പാഠം 1. ബഹുഭുജങ്ങള്‍.

ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ പുതിയ പാ​ഠപുസ്തകത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ചില പഠനവിഭവങ്ങള്‍ പങ്കുവെയ്ക്കുകയാണ് ഈ പക്തിയുടെ ലക്ഷ്യം. എല്ലാ ആഴ്ചയിലും ചൊവ്വാഴ്ചകളില്‍ ഇത് തുടരാനാണ് ഉദ്ദേശ്യം.നമ്മുടെ ബ്ലോഗ് ടീമിലെ ജോണ്‍സാറാണ് ഇതു കൈകാര്യം ചെയ്യാമെന്നേറ്റിരിക്കുന്നത്. ഇതിലെ ഒരു പ്രവര്‍ത്തനവും സ്റ്റാന്റേഡൈസ് ചെയ്തവയല്ല. ഗണിതാധ്യാപകരുടെ ,ഗണിതചിന്തകരുടെ വിലയേറിയ നിര്‍ദ്ദേശങ്ങളാല്‍ തിരുത്തപ്പെടുകയും കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകള്‍ നടത്തുകയും ചെയ്യുമ്പോള്‍ മാത്രമേ ഇവ പൂര്‍ണ്ണമാകുകയുള്ളൂ. മാറിയ പാഠപുസ്തകം പഠിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ അധ്യാപികയ്ക്കുണ്ടാവാനിടയുള്ള സംശയങ്ങളും പ്രയാസങ്ങളുമൊക്കെത്തന്നെ നമുക്ക് പരസ്പരം ചര്‍ച്ച ചെയ്യാം. ഒന്നാമത്തെ യൂണിറ്റായ ‘ബഹുഭുജങ്ങളി’ല്‍ നിന്നും നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ഒന്നാമത്തെ യൂണിറ്റ് ബഹുഭുജങ്ങളാണ്.പാഠഭാഗത്ത് പരാമര്‍ശിച്ചിരിക്കുന്ന പഠനലക്ഷ്യങ്ങള്‍ (learning objectives) ലിസ്റ്റ് ചെയ്യാം.
ബഹുഭുജങ്ങള്‍ എന്ന ആശയം രുപപ്പെടുത്തുക, ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തരകോണുകളുടെ തുക വശങ്ങളുടെ എണ്ണവുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി കണ്ടെത്തുക, ബാഹ്യകോണുകളുടെ തുക 360 ഡിഗ്രിയെന്ന് തിരിച്ചറിയുക, ഒരു ബഹുഭുജം സമബഹുഭുജമാകുന്ന സാഹചര്യം വിലയിരുത്തുക, അതിന്റെ പ്രത്യേകതകളും ,ബന്ധപ്പെട്ട ജ്യാമിതീയ ചിന്തകളും വിശകലനം ചെയ്യുക എന്നിവയൊക്കെയാണ് പ്രധാന ലക്ഷ്യങ്ങള്‍.സൈഡ് ബോക്സുകള്‍ നല്‍കുന്ന നൂതനചിന്തകള്‍ പഠിതാവിന് അനന്യസാധാരണമായ പഠനാനുഭവങ്ങള്‍ പകര്‍ന്നുതരാന്‍ പര്യാപ്തമാണ്.

നിര്‍വചിതചിന്തകള്‍ ക്കപ്പുറമുള്ള കാഴ്ചകളിലേയ്ക്ക് കുട്ടിയെ നയിക്കാന്‍പറ്റുന്ന വിധമാണ് പഠനവസ്തുതകള്‍ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ ക്രമപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്. ഒരു പഠനപ്രോജക്ടാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. ഒരു പഠനലക്ഷ്യം നേടുന്നതിനായി പഠിതാവ് ഒറ്റയ്ക്കോ ,കൂട്ടായോ നിശ്ചിതസമയംകൊണ്ട് ചെയ്തുതീര്‍ക്കുന്ന പരസ്പരപൂരകങ്ങളായ പഠനപ്രവര്‍ത്തനമാണ് പഠനപ്രോജക്ട് . പോജക്ട് പുര്‍ത്തിയാക്കിയ ശേഷമാണ് അതിന്റെ റിപ്പോര്‍ട്ട് തയ്യാറാക്കുന്നത്. പ്രോജകട് റിപ്പോര്‍ട്ട് പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നത് അനുചിതമാണ്. അതുകൊണ്ട് അഞ്ച്കുട്ടികള്‍ കൂടി നടത്തുന്ന ഒരു പ്രോജക്ട് ചര്‍ച്ചതന്നെയാവാം.

ശ്രാവണി നല്ലൊരു കണക്കധ്യാപികയാണ്. ഒരു സര്‍ക്കാര്‍ വിദ്യാലയത്തില്‍ പഠിപ്പിക്കുന്നു. ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ പുതിയ പാഠപുസ്തകം പഠിപ്പിക്കാന്‍ ഒരുങ്ങുകയാണ്. ഒന്നാമത്ത യൂണിറ്റായ ബഹുഭുജത്തിലെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണവും കോണുകളുടെ തുകയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ചര്‍ച്ചകളിലൂടെ സ്ഥാപിച്ചു കഴിഞ്ഞു. അതിനുശേഷം ശ്രാവണി ടീച്ചര്‍ ഒരു ത്രികോണം വരച്ചു. ത്രികോണത്തിന് എത്ര വികര്‍ണ്ണങ്ങളുണ്ടെന്ന് ചോദിച്ചു. ത്രികോണത്തിന് വികര്‍ണ്ണമോ? ഈ ടിച്ചര്‍ക്ക് എന്തുപറ്റി എന്നായി ചില വിരുതന്മാര്‍. അമ്മുവാണ് ആദ്യം പറഞ്ഞത്. ത്രികോണത്തിന് വികര്‍ണ്ണമുണ്ടാകില്ലെന്ന്. ചതുര്‍ഭുജത്തിന് എത്രവികര്‍ണ്ണങ്ങളുണ്ടെന്ന ചോദ്യത്തിന് എല്ലാമിടുക്കന്മാകും മിടുക്കികളും 2 എന്ന്ഉത്തരം പറഞ്ഞു.
ശ്രാവണിടീച്ചര്‍ വിട്ടില്ല. പഞ്ചഭുജത്തിന്റെയും ഷഡ്ഭുജത്തിന്റെയും വികര്‍ണ്ണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെക്കുറിച്ചുചോദിച്ചു. ഒറ്റയ്ക്കത്തരം പറയാന്‍ വിഷമിക്കുന്നതുകണ്ടപ്പോഴാണ് അഞ്ചുപേര്‍വീതമുള്ള ഗ്രുപ്പുകളായിരുന്ന് ,ചിത്രംവരച്ച് എണ്ണിനോക്കാന്‍ പറഞ്ഞത്.
ഇതോരു പ്രോജക്ടിന്റെ തുടക്കമായിരുന്നു
അമ്മു, അനുറാണി, ശ്രിക്കുട്ടന്‍, റിയാസ് , സൗമിനി എന്നിവര്‍ ഗ്രൂപ്പായി.അവര്‍ പ്രോജക്ടിന് ഒരു പേരിട്ടു.
“ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങളും കോണുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ..ഒരു അമ്പേഷണം‌ ” ഇതായിരുന്നു പേര്
പടം വരച്ച്, വികര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തി ,വശങ്ങളുടെ എണ്ണവും വികര്‍ണ്ണങ്ങളുടെ എണ്ണവും നോക്കി ,പട്ടികയിലാക്കി.
പട്ടിക വിശകലനം ചെയ്യവെ അവര്‍ ഒരു പാറ്റേണ്‍ കണ്ടെത്തി.തുടര്‍ന്ന് n വശങ്ങളുള്ള ബഹുഭുജത്തിന് n(n – 3)/2 വികര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകുമെന്ന് അവര്‍ കണ്ടെത്തി.

ശ്രാവണിടീച്ചര്‍ അവരുടെ പ്രോജക്ട് നിര്‍വഹണത്തില്‍ ഇടപെട്ടുകൊണ്ട് ഒരു യുക്തിചിന്തയിലേയ്ക്ക് അവരെ നയിച്ചു

‌രണ്ട് ശീര്‍ഷങ്ങള്‍ യോജിപ്പിക്കുമ്പോഴാണ് വികര്‍ണ്ണമുണ്ടാകുന്നത്.

ഏതുരണ്ട് ശിര്‍ഷങ്ങള്‍ യോജിപ്പിച്ചാലും വികര്‍ണ്ണം ഉണ്ടാകുന്നില്ല.

ഒരു ശീര്‍ഷത്തെ സമീപസ്ഥങ്ങളായ ശീര്‍ഷങ്ങളുമായി ചേര്‍ത്താല്‍ വികര്‍ണ്ണമുണ്ടാകുന്നില്ല.

ഒരു ശീര്‍ഷത്തില്‍ നിന്നും n – 3 വികണ്ണങ്ങളുണ്ടാകും.

n ശീര്‍ഷങ്ങളുയോഗിച്ച് n ( n – 3 ) എണ്ണമുണ്ടാക്കാം.

അതില്‍ പകുതി എണ്ണമെടുക്കുന്നതിന്റെ യുക്തി എന്താണ്?

ഇത് കുട്ടികള്‍ക്ക് നല്‍കാനായി അധ്യാപകര്‍ക്കുമുന്നില്‍ ചര്‍ച്ചക്കുനല്‍കുന്ന ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനമാണ്. പാഠപുസ്തകത്തില്‍ ഇതിന്റെ സ്ഥാനം ,പ്രസക്തി ഇവ ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെട്ടെക്കാം…..

ഭാവനയുടെ അനന്തമായ ആകാശം കുട്ടിക്കു കാട്ടിക്കൊടുക്കുന്നവളാകട്ടെ പുതിയ സമീപനത്തിലെ മാറുന്ന അധ്യാപിക .

ഗണിതാധ്യാപകരില്‍ നിന്നും ഗണിതസ്നേഹികളില്‍ നിന്നും കുട്ടികള്‍ക്കായി ചില പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ ഈ യുണിറ്റില്‍ നിന്നും കമന്റുകളായും ,മെയിലായും പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. അവ e question Bank ന് ഒരു മുതല്‍ക്കൂട്ടായിരിക്കും.

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in ശാസ്ത്രം, Maths IX, Maths Project. Bookmark the permalink.

71 Responses to പാഠം 1. ബഹുഭുജങ്ങള്‍.

  1. ലേഖനം വളരെ നന്നയിട്ടുണ്ട് അഭിനന്ദനങ്ങള്‍

  2. VIJAYAN N M says:

    1)പോസ്ടിണ്ടേ അവസാനഭാഗത്ത്‌ ഉള്ള രണ്ടു വരികളില്‍ അര്‍ഥം പൂര്നമാകുന്നുണ്ടോ?”nസീര്‍ഷങ്ങലുപയോഗിച് n(n-3) എന്നമുന്ടക്കം.
    അതിന്‍ പകുതി എണ്ണമേടുക്കുന്നതിണ്ടേ യുക്തി എന്ത്?

    pl check it and clear,if any error.
    2) pl go through the post of 8/10/2009 (the story of a4paper)
    while keeping the 57 th page (side box) of new ninth maths text book.

  3. അതില്‍ പകുതി എണ്ണമെടുക്കുന്നതിന്റെ യുക്തി എന്താണ്?

    പോസ്ററിലെ മുകളിലെഴുതിയ വാചകത്തിന്റെ പൊരുള് എനിക്കും മനസ്സിലായില്ല. ഒന്നു കൂടി വിശദീകരിക്കാമോ

  4. “മാറിയ പാഠപുസ്തകം പഠിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ അധ്യാപികയ്ക്കുണ്ടാവാനിടയുള്ള സംശയങ്ങളും പ്രയാസങ്ങളുമൊക്കെത്തന്നെ നമുക്ക് പരസ്പരം ചര്‍ച്ച ചെയ്യാം.”

    “അദ്ധ്യാപകന്മാർക്ക്” സംശയങ്ങളും പ്രയാസങ്ങളും ഒന്നുമില്ലേ ?

  5. കലാവല്ലഭന്‍ സാറേ
    അധ്യാപിക എന്നത് ഞങ്ങളുടെ ട്രെയിനിംഗ് മോഡ്യൂളുകളില്‍ പൊതുവെ അധ്യാപകര്‍ക്കുള്ള പേരാണ്.അല്ലാതെ “അദ്ധ്യാപകന്മാർക്ക്” സംശയങ്ങളും പ്രയാസങ്ങളും ഇല്ല എന്ന അര്‍ത്ഥത്തില്‍ അല്ല. ഓ.കെ

  6. ഹിത & ഹരിത says:

    n ശീര്‍ഷങ്ങളുയോഗിച്ച് n ( n – 3 ) എണ്ണമുണ്ടാക്കാം.അതില്‍ പകുതി എണ്ണമെടുക്കുന്നതിന്റെ യുക്തി എന്താണ്?

    ഓരോ വികര്‍ണവും രണ്ടു ശീര്‍ഷങ്ങളെ തമ്മില്‍ ബന്ധിപ്പികുന്നതുകൊണ്ട് കൊണ്ട് ആണ് കൊണ്ട് ഹരികുന്നത്

  7. ഹിത & ഹരിത says:

    nവശങ്ങള്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ n ശീര്ഷങ്ങളും ഉണ്ടാവും.
    ഏതെങ്കിലും ഒരു ശീര്ഷത്തില്‍ നിന്നും വികര്ണം വരച്ചാല്‍ ശേഷിക്കുന്നത് (n-1)വികര്‍ണങ്ങള്‍ ആണ് .ഇതില്‍ തന്നെ രണ്ടു ശീര്ഷങ്ങള്‍ അടുത്ത് വരുന്നവയിലേക്ക് വികര്‍ണങ്ങള്‍ വരയ്ക്കാന്‍ സാധ്യമല്ല അപ്പോള്‍ ഏതെങ്കിലും ഒരു ശീര്ഷത്തില്‍ നിന്നും വരക്കാവുന്ന വികര്‍ണങ്ങള്‍ (n-3) ആണ് .

    ഇങ്ങിനെ ആകെ ശീര്ഷങ്ങള്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ n(n-3) വികര്‍ണങ്ങള്‍ വരക്കാം എന്ന ചിന്ത ശരിയല്ല . കാരണം ഓരോ വികര്‍ണവും രണ്ടു ശീര്‍ഷങ്ങളെ തമ്മില്‍ ബന്ധിപ്പികുന്നതുകൊണ്ട് കൊണ്ട് ഇതിനെ രണ്ടു കൊണ്ട് ഹരിക്കണം .അതായതു ആകെ വികര്‍ണങ്ങള്‍ n(n-3)/2 ആണ്

  8. ‘അധ്യാപിക’യ്ക്ക് എന്നതുതന്നെയാണ് കൂടുതല്‍ ശരി.
    ആണ്‍വര്‍ഗ്ഗത്തിന് അധ്യാപകജോലിയില്‍ താല്പര്യം കുറഞ്ഞുവരുന്നതിന്റെ ഗുട്ടന്‍സ് ​എന്താണാവോ?
    ധാരാളം ഒഴിവുസമയവും, ബ്രോക്കര്‍പണിയടക്കം സകലമാന സൈഡ്ബിസിനസ്സുകളും ചെയ്യാമെന്ന സൗകര്യം,….ഇങ്ങനെ മടിയന്മാര്‍ക്ക് ഇത്രയും യോജിച്ച മറ്റൊരു തൊഴിലുണ്ടോ?

  9. കൈക്കൂലി കിട്ടാന്‍ വകുപ്പൊന്നുമില്ലാഞ്ഞിട്ടായിരിക്കും ഹോംസേ.!അതുണ്ടായിരുന്നെങ്കില്‍ സ്കൂളുകളും മറ്റും ഹോംസുമാരെക്കൊണ്ടു നിറഞ്ഞേനേ..!!

  10. ഓ, അപ്പോള്‍ നിങ്ങളൊക്കെ ഇവിടെത്തന്നെയുണ്ടല്ലേ…?
    രണ്ടു ദിവസമായി, ആളൊഴിഞ്ഞ പൂരപ്പറമ്പുപോലെ കിടക്കുന്നതു കണ്ട്, ഒന്നു പ്രകോപിപ്പിച്ചാലെങ്കിലും ആരെങ്കിലും വാ തുറക്കട്ടെയെന്നു കരുതി!
    പുരുഷ കേസരികളാരുമില്ലേ..?

  11. ഹിതയും ഗായത്രിയും പിന്നെ അമ്മുവും
    ചോദ്യത്തിന്റെ പുറകിലുള്ള ആശയം മനസ്സിലാവാഞ്ഞിട്ടല്ല. ചോദ്യത്തിന്റെ ഘടന ഒന്നു കൂടി വ്യക്തമാക്കണമെന്നാണ് ഞാന്‍ ഉദ്ദേശിച്ചത്. പക്ഷെ നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം അതിലും ഗംഭീരം.
    “ഓരോ വികര്‍ണവും രണ്ടു ശീര്‍ഷങ്ങളെ തമ്മില്‍ ബന്ധിപ്പികുന്നതുകൊണ്ട് കൊണ്ട് ആണ് കൊണ്ട് ഹരികുന്നത്”

    രാജമാണിക്യം പറഞ്ഞത് പോലെ “നമ്മളില്ലേ”

  12. JOHN P A says:

    പ്രിയ ജനാര്‍ദ്ധനന്‍ സാര്‍
    “നമ്മളില്ലേ” എന്നു പറയല്ലേ സാര്‍
    മലയാളവും കണക്കുമറിയാവുന്ന സാറുതന്നെ ഒരു തിരുത്തല്‍ നിര്‍ ദ്ദേശിക്കണം.please…

  13. .

    ഹലോ. ജോണ്‍ സാര്‍

    താന്കള്‍ എസ്.എസ്.എല്‍.സി കുട്ടികള്‍ക്ക്‌ വിഡിയോയില്‍ ക്ലാസ്‌ എടുക്കുന്ന ഒരു വെബ്സൈറ്റ്‌ ഉണ്ടല്ലോ.. അതിന്റെ അഡ്രസ് ഒന്ന് വേണം. അത് ഞാന്‍ കണ്ടിട്ടുണ്ട്. പക്ഷെ പേര് മറന്നു പോയി..

    .

  14. ഹലോ. ജോംസ് സാര്‍
    ഈ ബ്ളോഗില്‍ തന്നെ In news ബട്ടണില്‍ ക്ളിക്ക് ചെയ്യൂ. അവിടെ ആദ്യം തന്നെ കാണാം

    @ John Sir,
    രാവണപ്രഭു പറഞ്ഞ പോലെ “ചുമ്മാ…”

  15. ഹിത & ഹരിത says:

    @ ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സര്‍

    ABCDE എന്നാ ഒരു പഞ്ചഭുജം പരിഗണിക്കുക .A എന്ന ശീര്ഷത്തില്‍ നിന്നും C എന്ന ശീര്‍ഷത്തിലേക്ക് AC എന്ന വികര്ണം വരച്ചാല്‍ പിന്നെ C എന്ന ശീര്‍ഷം പരിഗണിക്കുമ്പോള്‍ CA എന്ന വികര്ണം വരയ്ക്കാന്‍ കഴിയുകയില്ല അത് കൊണ്ട് രണ്ടു കൊണ്ട് ഹരിക്കണം എന്നാണ് ഉദ്ദേശിച്ചത് .

    കുറച്ചു കൂടി ഭംഗിയായി പറഞ്ഞാല്‍ സൂത്രവാക്യം
    n/2(n-3)എന്ന് എഴുതാം എന്ന് സാരം

    രാജമാണിക്യം പറഞ്ഞത് പോലെ “സര്‍ ആളു പുലിയാണ് കെട്ട “

  16. .

    ഹലോ ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാര്‍

    അതില്‍ ഇല്ലല്ലോ…
    ഒരു ‘ജന….’ എന്നോ മറ്റോ തുടങ്ങുന്ന ഒന്നായിരുന്നു…പല വിഷയങ്ങളുടെ അധ്യാപകര്‍ അതില്‍ വിഡിയോയില്‍ ക്ലാസെടുത്തിരുന്നു…

    .

  17. ഹിത & ഹരിത says:

    @ John sir
    ഒരു ക്ലാസ്സിലെ ‘n’ കുട്ടികള്‍ വൃത്താകൃതിയില്‍ നില്‍ക്കുന്നു എന്ന് കരുതുക.കുട്ടികള്‍ 1,2,3,4,…..n എന്ന് കരുതുക.1 എന്ന കുട്ടി തൊട്ടടുത്ത്‌ നില്‍ക്കുന്ന(2,n) രണ്ടു കുട്ടികള്‍ ഒഴികെ ശേഷിക്കുന്ന എല്ലാവര്ക്കും കൈ കൊടുക്കുന്നു.
    അപ്പോള്‍ 1 എന്നകുട്ടി ആകെ(n-3) shake hands നല്‍കി.

    ഇതുപോലെ രണ്ടാമത്തെ കുട്ടി 1,3 എന്നിവര്കൊഴികെ എല്ലാവര്ക്കും ഓരോ കൈ കൊടുക്കുന്നു അപ്പോള്‍ ആകെ(n-3) shake hands നല്‍കി

    ഇത് പോലെ മൂന്നാമത്തെ കുട്ടിയും കൈകൊടുക്കുന്നു പക്ഷെ ആ കുട്ടിക്ക് നേരത്തെ തന്നെ ഒന്ന് എന്ന കുട്ടി കൈ കൊടുത്തത് കാരണം ആകെ shake hands (n-4)ആയിരിക്കും

    ഇത് പോലെ നാലാമത്തെ കുട്ടിയും ചെയ്യുന്നു എന്ന് കരുതുക അപ്പോള്‍ അവന്‍ നേരത്തെ തന്നെ 1,2 എന്നെ കുട്ടികള്‍ക്ക് shake hands കൊടുത്തത് കാരണം ആകെ shake hands (n-5)ആയിരിക്കും

    ഇത് ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വികര്‍ണവുമായി ബന്ധപെടുത്തി പറയുക ?

  18. JOHN P A says:

    hitha,gayatri ammu
    നല്ല ചോദ്യം. ഞാന്‍ കണ്ടിട്ടുണ്ട്. ഒാറ്‍മ്മിപ്പിട്ടതിനു നന്ദി. നവുക്ക് e book ല്‍ ചേര്‍ക്കാം

  19. JOHN P A says:

    Dear Jomes sir
    http://jnandarshan.com/
    This is an SSA pro program of EKM

  20. ഹിത & ഹരിത says:

    @ John sir

    നിത്യ ജീവിതത്തില്‍ നാം കാണുന്ന ബഹുഭുജങ്ങളെ
    സംബന്ധിച്ച് ഒരു സെമിനാര്‍ തയാറാക്കുക.
    ഉദാഹരണം : crystals , honeycomb

    ഇത് കുട്ടികള്‍ക്ക് നല്കാന്‍ കഴിയുന്ന ഒരു ചെറിയ വര്‍ക്ക്‌ അല്ലെ

  21. Anjana says:

    n വശങ്ങളുണ്ടെങ്കില്‍ n ശീര്‍ഷങ്ങളുണ്ട്. n ശീര്‍ഷങ്ങളില്‍ നിന്ന് രണ്ടു ശീര്‍ഷങ്ങള്‍ എത്ര വിധത്തില്‍ തെരെഞ്ഞുടുക്കാം? Permutations and Combinations പരിചയമുള്ളവര്‍ക്ക്, ഉത്തരം വേഗം പറയാം: nC2 = n (n-1) /2 . ഇങ്ങനെകിട്ടുന്ന രണ്ടു ശീര്‍ഷങ്ങളെ യോജിപ്പിച്ചാല്‍ ഒന്നുകില്‍ അത് ഒരു വശമായിരിക്കും, അല്ലെങ്കില്‍ ഒരു വികര്‍ണമായിരിക്കും. അപ്പോള്‍ വശങ്ങളുടേയും വികര്‍ണങ്ങളുടേയും ആകെ എണ്ണം n (n-1) /2 എന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. പക്ഷെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം n ആണെന്ന് നമുക്ക് അറിയാം.
    അതിനാല്‍ വികര്‍ണങ്ങളുടെ എണ്ണം = [ n (n-1) /2 ] – n = n (n-3) / 2

    n ശീര്‍ഷങ്ങളില്‍ (വസ്തുക്കളില്‍) നിന്ന് രണ്ടു ശീര്‍ഷങ്ങള്‍ (വസ്തുക്കള്‍) എത്ര വിധത്തില്‍ തെരെഞ്ഞുടുക്കാം? ഈ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം n -നു വ്യതസ്ത വിലകള്‍ കൊടുത്തു പരിശോധിച്ച് കണ്ടെത്താം. വേണമെങ്കില്‍ ഇത് ഒരു കൊച്ചു assignment ആയും നല്‍കാം.

    വാല്‍കഷ്ണം :
    “ശ്രാവണി നല്ലൊരു കണക്കധ്യാപികയാണ്. ഒരു സര്‍ക്കാര്‍ വിദ്യാലയത്തില്‍ പഠിപ്പിക്കുന്നു. ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ പുതിയ പാഠപുസ്തകം പഠിപ്പിക്കാന്‍ ഒരുങ്ങുകയാണ്. ”
    “ഈ ടിച്ചര്‍ക്ക് എന്തുപറ്റി എന്നായി ചില വിരുതന്മാര്‍. അമ്മുവാണ് ആദ്യം പറഞ്ഞത്. “
    ” ശ്രാവണിടീച്ചര്‍ വിട്ടില്ല.”
    “ഇതോരു പ്രോജക്ടിന്റെ തുടക്കമായിരുന്നു
    അമ്മു, അനുറാണി, ശ്രിക്കുട്ടന്‍, റിയാസ് , സൗമിനി എന്നിവര്‍ ഗ്രൂപ്പായി.അവര്‍ പ്രോജക്ടിന് ഒരു പേരിട്ടു.”

    ഇങ്ങനെയുള്ള കാര്യങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്ത് ഗണിതം ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നതുകൊണ്ട് എന്തെങ്കിലും വിശേഷിച്ചു പ്രയോജനം ഉണ്ടോ?
    ജോണ്‍ സാറിന്റെ ശൈലിയെ വിമര്‍ശിക്കുകയല്ല, സ്കൂള്‍ ഗണിതപുസ്തകങ്ങളിലും ചോദ്യ പേപ്പറുകളിലും ഇപ്പോള്‍ കണ്ടുവരുന്ന ഈ മാറ്റം( ജോണ്‍ സാര്‍ ഈ മാറ്റത്തിന് ചേരുംവിധം എഴുതിയതാണെന്ന് വിചാരിക്കുന്നു ) യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ ഗുണം ചെയ്യുന്നുണ്ടോ എന്നൊരാശങ്ക തോന്നുന്നതുകൊണ്ടാണ് ഇതുന്നയിക്കുന്നത്. കുട്ടികള്‍ ഇതിഷ്ടപ്പെടുന്നുണ്ടോ (ഇഷ്ടപ്പെടുന്നുന്ടെങ്കില്‍ തന്നെ ഏതു രീതിയിലുള്ള ഇഷ്ടം? ), ഇങ്ങനെ പറയുന്പോള്‍ ഗണിതം കൂടുതല്‍ രസകരമാകുന്നുണ്ടോ, അതോ ഗണിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളില്‍നിന്നും ചിന്താരീതിയില്‍നിന്നും വിശകലനരീതിയില്‍നിന്നും വഴിമാറിപ്പോകാനാണോ ഇത് കുട്ടികളെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നത്?
    ഒരു തമാശക്കഥ ഇവിടെ വായിക്കുക

  22. പത്താംക്ലാസിലെ സമാന്തരശ്രേണി അടിസ്ഥാനമാക്കി തയ്യാറാക്കിയ പ്രസന്‍റേഷന്‍ മെയില്‍ ചെയ്തിരുന്നു.പരിശോധിച്ച് യോഗ്യമെങ്കില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കമല്ലോ

  23. JOHN P A says:

    ഒരു തുറന്നചര്‍ച്ചക്കുള്ള സമയമായതുപോലെ.
    ഗണിതത്തിലെ എല്ലാകണ്ടെത്തലുകളും ഒറ്റയാള്‍ പോരാട്ടങ്ങള്‍ തന്നെയാണ്.​മറ്റുവിഷയങ്ങളില്‍ പലപ്പോഴും മറിച്ചാണ്.
    .ഗണിതത്തിന്റെ നേട്ടമല്ല ക്ലാസ്സ്മുറിയില്‍ ലക്ഷ്യമിടുന്നത്.ഗണിതപഠനമാണ്. അവിടെ സ്വാഭാവികസാഹചര്യങ്ങള്‍ സാധ്യമെങ്കില്‍ ഉണ്ടാക്കാം.പ്രോജക്ട് ഒരു പഠനരീതിയായും ഒരു മൂല്യനിര്‍ണ്ണയ ഉപാധിയായും പരിണമിക്കുമ്പോള്‍ ചര്‍ച്ചകളും ,തര്‍ക്കങ്ങളും ,സമവായങ്ങളും അനിവാര്യമാണ്.കണക്കുപഠിപ്പിക്കാന്‍വേണ്ടി കണക്കെടുക്കുന്ന ക്ലാസ്സ്മുറികളില്‍ അഞ്ചന ടീച്ചറിനോട് ചേര്‍ന്ന് നിന്നുചിന്തിക്കാനാണ് എനിക്കിഷ്ടം.

    May 19, 2010 10:35 PM

  24. Anjana says:

    This comment has been removed by the author.

  25. Anjana says:

    ഇന്ന് Serge Lang -ന്റെ ജന്മദിനമാണല്ലോ.( ബ്ലോഗില്‍ ചിത്രം കാണാം) . അദ്ധേഹത്തിന്റെ MATH! – Encounters with high school students എന്ന പുസ്തകത്തില്‍ കാണുന്നതുപോലെയുള്ള അധ്യയന രീതി ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കാര്യത്തില്‍ വളരെ അനുയോജ്യമാണെന്ന് തോന്നുന്നു. കുട്ടികളുടെ പങ്കാളിത്തംഉറപ്പുവരുത്തുന്നുമുണ്ട്, അതേസമയം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ എല്ലാ aspects ഉം പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുണ്ട് താനും . ഒരിടത്തും ബാലിശമായ കൌതുകങ്ങളിലേക്ക് കുട്ടികളെ കൊണ്ടുപോകുന്നുമില്ല. ജോണ്‍ സാര്‍, എന്റെ മനസ്സിലുള്ള ഗണിതബോധന രീതി ഈ പുസ്തകത്തില്‍ കണ്ടതുപോലെയാണ്. നമ്മുടെ ക്ലാസ്സു മുറികളിലും ഇത് സാധിക്കില്ലേ?

    May 19, 2010 11:01 PM

  26. JOHN P A says:

    Anjana Teacher
    ജോര്‍ജ് പോളയുടെ How To Solve IT എന്റെ പക്കലുണ്ട്. അമ്പേഷണാന്മക ഗണിതപഠനത്തിന്റെ എല്ലാസാധ്യതകളും ഞാനതില്‍ കാണുന്നു.ടിച്ചര്‍ പറഞ്ഞ പുസ്തകം pie Co വഴി വാങ്ങാം.thank you for the information

  27. ഇങ്ങനെയൊക്കെ വേണോ അഞ്ജന ടീച്ചര്‍ക്കു മാത്രമല്ല, എന്നെ ഹൈസ്ക്കൂളില്‍ കണക്കു പഠിപ്പിച്ച സരോജിനി ടീച്ചര്‍ക്കും വേണ്ട എന്നായിരിക്കണം തോന്നിയത്. സരോജിനി ടീച്ചര്‍ കണക്കില്‍ യൂണിവേഴ്സിററി റാങ്കു കാരിയായിരുന്നു.കോളേജിന്റെ വരാന്തകളിലൂടെ നടക്കുമ്പോള്‍ പ്രൊഫസര്‍ മുത്തു സാര്‍ ബോര്‍ഡില്‍ ആള്‍ജിബ്രാ ഈക്വേഷനുകള്‍ വലതു കൈകൊണ്ടെഴുതിപ്പോവുമ്പോള്‍ത്തന്നെ ഇടതു കൈകൊണ്ടു തൂത്തു കളയുന്നതു കണ്ട് പകച്ചു പോയിട്ടുണ്ട്. ക്ളാസിലെ കുട്ടികളില്‍ നല്ലൊരു ശതമാനത്തിനു ഇവരെ പിന്തുടരാന്‍ കഴി‍ഞ്ഞിരുന്നില്ല . കുട്ടികളുടെ നിലവാരത്തിലേക്കിറങ്ങിച്ചെല്ലാന്‍ അവര്‍ക്കും കഴിഞ്ഞില്ല.
    താനിതു എന്തിനു വേണ്ടി പഠിക്കുന്നു എന്ന ആവശ്യകതാ ബോധത്തില്‍ ഊന്നി നിന്നു കൊണ്ടുള്ള പഠനം മാത്രമേ സാര്‍ഥകമാവുകയുള്ളൂ. പിന്നീട് ദൈനംദിന ജീവിതത്തില്‍ മററാവശ്യങ്ങക്കായി അതുപയോഗിക്കാന്‍ സാധിക്കുകയും വേണം. ഗണിതത്തെ ഇതില്‍ നിന്നൊഴിച്ചു നിര്‍ത്താന്‍ കഴിയുകയുമില്ല. ഒരാളുടെ ബുദ്ധിശക്തിയും ചിന്താശക്തിയും അളക്കുമ്പോള്‍ അയാളുടെ ഐ.ക്യു മാത്രം കണക്കാക്കിയാല്‍ പോരെന്നും വര്‍ബല്‍ ഇന്റലിജന്‍സ്, ഇമോഷണല്‍ കോഷന്റ് എന്നിവ കൂടി കണക്കിലെടുക്കണമെന്നുമാണല്ലോ പുതിയ മനശ്ശാസ്ത്ര പാഠങ്ങള്‍.
    Serge Lang -ന്റെ MATH! – Encounters with high school students എന്ന പുസ്തകത്തില്‍ കാണുന്ന അധ്യയന രീതി എന്താണെന്നെനിക്കറിയില്ല. ഇന്നത്തെ ശരി അവസാന വാക്കൊന്നുമല്ല.അവ നാളത്തെ മിഥ്യയാവാനും മതി. അതു കൊണ്ടു തന്നെ ഇന്നലത്തെതില്‍ പിടിച്ചു തൂങ്ങി നില്‍ക്കാനും നമുക്ക് കഴിയില്ലല്ലോ

  28. ഹിത & ഹരിത says:

    ഏതെങ്കിലും ഒരു ഗണിത അധ്യാപകന്‍ എന്റെ ചോദ്യത്തിനു ഉത്തരം തരും എന്ന വിശ്വാസത്തോടെ

    ബഹുഭുജം എന്ന പാഠത്തില്‍ ആന്തര കോണുകളുടെ തുക കാണാന്‍ മൂന്ന് രീതികള്‍ കൊടുത്തതായി കണ്ടു

    1) ഒരു ത്രികോണവും തൊട്ടു മുന്നിലുള്ള ബഹുഭുജവുമായി വിഭജിച്ചു കൊണ്ട് (n-2)*180 എതുന്നത്

    2)ഒരു ശീര്ഷത്തില്‍ നിന്നും കഴിയുന്നത്ര വികര്‍ണങ്ങള്‍ വരച്ചു ത്രികോണങ്ങള്‍ ആകി വിഭജിച്ചു കൊണ്ട് (n-2)*180 എതുന്നത്

    3)ഒരു ബിന്ദുവിനു ചുറ്റുമുള്ള കോണുകളുടെ ആശയം വച്ച് കൊണ്ട് (n-2)*180 എതുന്നത്

    എതു രീതി ആണ് ആദ്യം പടിപിക്കാന്‍ അനുയോജ്യം.?

    എതെങ്കിലും ഒരു രീതിയിലൂടെ ആശയം കുട്ടികളില്‍ എത്തിച്ചാല്‍ മതിയോ ? അതോ എല്ലാ രീതികളും പടിപിക്കണോ ?

    എതാണ് കുട്ടികള്‍ക്ക് എളുപ്പം പഠിപ്പിക്കാനും മനസ്സിലാകാനും കഴിയുന്ന വഴി ?

  29. ഹിത & ഹരിത says:

    @ John sir

    ബഹുഭുജങ്ങള്‍ എന്ന പാഠത്തില്‍ ആന്തര കോണുകളുടെ തുക കാണാന്‍ പുസ്തകത്തില്‍ മൂന്ന് രീതികള്‍ ഉപയോഗിച്ചതായി കാണുന്നു.

    1)ഒരു ത്രികോണവും തൊട്ടു മുന്നില്ലുള്ള ബഹുഭുജവും ആയി വിഭജിച്ചു കൊണ്ട് (n-2)*180 എത്തി ചേരുന്നത്

    2) ത്രികോണങ്ങള്‍ ആക്കി വിഭജിച്ചു കൊണ്ട് (n-2)*180 എത്തി ചേരുന്നത്

    3) ഒരു ബിന്ദുവിനു ചുറ്റുമുള്ള കോണുകളുടെ ആശയത്തിലൂടെ (n-2)*180 എത്തി ചേരുന്നത്

    ഇതില്‍ എല്ലാ രീതികളും കുട്ടികളെ പടിപിക്കണോ അതോ ഏതെങ്കിലും ഒരു രീതിയിലൂടെ ആശയത്തില്‍ എത്തിയാല്‍ മതിയോ ?
    ഏതു രീതിയാണ്‌ പ്രധാനമായും പടിപിക്കേണ്ടത് ?എന്തൊക്കെ ആശയങ്ങള്‍ കുട്ടികളില്‍ എത്തിക്കാന്‍ ശ്രമിക്കണം ?

  30. revima says:

    വളരെ നല്ലത്

  31. AZEEZ says:

    എനിക്ക് തോന്നുന്നത്
    2) ത്രികോണങ്ങള്‍ ആക്കി വിഭജിച്ചു കൊണ്ട് (n-2)*180 എത്തി ചേരുന്നത്

    ആണ് ഇതില്‍ ഏറ്റവും നല്ല മെതേഡ് എന്നാണ് .
    കൂടുതല്‍ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ക്കായി കാത്തിരിക്കാം

  32. ഹിത & ഹരിത says:

    അസീസ്‌ സാറിന് പ്രത്യേക നന്ദി . കൂടുതല്‍ പേരുടെ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു

  33. ഹിത & ഹരിത says:

    ഏതു രീതിയാണ്‌ പ്രധാനമായും പടിപിക്കേണ്ടത് ?എന്തൊക്കെ ആശയങ്ങള്‍ കുട്ടികളില്‍ എത്തിക്കാന്‍ ശ്രമിക്കണം ?

    @ Hari sir
    എന്ത് പറ്റി കാണാനേ ഇല്ലാലോ ?വീണ്ടും തീര്‍ഥയാത്ര പോയോ?വേഗം ഞങ്ങളുടെ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് മറുപടി തരു.

    @ ഭാമ ടീച്ചര്‍
    ട്രെയിനിങ്ങില്‍ ആയിരുന്നത് കൊണ്ട് ടി.വി.പ്രോഗ്രാം കാണാന്‍ കഴിഞ്ഞില്ല .ടീച്ചര്‍ക്ക്‌ സുഖം എന്ന് കരുതുന്നു. ടീച്ചറുടെ വിലയേറിയ അഭിപ്രായം പറയുമല്ലോ ?

    @ ബാബു സര്‍

    എന്താ ഒന്നും മിണ്ടാതെ ?

    @ മുരളി സര്‍

    സാറിന്റെ അഭിപ്രായം പറയണം .

    @ വിജയന്‍ സര്‍

    എന്താപ്പോ നമ്മളെ ഒന്നും പരിഗനിക്കുന്നെ ഇല്ല. സാറിന്റെ അഭിപ്രായം എന്താണ് ?

  34. @ Hitha,Gayathri & Vismaya

    ഏതെങ്കിലും ഒരാശയം കുട്ടികളിലെത്തിക്കാന്‍ വിവിധ രീതികള്‍ ഉപയോഗിക്കാന്‍ സാധ്യതകള്‍ ഉള്ള സ്ഥലങ്ങളില്‍ അവയെല്ലാം ഉപയോഗിച്ച് ഉറപ്പിക്കുന്നതാണ് ഉത്തമം. അതില്‍ ഏതു രീതിയാണ് ആദ്യം അവതലംബിക്കേണ്ടത് എന്നുള്ളത് ക്ലാസിന്റെ നിലവാരവും അധ്യാപകന്റെ സൌകര്യവും അനുസരിച്ച് തീരുമാനിക്കാവുന്നതാണ്

  35. ഹിത & ഹരിത says:

    സ്നേഹം നിറഞ്ഞ ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സര്‍

    സാറിന്റെ അഭിപ്രായത്തിനു നന്ദി .തികച്ചും പ്രശംസ അര്‍ഹിക്കുന്ന ഉത്തരം തന്നെ ആണ് .ഒരു സംശയം കൂടി .ഏതെങ്കിലും ഒരു രീതിയിലൂടെ കുട്ടികള്‍ പൂര്‍ണമായി ആ ആശയം ഉള്കൊണ്ടാല്‍ പിന്നെ മറ്റു രീതികള്‍ ചിലപ്പോള്‍ അവരെ ആശയകുഴപ്പത്തിലേക്ക് നയിക്കുമോ ?

    എല്ലാ കുട്ടികളും ഒരു പോലെ ചിന്തികണം എന്നില്ലല്ലോ അപ്പോള്‍ എളുപ്പ മാര്‍ഗം അവലംബിക്കുന്നത് അല്ലെ നല്ലത് ?

    മറുപടി പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു

  36. @ Hitha

    ഏതെങ്കിലും ഒരു രീതിയിലൂടെ കുട്ടികള്‍ പൂര്‍ണമായി ആ ആശയം ഉള്കൊണ്ടാല്‍ പിന്നെ മറ്റു രീതികള്‍ ചിലപ്പോള്‍ അവരെ ആശയകുഴപ്പത്തിലേക്ക് നയിക്കുമോ?

    ആശയം ഉള്‍കൊണ്ടാല്‍ പിന്നെ മറ്റു രീതികള്‍ അത് ഉറപ്പിക്കുക മാത്രമേ ചെയ്യുന്നുള്ളൂ.

    എല്ലാ കുട്ടികളും ഒരു പോലെ ചിന്തികണം എന്നില്ലല്ലോ അപ്പോള്‍ എളുപ്പ മാര്‍ഗം അവലംബിക്കുന്നത് അല്ലെ നല്ലത് ?

    ഉത്തരം ചോദ്യത്തില്‍ തന്നെയുണ്ട്. എളുപ്പ മാര്‍ഗ്ഗം എന്നുള്ളത് ആപേക്ഷികമാണ്. ഹിതയ്ക്ക് എളുപ്പമുള്ളത് എനിക്ക് ചിലപ്പോള്‍ കഠിനമായിരിക്കും. മുകളില്‍ കൊടുത്ത ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളില്‍ ഓരോരുത്തര്‍ക്കും എളുപ്പമായി തോന്നിയത് വ്യത്യസ്തമായ ഒന്നായിരിക്കും.ഓ.കെ
    (എന്നെ പരീക്ഷിച്ചതൊന്നുമല്ലല്ലോ)

  37. ഹിത & ഹരിത says:

    സ്നേഹം നിറഞ്ഞ ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സര്‍

    ഒരിക്കലും അല്ല .സാറിനെ പോലെ അനുഭവ പരിചയം ഉള്ള ആളുകളെ ഞാന്‍ ബഹുമാനിക്കുന്നു.ഞാന്‍ ക്ലാസ്സ്‌ എടുക്കാന്‍ ഒന്നും പോകുന്നില്ല പക്ഷെ പുസ്തകം കണ്ടപ്പോള്‍ വെറുതെ ഒന്ന് വായിച്ചു നോക്കി.അപ്പോള്‍ എനിക്ക് തോന്നിയ സംശയങ്ങള്‍ ചോതിച്ചു എന്ന് മാത്രം.

  38. JOHN P A says:

    Dear hitha ,Gayatri,Ammu
    മുകളില്‍പറഞ്ഞ മുന്നു രീതികളും നല്ലതുതന്നെ.മൂന്നു രീതിയിലും ചിന്തിക്കാന്‍ കുട്ടിയെ പ്രാപ്തനാക്കുക
    പുതിയ പാഠപുസ്തകത്തിലെ സമീപനം മറ്റോന്നാണ്.
    കുട്ടിക്ക് ഏറ്റവും പരിചയമുള്ള രൂപം ത്രികോണമാണ്.ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ തുക 180 ആണല്ലോ.ഒരു ത്രികോണത്താട് മറ്റോരു ത്രികോണം അനുയോജ്യമായവിധം ചേര്‍ത്തുവെക്കുമ്പോള്‍ കോണ്‍തുക 180 കൂടുന്നു,വശം 1 കൂടി ചതുര്‍ഭുജമാകും.ചതുര്‍ഭുജത്താട് ഒരു ത്രികോണം കൂടി ചേര്‍ക്കുമ്പോള്‍ കോണ്‍ തുക 180 + 2* 180 ആകുന്നു. വശം 1 കൂടി കൂടുന്നു .തുക 3 * 180.ഈ മൂന്നിന്റെ പ്രസക്തി എന്താണ്?ഓരോ ത്രികോണങ്ങള്‍ ചേര്‍ക്കുമ്പോഴും വശം ഒന്നു വീതം കൂടുന്നു.ആദ്യത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ടുവശങ്ങള്‍ മാറാതെ നില്‍ക്കുന്നു.
    n വശമുള്ള ബഹുഭുജം.അതില്‍ രണ്ടുവശങ്ങള്‍ ആദ്യത്രികോണത്തിന്റെതു തന്നെ.ബാക്കി n – 2.തുകയോ?( n – 2 )* 180
    വാല്‍ക്കഷണം.
    പഴയ പുസ്തകത്തില്‍ മുന്നിലിരിക്കുന്ന n വശങ്ങളുള്ള ബഹുഭുജത്തെ n – 2 ത്രികോണങ്ങളാക്കുന്നു.പുതിയ കാഴ്ചപ്പാടില്‍ ബഹുഭുജരൂപീകരണത്തിന്റെ ഉള്‍ക്കാഴ്ചയില്‍ കോണ്‍ തുകയെക്കുറിച്ച് പുതിയ കാഴ്ച കാണുന്നു.5 മുതല്‍ ഇങ്ങനെയാണ് കുട്ടി വളരുന്നത്.ഇവിടെയാണ് അമ്പേഷനാന്മകഗണിതപഠനം വിജയിക്കുന്നത്

  39. ആണ്‍ റിക്കഗനൈസ്ഡ് എന്നത് കൊണ്ടു അംഗീകാരം ഇല്ലാത്ത സ്കൂളുകളെ അല്ലെ ഉദ്ദേശിച്ചത് ?
    ഉത്തരവില്‍ അങ്ങിനെയാണല്ലോ…
    സ്ക്രോള്‍ ചെയ്യുമ്പോള്‍ എന്തിനാ ഇംഗ്ലിഷില്‍ ആക്കുന്നത്..?

  40. ഹിതയും രണ്ടുപേരും കേള്‍ക്കാന്‍ വേണ്ടി
    അഭിപ്രായം നിങ്ങള്ക്ക് വിട്ടിരിക്കുന്നു
    നിങ്ങള്‍ 8/10/2009 ലെ (story of A4 paper) പോസ്റ്റും പുതിയ ഒമ്പതാം ക്ലാസ്സിലെ 57 ആം പേജ് ലെ സൈഡ് ബോക്സ്‌ പരിശോധിച്ചു ഒരു അഭിപ്രായം ഉടനെ പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യുക. എന്തുതോനുന്നു ?

  41. Anjana says:

    ഞാന്‍ പറഞ്ഞ Serge Lang -ന്റെ MATH! – Encounters with high school students എന്ന പുസ്തകം ഗണിതം എങ്ങെനെ പഠിപ്പിക്കണം എന്നതിനെപ്പറ്റിയുള്ള ഒരു പഠനഗ്രന്ഥമല്ല. Serge Lang -ന്റെ ക്ലാസുകള്‍ റെക്കോര്‍ഡ്‌ ചെയ്തു പുസ്തകമാക്കിയതാണ്.

    കഥപറഞ്ഞു കൊണ്ട് കണക്കു പറയുന്ന രീതി കുട്ടികള്‍ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു എന്ന് പറയുന്പോള്‍ കഥയാണോ കണക്കാണോ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നത് എന്നാണ് എനിക്ക് സംശയം. കഥ കേള്‍ക്കാന്‍ ഇഷ്ടമുള്ള കുട്ടിയെ കണക്കില്‍ കഥ ചേര്‍ത്ത് കബളിപ്പിക്കേണ്ട കാര്യമില്ല എന്ന് തോന്നുന്നു. ഈ തട്ടിപ്പ് അവള്‍ വേഗം തിരിച്ചറിയും. അവള്‍ കഥ ഊറ്റിയെടുത് രസിക്കുകയും കണക്കു ഉപേക്ഷിക്കുകയും ചെയ്യാനാണ് സാധ്യത!

    മിടുക്കിയായ ഒരു കുട്ടിയോട് ഒരിക്കല്‍ ചോദിച്ചു: “കഥയിലൂടെ കണക്കു പഠിക്കുന്നതാണോ ഇഷ്ടം, അതോ നേരെ കണക്കു തന്നെ പറഞ്ഞു തുടങ്ങുന്നതോ?”
    ഉത്തരം: “രണ്ടും ഇഷ്ടമല്ല . പിന്നെ നിര്‍ബന്ധമാണെങ്കില്‍ രണ്ടാമത്തെ രീതി മതി. എന്തായാലും അവസാനം നമ്മളെക്കൊണ്ട് കണക്കു ചെയ്യിക്കും, പിന്നെയെന്തിനുവേണ്ടിയാണീ കഥയൊക്കെ….കഥയൊക്കെ വെറുതെയാണെന്ന് നമ്മള്‍ക്കറിയാം! “

    ഉത്തരത്തിലെ രണ്ടു പോയിന്റുകള്‍ മനസ്സില്‍ തറച്ചു.
    “രണ്ടും ഇഷ്ടമല്ല” – എത്ര ശരി!
    “പിന്നെ നിര്‍ബന്ധമാണെങ്കില്‍…” – ആര്‍ക്കു നിര്‍ബന്ധമാണെങ്കില്‍? അതാണ്‌ പ്രശ്നം! കഥ പറയേണമെന്നു യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ ആര്‍ക്കാണ്
    നിര്‍ബന്ധം? കുട്ടിക്കോ, അധ്യാപകനോ?

    (Hi Hitha!, glad to see you back!)

  42. ഒരു തുറന്നചര്‍ച്ചക്കുള്ള സമയമായതുപോലെ-ജോണ്‍ പി.എ

    ഇതു പറഞ്ഞ് മാറിക്കളഞ്ഞതാണോ? ഹിതയും കണക്കില്‍ വലിയ പിടിപാടൊന്നുമില്ലാത്ത ഞാനും എത്ര സമയം മെനക്കെടുത്തി. വേറെ ആരെയും കാണാന്‍ കിട്ടുന്നില്ല. ഞങ്ങള്‍ ആദ്യം മാറററും പിന്നീട് മെത്തേഡ്സുമാണ് ചര്‍ച്ച ചെയ്തത്.അല്ലാതെ പസിലു കളിക്കുകയോ കവിത മൂളുകയോ ഒന്നുമല്ലല്ലോ ചെയ്തത്.

  43. mkmali says:

    This comment has been removed by the author.

  44. mkmali says:

    ഹൈസ്കൂള്‍ അധ്യാപക പരിശീലനത്തില്‍ ഒമ്പതാം ക്ലാസ്സിലെ വൃത്തങ്ങള്‍ എന്ന പാഠം ചര്‍ച്ചയില്‍ വന്നപ്പോള്‍ വൃത്തം ഒരു ബഹുഭുജമാനണന്നും അല്ലെന്നും അഭിപ്രായ വ്യത്യാസമുണ്ടായി. വൃത്തം ഒരു ബഹുഭുജമല്ലെന്നും ബഹുഭുജമാകണമെങ്കില്‍ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തമാകാനോ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം വക്രരേഖ ആകാനോ പറ്റില്ലെന്നും വികി പീഡിയയില്‍ നിന്ന് കിട്ടിയ വിവരം വെച്ച് ‍‌ഞാന്‍ വാദിച്ചെങ്കിലും ആര്‍.പി മാര്‍ ‍വൃത്തം ബഹുഭജമാണെന്ന് സമര്‍ത്തിക്കുയായിരുന്നു. മാത്രമല്ല ബഹുഭുജത്തിന് വശങ്ങള്‍, മൂലകള്‍ ശരീരം(body) എന്നീ മൂന്ന് ഭാഗങ്ങള്‍ ഉണ്ട്. വൃത്തത്തിന് ഇവ ഒന്നുമില്ല. പിന്നെ എങ്ങനെ വൃത്തം ബഹുഭുജമാകും? ഇതിലേക്ക് ബ്ലോഗ് സന്ദര്‍ശകരുടെ ശ്രദ്ധ ക്ഷണിക്കുന്നു.

  45. Babu Jacob says:

    @mkmali
    .
    Ref:Math Forum -Ask Dr.Math

    Circle is not a polygon
    The definition of a “side” requires that it be a line segment with a non-zero length. An infinite number of sides would each have a length of zero which would disqualify them from being termed the “sides” of a circle.

    Circle could have no sides! If a side is defined as a straight line, no matter how small, then surely a circle has no sides! Why? Because no matter how small a side is it can be halved, and the midpoint of that side is no longer equidistant from the center of the circle compared to each end!

  46. JOHN P A says:

    polygon is definitely a closed plane figure bounded by straight edges.
    The simplest form is triangle. Compairing to circle. we can imagine a triangle whose base equal to the circumference and altitude to the base the radius. The area of this triangle will be equal to that of the circle
    Both polygon and circle have independent existence.When the number of sides increases , its shape changes and shows a tendency to become circle.
    Is cylinder a prism. Never cylinder and prism are different objects. Volume of both comes from the same cocept.But objects are different
    Limiting case is just an ideal one. As the objects are concrete , it is better to see them independently,even though they follow some common properties

  47. JOHN P A says:

    ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാറേ. ഞാന്‍ ഇവിടെ ,കമ്പ്യൂട്ടറിനരികില്‍,വലിയോരു മേശപ്പുറത്ത് നിരത്തിയിട്ട
    NPR,HLS,.. ഷീറ്റുകള്‍ര്രുമുന്നില്‍ കണ്ണുംനട്ടിരിക്കുകയാണ്.പിന്നെ മനസ്സില്‍ school time table, training module, ,,,അങ്ങനെ പലതും.ഞാന്‍ കാണുന്നുണ്ട് ചര്‍ച്ച.

  48. Babu Jacob says:

    This comment has been removed by the author.

  49. Babu Jacob says:

    .
    @ഹിതയും ഗായത്രിയും പിന്നെ അമ്മുവും ,
    .
    ബാബു സര്‍
    എന്താ ഒന്നും മിണ്ടാതെ ?

    എന്നെയാണോ പരാമര്‍ശിച്ചത്?

    തിരക്കിലാണ്.
    “ഹോംസ്” പറഞ്ഞതുപോലെ പരമാവധി surrender ലീവ് ഉണ്ടാക്കുന്ന തിരക്കിലാണ്.
    സെന്‍സസ് , കോഴ്സ് , university എക്സാം , SAY എക്സാം ……….. അങ്ങനെ പോകുന്നു.

    എങ്കിലും maths ബ്ലോഗിലെ നിങ്ങളുടെ സജീവ ഇടപെടലുകള്‍ ശ്രദ്ധിക്കാറുണ്ട് .
    Maths – നോടുള്ള ഈ താല്‍പ്പര്യം എന്നും കാത്തു സൂക്ഷിക്കുക.

    3 പേര്‍ക്കും നന്മകള്‍ നേരുന്നു.

    .

  50. Lalitha says:

    ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തര കൊനുകളുടെ തുക പഠിപ്പിച്ച ശേഷം ശ്രവണി ടീച്ചര്‍ പരിശീലന പ്രശ്നങ്ങള്‍ ചെയ്യിച്ചു തുടങ്ങിയപ്പോള്‍ “ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ ഓരോ കോണും 150 ഡിഗ്രി എങ്കില്‍ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം എത്ര?” എന്ന ചോദ്യം നല്‍കി
    മിടുക്കിയായ അനില ഉടനെ പറഞ്ഞു – 12
    എങ്ങിനെ കിട്ടി എന്ന ചോദ്യത്തിന് അനില പറഞ്ഞു (10*180)/12.
    ഇതെല്ലാം കേട്ട് ഹരികൃഷ്ണന്‍ അതിശയത്തോടെ ചോദിച്ചു ” എന്തുകൊണ്ടാണ് അനിലയ്ക്ക് 12 എടുക്കാന്‍ തോന്നിയത്?”
    എപ്പോള്‍ ടീച്ചര്‍ തുല്യ അളവുകളുള്ള കോണുകളും വശങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കണ്ടെത്താന്‍ വേണ്ട നിര്‍ദേശങ്ങള്‍ നല്‍കി
    3 വശങ്ങള്‍ എങ്കില്‍( 1*180)/3
    4 വശങ്ങള്‍ എങ്കില്‍ (4*180)/4
    5 വശങ്ങള്‍ എങ്കില്‍ (5*180)/5
    …………………….
    ……………………..
    ……………………….
    പെട്ടെന്ന് ഹരികൃഷ്ണന്‍ അഭിപ്രായപ്പെട്ടു
    3 വശങ്ങള്‍ എങ്കില്‍ 60*3=180
    4 വശങ്ങള്‍ എങ്കില്‍ 90*4 =2*180
    5 വശങ്ങള്‍ എങ്കില്‍ ????
    ??? 3*180 ?? = 5* അഞ്ജാത സംഖ്യ
    എങ്കില്‍ 150*n = (n-2)*180 എന്നെഴുതികൂടെ

    എന്താ ജോണ്‍ മാഷെ ഇതല്ലേ DIVERGENT THINKING

  51. keli says:

    it is realy interssting

  52. Krishnan says:

    Since this is my first posting, let me introduce myself. I’m Krishnan, retired lecturer in Mathematics. Seeing the question, “Is circle a polygon?” and the reply given, I wanted to add something.

    Circles and polygons are names given to distinguish between geometric objects and according to the usual meanings, a circle is definitely not a polygon. But then, polygons with more and more sides of shorter and shorter lengths become more and more circle-like. We can say that a circle is the limiting shape of such a sequence of polygons. But to say that a circle is a polygon of infinitely many sides with the length of each side zero is pure nonsense.

    This is an interesting geometric illustration of the fact that on passing to a limit, sometimes qualitative changes occur. An arithmetical instance of this is the approximation of irrationals by rationals.

    I would have definitely liked to write this in Malayalam, but I find the transliteration here a bit unfamiliar. John, can I attach a PDF which I generate by my own method?

  53. കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ സാന്നിദ്ധ്യം ഏറെനാളായി കൊതിച്ചിരിക്കുകയായിരുന്നു, സത്യം!
    ഇന്ന് ആ സുദിനം വന്നെത്തിയതില്‍ നിറഞ്ഞ സന്തോഷം.
    ഭാഷ പ്രശ്നമാക്കേണ്ടതില്ല, സാര്‍.
    സുസ്വാഗതം!

  54. Anjana says:

    Krishnan Sir, for regular polygons it is intuitively clear that the sequence of polygons eventually takes the shape of a circle. Does it work for irregular polygons? If not, what is the limiting shape of a sequence of polygons which are not necessarily regular? – just a closed smooth curve? Are there anything to predict the limiting shape from the first basic structure (ie; from the shape of the first member of the sequence) ?

  55. Krishnan says:

    Imagine a circle and a sequence of inscribed regular polygons which approximate it. Now think of the circle and the polygons stretched a bit. We now have a sequence of non-regular polygons with an ellipse as the limit!

    The point is we can approximate any closed curve by a sequence of suitably chosen polygons. See for example, Archimedes’ method of finding the area of a parabolic segment, as in

    http://en.wikipedia.org/wiki/The_Quadrature_of_the_Parabola

    Putting this in reverse, we cannot say anything about the limiting shape by just looking at the first few figures of the approximating sequence; but if the underlying pattern of the sequence is well defined, we can of course compute the limiting figure.

    Finally, intuition alone will not always give us the correct answer, but it definitely helps.

  56. JOHN P A says:

    പ്രീയപ്പെട്ട കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍
    അങ്ങയുടെ സാന്നിധ്യം ഞങ്ങള്‍ക്ക് ഒരു പ്രചോദനമാണ്.pdf file തയ്യാറാക്കി mathsekm@gmail.comലേക്ക് അയച്ചാല്‍ ഞങ്ങള്‍ വളരെ സന്തോഷത്തോടെ പോസ്റ്റ് ചെയ്യും . അങ്ങയുടെ വിലയേറിയ സമയം ഇനിയും ബ്ലോഗില്‍ ചെലവഴിക്കുമെന്നു ഞങ്ങള്‍ പ്രത്യാശിക്കുന്നു

  57. @ Krishnan sir

    സിലിണ്ടറിനെ ഒരു സ്തംഭം ആയി പരിഗണിക്കാമോ ?

    Is cylinder a circular prism ?

    സാറിന്റെ വിലയേറിയ അഭിപ്രായം പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു .

  58. Swapna John says:

    മാത്​സ് ലെജന്‍റ് ഇ.കൃഷ്ണന്‍ മാഷിന് സ്വാഗതം. വര്‍ഷങ്ങളായി മാത്തമാറ്റിക്സ് ടെക്സ്റ്റ് പുസ്തക രചനയ്ക്ക് ചുക്കാന്‍ പിടിക്കുന്ന മാഷുടെ പേര് അറിയാത്ത ഗണിതാധ്യാപകര്‍ നമ്മുടെ നാട്ടിലുണ്ടാകില്ല. ആ പേരില്ലാത്ത ഒരൊറ്റ ഹൈസ്ക്കൂള്‍ ഗണിതപാഠപുസ്തകങ്ങളും ഉണ്ടാകില്ല. അങ്ങനെയുള്ള ഒരു മഹദ്​വ്യക്തി മാത്​സ് ബ്ലോഗിലേക്കെത്തിയതോടെ നിത്യസന്ദര്‍കരായ ഞങ്ങള്‍ക്കും ധൈര്യമായി! സന്തോഷമായി! ഇനി പാഠപുസ്തകത്തിലെ സംശയങ്ങള്‍ കുറേക്കൂടി ധൈര്യമായി ചോദിക്കാമല്ലോ. മുഖ്യരചയിതാവില്‍ നിന്നു തന്നെ സംശയനിവാരണത്തിന് വകയുള്ളതില്പരം സന്തോഷം മറ്റെന്തിനുണ്ട്?

  59. Sankaran mash says:

    എന്‍റെ അറിവില്‍ , ജ്യാമിതിയരൂപങ്ങള്‍ വരയ്ക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന ടെക് എന്ന സോഫ്റ്റ്വെയര്‍ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന കേരളത്തിലെ അപൂര്‍വ്വം പേരിലൊരാളാണ് ഇ.കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍. പത്താം ക്ലാസ് മാത്​സ് ടെക്സ്റ്റിലെ പാഠഭാഗങ്ങള്‍ തയ്യാറാക്കിയതു കൂടാതെ ജ്യാമിതീയ ചിത്രങ്ങളെല്ലാം വരച്ചതും കൃഷ്ണന്‍ സാറാണെന്നാണ് കേട്ടിരിക്കുന്നത്. കേരളയൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെ മാത്സ് ഹെഡ്ഡായിരുന്ന, കേരളത്തിലെ ഗണിതപഠനത്തിന്‍റെ ഗതിവിഗതികള്‍ നിശ്ചയിക്കുന്ന കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്‍റെ പിന്തുണ മാത്​സ് ബ്ലോഗിന് ലഭിച്ചത് ഒരു ഭാഗ്യം തന്നെ.

  60. ഇന്ന് മൂന്ന് സന്തോഷങ്ങളുണ്ടായി.
    1.ജിക്കുവിന്റെ ബ്ലോത്രം

    2.നമ്മുടെ ബൂലോഗം

    3.ഏറെ കാത്തിരുന്നഇദ്ദേഹത്തിന്റെആഗമനം!

  61. Lalitha says:

    Welcome Krishnan Sir to our blog.

  62. Anjana says:

    കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ TEX നെ കുറിച്ചുള്ള പുസ്തകം ഇവിടെ
    Lecture (Video) ഇവിടെ

  63. Krishnan says:

    ഗായത്രിയുടെ ചോദ്യം: cylinderനെ സ്തംഭമായി പരിഗണിക്കാമോ? ബഹുഭുജം, വൃത്തം ഇവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പോലെ തന്നെയാണ്‌ സ്തംഭം, cylinder ഇവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധവും. ഏതു cylinderഉം സമബഹുഭുജസ്തംഭങ്ങളുടെ limit ആണ്‌. എന്നാല്‍ സ്തംഭം എന്നതിന്, സർവസമമായ രണ്ടു മുഖങ്ങളും അവയെ യോജിപ്പിച്ചുകൊണ്ടുള്ള ചതുരങ്ങളും ചേർന്ന ഘനരൂപം എന്നാണ്‌ സാധാരണ അർത്ഥം. (ചരിഞ്ഞ സ്തംഭം കൂടി വേണമെങ്കില്‍, ചതുരത്തിനുപകരം സാമാന്തരികമാക്കണം.) ഈ അർത്ഥത്തില്‍ cylinder സ്തംഭമല്ല.

    എന്നാല്‍ higher mathematicsല്‍ cylinder എന്നതിന്‌ കുറേക്കൂടി വിശാലമായ അർത്ഥം കല്പിക്കാറുണ്ട്: ഏതെങ്കിലും ഒരു വക്രത്തിന്റെ (അതൊരു ബഹുഭുജമാകാം) ബിന്ദുക്കളിലൂടെ വരയ്ക്കുന്ന സമാന്തരവരകളുടെ കൂട്ടം ഉണ്ടാക്കുന്ന പ്രതലമാണ്‌ cylinder. ഇതനുസരിച്ച് ഏതു സ്തംഭവും cylinder ആണ്‌ !

  64. Krishnan says:

    ശങ്കരന്‍മാഷിന്റെ കുറിപ്പില്‍ ഒരു ചെറിയ തിരുത്ത്: TeX എന്നത് ഗണിതസംബന്ധിയായ ലേഖനങ്ങള്‍ സുന്ദരമായി അച്ചടിക്കാനുള്ള ഒരു computer language ആണ്. ഇതില്‍ ഗണിതചിത്രങ്ങള്‍ കൂടി ഉള്‍പ്പെടുത്തണമെങ്കില്‍, PostScript എന്ന computer language കൂടി ഉപയോഗിക്കേണ്ടിവരും. TeXനുള്ളീല്‍ നിന്നുകൊണ്ടുതന്നെ ഇതു ചെയ്യാനുള്ള സംവിധാനങ്ങളുമുണ്ട്. മലയാളത്തിലും ഇതുപയോഗിക്കാം.

  65. കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ കുറിപ്പിന് ഒരു അനുബന്ധം: അച്ചുനിരത്താന്‍ (typesetting) — അതായത്, കാണാന്‍ ഗരിമയും ഭംഗിയുമുള്ള രീതിയില്‍ ലേഖനങ്ങള്‍ സംവിധാനം ചെയ്യാന്‍ — ഉപയോഗിക്കുന്ന LaTeX (ലാറ്റെക്/ലേയ്റ്റെക് എന്ന് ഉച്ചാരണം. ലാറ്റക്സ് എന്ന് അല്ല)എന്ന സ്വതന്ത്ര സോഫ്ട് വെയറിനെ പരിചയപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പാഠപുസ്തകം ഇവിടെയുണ്ട്.

    (1) LaTeX എന്നത് ശങ്കരന്‍മാഷ് സൂചിപ്പിച്ച TeX (ടെക്) എന്ന സോഫ്ട് വെയറിന്റെ പൊതുവേ ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്ന, ഉപയോഗിക്കാന്‍ കൂടുതല്‍ എളുപ്പമുള്ള രൂപമാണ് (ഇത് മൊത്തത്തില്‍ ശരിയാണെങ്കിലും മുഴുവന്‍ ശരിയല്ല: കൂടുതല്‍ കൃത്യമായ വിവരണത്തിന് ലിങ്കുകള്‍ കാണുക). കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ “ടെക്” എന്ന് പ്രയോഗിച്ചപ്പോള്‍ വിവക്ഷിച്ചതും ലാറ്റെക് തന്നെയാകണം.

    (2) ലിനക്സ് സിസ്റ്റങ്ങളില്‍ ലാറ്റെക് സ്വതവേതന്നെ കാണപ്പെടാറുണ്ട്; ഇന്‍സ്റ്റാള്‍ ചെയ്യാന്‍ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലതാനും.

    (3) ടെക്കിന്റെ സംവിധാനവും നിര്‍മാണവും (ഏറെക്കുറെ മുഴുവനായും) നിര്‍വഹിച്ചത് ജീവിച്ചിരിക്കുന്നവരില്‍ ഏറ്റവും അധികം ആദരിക്കപ്പെടുന്ന കംപ്യൂട്ടര്‍ ശാസ്ത്രജ്ഞരില്‍ ഒരാളായ ഡൊണാള്‍ഡ് കാനൂത്ത് (Donald Knuth) ആണ്. ഇദ്ദേഹം ഇപ്പോള്‍ അമേരിക്കയിലെ സ്റ്റാന്‍ഫഡ് യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെ (മുന്‍!) പ്രൊഫസറാണ്. ഇദ്ദേഹം ഒരു സംഭവമാണ്. ചെറിയ ഒരുദാഹരണം: താനെഴുതിയ ടെക് സോഫ്ട് വെയറിലെ ഓരോ തെറ്റും (bug) കണ്ടുപിടിക്കുന്ന ആദ്യത്തെ ആള്‍ക്ക് അദ്ദേഹം സമ്മാനമായി പണം കൊടുക്കുമെന്ന് പ്രഖ്യാപിച്ചു. ടെക് പുറത്തുവിട്ട് ആദ്യത്തെ വര്‍ഷം കണ്ടുപിടിച്ച തെറ്റുകള്‍ക്ക് $1.28 (ഇന്നത്തെ കണക്കില്‍ ഏകദേശം അറുപതു രൂപ), രണ്ടാം വര്‍ഷം കണ്ടുപിടിച്ച തെറ്റുകള്‍ക്ക് ഇതിന്റെ ഇരട്ടിയായ $2.56, എന്നിങ്ങനെ ഓരോ വര്‍ഷവും ഇരട്ടിയാക്കി പ്രതിഫലം വര്‍ദ്ധിപ്പിച്ചു, $327.68 ആകുന്നതുവരെ. തന്റെ പുസ്തകങ്ങളിലെ തെറ്റുകള്‍ക്കും (അക്ഷരത്തെറ്റുമുതല്‍ എന്തിനും) ഇതേപോലെ ഒരു പദ്ധതി അദ്ദേഹം നടപ്പിലാക്കി (ഇതെല്ലാം ഇപ്പോഴും നിലവിലുണ്ട്, ചില മാറ്റങ്ങളോടെ). ടെക് സൗജന്യ, സ്വതന്ത്ര സോഫ്ട് വെയര്‍ ആണെന്നോര്‍ക്കണം. മൈക്രോസോഫ്ടിന്റെ സ്ഥാപകനായ, ശതകോടീശ്വരനായ ബില്‍ ഗേറ്റ്സ് ഇതേപോലൊരു പദ്ധതി ആവിഷ്കരിച്ചാല്‍ എന്തു സംഭവിക്കും എന്ന് ആലോചിച്ചുനോക്കൂ! കാനൂത്ത് ഈ പദ്ധതിപ്രകാരം അയച്ചുകൊടുത്ത ചെക്കുകള്‍ക്ക് മിക്കപ്പോഴും എന്തുസംഭവിക്കുന്നു എന്നറിയാന്‍ ലിങ്കുകള്‍ നോക്കുക.

    (4) കംപ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ സര്‍വവിജ്ഞാനകോശം എന്നുവിളിക്കാവുന്ന The Art of Computer Programming എന്ന (ഇതുവരെ) നാലു ഭാഗങ്ങളുള്ള പുസ്തകം എഴുതിയതും (ഇപ്പോഴും എഴുതിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നതും) ഇദ്ദേഹമാണ്. കംപ്യൂട്ടര്‍ ശാസ്ത്രത്തില്‍ മൌലികമായ അനേകം സംഭാവനകള്‍ ഇദ്ദേഹത്തിന്റേതായിട്ടുണ്ട്.

    (5) ടെക്കിനെ ആധാരമാക്കി ലാറ്റെക് സംവിധാനം ചെയ്തത് (ആദ്യ പതിപ്പുകള്‍ നിര്‍മിച്ചതും) ലെസ്ലീ ലാംപോര്‍ട്ട് (Leslie Lamport) എന്ന പ്രശസ്തനായ മറ്റൊരു കംപ്യൂട്ടര്‍ ശാസ്ത്രജ്ഞനാണ്. ഇദ്ദേഹം ഇപ്പോള്‍ മൈക്രോസോഫ്ടിന്റെ ഗവേഷണ വിഭാഗത്തില്‍ ജോലി ചെയ്യുന്നു.

    (6) മേല്‍ക്കൊടുത്ത പാഠപുസ്തകം എഴുതിയത് കേരളത്തില്‍ സ്വതന്ത്ര സോഫ്ട് വെയറിന്റെ ഉപയോഗവും നിര്‍മാണവും പ്രചരിപ്പിക്കുന്നതിനുവേണ്ടി വര്‍ഷങ്ങളായി പ്രയത്നിക്കുന്ന, കേരളത്തിലെ സ്വതന്ത്ര സോഫ്ട് വെയര്‍ മേഖലയിലെ ആദ്യകാല കുടിയേറ്റക്കാരില്‍ മുന്‍നിരയില്‍ നില്‍ക്കുന്ന പ്രമോദ് സാറാണ്. ഇദ്ദേഹം കാലിക്കറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര ബി.എസ്.സിക്കാര്‍ക്കുവേണ്ടി എഴുതിയ പാഠപുസ്തകത്തിലെ ഒരു ഭാഗമാണ് മുകളില്‍ കൊടുത്ത ലാറ്റെക് പാഠം.

    — ഫിലിപ്പ്

  66. സ്നേഹം നിറഞ്ഞ കൃഷ്ണന്‍ സാറിന് നന്ദി രേഖപെടുത്തുന്നു .സാറിനെ പരിചയപെടാന്‍ കഴിഞ്ഞതില്‍ സന്തോഷം .

  67. ബഹുഭുജങ്ങളുമായി ബന്ധപെട്ടു രണ്ടു ചോദ്യങ്ങള്‍

    1) ABCDE is a pentagon .AB parallel CD , Angle B =145 degree , Angle C =5x ,Angle D = 4x Then find the value of ‘x’ ?

    2) Ratio between number of ides of two polygons is 4:5 and the interior angles are in the ratio 15:16 then find the number of sides in each polygon ?

  68. bhama says:

    കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ സാന്നിദ്ധ്യം ഞങ്ങള്‍ക്ക് പ്രചോദനമാകുന്നു.

  69. JOHN P A says:


    കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ സാന്നിധ്യംകൊണ്ട് വളരെ സന്തോഷിക്കുന്ന ഒത്തിരിപേരുണ്ട് നമ്മുടെ സന്ദര്‍ശകര്‍.ഹരിസാറിനെ വിളിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഇവര്‍ക്കൊക്ക വേണ്ടി കൃഷ്ണന്‍ സാറിനോട് നന്ദിപറയുന്നു
    ഇന്ന് ഒരു B .Ed കോളേജിലെ ഗണിതവിദ്യാര്‍ഥികള്‍ക്കായി ഒന്‍പതാംക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി കുറേ സമയം ക്ലാസെടുക്കാന്‍ അവസരം കിട്ടി.
    അനന്യസാധാരണമായ പഠനാനുഭവങ്ങളാണ് പുസ്തകം പകര്‍ന്നുതരുന്നത്.
    പുസ്തകത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ പോസ്റ്റുചെയ്യുമ്പോള്‍ ഞങ്ങള്‍ക്ക് വഴികാട്ടാന്‍ സാര്‍ ഉണ്ടാകുമെന്ന പ്രതീക്ഷ പുതിയ ഉണര്‍വുതരുന്നു.സാറിന്റെ ചിന്തകളുടെ സാക്ഷാത്ക്കാരമായ പാഠപുസ്തകം വിനിമയം ചെയ്യുന്ന കേരളത്തിലെ ഗണിത അധ്യാപകര്‍ക്ക് ദിവസേനേ അങ്ങയുമായി സംവദിക്കാന്‍ കഴിയുക എന്നത് ഭാഗ്യമാണ്.അതിനു നിമിത്തമാകാന്‍ കഴിഞ്ഞതതില്‍ ഞാന്‍ അഭിമാനിക്കുന്നു

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s