Paradox


പാരഡോക്സ് ‘എന്നു കേട്ടിട്ടുണ്ടോ…? ഒരു ‘കുഴഞ്ഞുമറിഞ്ഞ പ്രശ്നം’ അല്ലേ? അത്രയേ എനിക്കും അറിയാമായിരുന്നുള്ളൂ ….എന്നാല്‍, പരസ്പര വിരുദ്ധമായ ഒന്നോ ഒരുകൂട്ടമോ പ്രസ്താവനകളെയാണ് ഇതുകൊണ്ട് അര്‍ഥമാക്കുന്നത്. (A paradox is a statement or group of statements that leads to a contradiction or a situation which defies intuition). ‘കറി’ യുടെ പാരഡോക്സ് (Curry’s paradox) പോലുള്ള ചില പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്ക് ഏവര്‍ക്കും സ്വീകാര്യമായ പരിഹാരങ്ങള്‍ ഇതുവരെ ആയിട്ടില്ലായെന്നറിയുമ്പോഴാണ് നാം ഇവയുടെ മഹത്വം മനസ്സിലാക്കുന്നത്! ഇംഗ്ലീഷ് ഭാഷയിലെ ഒരു പാരഡോക്സ് കാണുക.

“The statement below is false”
“The statement above is true”.

“ഇവയെക്കുറിച്ച് കൂടുതല്‍ അറിയാവുന്നവരുടെ കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകള്‍ കൂടിയാകുമ്പോഴേ, ഈ പോസ്റ്റ് പൂര്‍ണ്ണമാവുകയുള്ളൂ. ഖത്തറില്‍ നിന്നും നമ്മുടെ അസീസ് മാഷ് ഒരു പാരഡോക്സ് അയച്ചുതന്നതാണ് ഇന്നിവിടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നത്. ഒരിക്കല്‍ നിയമം പഠിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഗുരുവിന്റെ അടുത്ത്‌ വളരെ സമര്‍ത്ഥനും പാവപ്പെട്ടവനും ആയ ഒരു വിദ്യാര്‍ത്ഥി എത്തി . നിയമങ്ങളെല്ലാം പഠിച്ചു കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ഗുരു അവനോടു ഫീസ്‌ ചോദിച്ചു. താന്‍ വളരെ പാവപ്പെട്ടവന്‍ ആണെന്നും തന്റെ കയ്യില്‍ പണമൊന്നും ഇല്ലെന്നും പറഞ്ഞപ്പോള്‍ ഗുരു അവന്റെ മുമ്പില്‍ ഒരു നിര്‍ദ്ദേശം വെച്ചു .”സാരമില്ല, നിനക്ക് ആദ്യമായി കിട്ടുന്ന കേസിന്റെ പ്രതിഫലം എനിക്ക് തന്നാല്‍ മതി.” അപ്പോള്‍ ശിഷ്യന്‍ പറഞ്ഞു. “ആദ്യമായി കിട്ടുന്ന കേസ്‌ ജയിച്ചാല്‍ ഞാന്‍ ഫീസ്‌ തരും , തോറ്റാല്‍ ഞാന്‍ ഫീസ്‌ തരില്ല.”
ഒന്നു ഞെട്ടിയെകിലും ഗുരുവിനു സമ്മതിക്കാതെ തരമില്ലായിരുന്നു.ശിഷ്യന്‍ ഗുരുകുലം വിട്ടു തന്റെ വീട്ടിലേക്ക് പോയി. ധാരാളം പേര്‍ പല കേസുകളുമായി ശിഷ്യനെ സമീപിച്ചെങ്കിലും അവന്‍ ഒരു കേസും ഏറ്റെടുത്തില്ല. കാരണം ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കാന്‍ അവനു താല്പര്യമില്ലായിരുന്നു. ഈ സംഗതി ഗുരു അറിഞ്ഞു.അങ്ങനെ ഇരിക്കെ ഒരു ദിവസം ഗുരുവും ശിഷ്യനും പരസ്പരം കണ്ടുമുട്ടി .

ഗുരു :”നമ്മുടെ ഫീസ്‌ ഇതുവരെ കിട്ടിയില്ലല്ലോ ശിഷ്യാ?”

ശിഷ്യന്‍: “എന്ത് ചെയ്യാനാ ഗുരോ , എനിക്ക് ഇതുവരെ ഒരു കേസു പോലും കിട്ടിയിട്ടില്ല .”

ഗുരു: “സാരമില്ല ,നിനക്കുടനെ തന്നെ ഒരു കേസ്‌ കിട്ടും”

ശിഷ്യന്‍: “എങ്ങനെ?”

ഗുരു: “നീ എന്റെ അടുത്ത് നിന്നും നിയമം പഠിച്ചു പോയിട്ട് ഫീസ്‌ തന്നില്ല എന്നും പറഞ്ഞു ഞാന്‍ കോടതിയില്‍ കേസ്‌ കൊടുത്തിരിക്കുകയാണ്. മാത്രവുമല്ല ഈ കേസില്‍ ഞാന്‍ ജയിച്ചാല്‍ (ശിഷ്യന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കണം എന്ന് കോടതി വിധിച്ചാല്‍ )കോടതി വിധി പ്രകാരം നീ എനിക്ക് ഫീസ്‌ തരണം .ഇനി ഞാന്‍ തോറ്റാല്‍ (ശിഷ്യന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കേണ്ടതില്ല എന്ന് കോടതി വിധിച്ചാല്‍) കേസില്‍ നീ വിജയിക്കുകയും നമ്മുടെ കരാര്‍ പ്രകാരം നീ എനിക്ക് ഫീസ്‌ തരികയും വേണം..

ശിഷ്യന്‍:”അങ്ങനെയല്ല ഗുരോ ;ഈ കേസില്‍ ഞാന്‍ ജയിച്ചാല്‍ ( ശിഷ്യന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കേണ്ടതില്ല എന്ന് കോടതി വിധിച്ചാല്‍) കോടതി വിധി പ്രകാരം ഞാന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ തരേണ്ടതില്ല .അതല്ല ഈ കേസില്‍ ഞാന്‍ തോറ്റാല്‍ (ശിഷ്യന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കണം എന്ന് കോടതി വിധിച്ചാല്‍ ) നമ്മുടെ കരാര്‍ പ്രകാരം ഞാന്‍ ഫീസ്‌ തരേണ്ടതില്ല.

ചോദ്യം: ഇവിടെ ആര് പറഞ്ഞതാണ് ശരി?

ഇംഗ്ലീഷില്‍ വേണോ..?

Few centuries ago, a Law teacher came across a student who was
willing to learn but was unable to pay the fee. The student struck a
deal saying, “I would pay your fee the day I win my first case in
the court”. Teacher agreed and proceeded with the law course. When
the course was finished and teacher started pestering the student to
pay up the fee, student reminded the deal and pushed days. Fed up
with this, the teacher decided to sue the student in the court of
law and both of them decided to argue for themselves. The teacher
put forward his argument saying: “If I win this case, as per the
court of law, student has to pay me. And if I lose the case, student
will still pay me because he would have won his first case. So
either way I will have to get the money”. Equally brilliant student
argued back saying: “If I win the case, as per the court of law, I
don’t have to pay anything to the teacher. And if I lose the case, I
don’t have to pay him because I haven’t won my first case yet. So
either way, I am not going to pay the teacher anything”

Who is telling the truth? Guru or Sishya?

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in ശാസ്ത്രം, General, Lite Maths, Maths Magic. Bookmark the permalink.

91 Responses to Paradox

  1. ഗുരു പറഞ്ഞ്താണ ശരി 

  2. If the sishyan got success he is responsible to pay the first success fee to the Guru, so Guru is correct.

  3. shemi says:

    ഗുരു പറഞ്ഞതാണ് ശരി

  4. JOHN P A says:

    പ്രസിദ്ധമായ റസ്സല്‍ പാരഡോക്സിലേയ്ക് ശ്രദ്ധ ക്ഷണിക്കുന്നു
    ഒരു ഗ്രാമത്തില്‍ ഒരു ബാര്‍ബര്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു
    സ്വന്തമായി ഷേവ് ചെയ്യാത്തവരെ മാത്രം അയാള്‍ ഷേവ് ചെയ്യും
    ബാര്‍ബറാല്‍ ഷേവ് ചെയ്യപ്പെടുന്നവരുടെ ഗണം എടുക്കുക
    ബാര്‍ബര്‍ ഈ ഗണത്തിലെ അംഗമാണോ? ,അല്ലയോ?
    എന്താണ് ഒരു പാരഡോക്സ്?
    ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ അതിന്റെ പ്രസക്തി?
    രസ്സല്‍ പാരഡോക്സിന്റെ പാശ്ചാത്തലം

  5. VIJAYAN N M says:

    AZEES lies a lot. He tells the truth on only one day in a week. One day he said: “I lie on Mondays and Tuesdays.” The next day he said: “Today is either Sunday, Saturday or Thursday.” The next day he said: “I lie on Fridays and Wednesdays.”
    On which day of the week does AZEES tell the truth?

  6. Babu Jacob says:

    Ref :- wikipedia

    Zeno of Elea (495?-435? B.C.) -യുടെ വിരോധാഭാസങ്ങൾ(Paradoxes) പ്രശസ്തങ്ങളാണ്.അവയില്‍ ചിലവ:-

    1)ഒരാള്‍ ഒരു ബിന്ദുവില്‍ നിന്നും മറ്റൊരു ബിന്ദുവിലേയ്ക്ക് പോകുന്നു എന്നിരിയ്ക്കട്ടെ ഏതു രണ്ടുബിന്ദുക്കളുടേയും മദ്ധ്യബിന്ദുവിലൂടെ വേണം സഞ്ചരിക്കാന്‍ ..മദ്ധ്യബിന്ദു എന്ന ഈ ആശയം അനന്തമാണെന്നും ചുരുക്കത്തില്‍ ചലനം എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി അസാദ്ധ്യമായ ഒരു അനുഭവം ആണെന്ന് അഭിപ്രായപ്പെട്ടു.

    .
    .
    2) ഒരു ആമയും മുയലും മുന്നിലും പിന്നിലുമായി നിൽക്കുന്നു.ആമ മിനുറ്റിൽ പത്തടി വേഗത്തിലും മുയൽ ഇരുപതടി വേഗത്തിലും ഓടുന്നു.ആമ ആരംഭത്തിൽ മുയലിനേക്കാൾ ഇരുപതടി മുന്നിൽ നിൽക്കുന്നു. ഓടിത്തുടങ്ങുമ്പോൾ ആമ നിന്ന സ്ഥലത്തെത്താൻ മുയലിന് ഒരു മിനുറ്റ് വേണം.ഈ സമയം ആമ പത്തടി മുന്നോട്ട് പോകും.ഈ ദൂരം മുയലിന് സഞ്ചരിയ്ക്കാൻ 1/2മിനുറ്റ് വേണം.ഇപ്രകാരം അനന്തമായ ഈ ശ്രേണി 1+1/2+1/4+1/8+…………തുടർന്നാൽ മുയലിന് ആമയെ പിന്തള്ളുക അസാദ്ധ്യമാണ്.ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഈ അനുഭവവും യഥാർത്ഥമല്ല എന്ന് സെനോ അഭിപ്രായപ്പെട്ടു.

    .
    .
    3) ഒരു കല്ല്‌ എടുത്തെറിയുന്നു എന്നിരിയ്ക്കട്ടെ.കല്ല് അന്തരീക്ഷത്തിലൂടെ ചലിയ്ക്കുന്നതായി അനുഭവപ്പെടുന്നു എങ്കിലും ഓരോ നിമിഷത്തിലും കല്ല് നിശ്ചലാവസ്ഥയിലാണ്.തുടര്‍ച്ചയായ നിമിഷങ്ങളില്‍ കല്ലിന്റെ ഈ നിശ്ചലാവസ്ഥ ചലിയ്ക്കുന്നതായി തോന്നുന്നു.ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഈ അനുഭവവും അസാദ്ധ്യമാണെന്ന് സെനോ തെളിയിച്ചു.

    Zeno of Elea തന്റെ വിരോധാഭാസങ്ങളിലെല്ലാം ഒന്നിനെ അനന്തമായി വിഭജിച്ച്,അതുളവാക്കുന്ന വൈരുദ്ധ്യം എടുത്ത് കാണിയ്ക്കുക എന്ന അടിസ്ഥാനസ്വഭാവത്തേയാണ് വിശദീകരിച്ചത്.

  7. Manmohan says:

    ബാബു ജേക്കബ് സാർ‍ ഡിബേറ്റിൽ‍ മാത്രമല്ല കണക്കിലും തിളങ്ങിയല്ലോ.

  8. Lalitha says:

    ഗുരു പറഞ്ഞതാണ്‌ ശരി .
    @john sir ബാര്‍ബര്‍ ഗണത്തില്‍ പെടില്ല
    @vijayan N M – AZEES tells the truth on sunday

  9. AZEEZ says:

    അപ്പോള്‍ ശിഷ്യന്‍ പറഞ്ഞത് തെറ്റാണെന്നാണോ എല്ലാവരുടെയും അഭിപ്രായം?

    ഒരു ആമയും മുയലും മുന്നിലും പിന്നിലുമായി നിൽക്കുന്നു.ആമ മിനുറ്റിൽ പത്തടി വേഗത്തിലും മുയൽ ഇരുപതടി വേഗത്തിലും ഓടുന്നു.ആമ ആരംഭത്തിൽ മുയലിനേക്കാൾ ഇരുപതടി മുന്നിൽ നിൽക്കുന്നു. ഓടിത്തുടങ്ങുമ്പോൾ ആമ നിന്ന സ്ഥലത്തെത്താൻ മുയലിന് ഒരു മിനുറ്റ് വേണം.ഈ സമയം ആമ പത്തടി മുന്നോട്ട് പോകും.ഈ ദൂരം മുയലിന് സഞ്ചരിയ്ക്കാൻ 1/2മിനുറ്റ് വേണം.ഇപ്രകാരം അനന്തമായ ഈ ശ്രേണി 1+1/2+1/4+1/8+…………തുടർന്നാൽ മുയലിന് ആമയെ പിന്തള്ളുക അസാദ്ധ്യമാണ്.ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഈ അനുഭവവും യഥാർത്ഥമല്ല എന്ന് സെനോ അഭിപ്രായപ്പെട്ടു.

    ഈ പ്രശ്നം പില്‍ക്കാലത്ത്‌ ഐസക്ക്‌ ന്യൂട്ടന്‍ തെളിയിച്ചതായി എവിടേയോ വായിച്ചതോര്‍ക്കുന്നു .

    അതായത്‌

    ഇവിടെ മുയല്‍ ഓടുന്ന ആകെ ദൂരം 20+10+5+……….

    ie 20(1+1/2+1/4+………)
    ജ്യോമട്രിക് പ്രോഗ്രഷന്റെ ആശയം ഉപയോഗിച്ചാല്‍
    20{1(1-[1/2]n/1-1/2}
    ഇതില്‍ നിന്നും
    20{2(1-1/2n) എന്ന് കിട്ടുന്നു
    when n—> infinity 1/2n —>0
    ie 20*4=40
    അതായത്‌ മുയലിനു ഒരിക്കലും നാല്പത്‌ അടിയില്‍ കൂടുതല്‍ ഓടാന്‍ കഴിയില്ല.
    നാല്‍പത്‌ അടി ഓടിക്കഴിയുമ്പോള്‍ മുയലിനു ആമയെ പിടിക്കാം.

  10. Ammu says:

    @ Vijayan sir

    Azeez sir tells the truth on Tuesday.

    As Azeez sir tells truth only on one day in a week, his statement on day 1 and day 3 both can not be false. Otherwise he tells truth on more than one days in a week. Also, all three statements are mad on three consecutive days, statement made on day 1 and day 3 both can not be true. Thus, either the statement made on day 1 or day 3 is true and other is false. Also, the statement made on day 2 must be false i.e. day 1 is not Saturday, Friday or Wednesday. Let’s assume that the statement 1 is true. Then from the statement 3, day 1 must be either Friday or Wednesday. But it is already deduced that day 1 is not Saturday, Friday or Wednesday. Hence, the statement made on day 1 is false and the last statement is true. then from the statement 1, day 3 must be either Monday or Tuesday. But it is already deduced that day 1 can not be Saturday i.e. day 3 can’t be Monday. Hence, Azeez sir tells the truth on Tuesday.

  11. This comment has been removed by the author.

  12. നര്‍മ്മ ഭാവന
    പാരാഡോക്സ്
    *********

    (ഈ സാങ്കല്പിക കഥയിലെ നായകന്മാര്‍ വിജയ ഗുരുവും അസീസ് ശിഷ്യനും മാത്രം.)

    ഗുരുവും ശിഷ്യനും കൂടി
    കേസു കൊണ്ടു കളിച്ചു പോല്‍
    ഇതിലാരു ജയം നേടീ
    ഇഴ കീറിശ്ശോധിച്ചിടാം

    ഗുരുവാണേല്‍ സാധുപ്രകൃതന്‍
    ശുദ്ധാത്മാവതിലോലമാം-
    വചനങ്ങള്‍ നടത്തുവോന്‍
    നരച്ച ചിന്ത പേറുവോന്‍

    ശിഷ്യനൊപ്പമുള്ളോര്‍ക്കെന്നാല്‍
    നുണയന്‍ ലക്കു കെട്ടവന്‍
    ഗുരു നിന്ദ സദാ ഹൃത്തില്‍
    പതിവായ്ക്കൊണ്ടു പോണവന്‍

    ഗുരുവിന്നു ഫീസും വേണം
    ബത്ത,യത്ര സറണ്ടറും
    ശിഷ്യന്‍ നേരിട്ടു കൈനീട്ടി
    വാങ്ങില്ലൊന്നു മൊരിക്കലും!

    ഇതിലാരു ജയം നേടീ
    എന്നു ചിന്തിച്ചു നില്ക്കണോ
    ജയമിക്കലികാലത്തില്‍
    ശിഷ്യനല്ലേ വിധിച്ചിടൂ!!

    ഇത്രയൊക്കെപ്പറഞ്ഞപ്പോള്‍
    എന്തു താങ്കള്‍ക്കറിഞ്ഞിടാന്‍
    ‘ഡോക്സ’തില്‍ ‘പാര’യേറുമ്പോള്‍ ‘പാരാഡോക്സാ’യിടുന്നെടോ!?

  13. Ammu says:

    @ John sir

    The famous twin paradox was developed by Einstein himself in 1905 after having created his special theory of relativity, and it exemplifies some of the problems scientists had in understanding the theory. The paradox grew out of the postulate to the special theory of relativity that the speed of light is always constant, despite one�s frame of reference (Crotti 1). The importance of the paradox is that it exposed a problem with the special theory of relativity: frame of reference. Einstein�s first theory does not specify which twin�s frame of reference would be correct, meaning either could say he or she was older (Curiosa 1). The existence of the paradox forced Einstein and other physicists to develop an explanation.

    Although the twin paradox was eventually resolved after a number of years, even today it still creates controversy on how the problem is viewed. It is accepted among physicists that the twin who speeds off to Alpha Centauri will ultimately end up younger than the twin on Earth. Some solutions state that the resolution comes from the fact that the twin in the spaceship is in motion, under the force of acceleration, and therefore aging less. This explanation leads into the general relativity theory and its treatment of acceleration (Curiosa 1). The resolution that seems to be more commonly accepted involves the use of frames of reference. The argument simply states that there are three frames of reference in the paradox: that of the sister on earth, the brother in his trip to Alpha Centauri, and the brother in his trip back from Alpha Centauri (Curiosa 1). As the brother speeds away to the star, he is in a frame of reference where he is older than his sister, and when he comes back, the brother shifts to a frame where his sister is older. This changing of frames is why the brother ends up younger than his sister (Bridgman 1). The twin paradox continues to encourage mathematicians and physicists to formulate new ideas for its resolution and for the theory of relativity.

    The paradoxes of Zeno, Cantor and Russell, and Einstein�s twin paradox have caused much confusion throughout history, but have all been important in advancing mathematics. Zeno�s paradoxes about the divisibility of space and time and infinitesimals influenced mathematicians to think more about infinity and the assumptions that had been previously made. Leibniz�s work with infinitesimals led to great discoveries in calculus and influenced the work of the Bernoullis. The paradoxes of Russell and Cantor led mathematicians to formulate axioms and guidelines for set theory, and showed how it could not be based on intuitive logic. Finally, the twin paradox showed both Einstein and the physics community that although the special theory of relativity was brilliant, it still had some inconsistencies that needed to be worked out. Although paradoxes are troubling and confusing by nature, they have nonetheless been important to mathematicians at identifying problems and inconsistencies in mathematics throughout history. Furthermore, by challenging the thinking of the time, paradoxes can lead to even more brilliant discoveries in math. Clearly, paradoxes have been important to mathematics, and the discipline might not be where it is today without them.

  14. NB:- ഡോക്സ് എന്നത് ഡോക്യുമെന്റ്സ് എന്നതിന്റെ ചുരുക്കം. അവസാനത്തെ വരി രണ്ടായി മുറിക്കണം

  15. അമ്മു & ഗായത്രി,
    നമ്മളോടൊക്കെ ഇപ്പോള് പിണക്കത്തിലാണോ

  16. Ammu says:

    @ Poet

    അയ്യോ അങ്ങിനെ ഒന്നും ഇല്ല സര്‍. ഞങ്ങള്‍ക്കൊക്കെ സാറിനെ വലിയ ഇഷ്ടം ആണ് .ഹിത വന്നിരുന്നു പക്ഷെ പെട്ടന്ന് തന്നെ പോകേണ്ടി വന്നു.സര്‍ കാര്യങ്ങള്‍ അറിഞ്ഞില്ലേ .ഇന്ന് ട്രെയിനിംഗ് തീരും നാളെ ഇവിടെ എത്തും.

  17. Ammu says:

    Zenos examination of infinitesimals was important to mathematics as it helped lead to great developments in calculus. Limits find the approximation of a function as it approaches infinity, and in Dr. Shirleys lecture on calculus we learned it was a limit that solved the second crisis in mathematics about how to interpret an extra dx in a derivative problem. Furthermore, in the late 1600s Leibniz became bothered by his use of infinitesimals in differentiation, and decided to justify their use. Although to Leibniz it never really mattered whether or not infinitesimals existed, he found that if a certain ratio is true when quantities are finite, then the same ratio will be true when dealing with limits and infinite values. This manipulation technique became very useful to Johann and Jakob Bernoulli who accepted infinitesimals as mathematical entities and used them to make important discoveries in calculus and its applications.

    Cantor and Russells paradoxes were important to the field of set theory because they caused mathematicians to examine assumptions they had previously made. These paradoxes showed that the set theory at that time (much of which was devised by Cantor) had many inconsistencies because much of it was purely intuitive and not based on any type of axiom or proof. This forced mathematicians to formulate a way to make set theory more consistent and to give it clearly defined restrictions. In the early 1900s Ernst Zermelo devised seven axioms which gave clear rules for set theory (Katz 809-11). One of them, the axiom of separation (or regularity) avoided Cantor and Russells paradoxes by prohibiting self-swallowing sets .These paradoxes were important to the development of set theory because they expressed the need for rules, just as in algebra or geometry.

  18. Ammu says:

    Zeno’s Paradox
     To move a distance, you must first move half the distance.
     To get from A to Z, one must first go halfway from A to Z—say, to B.
     To get from B to Z, one must first go halfway from B to Z—say, to C. . . . and so on and so on.
     So, moving a distance involves completing infinitely many motions.
     Every motion takes time.
     Completing infinitely many motions takes an infinite amount of time.
     So, moving a distance takes an infinite amount of time.
     So, no motions are ever complete. (Nothing moves.)

    What’s wrong with Zeno’s reasoning? In particular, where is Zeno’s reasoning wrong? Where is it right?
    To move a distance, you must first move half the distance.
     To get from A to Z, one must first go halfway from A to Z—say, to B.
     To get from B to Z, one must first go halfway from B to Z—say, to C. . . . and so on and so on.
     So, moving a distance involves completing infinitely many motions.
     Every motion takes time.
     Completing infinitely many motions takes an infinite amount of time.
     So, moving a distance takes an infinite amount of time.
     So, no motions are ever complete. (Nothing moves.)

    What’s wrong with Zeno’s reasoning? In particular, where is Zeno’s reasoning wrong? Where is it right?

  19. Babu Jacob says:

    This comment has been removed by the author.

  20. Babu Jacob says:

    @Ammu

    Zeno try to confuse us.

    Reference site
    Zeno’s argument is based on the assumption that you can infinitely divide space (the race track) and time (how long it takes to run). By dividing the race track into an infinite number of pieces, Zeno’s argument turned the race into an infinite number of steps that seemed as if they would never end. However, each step is decreasing, and so dividing space and therefore time into smaller and smaller pieces implies that the passage of time is ‘slowing down’ and can never reach the moment where Achilles (here, rabbit) passes the Tortoise. We know that time doesn’t slow down in this way. The assumption that space (and time) is infinitely divisible is wrong .

  21. Babu Jacob says:

    This comment has been removed by the author.

  22. lakshmi says:

    വളരെ നന്നായി

  23. Ammu says:

    Once Babu Jacob sir announces in class: “The class test will be one day next week, at 9:00am, but you won’t know until the day of the exam on which day it will be given.”

    A student Hitha Reasons:

    1) The final examination will be one day next week, at 9:00am

    2) Students won’t know until the day of the exam on which day it will be given

    3) If it isn’t given by Thursday at 9:01am, I’d know it was going to be on Friday .So it can’t be given on Friday

    4) If it isn’t given by Wednesday at 9:01am, I’d know it was going to be on Thursday. So, it can’t be given on Thursday

    5) If it isn’t given by Tuesday at 9:01am, I’d know it was going to be on Wedensday. So it can’t be given on Wedensday. And so on and so on

    6) So, it can’t be given any day next week!

    The student sighs in relief and leaves for home. The teacher gives the final exam on Thursday, and the student fails the course. What was wrong with the student’s reasoning?

  24. vineh says:

    guru is right

  25. ഞാനും ഒരു പാരഡോക്സ് തട്ടിവിടട്ടേ?
    ഒരു മുതല ഒരു കുട്ടിയെ തട്ടിക്കൊണ്ടുപോയി. താന്‍ കുട്ടിയെ എന്തു ചെയ്യുമെന്ന്, കുട്ടിയുടെ അച്ഛന്‍ കൃത്യമായി ഊഹിച്ചുപറഞ്ഞാല്‍ സുരക്ഷിതമായി തിരികേയെത്തിക്കാമെന്ന് മുതല!കുട്ടി തിരികേയെത്തില്ലെന്ന് അച്ഛന്‍ ഊഹിച്ചാല്‍ മുതല എന്തുചെയ്യും?

  26. ‘കറി’യുടെ പാരഡോക്സ് എന്താണെന്ന് തിരഞ്ഞ് ഞാന്‍ കണ്ടുപിടിച്ചു!
    “If this sentence is true, then Santa clause exists”
    ഒന്നും മനസ്സിലായില്ലെങ്കിലും, ബാബൂജേക്കബ് വരെ പാരഡോക്സില്‍ പ്രതികരിക്കുന്നതു കണ്ട് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതെങ്ങിനെ?

  27. സമസ്യ-2

    ……………………………
    ……………………………
    ……………………………
    ആരുണ്ടീ ഗണിതമഴയിലൊരുചെറുകുടയുമായെന്‍റെകൂടെ.

  28. Babu Jacob says:

    .
    ഹോംസ് അടങ്ങിയിരുന്നാല്‍ അതാണ്‌ ഒരിക്കലും ഉത്തരം കിട്ടാത്ത paradox.

    .

  29. പരപ്പളവും പാരഡോക്സും നൂറുകൂട്ടം വിഭവങ്ങളുമായങ്ങിനെ,
    രാത്രിപോലും ഇമകൂട്ടാതെ ഉത്തരവുകളപ്ഡേറ്റ് ചെയ്തും,
    (കാര്യങ്ങള്‍ തുറന്നടിക്കും ഹോംസ്ബാബുമാരെ തെമ്മാതിക്കുഴിയിലടക്കിയെന്നാകിലും)
    ആരുണ്ടീ ഗണിതമഴയിലൊരുചെറുകുടയുമായെന്‍റെകൂടെ?

  30. Ammu says:

    @ Geetha teacher

    മുതല കുട്ടിയെ കൊടുക്കാന്‍ സത്യത്തില്‍ ആഗ്രഹികുന്നില്ല എങ്കില്‍ അച്ഛന്‍ പറഞ്ഞത് ശരിയാണ് അപ്പോള്‍ കുട്ടിയെ തിരിക്കെ ലഭിക്കും.

    ഇനി കുട്ടിയെ മുതല തിരികെ കൊടുക്കാന്‍ ആഗ്രഹിച്ചിരുന്നു എങ്കില്‍ അച്ഛന്റെ ഊഹം തെറ്റായി അപ്പോള്‍ മുതല കുട്ടിയെ തിരികെ കൊടുക്കില്ല .
    എന്നാല്‍ അച്ഛന്‍ പറഞ്ഞതും അത് തന്നെ ആയിരുന്നു കുട്ടിയെ തിരികെ കിട്ടില്ല എന്ന് അപ്പോളും മുതല കുട്ടിയെ തിരികെ കൊടുക്കേണ്ടി വരും

    മറുപടി പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു .
    അമ്മു (വിസ്മയ) കൂടെ ഗായത്രിയും

  31. Ammu says:

    താഴെ തന്നിരിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് ശരിയായ ഉത്തരം നല്‍കുക .

    1)ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിന്റെ നോബല്‍ സമ്മാനം എന്ന് അറിയപെടുന്ന സമ്മാനം ഏത് ?

    2)ആര്‍ക്കമിടീസിന്റെ ശവ കുടീരത്തില്‍ കൊത്തി വച്ചു എന്ന് പറയപെടുന്ന ചിത്രത്തിന്റെ ആകൃതി എന്ത് ?

    3)സാഹിത്യത്തിനുള്ള നോബല്‍ സമ്മാനം ലഭിച്ച ഒരു പ്രസിദ്ധ ഗണിത ശാസ്ത്രകാരന്‍ ആര് ?

    4)ലുടോള്‍ഫിയന്‍ സംഖ്യ എന്നാല്‍ എന്ത് ?

    5)ഭിന്ന സംഖ്യകള്‍ക്കു Fraction എന്ന പേര് കിട്ടിയത് ഏത് പദത്തില്‍ നിന്നുമാണു ?

  32. Babu Jacob says:

    .
    ജനസംഖ്യാ കണക്കെടുപ്പിന്‍ തിരക്കെന്നാകിലും ,
    അവധിക്കാല പരിശീലന തല വേദനയാണെങ്കിലും ,
    ഹോംസ് കമന്റിന്റെ അലര്‍ജി ഉണ്ടെന്നാകിലും ,
    ആരുണ്ടീ ഗണിതമഴയിലൊരുചെറുകുടയുമായെന്‍റെകൂടെ.
    .

  33. reshma says:

    ഗുരുവും ശിഷിയ നും (വിജയനും അസീസും )തമ്മില്‍ നുണ പറഞ്ഞതും ഗുരുവിനെ ശി ഷ്യന്‍ പറ്റിച്ചതുമായ post
    കണ്ടു .ശി ഷിന്റെ ചോദ്യത്തിന് മറുപടിയായി ഗുരുവിന്റെ മറു ചോദ്യവും വായിച്ചു .ഏതാണ്ട് 28പോസ്റ്റ്‌ ഇന്ന് വന്നു. എന്നാല്‍ കഴിഞ്ഞ ഏ+ മയിബെന്ടപ്പെട്ട പോസ്റ്റില്‍ വലിയ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ തന്നെ ആരും പറയാത്തത് എന്തുകൊണ്ട്? അടുത്ത വര്ഷം 100% റിസാള്‍ട്ട് എത്തിക്കാന്‍ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ ഇനിയും പറയാം .ഗുണകരമായത് .ഈ വര്ഷം തോറ്റ കുട്ടികളുടെ ഒരു സര്‍വേ ജില്ല അടിസ്ഥാനത്തില്‍ എടുക്കാന്‍ ബ്ലോഗ്‌ തയ്യാറാവുമോ?തോറ്റവരുടെ ബാക്ക് ഗ്രൌണ്ട് എന്ത്?
    വിജയന്‍ ലാര്‍വ പറഞ്ഞത് പോലെ night,ഈവനിംഗ് ക്ലാസ്സില്‍ ഇവര്‍ എത്തിയോ? ക്ലാസ് സങ്ങടിപ്പിച്ചോ? തുടങ്ങിയ വിഷയങ്ങള്‍ സര്‍വേ യില്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളിക്കാന്‍മറകരുത് .അനവസരത്തില്‍ അഭിപ്രായം പറഞ്ഞതില്‍ ക്ഷമിക്കുമല്ലോ?

  34. Babu Jacob says:

    @ ammu

    1) The Abel Prize, established by the Norwegian government in 2001

    2) The sphere with the circumscribed cylinder

    3) The most prominent mathematician Bertrand Russell in 1950

    4) 35 decimal place for pi.. (Ludolph Van Ceulon ,16th century)

    5) fractus (from the Latin word = broken)

    .

  35. അമ്മൂ,ഗായത്രീ,
    സോറി, മുതല പാരഡോക്സിന്റെ ഉത്തരം എനിയ്ക്ക് കൃത്യമായി അറിയില്ല!!
    എന്നാല്‍, ചോദ്യങ്ങളുടെ ഉത്തരം അറിവനുസരിച്ച് എഴുതട്ടേ…
    1)ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിന്റെ നോബല്‍ സമ്മാനം എന്ന് അറിയപെടുന്ന സമ്മാനം ഏത് ?
    ദ ഫീല്‍ഡ്സ് മെഡല്‍

    2)ആര്‍ക്കമിടീസിന്റെ ശവ കുടീരത്തില്‍ കൊത്തി വച്ചു എന്ന് പറയപെടുന്ന ചിത്രത്തിന്റെ ആകൃതി എന്ത് ?
    ഗോളം?

    3)സാഹിത്യത്തിനുള്ള നോബല്‍ സമ്മാനം ലഭിച്ച ഒരു പ്രസിദ്ധ ഗണിത ശാസ്ത്രകാരന്‍ ആര് ?
    ബര്‍ട്രാന്റ് റസ്സല്‍

    4)ലുടോള്‍ഫിയന്‍ സംഖ്യ എന്നാല്‍ എന്ത് ?
    പൈ(35 വിലകള്‍ ദശാംശസ്ഥാനത്ത്)

    5)ഭിന്ന സംഖ്യകള്‍ക്കു Fraction എന്ന പേര് കിട്ടിയത് ഏത് പദത്തില്‍ നിന്നുമാണു ?
    Latin “fractio” which means to break!
    തെറ്റുണ്ടെങ്കില്‍ തിരുത്തണേ…

  36. Babu Jacob says:

    .

    @ ഗീത സുധി ടീച്ചര്‍,
    ചില്ലറ തെറ്റുകളേ ഉത്തരങ്ങളില്‍ ഉള്ളു.
    എങ്കിലും A +

    .

  37. നന്ദി ബാബുമാഷേ,
    എങ്കിലും ഇപ്പോഴും സംശയം!
    ആബേല്‍ പ്രൈസോ, ഫീല്‍ഡ്സ് മെഡലോ?
    ഇതു നോക്കൂ…

  38. Babu Jacob says:

    .

    @ഗീത സുധി ടീച്ചര്‍,
    ഇതും നോക്കൂ വരി 2

    .

  39. ഫീല്‍ഡ്സ് മെഡല്‍ “Nobel prize of Mathematics”
    ആബേല്‍ പ്രൈസ് “Mathematician’s Nobel prize”
    സമ്മതിച്ചോ?
    അതോ, ഹോംസ് വരണോ?

  40. Babu Jacob says:

    This comment has been removed by the author.

  41. Babu Jacob says:

    .
    @ഗീത സുധി ടീച്ചര്‍,
    സമ്മതിച്ചു.

    “If this sentence is false, then Fields medal is the Nobel prize of Mathematics “
    .

  42. JOHN P A says:

    @ Lalitha Teacher

    അങ്ങനെ ഉറപ്പുള്ള ഒരു ഉത്തരം ക്യത്യമായി പറയാന്‍ പറ്റിയാല്‍ അത് പാരഡോക്സ് ആകില്ല.ശരിയല്ലേ, കുടയില്ലാതെ ,മഴ നുകരുന്നവരെ എന്റെ പ്രീയരെ
    ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ് പാരഡോക്സ് ആണോ?
    ഗണിതജ്ജന്റെ മനസിലെയ്ക്ക് സംവ്രജനം (Convergence) എന്ന ആശയം ആദ്യമായവതരിപ്പിച്ച സെനോ നീനാള്‍ വാഴട്ടെ
    കാന്റെറിന്റെ മനസിന്റെ താളം തെറ്റിച്ച റസ്സലും സ്മരിക്കപ്പെടട്ടെ

  43. Anjana says:

    ഒരിക്കല്‍ ഒരിടത്ത് ഒരു കഴുത ഉണ്ടായിരുന്നു. വിശന്നു വലഞ്ഞിരിക്കയാണ് കഴുത. എന്നാല്‍ കഴുത നില്‍ക്കുന്നതിന്റെ ഇടതു വശത്ത് പുല്ലും വെള്ളവും വെച്ചിട്ടുണ്ടായിരുന്നു; വലതുവശത്തും പുല്ലും വെള്ളവും ഒരുക്കിയിട്ടുണ്ടായിരുന്നു. പക്ഷെ ഇതിലേതു സ്വീകരിക്കും? ഇടതു ഭാഗത്തെക്കോ വലതു ഭാഗത്തെക്കോ ആദ്യം പോകേണ്ടെതെന്നു എത്ര ആലോചിച്ചിട്ടും കഴുതയ്ക്ക് തോന്നിയില്ല.ഏതെങ്കിലും ഒരു വശത്തേക്ക് തിരിയാന്‍ എന്തെങ്കിലും ഒരു ന്യായം വേണ്ടേ?

    പാവം കഴുത ,പട്ടിണികിടന്നു ചത്തു!

  44. Swapna John says:

    അഞ്ജന ടീച്ചര്‍ ഉന്നയിച്ച ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കപ്പെടണമായിരുന്നെങ്കില്‍ കഴുതയുടെ രണ്ടു കണ്ണിന്‍റേയും കാഴ്ച ശക്തി ഒരു പോലെ വരരുത്.

    ഉപകാരസ്മരണ : മുല്ലാക്കഥകള്‍ക്ക്

  45. JOHN P A says:

    അതുകൊണ്ടല്ലേ അജ്ജനടീച്ചറെ കഴുതയുടെ സാമുഹ്യപ്രസക്തി നഷ്ടപ്പെടാത്തത്

  46. Ammu says:

    ഗീത ടീച്ചര്‍ക്ക്‌ എ+ തന്നിരിക്കുന്നു .

    1) ദ ഫീല്‍ഡ്സ് മെഡല്‍

    2)ഒരു സിലിണ്ടറും അതിനുള്ളില്‍ കൃത്യമായി കൊള്ളുന്ന ഒരു ഗോളവും

    3) ബര്‍ട്രാന്റ് റസ്സല്‍

    4) പൈ(35 വിലകള്‍ ദശാംശസ്ഥാനത്ത്)

    5) Latin “fractio” which means to break!

  47. @ Anjana teacher

    അതു പണ്ടത്തെ കഴുത. ഇന്നത്തത് വശങ്ങളിലുള്ള പുല്ലും വെള്ളവും എടുക്കില്ലായിരിക്കും. എന്നാല്‍ നേരെ നടന്നു ഫാസ്ററ് ഫുഡ് കഴിച്ച് കുറേശ്ശേ മരിച്ചു കൊണ്ടിരിക്കും

  48. Ammu says:

    ഇന്നത്തെ ചോദ്യങ്ങള്‍

    1) എത് രാജ്യത്തിലാണ് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകള്‍ക്കു ചുവപ്പും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകള്‍ക്കു കറുപ്പും ദണ്ട്കള്‍ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപിക്കുനത് ?

    2) സംഖ്യകള്‍ രേഖപെടുത്തുന്ന സമ്പ്രദായത്തില്‍ എറ്റവും പഴക്കം ഉള്ളത് ഈജിപ്തുകരുടെ ലിഖിതങ്ങള്‍ ആണ് .ഇത് എത് പേരിലാണ് അറിയപെടുന്നത് ?

    3) എന്താണ് ഫെര്‍മയുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം ?

    4) സുവര്‍ണ ജൂബിലി വര്ഷം എന്നാല്‍ എത്രാമത്തെ വര്‍ഷത്തെ ആണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ?

    5) മധ്യ കാലഘട്ടത്തിലെ ഒരു ഗണിത ശാസ്ത്രകാരന്‍ പിന്നീട് മാര്‍പ്പാപ്പയായി .ആരാണ് ഇദ്ദേഹം ?

  49. I have seen so many funny paradoxes in response to the introductory post on the same. Since this is a blog for Mathematics teachers and students , I fell that this should be discussed in a more serious manner; particularly the role of paradoxes in math and real life.
    For example there is very famous interesting paradox known as “Parrondo’s paradox” that is mathematically described as ‘a losing strategy that wins’

    In a simple manner it can be stated “Given two games, each with a higher probability of losing than winning, it is possible to construct a winning strategy by playing the games alternately.”

    There are several examples like “The saw – tooth example” and the coin tossing example” that emphasizes this paradox. But there is little room for a detailed discussion on that in this comment, for sometimes it may be beyond the scope of this blog(???!!!!).
    Anyway this paradox has got wide application in engineering,population dynamics ,financial risks etc. But if you apply this theory in stock market sometimes the result would be ………….???

    The paradox says that

  50. സിനോസ് പാരഡോക്സ് അങ്ങിനെ വളച്ചുകെട്ടിപറയണമെന്നില്ല. ഒരു ദൂരത്തെ നിശ്ചിത എണ്ണം ചെറുകഷണങ്ങളാക്കി മുറിയ്ക്കാം. കഷണത്തിന്റെ നീളം കുറയുന്നതനുസരിച്ച് എണ്ണം കൂടിക്കൊണ്ടിരിയ്ക്കും. അങ്ങിനെയങ്ങിനെയങ്ങിനെ അനന്തമായ എണ്ണം അതിസൂക്ഷ്മദൂരങ്ങൾ കവറ് ചെയ്യേണ്ടി വരും. ഓരോ അതിസൂക്ഷ്മദൂരവും ‘കവറ്’ ചെയ്യുന്നതിൻ ഒരു നിശ്ചിതസമയം ആവശ്യമുണ്ടെങ്കിൽ മൊത്തം ദൂരം കവറ് ചെയ്യാൻ അനന്തം എണ്ണം നിശ്ചിതസമയം, അഥവാ അനന്തമായ സമയം ആവശ്യമാവില്ലേ?

    ഈ ചോദ്യത്തിന്റെ കുഴപ്പം ഇതാണ്. സാമാന്യമായി നാം ഒരു ഗണിതക്രിയ ചെയ്യുന്നത് മൂല്യങ്ങൾ ഫൈനൈറ്റ് ആണെന്ന നിലപാടിലാൺ. ദൂരത്തിന്റെ കഷണം അനന്തമായി ചുരുങ്ങിക്കൊണ്ടിരിയ്ക്കുന്നു എന്നാണെങ്കിൽ അത് ചുരുങ്ങിത്തീറ്ന്നിട്ടേ ഓപറേഷൻ തുടങ്ങാമ്പറ്റൂ. ചുരുക്കിക്കൊണ്ടിരിയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ അതുമാത്രം ചെയ്യൂ, തീരുമ്പോൾ വിളിയ്ക്കൂ,നമുക്ക് ഓപറേഷൻ നടത്താം എന്നതാൺ പാരഡോക്സിന്റെ ഉത്തരം.

    കഷണത്തിന്റെ ‘ചെറുതാക്കൽ’ നിറ്ത്തുന്ന, ക്രിയ ചെയ്തുനോക്കാവുന്ന ഏതൊരു പോയിന്റിലും മൂല്യങ്ങൾ ഫൈനൈറ്റ് ആയിരിയ്ക്കും, പാരഡൊക്സ് ഉണ്ടാവുകയുമില്ല.

    ഇതൊന്നു വായിയ്ക്കൂ: http://scienceblogs.com/goodmath/2008/10/infinity_is_not_a_number.php

  51. ഒരു സാമാന്യമായ ഗണിതക്രിയ ആവശ്യപ്പെടുന്ന ലളിതമായ ഒരു സിനാരിയോയെ അനന്തം പോലുള്ള ചലനാവസ്ഥയിലുള്ള സംഖ്യകളെ ആവശ്യപ്പെടുന്നരീതിയിൽ വിശദീകരിച്ച് നമുക്ക് ആയിരക്കണക്കിൻ പാരഡോക്സുകൾ സൃഷ്ടിയ്ക്കാം.

    അനന്തം, അതിസൂക്ഷ്മം, ശൂന്യം എന്നിവയെ എല്ലായ്പ്പോഴും സാമാന്യമായ ഗണിതസങ്കൽ‌പ്പങ്ങൾ മാത്രമായി കാണാൻ കഴിയില്ല എന്നതാൺ എന്റെ നിലപാട്. സാധാരണസംഖ്യകൾക്കില്ലാത്ത പല ‘പെരുമാറ്റദൂഷ്യ‘ങ്ങളുമുണ്ട് ഈ സംഖ്യകൾക്ക്, അവ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ.

  52. Ammu says:

    This comment has been removed by the author.

  53. reshma says:

    എന്തുകൊണ്ട്?ഞാന് ഒരു അഭിപ്രായം പറഞ്ഞപ്പോള് ഒരു ഗുരുവും ശിക്ഷ്യനും കഴുതയും മുതലയും ആമയും മുയലും തുടങ്ങി ഈ പോസ്റ്റിലും കഴിഞ്ഞ പോസ്റ്റിലും ആയി വന്ന ജീവികള് എന്തുകൊണ്ട് മറുപടിതരുന്നില്ല?വല്ല ജീവികളുടെയും കണക്ക് ഞാന് അവതരിപ്പിക്കണോ?

  54. Anjana says:

    Socrates arrives at a bridge guarded by a powerful lord, Plato, and begs to be allowed to cross.

    Plato replies: “I swear that if the next utterance you make is true I shall let you cross, but if it is false I shall throw you in the water”

    Socrates replies: ” You are going to throw me in water”

    If Plato does not throw him in the water, Socrates has spoken falsely and should be thrown in ; but if he is thrown in, Socrates has spoken truly and should not be thrown in.

  55. Ammu says:

    This comment has been removed by the author.

  56. Ammu says:

    സംഖ്യകളെ കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിലാണ് കാന്റെര്‍ കൂടുതല്‍ ശ്രദ്ധിച്ചത് .1869 മുതല്‍ 1873 വരെയുള്ള കാലഘട്ടത്തില്‍ അദ്ദേഹം പത്തു പ്രബന്ധങ്ങള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു.{1,2,3,….}എന്ന പൂര്‍ണ സംഖ്യ ഗണത്തില്‍ ആണ് കാന്റെര്‍ തുടങ്ങിയത്.ഈ ഗണത്തില്‍ എത്ര സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ട് എന്ന ചോദ്യം സ്വാഭാവികമായും പൊന്തി വന്നു.അനന്തം എന്നാണല്ലോ സാധാരണ ഉത്തരം.അടുത്തതായി പൂര്‍ണസംഖ്യകളും ഭിന്നസംഖ്യകളും ചേര്‍ന്ന പരിമേയ ഗണത്തില്‍ എത്ര സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ട് എന്നായി സംശയം.ഈ രണ്ടു ഗണങ്ങളിലെ സംഖ്യകളെയും ‘ഒന്നിന്നൊന്നു’ എന്ന വിധത്തില്‍ ബന്ധപെടുത്താം എന്നും അതുകൊണ്ട് രണ്ടു ഗണങ്ങളിലെയും സംഖ്യ തുല്യം ആണെന്നും കാന്റെര്‍ കാണിച്ചു .അപ്പോള്‍ അതും അനന്തം തന്നെ.ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തം എന്ന് പറയുന്നത് ,അതിലെ അംഗങ്ങളെ അതിന്റെ ഉപഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുമായി ഒന്നിനൊന്നു എന്ന വിധത്തില്‍ ബന്ധപെടുത്താന്‍ ആവുമെങ്കില്‍ ആണ് എന്നായിരുന്നു കാന്ടരിന്റെ നിര്‍വചനം .

    പൂര്‍ണസംഖ്യഗണം അനന്തമാണ്‌ എന്ന് പറയുവാന്‍ കാരണം അതിലെ അംഗങ്ങളെ അതിന്റെ ഉപഗണമായ ഇരട്ടസംഖ്യ ഗണവുമായി ഒന്നിനൊന്നു എന്നാ വിധത്തില്‍ ബന്ധപെടുത്താന്‍ കഴിയുന്നത്‌ കൊണ്ട് ആണ്.
    {1,2,3….} എന്ന ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ രണ്ടു കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാല്‍ {2,4,6,8…}എന്ന ഗണം കിട്ടും .ഈ ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ രണ്ടു കൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ ആദ്യത്തെ ഗണം കിട്ടും.പക്ഷെ രണ്ടാമത്തെ ഗണം ആദ്യത്തെ ഗണത്തിന്റെ ഒരു ഉപഗണം ആണല്ലോ .രണ്ടിലെയും അംഗങ്ങള്‍ ഒന്നിനൊന്നു എന്ന വിധത്തില്‍ ബന്ധപെടുതുകയും ചെയ്യാം അനന്തത്തിന്റെ സുന്ദരമായ നിര്‍വചനം കാന്ടരുടെ സംഭാവനയാണ് .

    ഇനി വാസ്തവിക സംഖ്യ ഗണം എടുക്കാം .ഇതിലെ അംഗങ്ങളുടെ സംഖ്യ പൂര്‍ണസംഖ്യ ഗണവുമായി ഒന്നിനൊന്നു എന്നാ വിധത്തില് ബന്ധപെടുത്താവുന്നതില്‍ കൂടുതല്‍ ആണ് എന്ന് കാന്റെര്‍ കാണിച്ചു.അപ്പോള്‍ വാസ്തവിക സംഖ്യ ഗണത്തിന്റെ അംഗ സംഖ്യ മുന്‍ പറഞ്ഞ രണ്ടു ഗണങ്ങളുടെയും അംഗ സംഖ്യയെക്കാള്‍ വലുതാണ് എന്ന് വന്നു ചേരുന്നു .അപ്പോള്‍ അനന്തം തന്നെ രണ്ടു തരത്തില്‍ ആയി .ഇത് പലതരം അനന്തങ്ങളെ പറ്റിയുള്ള കണ്ടുപിടിതതിലേക്ക് അദ്ധേഹത്തെ നയിച്ചു.എറ്റവും ചെറിയ അനന്തം “അലഫ് നോട്ട്’എന്ന് വിളിച്ചു .പിന്നിടുന്നവയെ ‘അലഫ് വണ്‍’ ‘അലഫ് ടു’ എന്നിങ്ങനെ വിളിച്ചു .ഇങ്ങിനെ നോക്കുമ്പോള്‍ അനന്തങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തം ആണ് എന്നും കാന്റെര്‍ പറഞ്ഞു .അദ്ദേഹത്തിന് ഭ്രാന്ത് പിടിച്ചു എന്ന് സാധാരണക്കാര്‍ മുദ്ര കുത്തുകയും ചെയ്തു .

  57. Ammu says:

    This comment has been removed by the author.

  58. Ammu says:

    സംഖ്യകളെ കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിലാണ് കാന്റെര്‍ കൂടുതല്‍ ശ്രദ്ധിച്ചത് .1869 മുതല്‍ 1873 വരെയുള്ള കാലഘട്ടത്തില്‍ അദ്ദേഹം പത്തു പ്രബന്ധങ്ങള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു.{1,2,3,….}എന്ന പൂര്‍ണ സംഖ്യ ഗണത്തില്‍ ആണ് കാന്റെര്‍ തുടങ്ങിയത്.ഈ ഗണത്തില്‍ എത്ര സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ട് എന്ന ചോദ്യം സ്വാഭാവികമായും പൊന്തി വന്നു.അനന്തം എന്നാണല്ലോ സാധാരണ ഉത്തരം.അടുത്തതായി പൂര്‍ണസംഖ്യകളും ഭിന്നസംഖ്യകളും ചേര്‍ന്ന പരിമേയ ഗണത്തില്‍ എത്ര സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ട് എന്നായി സംശയം.ഈ രണ്ടു ഗണങ്ങളിലെ സംഖ്യകളെയും ‘ഒന്നിന്നൊന്നു’ എന്ന വിധത്തില്‍ ബന്ധപെടുത്താം എന്നും അതുകൊണ്ട് രണ്ടു ഗണങ്ങളിലെയും സംഖ്യ തുല്യം ആണെന്നും കാന്റെര്‍ കാണിച്ചു .അപ്പോള്‍ അതും അനന്തം തന്നെ.ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തം എന്ന് പറയുന്നത് ,അതിലെ അംഗങ്ങളെ അതിന്റെ ഉപഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുമായി ഒന്നിനൊന്നു എന്ന വിധത്തില്‍ ബന്ധപെടുത്താന്‍ ആവുമെങ്കില്‍ ആണ് എന്നായിരുന്നു കാന്ടരിന്റെ നിര്‍വചനം .

    പൂര്‍ണസംഖ്യഗണം അനന്തമാണ്‌ എന്ന് പറയുവാന്‍ കാരണം അതിലെ അംഗങ്ങളെ അതിന്റെ ഉപഗണമായ ഇരട്ടസംഖ്യ ഗണവുമായി ഒന്നിനൊന്നു എന്നാ വിധത്തില്‍ ബന്ധപെടുത്താന്‍ കഴിയുന്നത്‌ കൊണ്ട് ആണ്.
    {1,2,3….} എന്ന ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ രണ്ടു കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാല്‍ {2,4,6,8…}എന്ന ഗണം കിട്ടും .ഈ ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ രണ്ടു കൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ ആദ്യത്തെ ഗണം കിട്ടും.പക്ഷെ രണ്ടാമത്തെ ഗണം ആദ്യത്തെ ഗണത്തിന്റെ ഒരു ഉപഗണം ആണല്ലോ .രണ്ടിലെയും അംഗങ്ങള്‍ ഒന്നിനൊന്നു എന്ന വിധത്തില്‍ ബന്ധപെടുതുകയും ചെയ്യാം അനന്തത്തിന്റെ സുന്ദരമായ നിര്‍വചനം കാന്ടരുടെ സംഭാവനയാണ് .

    ഇനി വാസ്തവിക സംഖ്യ ഗണം എടുക്കാം .ഇതിലെ അംഗങ്ങളുടെ സംഖ്യ പൂര്‍ണസംഖ്യ ഗണവുമായി ഒന്നിനൊന്നു എന്നാ വിധത്തില് ബന്ധപെടുത്താവുന്നതില്‍ കൂടുതല്‍ ആണ് എന്ന് കാന്റെര്‍ കാണിച്ചു.അപ്പോള്‍ വാസ്തവിക സംഖ്യ ഗണത്തിന്റെ അംഗ സംഖ്യ മുന്‍ പറഞ്ഞ രണ്ടു ഗണങ്ങളുടെയും അംഗ സംഖ്യയെക്കാള്‍ വലുതാണ് എന്ന് വന്നു ചേരുന്നു .അപ്പോള്‍ അനന്തം തന്നെ രണ്ടു തരത്തില്‍ ആയി .ഇത് പലതരം അനന്തങ്ങളെ പറ്റിയുള്ള കണ്ടുപിടിതതിലേക്ക് അദ്ധേഹത്തെ നയിച്ചു.എറ്റവും ചെറിയ അനന്തം “അലഫ് നോട്ട്’എന്ന് വിളിച്ചു .പിന്നിടുന്നവയെ ‘അലഫ് വണ്‍’ ‘അലഫ് ടു’ എന്നിങ്ങനെ വിളിച്ചു .ഇങ്ങിനെ നോക്കുമ്പോള്‍ അനന്തങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തം ആണ് എന്നും കാന്റെര്‍ പറഞ്ഞു .അദ്ദേഹത്തിന് ഭ്രാന്ത് പിടിച്ചു എന്ന് സാധാരണക്കാര്‍ മുദ്ര കുത്തുകയും ചെയ്തു .

  59. Anjana says:

    അമ്മൂ, ‘അലഫ് നോട്ട്’, ‘അലഫ് വണ്‍’ എന്നീ അനന്തസംഖ്യകള്‍ക്കിടയില്‍ വേറൊരു അനന്തസംഖ്യയുണ്ടോ? എന്തുതോന്നുന്നു?

  60. AZEEZ says:

    ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ് പാരഡോക്സ് ആണോ?

    ഞാന്‍ ഇത്ര നാളും വിചാരിച്ചത് ഇതൊരു പാരഡോക്സ് ആണെന്നാണ് .
    ഗുരു പറഞ്ഞതാണ് ശരി എന്ന് പറയുന്നവര്‍ അതിന്റെ കാരണം പറയുന്നില്ല.
    ചെന്താമരാക്ഷന്‍ സര്‍ പറഞ്ഞു;ശിഷ്യന്‍ കേസില്‍ ജയിച്ചാല്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കണം എന്ന് .അതുകൊണ്ട് ഗുരു പറഞ്ഞതാണ് ശരി. ശിഷ്യന്‍ തോറ്റാലോ അപ്പോഴും ഗുരു പറഞ്ഞത് ശരിയാണോ?

    അഞ്ജന ടീച്ചര്‍ പറഞ്ഞ കഴുതയുടെ കഥ , പണ്ട് അരിക്കുളം മുക്കിലുള്ള ഒരാള്‍ എലിയെ പിടിക്കാന്‍ ഉപയോഗിച്ചതായി കേട്ടിട്ടുണ്ട് .
    ഇതാന് പുള്ളി ഉപയോഗിച്ച് രീതി.

    അതായത്‌ എലി ഇറങ്ങി വരുന്ന വഴിയുടെ ഒരു വശത്ത് ഒരു ഉണക്കമീനും മറുവശത്ത് ഒരു കപ്പകഷണവും – തുല്യ അകലത്തില്‍ – വെക്കുക . എലി ഇറങ്ങി വരുമ്പോള്‍ ഈ രണ്ടു സാധനങ്ങള്‍ കാണുകയും ആദ്യം മീന്‍ തിന്നാന്‍ നോക്കും,.കുറച്ചു ദൂരം പോകുമ്പോള്‍ അതിനു തോന്നും കപ്പയാണ് നല്ലത് , അത് ആദ്യം തിന്നാം എന്ന്, അങ്ങനെ എലി കപ്പയ്ക്ക് നേരെ പോകും ,പകുതി ദൂരം പോകുമ്പോള്‍ അതിനു തോന്നും മീന്‍ തന്നെ ആദ്യം തിന്നുന്നതാണ് നല്ലതെന്നു .

    ഇങ്ങനെ നേരം വെളുക്കുന്നത് വരെ എലി അങ്ങോട്ടും ഇങ്ങോട്ടും സഞ്ചരിച്ച് അവസാനം തളര്‍ന്നു വീഴും .
    അപ്പോള്‍ അതിനെ അടിച്ചു കൊല്ലാം.

    എങ്ങനെയുണ്ട് കക്ഷിയുടെ ഐഡിയ ?

  61. എന്നെ കുറച്ചുകാലമായി കുഴക്കുന്ന ഞാന്തന്നെ ചിന്തിച്ചുകൂട്ടിയ രണ്ടു പ്രശ്നങ്ങൾ (ഒരു പക്ഷേ എന്റെ ബുദ്ധിയുടെയോ അറിവിന്റെയോ പരിമിതികൊണ്ടായിരിയ്ക്കാം ഇതൊരു പ്രോബ്ലമായിത്തോന്നുന്നത്, ഇതിനി ആരെങ്കിലും ചിന്തിച്ചിട്ടുണ്ടോ എന്നും അറിയില്ല):

    ഒന്ന് – ഫാന്റസി പിരമിഡ്: ശുദ്ധമായ ഗണിതം അനുസരിച്ച് നാം ഒരു പിരമിഡ് നിറ്മ്മിയ്ക്കുകയാൺ. പത്തടി ബൈ പത്തടി ബെയ്സിൽ നിന്ന് തുടങ്ങി മേൽ‌പ്പോട്ട് കുറച്ചുകുറച്ചുകൊണ്ടുവരുന്നു. ഒരടി ബൈ ഒരടി ആകുന്നു. .1 ബൈ.1 അടി ആകുന്നു. .01ഇന്റു .01 ആകുന്നു, അങ്ങിനെ പോകുന്നു…

    ഈ പിരമിഡ് പണി എന്നെങ്കിലും അവസാനിയ്ക്കുമോ? അപ്പോൾ കൂറ്പ്പ് എന്നത് ഒരു ഭ്രമമല്ലേ? ശരിയ്ക്കില്ലല്ലോ? എല്ലാ പിരമിഡിന്റ്റെയും ശീറ്ഷവും ഒരു സമചതുരമല്ലേ?

    രണ്ട് – ഫാന്റസി വോൾ: നാം ഒരു മതിൽ പണിയാൻ തുടങ്ങുകയാൺ. വിചിത്രമായ ഒരുതരം ഇഷ്ടികയാൺ ഇതിനുപയോഗിയ്ക്കുന്നത്. ഈ ഇഷ്ടിക ഇങ്ങിനെ നിറ്ത്താതെ ചെറുതായിക്കൊണ്ടിരിയ്ക്കും. പക്ഷേ പ്രശ്നമില്ല, മൊത്തം ഇഷ്ടികകളുടെ എണ്ണം ആനുപാതികമായി കൂടിക്കൊണ്ടുമിരിയ്ക്കും. മതിലുപണി തീറ്ത്ത് നടക്കുമോ?

  62. reshma says:

    എലി ഇറങ്ങി വരുന്നതിണ്ടേ അടുത്ത് നിന്ന് തുല്യ ദൂരം എടുക്കുന്ന സമയത്തിന് പകരം എലി ഇറങ്ങി വരുന്നതിണ്ടേ അടുത്ത് തന്നെ കപ്പയും മീനും വെച്ചാല്‍ പ്രഷര്‍ കംപ്ലൈന്റ്റ്‌ ഉള്ള എലി ക്ഷീനിക്കുക ഇല്ലായിരുന്നു.ഇത് കണ്ടെത്തിയ അരിക്കുളക്കാരന്‍ പാപി ഏതാണെന്ന് പറഞ്ഞാല്‍ നമുക്ക് അയാളെ അതിന്നടുത് തന്നെ റിസള്‍ട്ട്മോശമായ സ്കൂളില്‍ കണക്കു പഠിപ്പിക്കാന്‍അയക്കാമായിരുന്നു.അസീസ്‌ സാറേ ,100% റിസള്‍ട്ട് ഉണ്ടാക്കാന്‍ വഴി പറഞ്ഞു താആആആആആആആആആആ …. ജനാര്ദ്ധനന്‍ സാര്‍ പറഞ്ഞത് ആരും കേട്ടില്ലേ?

  63. ഈ എലിയുടെ കഥ ഞാന്‍ ഇപ്പോള്‍ കേള്‍ക്കുകയാണ്. എന്നാല്‍ കാളിയത്ത് മുക്കിലുള്ള രണ്ട് മദ്യപരുടെ കഥ കേട്ടിട്ടുണ്ട്.രണ്ടു പേരും മദ്യപിച്ച് സൊറ പറഞ്ഞ് നേരം ഇരുട്ടിപ്പോയി. രാത്രി ഒററയ്ക്കു പോകാന്‍ രണ്ടു പേര്‍ക്കും പേടിയാണ്. ഒടുവില്‍ ഒന്നാമന്‍്റെ കൂടെ ഒരു ചൂട്ടും കത്തിച്ച് രണ്ടാമന്‍ പോയി. ഒന്നാമന്‍്റെ വീട്ടിലെത്തി. അല്പ സമയം സൊറ പറഞ്ഞു. തന്നെ വീട്ടിലെത്തിക്കാന്‍ കൂടെ ചെല്ലാന്‍ ഒന്നാമനോടു പറഞ്ഞു. അയാള്‍ ഒരു വൈമനസ്യവും കൂടാതെ രണ്ടാമന്‍റെ കൂടെ പോയി. പ്രശ്നം തീരുന്നില്ലല്ലോ. അയാള്‍ക്കും വീട്ടിലെത്തേണ്ടെ. രണ്ടാമന്‍ വീണ്ടും ഒന്നാമന്‍റെ കൂടെ പോയി. ഇതു നേരം വെളുക്കുന്നതുവരെ തുടര്‍ന്നു. പക്ഷെ ഭാഗ്യത്തിന് ഇവര്‍ രണ്ടു പേരും മരിച്ചില്ല. എന്നാല്‍ വീട്ടില്‍ പോകുന്നതിനു പകരം നേരെ പോയതു ഷാപ്പിലേക്കാണ്.(രേഷ്മ കാണാഞ്ഞതു ഭാഗ്യം. അല്ലെങ്കില്‍ അവരെ അടുത്ത ഹൈസ്ക്കൂളില്‍ കണക്കു പഠിപ്പിക്കാന്‍ അയച്ചേനെ.)

  64. reshma says:

    @madusoodanaperadi
    താങ്കളുടെ ഫോട്ടോ പകുതി സൈസ് ആക്കി വീണ്ടും പകുതി സൈസ് ആക്കി ,ഈ പ്രക്രിയ തുടരുന്നു എന്നിരിക്കട്ടെ .പത്തോ ഇരുപതോ തവണ ഇത് ആവര്‍ത്തിച്ചാല്‍ എന്താണ് സംഭവിക്കുക? ഫോട്ടോ പോയിട്ട് ഒരു ബിന്ദു പോലുംകണില്ലല്ലല്ലോ.ഒടുക്കം കാണുന്ന ബിന്ദു നോക്കി താങ്കളാണെന്ന് ആര്‍ക്കെങ്കിലും പറയാന്‍ പ റ്റുമോ? എന്തായാലും ഒടുവില്‍ കിട്ടുന്നത് ബിന്ദുവല്ല എന്ന് തീര്‍ച്ച.ഇതല്ലേ പിരമിടിലും സംഭവിക്കുന്നത്‌ ?

  65. AZEEZ says:

    ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ മാഷുടെ കവിതയുടെ അര്‍ത്ഥം ഇപ്പോള്‍ കുറേശ്ശെയായി മനസ്സിലായി വരുന്നു. അപ്പം നിങ്ങള്‍ രണ്ടും ഒന്നായി ഇല്ലേ. നടക്കട്ടെ നടക്കട്ടെ .

  66. പ്രിയപ്പെട്ട അസീസ് സാര്‍

    അങ്ങനെയൊന്നും മനസ്സിലാക്കരുതേ, കവിതയിലും കഥയിലുമൊന്നും താങ്കളോ താങ്കളോടടുത്തവരോ ആരുമില്ല. പിന്നെ കാളിയത്തു മുക്ക് എന്നു പറഞ്ഞത് ഒരു തമാശിനു മാത്രം. ഗുരുവും ശിഷ്യനും പ്രതീകങ്ങള്‍ മാത്രവും. മറിച്ചു തോന്നിയിട്ടുണ്ടെങ്കില്‍ സോറി.

  67. 1) എത് രാജ്യത്തിലാണ് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകള്‍ക്കു ചുവപ്പും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകള്‍ക്കു കറുപ്പും ദണ്ട്കള്‍ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപിക്കുനത് ?
    ജപ്പാന്‍
    2) സംഖ്യകള്‍ രേഖപെടുത്തുന്ന സമ്പ്രദായത്തില്‍ എറ്റവും പഴക്കം ഉള്ളത് ഈജിപ്തുകരുടെ ലിഖിതങ്ങള്‍ ആണ് .ഇത് എത് പേരിലാണ് അറിയപെടുന്നത് ?
    hieroglyphs
    3) എന്താണ് ഫെര്‍മയുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം ?
    No three positive integers a, b, and c can satisfy the equation an + bn = cn for any integer value of n greater than two.
    4) സുവര്‍ണ ജൂബിലി വര്ഷം എന്നാല്‍ എത്രാമത്തെ വര്‍ഷത്തെ ആണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ?
    50
    5) മധ്യ കാലഘട്ടത്തിലെ ഒരു ഗണിത ശാസ്ത്രകാരന്‍ പിന്നീട് മാര്‍പ്പാപ്പയായി .ആരാണ് ഇദ്ദേഹം ?
    പോപ്പ് പോള്‍ മൂന്നാമന്‍
    ശരിയല്ലാത്തത് പറയണം

  68. AZEEZ says:

    അങ്ങനെയൊന്നും ഞാനും ഉദ്ദേശിച്ചിട്ടില്ല ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ മാഷേ.
    കവിതയില്‍ ഉള്ളത് ഞാന്‍ തന്നെ ആയാലും എനിക്ക് കുഴപ്പമില്ല.
    പിന്നെ കാളിയത്ത് മുക്കിന്റെ കാര്യത്തില്‍ ഒട്ടും .
    ജനാര്‍ട്ടനന്‍ മാഷൊരു തമാശ പറഞ്ഞപ്പോള്‍ ഞാനും ഒന്ന് പറഞ്ഞു എന്നെ ഉള്ളൂ.
    വിജയന്‍ മാഷ്‌ എവിടെ പോയി .കാണാനില്ലല്ലോ.
    പിന്നെ സോറി ഒക്കെ ആവശ്യമുള്ളപ്പോള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിക്കുക.
    നന്ദി.

  69. JOHN P A says:

    മധുസൂതനന്‍ സാറിനേയും രേഷ്മ ടീച്ചറിനെയും പ്രത്യേകം അഭിനന്ദിക്കുന്നു.ബ്ലാഗിലേക്കുള്ള ക്രീയാന്മകമായ ഇടപെടല്‍ തുടര്‍ന്നും പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. നന്ദി

  70. JOHN P A says:

    മധുസാറെ ,ഈ സമയത്ത് പിരമിഡ് നിര്‍മ്മിതി ഉചിതമായിരിക്കുന്നു.ഇതു തന്നെയാണ് ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ പുതിയ പുസ്തകത്തിലൂടെ വിനിമയം ചെയ്യാന്‍ ശ്രമിക്കുന്ന convergence എന്ന ആശയം.സെനോക്സ് പാരഡോക്സും പറയുന്നത് ഇതുതന്നെ

  71. ഹിത & ഹരിത says:

    @ Geetha Teacher
    1) എത് രാജ്യത്തിലാണ് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകള്‍ക്കു ചുവപ്പും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകള്‍ക്കു കറുപ്പും ദണ്ട്കള്‍ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപിക്കുനത് ?

    ചൈന ആണ് ശരിയായ ഉത്തരം

    2) 2) സംഖ്യകള്‍ രേഖപെടുത്തുന്ന സമ്പ്രദായത്തില്‍ എറ്റവും പഴക്കം ഉള്ളത് ഈജിപ്തുകരുടെ ലിഖിതങ്ങള്‍ ആണ് .ഇത് എത് പേരിലാണ് അറിയപെടുന്നത് ?
    hieroglyphs

    3) എന്താണ് ഫെര്‍മയുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം ?

    a^n+b^n=c^n എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ nന്റെ വില രണ്ടിനെക്കള്‍ വലിയ സംഖ്യ ആണെങ്കില്‍ നിര്‍ധാരണ മൂല്യമായി അഖണ്ട സംഖ്യകള്‍ കണ്ടെത്താന്‍ കഴിയില്ല

    4)4) സുവര്‍ണ ജൂബിലി വര്ഷം എന്നാല്‍ എത്രാമത്തെ വര്‍ഷത്തെ ആണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ?

    50

    5) മധ്യ കാലഘട്ടത്തിലെ ഒരു ഗണിത ശാസ്ത്രകാരന്‍ പിന്നീട് മാര്‍പ്പാപ്പയായി .ആരാണ് ഇദ്ദേഹം ?

    ഗെര്ബെര്ട്ട്

  72. ഹിത & ഹരിത says:

    സ്നേഹം നിറഞ്ഞ ജോണ്‍ സര്‍ ,ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സര്‍ , വിജയന്‍ സര്‍ ,അസീസ്‌ സര്‍ ,അഞ്ജന ചേച്ചി ഞാന്‍ വീണ്ടും നിങ്ങളെ ഒക്കെ ശല്യം ചെയ്യാന്‍ വന്നു .

  73. മുകളില്‍ വിശദീകരിച്ച എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും പാരഡോക്സ് ആണോ? കുഴങ്ങിപ്പോകുന്ന അവസ്ഥ, അതല്ലെങ്കില്‍ ഇതാണോ അതാണോ ശരി എന്ന ആശയക്കുഴപ്പം എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്കുമുണ്ടോയെന്നാണ് എന്‍റെ സംശയം.

    @ മധുസൂദനൻ പേരടി,

    സാറിന്‍റെ ആദ്യ പ്രശ്നത്തില്‍ പത്തടി ബൈ പത്തടി ബെയ്സ് എന്ന് ഉദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്തിനെയാണ്? 10 അടി വശമുള്ള സമചതുരം എന്നാണോ? പിരമിഡ് എന്ന രൂപം തന്നെ നാല് ബേസ് ലൈനുകളുടെയും നീളം കുറഞ്ഞ് കുറഞ്ഞ് പൂജ്യത്തിലേക്ക് എത്തുമ്പോഴാണല്ലോ ഉണ്ടാകുന്നത്.

    രണ്ടാമത്തേതില്‍ ഒരു പാരഡോക്സ് ഗന്ധമുണ്ട്. എങ്കിലും വാദിക്കാനായി ഇങ്ങനെ പറഞ്ഞു കൂടേ? ഇവിടെ മതിലിന്‍റെ ഉയരവും നീളവും ഇഷ്ടികയുടെ വലിപ്പവുമാണ് ഉത്തരത്തിലേക്കെത്തിക്കുന്നത്. ഇനി അനന്തമായ മതിലുപണിയാണെങ്കിലോ ഇഷ്ടിക ചെറുതായി ചെറുതായി ആറ്റം എന്ന തലവും ഭേദിച്ച് അതെത്തുമ്പോഴേക്കും ആനുപാതിക വര്‍ദ്ധനവ് ദൃശ്യമാകാത്ത അവസ്ഥ വരികയും മതിലു പണി അവിടെ അവസാനിക്കുകയും ചെയ്യും.

    തിരിച്ചുവരവില്‍ ഹിതയ്ക്ക് ഊഷ്മളമായ സ്വാഗതം.
    എങ്ങനെയുണ്ടായിരുന്നു ട്രെയിനിങ്ങ്? പോയി വന്നപ്പോഴേക്കും ഞങ്ങളെയൊക്കെ മറന്നു അല്ലേ

  74. @ HITHA
    ഹിതയുടെ അഭാവത്തില്‍ ഞാന്‍ അമ്മുവിനെ ഇടയ്ക്കൊക്കെ കളിയാക്കി സമാധാനിച്ചു. ട്രെയിനിംഗ് എങ്ങനെയുണ്ടായിരുന്നു. ഹിത പോയി വരുമ്പോഴേക്കും എന്‍റെ തല തിരിഞ്ഞു പോയി. ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ മാസ്ററര്‍ ഇപ്പോള്‍ റിട്ടയേര്‍ഡ് മാസ്ററര്‍ ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ ആയി. ബ്ളോഗില്‍ സജീവമാകണേ.

  75. തേനീച്ചക്കൂട്ടം says:


    അധ്യാപക തുടര്‍ ശാക്തീകരണത്തിലൂടെ എല്ലാവരും ശക്തിപ്പെട്ടുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന സമയമാണല്ലോ ഇത്. ഈ കോഴ്സില്‍ പങ്കെടുക്കുന്നവരും , റിസോര്‍സ്‌ പെഴ്സന്സും ഒക്കെ കോഴ്സിന്റെ ഗുണപരമായ വശങ്ങളും , ദോഷവശങ്ങള്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ അതും ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്നത് നല്ലതാണെന്ന് തോന്നുന്നു. കേരളമൊട്ടാകെയുള്ള അധ്യാപകര്‍ ശ്രദ്ധിക്കുന്ന ബ്ലോഗ്‌ എന്നാ നിലയ്ക്ക് വിവിധ സ്ഥലങ്ങളില്‍ നിന്നുള്ള വിശകലനങ്ങള്‍ മേലധികാരികളുടെ ശ്രദ്ധയില്‍ പെടാനും , തുടര്‍ന്നുള്ള കോഴ്സുകളുടെ മെച്ചപ്പെടലിനു അത് ഉപകരിക്കുകയുംചെയ്യും.

  76. JOHN P A says:

    ഹിതയ്ക്കു സ്വാഗതം.ഞാന്‍ അധ്യാപകപരിശീലനത്തിലാണ്.

  77. A 3×4 rectangle has sides 3,4,3,4 and diagonals 5,5. Its “weight” is said to be 3+4+3+4+5+5 = 24. Find a quadrilateral with all sides and diagonals having integer length and whose weight is smaller than 24.

  78. ഗണിതം കവിതപോലാക്കിടാമെന്നുറക്കെഘോഷിച്ചൊരാ
    ഗണിതബ്ളോഗിൻ കൂട്ടരെല്ലാവൈഭങ്ങളാലൊരുക്കിയ
    സമസ്യകളിതൊരു തുലാവർഷമ്പോലെന്മുൻപിലയ്യോ
    ആരുണ്ടീ ഗണിതമഴയിലൊരു ചെറുകുടയുമായെന്റെകൂടെ

  79. Muneer says:

    paradox എന്നാല്‍ ശരി ആവാനും തെറ്റ് ആവാനും പറ്റാത്ത വാക്യം അല്ലെ?

    ഒരു സിമ്പിള്‍ paradox ഇതാ..

    “ഞാന്‍ കള്ളം മാത്രമേ പറയാറുള്ളൂ”

  80. എന്റെ നാട്ടില്‍ 2 പേര്‍ കൂടി ഒരു’ തുമ്പ’ യും ഒരു ‘കമ്പിളി’യും വാങ്ങി .ഒന്നാമന്‍ പറഞ്ഞു “രാത്രി യായാല്‍ഞാന്‍ കമ്പിളി പുത്ക്കും ,നീ തുമ്പ എടുത്തോ”.രണ്ടാമന്‍ മറുപടിഞ്ഞു “പകല്‍ ഞാന്‍ തുമ്പ എടുക്കും ,നീ കമ്പിളിപുതച്ചോ”
    രണ്ടു പേരും ചിന്ത്ക്കാതെ സമ്മതിച്ചു .ഒടുക്കം എന്ത് സമ്പവിചെന്നോ? ഒന്നാമന്‍ 24മണിക്കൂറും കമ്പിളി പുതച്ചു ഇരുപ്പായി ,രണ്ടാമന്‍ 24മണിക്കൂറും തുംബയെടുത്തു ജോലിചെയ്തു .ഇതു PARADOX ഇല്‍ ഉള്പെടുതാമോ? രണ്ടു പേര്‍ക്കും പറ്റിയ ഒരു EMICABLE സെട്ടില്മെന്റ്റ് ഉണ്ടാക്കി തരുമോ?

  81. Sankaran mash says:

    എന്നും വരാറുണ്ടെങ്കിലും കമന്റ് ചെയ്യാറില്ല. പക്ഷെ, ഇന്ന് അതാകാം എന്നു തോന്നുന്നു. ലോകത്ത് ഏറ്റവും കൂടുതല് പേര്ക്ക് അറിയാവുന്ന, ഏറ്റവും കൂടുതല് പേര് കേട്ടിട്ടുള്ള, ഏറ്റവും കൂടുതല് പേര് ചോദിച്ചിട്ടുള്ള പാരഡോക്സ് ഏതാണ്?

    ഉത്തരം : കോഴിയാണോ മുട്ടയാണോ ആദ്യം ഉണ്ടായത്?

  82. JOHN P A says:


    ചര്‍ച്ചയില്‍ വന്ന പലതും പാരഡോക്സല്ല.ശങ്കരന്‍ മാഷിനോട് യോജിക്കുന്നു.
    ആശയമാണോ വസ്തുവാണോ ആദ്യമുണ്ടായതെന്ന തത്വശാസ്ത്രചോദ്യം.
    ക്ലോണിങ്ങിന്റെയും ടിഷ്യുകള്‍ച്ചറിന്റെയും കാലത്തും ഇതിന്റെ പ്രസക്തി നഷ്ടപ്പെടുന്നില്ല
    കോഴിയാണോ മുട്ടയാണോ ആദ്യമെന്ന് പറയാന്‍ പറ്റുന്നില്ല.
    മുനീര്‍ സാര്‍ പറഞ്ഞത് truth value ഇല്ലാത്ത ഒരു proposition മാത്രമല്ലേ
    വിജയന്‍സാറിന്റെ ഉദാഹരണത്തെക്കുറിച്ച് ഞാന്‍ ആലോചിക്കുന്നു. ഒരു പിടുത്തവും കിട്ടുന്നില്ല.

  83. Swapna John says:

    നാലു സുഹൃത്തുക്കള്‍ ഒത്തു കൂടിയപ്പോള്‍ അവര്‍ തങ്ങളുടെ ജോലിയെപ്പറ്റിയും ഇപ്പോള്‍ വാങ്ങുന്ന ശമ്പളത്തെപ്പറ്റിയുമൊക്കെ സംസാരിച്ചു. കൂട്ടത്തില്‍ ഒരാള്‍ മന്ത്രിയാണ്. അദ്ദേഹമാണ് ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ ശമ്പളം വാങ്ങുന്നത്. സൂരജ് ബിനുവിനേക്കാള്‍ ശമ്പളം വാങ്ങുന്നുണ്ട്. ക്ലര്‍ക്കായ ദയാലിനേക്കാളും ശമ്പളം ഡോക്ടര്‍ക്കുണ്ട്. ചാള്‍സ് പക്ഷെ തന്‍റെ ശമ്പളം എത്രയാണെന്നു പറഞ്ഞതുമില്ല. വക്കീലായ ബിനുവിന്‍റെ ശമ്പളം 20000 രൂപയല്ലെന്ന് ഉറപ്പാണ്. ദയാലിന്‍റെ ശമ്പളവും 20000 രൂപയല്ല. ഇവരുടെ ശമ്പളത്തുക 16000, 20000, 24000, 28000 രൂപ വീതമാണ്. ഓരോരുത്തരുടേയും ജോലി, ശമ്പളം ഇവ പറയാമോ?

  84. സൂരജ് – മന്ത്രി – 28000
    ബിനു – വക്കീല്‍ – 24000
    ചാള്‍സ് – ഡോക്ടര്‍ – 20000
    ദയാല്‍ – ക്ളര്‍ക്ക് – 16000

  85. Swapna John says:

    ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാര്‍,

    ഉത്തരം ശരിയാണ്. ഇനി വേറൊരു ചോദ്യം ചോദിക്കാം.

    മൂന്നു കാലുകള്‍ക്കും വ്യത്യസ്ത നീളമുള്ള ഒരു മുക്കാലി നേരെ നില്‍ക്കുന്നതെന്തുകൊണ്ട്?

    ഈ ചോദ്യം ഗണിതമോ ഭൌതികമോ?

  86. reshma says:

    നാലു കാലുള്ള ഒരു ജീവിയെ മുക്കാലി എന്ന് പറയാത്തത് കൊണ്ട് മൂന്ന് കാലുള്ള ജീവിയായ മുക്കാലി നേരെ നില്‍ക്കും.

  87. reshma says:

    മിനിമം മൂന്ന് ബിന്ദുക്കള്‍ ഒരു തലം നിര്‍ണയിക്കുന്നു. മൂന്നില്‍ കൂടുതല്‍ ബിന്ദുക്കള്‍ഒരു തലത്തില്‍ വരുന്ന രീതിയില്‍ കാലുകളുടെ അഗ്രം ഉണ്ടാവില്ല.പ്രസ്തുത കാരണം കൊണ്ട് മുക്കാലി താഴെകിടക്കും.

  88. the eqilibriam point is iside the three points ie. the touching points of the three legs

  89. lakshmi says:

    That is very good

  90. ഹയര്‍ സെക്കന്ററി കോഴ്സിന്റെ ഇടയില്‍ വന്ന ഒരു ചര്‍ച്ച ഇതാ..

    “കൊച്ചിക്കാരന്‍ കൊച്ചാപ്പു പറഞ്ഞു കൊച്ചിക്കാരെല്ലാം കള്ളന്മാരാണെന്ന് …

    അപ്പൊ കൊച്ചാപ്പുവും കള്ളനല്ലേ ?

    കൊച്ചാപ്പു പറഞ്ഞത് കള്ളമല്ലേ?

    അപ്പൊ കൊച്ചിക്കാരെല്ലാം നല്ലവരല്ലേ?

    അപ്പൊ കൊച്ചിക്കാരെല്ലാം നല്ലവരല്ലേ..?

    അപ്പൊ കൊച്ചാപ്പുവും നല്ലവനല്ലേ?

    അപ്പൊ കൊച്ചാപ്പു പറഞ്ഞത് സത്യമല്ലേ..?”

    (നല്ലവര്‍ എന്നാല്‍ സത്യം പറയുന്നവരും കള്ളന്മാര്‍ എന്നാല്‍ കളവു പറയുന്നവരും )

    ഇതിനെ ഒരു പാരഡോക്സില്‍ പെടുതാനവുമോ എന്നാണ് ചര്‍ച്ച ?

    (രാമാനുജന്‍ സാറിനോട് കടപ്പാട്)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s