്.എന്നാലും ഞാന്‍ എഴുതി .ഇപ്പോള്‍ എനിക്ക് സമാധാനം ആയി

    സത്യം പറഞ്ഞാല്‍ ചേച്ചിയുടെ ഓരോ പോസ്റ്റിനും അതിന്റെതായ ഒരു ഭംഗി ഉണ്ടാവും .ചേച്ചി എവിടെയാ ജോലി ചെയുന്നത് അതോ പഠിക്കുകയാണോ? നമ്മുടെ ഫിലിപ്പ് സര്‍ പിന്നെ ചേച്ചി അങ്ങിനെ ഉള്ളവരുടെ അറിവും സംസാര ശൈലിയും കാണുമ്പോള്‍ ഞങ്ങള്‍ക്ക് ഒക്കെ ഭയങ്കര കൌതുകം ആണ് .

    ഹിത,അമ്മു,കണ്ണന്‍ സാറിന്റെ അമ്മ എല്ലാവരുടെയും അന്വേഷണം ചേച്ചിയോട് പറയാന്‍ പറഞ്ഞു

    സ്നേഹപൂര്‍വ്വം ഗായത്രികണ്ണന്‍

  38. ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങള്‍ 10cm വീതമാണ് .ഇതിന്റെ അകത്തു കൃത്യമായി കൊള്ളതക്ക വിധം ഒരു സമഷഡ്ഭുജം നിര്‍മിച്ചാല്‍ അതിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം എത്ര ആണ് ?

    ഉത്തരം 25.98 ച.സെ.മീ

  39. Janardanan c m May 31, 2010 12:53 PM
    ഇട്ട ചോദ്യത്തിന് ആരും മറുപടി തന്നില്ല. ഗായത്രി,ഹിത ഇവരെങ്കിലും പ്രതികരിക്കുമെന്ന് കരുതി.
    ജോണ്‍ സാറേ, ലാര്‍വ സാറേ ….

  40. Anjana says:

    ഗായത്രി,
    നല്ലവാക്കുകള്‍ക്ക് നന്ദി.
    ഗായത്രിയും, ഹിതയും,അമ്മുവും പിന്നെ കണ്ണന്‍ സാറിന്റെ അമ്മയും ചേര്‍ന്നുള്ള അപൂര്‍വ സുന്ദരമായ ഈ കൂട്ടുകെട്ടിനെ അസൂയയോടെയും അത്ഭുതത്തോടെയും നോക്കുന്നു.

    “….അതോ പഠിക്കുകയാണോ?”
    കൂടുതലും പഠിക്കാന്‍ ശ്രമിക്കുന്നു, ഒരല്പം പഠിപ്പിക്കാനും; രണ്ടും സ്വന്തം പരിമിതികളെ മറികടക്കാനുള്ള ബദ്ധപ്പാടില്‍!

  41. tharat.blogspot says:

    very good sir.
    interesting and informative

  42. ഞാന്‍ ഇന്ന് ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സിലെ പുതിയ പുസ്തകത്തിലെ ആദ്യത്തെ പാഠം നോക്കി .ഇതുമായി ബന്ധപെട്ടു കുറച്ചു ചോദ്യങ്ങള്‍ ഞാന്‍ ഉണ്ടാക്കി അയച്ചു തരട്ടെ ?

    ആദ്യം ഒരു മാതൃക കാണിക്കാന്‍ ജോണ്‍ സര്‍ കുറച്ചു ചോദ്യങ്ങള്‍ തയാറാക്കു പിന്നെ ഞാന്‍ എന്റെ ചോദ്യങ്ങള്‍ അയക്കാം .

  43. Usha says:

    ushagvalsan

  44. Usha says:

    very interesting….

  45. പ്രിയ പെട്ട സാറും മാരെ,
    ഞാന്‍ അറിവുള്ള ഒരാളല്ല, പക്ഷെ ഒന്ന് ഞാന്‍ പറഞ്ഞോട്ടെ.
    നിങ്ങള്‍ പറഞ്ഞു കൊടുക്കുന്നതാണ് പിള്ളേര്‍ പഠിക്കുന്നത്. സത്യമല്ലാത്ത ഒരു കാര്യം സത്യമാണെന്ന് വിശ്വസിച്ചു അതിനെ പറ്റി ഒരു അവലോഖനവും നടത്താതെ പിള്ളേരുടെ മനസിലേക്ക് കുത്തിവക്കുന്നത് ദയവായി നിര്‍ത്തണം.

    ഹാ , സാറും മാരേ, നമ്മുടെ രാഷ്ട്ര ഭാഷ ഏതാ ? എന്താ അറിയിലെ?

    ” ഹിന്ദി ” എന്ന് പറയാന്‍ തോന്നുന്നോ? അങ്ങനെ അല്ലെ സാറും മാര്‍ പഠിപ്പിച്ചേ ? എന്നാ അതാണോ ശരി.

    നമുക്ക് രാഷ്ട്ര ഭാഷ ഇല്ല എന്നാ താണ് സത്യം , ഹിന്ദി നമ്മുടെ ഒഫീഷ്യല്‍ ഭാഷ മാത്രമാണ്. എന്താ സംശയം ഉണ്ടോ ? ഗൂഗിള്‍ അല്ലെ മുന്നില്‍ ഒന്ന് പരത്തി നോക്ക്.

    ഇതാ ഞാന്‍ പറഞ്ഞെ, ചെറിയ ഒരു കാര്യം പോലും അതിന്റെ സത്യസന്തത അനോഷിക്യാതെ പാവം പിളെരോട് പറയല്ലേ.

  46. @ at jardanan sir,
    i was not here for three days.
    ഫുട്ബാളിനെ കുറിച്ചുള്ള മറുപടിയാണോ ഉദ്ദേശിച്ചത് ? എങ്കില്‍ എന്റെ അഭിപ്രായം :സമ പഞ്ച ബുജവും സമ ഷട്ബുജവും ഉപയോഗിച്ചാണ്‌ പന്ത് ഉണ്ടാക്കുന്നത്.ശരിയായ ഒരു ഫുട്ബാളിന് 15സമപഞ്ചബുജവും 20 സമഷട്ബുജവും ഉണ്ടാവും. വെറും ഷട്ബുജം ഉപയോഗിച്ചാല്‍ പന്ത് ഉരുളില്ല .മൂന്ന് സമഷട്ബുജതിണ്ടേ ശീര്‍ഷകോണ്‍ ചേര്‍ന്നാല്‍ 3*120=360 .ഫലം പന്ത് തേനീച്ചക്കൂട് പോലെ(plane) യാവും. ഇടയില്‍ സമ പഞ്ച ബുജവും ചേര്‍ന്നാല്‍ 2*120+108=348,348<360 ,ഒരുളുന്ന അവസ്ഥ വരും . ഇതിനെക്കാള്‍ യോഗ്യമായ രീതിയില്‍ ഫുട്ബാള്‍ നിര്‍മാണം പറ്റുമെന്ന്തോനുന്നില്ല.
    @Krishnan sir ,your arrival in this blog is surely a ‘treasure’.

  47. Jayan M V says:

    I am a new visitor here. This post is brilliant. But there is a small mistake (even though not that significant). The interior angle of a regular pentagon is 108 not 128.57. Even 108 is not a factor of 360. Hence further discussion is valid
    Jayan M V

  48. abdussamad says:

    thanks- I support your good method of presentation.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s