ഈ ലംബകത്തിന്‍റെ കൂടിയ വിസ്തീര്‍ണമെന്ത്?

കുറച്ചു നാളത്തെ ഇടവേളയ്ക്ക് ശേഷം ഗണിത പ്രശ്നങ്ങളെ‍ ബ്ലോഗിലേക്ക് തിരിച്ചു കൊണ്ടു വരികയാണ്. ഒട്ടേറെ പേര്‍ ഇത്തരം പോസ്റ്റുകള്‍ പ്രതീക്ഷിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന കമന്റ് തന്നെ ഇത്തരം പോസ്റ്റുകള്‍ക്ക് ജന്മം നല്‍കും. വായനക്കാരുടെ ഭാഗത്തു നിന്നും, നിങ്ങളാഗ്രഹിക്കുന്ന വിധത്തിലുള്ള ചില ലേഖനങ്ങള്‍ കൂടി തയ്യാറാക്കിത്തരികയാണെങ്കില്‍ ഈ ബ്ലോഗില്‍ സന്തോഷത്തോടെ അത് പ്രസിദ്ധീകരിക്കാവുന്നതേയുള്ളു. ഇന്നൊരു ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നമാണ് ചര്‍ച്ചയ്ക്ക് നല്‍കുന്നത്. പ്രശ്നനിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോഴുള്ള ബൗദ്ധീകവ്യായാമങ്ങള്‍ യുക്തിചിന്തയുടെ വളര്‍ച്ചയ്ക്കും വികാസത്തിനും കാരണമാകുന്നു. അതുകൊണ്ടുതന്നെയാണ് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ചരിത്രം മനുഷ്യബുദ്ധിയുടെ വികാസ പരിണാമങ്ങളുടെ ചരിത്രമാകുന്നത്. മഹാഗണിതജ്ഞനായ ലിയനാര്‍ഡ് അയ്‍ലര്‍ ( Leonard Euler) നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്ത കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പസ്സില്‍ ഉദാഹരണം. പസ്സിലുകള്‍ പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ തന്നെയാണ്. പാഠ്യദ്ദേശ്യങ്ങള്‍ പഠിതാവില്‍ പൂര്‍ത്തീകരിക്കുന്നതിനായി അധ്യാപകന്‍ ബോധപൂര്‍വ്വം പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ നല്‍കുന്വോള്‍ പഠിതാവില്‍ സ്വതന്ത്രചിന്തയുണത്താന്‍ പസ്സിലുകള്‍ ഉത്തമമാണ്. പസ്സിലുകളില്‍ വിരിയുന്ന ഗണിതപഠനം ഒരു പുതിയ ആശയമൊന്നുമല്ലെങ്കിലും അതിന്റെ പ്രസക്തി മറ്റേതുകാലത്തേക്കാളും ഇന്ന് കൂടുതലാണ്. കാരണം ഇന്ന് ഗണിതപഠനം തനിയാവര്‍ത്തനമല്ല, അന്വേഷണമാണ്, കുട്ടി ശ്രോതാവല്ല, ഗവേഷകനാണ്.

വ്യത്യസ്ത നീളമുള്ള മൂന്നു കമ്പുകള്‍ (നീളങ്ങള്‍ p,q,r എന്നെടുക്കാം.p ചെറുതാണ് q ചെറുതാണ് r).ഇതില്‍ രണ്ടെണ്ണം പരസ്പരം സമാന്തരമായും ഒന്ന് അവയ്ക്കിടയില്‍ ഒരറ്റത്ത് ലംബമായും വച്ചിരിക്കുന്നു.സമാന്തരമായി വച്ചിരിക്കുന്ന കമ്പുകളുടെ മറ്റെരണ്ടറ്റങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തുവരച്ചാല്‍ അതൊരുലംബകമാകും. ലംബകത്തിന് ഏറ്റവും കൂടിയ വിസ്തീര്‍ണ്ണം കിട്ടാന്‍ കമ്പുകള്‍ എപ്രകാരം ക്രമീകരിക്കണം.

പസ്സില്‍ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നതിനൊപ്പം സമാനമായ പ്രശ്നങ്ങള്‍ പങ്കുവെയ്ക്കമല്ലോ. ഉത്തരത്തിലെത്തുന്നതിനുള്ള ഗണിതയുക്തികൂടി നല്കിയാലേ പൂര്‍ണ്ണമാകുകയുള്ളൂ. അടുത്തദിവസം ഉത്തരം ആവശ്യമെങ്കില്‍ നല്‍കാം. കമന്റുകളായിതന്നെ ഉത്തരം കിട്ടിയാല്‍ നന്ന്. പ്രശ്ന നിര്‍ദ്ധാരണത്തിന് ശേഷം ആധാരമാക്കിയുള്ള സമാനപ്രശ്നങ്ങള്‍ ഉന്നയിക്കുന്നതിനും അവ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നതിനും വായനക്കാരെ മുന്‍കൂട്ടി സ്വാഗതം ചെയ്യുന്നു. വഴിതെറ്റാത്ത കമന്റുകള്‍ നമ്മുടെ ഗണിതസ്നേഹികളില്‍ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നതോടെ ഈ പോസ്റ്റിന്റെ ഉദ്ദേശ്യലക്ഷ്യങ്ങള്‍ സാര്‍ത്ഥമാകും. ഏവരുടെയും ശ്രദ്ധ സാദരം ഇവിടേയ്ക്ക് ക്ഷണിക്കുന്നു.

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in Lite Maths. Bookmark the permalink.

38 Responses to ഈ ലംബകത്തിന്‍റെ കൂടിയ വിസ്തീര്‍ണമെന്ത്?

  1. venugopalan says:

    Maximum area when q+r=p

  2. This comment has been removed by the author.

  3. പരപ്പളവ് സമാന്തരവശങ്ങളുടെ തുകയുടെയും ഉന്നതിയുടെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയായതിനാല്‍
    ചെറിയ അളവുകളുള്ള കമ്പുകള്‍ സമാന്തരവശങ്ങളാക്കുന്നതാണ് ഉത്തമമെന്നു തോന്നുന്നു
    ഉദാ:-2,3,5
    (2+3)*5=25
    (3+5)*2=16
    (2+5)*3=21
    maximum 25 ആണല്ലോ
    അതായത് 2,3 ഇവ സമാന്തരവശങ്ങളായി വരണം

  4. JOHN P A says:

    Venu Gopalan sir
    കുറച്ചുകൂടി വിശദീകരിക്കാമോ?

  5. in any quadrilateral, connect the midpoints of consecutive sides, making an inscribed quadrilateral . That inscribed quadrilateral, seems to be a parallelogram. Let me conjecture that this inscribed quadrilateral is a parallelogram with half the area of the original quadrilateral. Can you prove or disprove either part of the conjecture?

  6. JOHN P A says:

    Yes Vijayan sir
    This is a good question
    വിജയന്‍ സാര്‍ പറയുംപോലെ സാമാന്തരീകം ഉമ്ടാകുന്നുണ്ട്.
    ചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെ വികര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ വരച്ചുനോക്കി.നാലുത്രികോണങ്ങള്‍ കാണുന്നു.ഉതിലൊരു ത്രികൗണത്തിനുള്ളില്‍ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളും മറ്റോരു ചെറിയ സാമാന്തരീകവും
    ആ ചെറിയ സാമാന്തരീകത്തിനൊരു വികര്‍ണ്ണം വരച്ചു.സര്‍വ്വസമത കാണുന്നു.നാലുത്രികോണങ്ങള്‍ പിന്നെയും കാണുന്നു
    സര്‍വ്വസമത വ്യവസ്തകള്‍ ശരിയാകുന്നു
    ഇത് എല്ലാഭാഗത്തും തുടര്‍ന്നാല്‍ ശരിയാകും

  7. Anjana says:

    The three possible areas are
    ½ p(q+r), ½ q(p+r), ½ r(p+q),
    It is given that p < q < r. With these inequalities one can see that both ½ p(q+r) and ½ q(p+r) are less than or equal to ½ r(p+q).
    If possible, let us suppose that
    ½ p(q+r) > ½ r(p+q)
    This means pq + pr > rp +rq which implies pq > rq and so p > r. This is not true.
    The case ½ q(p+r) > ½ r(p+q)
    will also lead to a contadiction in a similar way.

    The problem given by Vijayan sir is no longer a conjucture. It is a standard theorem in Euclidean geometry called Varignon’s theorem.

  8. JOHN P A says:


    തിങ്കളാഴ്ച തുടങ്ങുന്ന training ല്‍ ക്ലാസ് എടുക്കാന്‍ ഒരുങ്ങുകയാണ്
    1 / 9 = .11111….
    1 / 9 = .01010101….
    1 / 9 = .001001001…..
    1 / 9 = .000100010001….
    ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ നമ്മുടെ രണ്ടാമത്തെ യുണിറ്റാമ്
    ഇത് സാമാന്യവല്‍ക്കരിച്ച് നല്‍കാം. നല്ലോരു പ്രവര്‍ത്തനമാണ്.ഒന്നു ശ്രമിക്കുമല്ലോ

  9. JOHN P A says:

    അഞ്ചന ടീച്ചറിനു നന്ദി.ഒന്‍പതാം ക്ലാസിനുപറ്റിയ കുറച്ചു നല്ല ചോദ്യങ്ങള്‍ comment ചെയ്യുമോ?

  10. ABC is a general triangle and its area is 132 sq.cm.The opposite side of A is divided in four equal parts and the opposite side of edge C in three equal parts. .Straight lines join the part A to each quarter of line BC.Like wise from point C to each third of line AB. Let DBEF is the name of quadrilateral close to B,How big is the area of the quadrilateral DBEF?

  11. bhama says:

    @John Sir,

    1 / 9 = .11111….
    1 / 99 = .01010101….
    1 / 999 = .001001001…..
    1 / 9999 = .000100010001….

    എന്നല്ലേ ഉദ്ദേശിച്ചത് ??

  12. Anjana says:

    ജോണ് സര്‍,
    9-ലെ പുസ്തകം download ചെയ്തു നോക്കി. ഭിന്നകങ്ങള്‍ക്ക് ഒരു introduction മാത്രമേ അതില്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നുള്ളൂ എന്ന് തോന്നുന്നു. മാത്രവുമല്ല വളരെക്കുറച്ചു ചോദ്യങ്ങളേ അതില്‍ കാണുന്നുള്ളൂ. മിടുക്കരായ കുട്ടികള്‍ക്ക് മികച്ച ചോദ്യങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തി കൊടുക്കേണ്ട ഉത്തരവാദിത്തം അധ്യാപകര്‍ക്ക് വിട്ടുകൊടുത്തതാകാം. നല്ല ചോദ്യങ്ങള്‍ കണ്ടാല്‍ അയച്ചുതരാം. ഇപ്പോള്‍ ഒരു പുസ്തകതില്‍നിന്നും സ്കാന്‍ ചെയ്തെടുത്ത ചില materials അയക്കാം.

  13. JOHN P A says:

    @Anjzna Teacher
    നല്ല ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിച്ച് കൊടുക്കാനുള്ള പണിയിലാണ്.പിന്ന ഒരു പാഠപുസ്ടകറിവ്യൂ തയ്യാറാക്കി പോസ്റ്റ് ചെയ്യാന്‍ പറ്റുമോയെന്നു നോക്കട്ടെ.
    @Bhama Teacher
    ഞാന്‍ ഉദ്ദേശിച്ചത് താഴെ
    1 / 10^n -1

  14. fariskari says:

    there are three way to arrange figure

    Then we can calculate area of three models with following equations

    1 p*(q+r)/2 when p is perpendiclar
    2 q*(p+r)/2 when q is “
    3 r*(p+q)/2 when r is perpendicular

    the third model cover more area because r is multiplying the sum of pand q
    ok waiting for correct answer

    by
    sha

  15. JOHN P A says:

    പ്രശ്നത്തിന്റെ സാധ്യതകള്‍ വിശകലനം ചെയ്ത ഷാ സാറിന് നന്ദി.നിഗമനം ശരിയാണ്.തുടര്‍ന്നും ഗണിതപ്രശ്നങ്ങളില്‍ സജീവസാന്നിധ്യം പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു
    അഞ്ചനടീച്ചര്‍ വിശദീകരിച്ചുകഴിഞ്ഞതിനാലാണ് ഉത്തരമിടാത്തത്

  16. @ anjana teacher
    ഇപ്പോള്‍ ഒരു പുസ്തകതില്‍നിന്നും സ്കാന്‍ ചെയ്തെടുത്ത ചില materials അയക്കാം

    I don’t get anything from this link.
    Why?

  17. Anjana says:

    Shri Janardhanan sir,

    Sorry sir, only now I noticed that I haven’t given access to all. Now it is fixed, please try once more.

  18. Now it is OK
    Thank you Gayathri’s Idol Madem

  19. Ambili says:

    In tenth standard physics there are two situations to find the sum of rational numbers directly
    Firstly, the calculation of effective resistence 1 / R = 1 / r1 + 1 / r2 + 1 / r3 …
    Mirror formula 1/f = 1/ u + 1 / v
    We can give these in the second chapter as additional learing situation
    I think all maths teachers attending the course make my opinion seriously

  20. താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സമസ്യയുടെ ആദ്യ മൂന്ന് വരികള്‍ ഒന്നു പൂരിപ്പിച്ചു നോക്കൂ .
    അവ കമന്‍റ് ബോക്സിലിടാനും മറക്കരുതേ.

    ……………………………
    …………………………….
    …………………………….
    നന്നായീയവധിക്കാലഗണിതപരിശീലനംകൊണ്ടിപ്പൊഴീ ഞാന്‍

  21. തടയുമൊരയ്യായിരം പ്രതിദിനബത്തയായി
    വേറെയൊരയ്യായിരം സറണ്ടറായുമുണ്ടേ…
    പറയാം സകലമാന കുനുഷ്ടും കുന്നായ്മയും
    നന്നായീയവധിക്കാലഗണിതപരിശീലനംകൊണ്ടിപ്പൊഴീ ഞാന്‍

  22. VIJAYAN N M says:

    “സര്‍വീസിലുല്ലപ്പോഴൊരുപരിസീലനവും കിട്ടാതെ,

    സര്‍കാര്‍ ചിലവില്‍ ഞാന്‍ ക്ലാസില്‍ ചിലവഴിച്ചു,
    പ്രയാധിക്യതാല്‍പുരതുവന്നോര്‍മയില്ലാതെ,
    നന്നയീയവധി ക്കലഗനിത പരിസീലനം കൊണ്ടിപ്പോള്‍ “

  23. ക്ഷീരമുള്ളോരകിടിന്‍ “ചുവട്ടിലും”
    ചോരതന്നെ ഹോംസിന്നു കൌതുകം!

  24. എന്‍റെ പൂരണം ഇതാ
    ചങ്ങാതീ വന്നുചേരുകയതിവിരസമാകുമസ്സെന്‍സ്സസുതീര്‍ന്നൂ മങ്ങാതിന്നുപുതു പാഠപുസ്തകമേലുക,ചര്‍ച്ചയില്‍ചേര്‍ന്നീടുക കുന്നായിപ്പുറകിലെഴുമതിഹീനമായുള്ള വാക്കുകള്‍ കേട്ടിടാതെ നന്നായീയവധിക്കാലഗണിതപരിശീലനംകൊണ്ടിപ്പൊഴീ ഞാന്‍

  25. JOHN P A says:

    നിങ്ങള്‍ എല്ലാവരും കൂടി ഇങ്ങനെ കവിത എഴുതാന്‍ തുടങ്ങിയാലോ

  26. AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  27. AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  28. AZEEZ says:

    ലംബകത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം എത്ര?

  29. reshma says:

    Area of trapezium is 72 sq cm .?

  30. please kindly go thru the 11 th question of this post.A qn related the area of a qudrilateral BBEF?

  31. AZEEZ says:

    Area of trapezium is 72 sq cm .?
    അതെ പരപ്പളവ് 72 sq cm ആണ്.
    മൂന്നു ദിവസം മുന്‍പ്‌ നമ്മുടെ ബ്ലോഗില്‍ പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്ത ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സിലെ ടെക്സ്റ്റ്‌ ബുക്കുകള്‍ ഒരാളെങ്കിലും download ചെയ്തു എന്നറിഞ്ഞതില്‍ സന്തോഷം ഉണ്ട്.

    തിങ്കളാഴ്ച തുടങ്ങുന്ന ശാക്തീകരണ ക്ലാസ്സുകള്‍ക്ക് മുന്‍പായി ഇവിടെ നല്ല ഒരു ചര്‍ച്ച നടന്നിരുന്നെങ്കില്‍ എല്ലാ അധ്യാപകര്‍ക്കും അത് ഉപകാരപ്രദമാകുമായിരുന്നു .

    എന്തായാലും ശാക്തീകരണ ക്ലാസ്സുകളില്‍ നമ്മുടെ ബ്ലോഗിനെ എല്ലാവരും പരിചയപ്പെടുത്തുമെന്നു കരുതുന്നു .

  32. Anjana says:

    “In tenth standard physics there are two situations to find the sum of rational numbers directly
    Firstly, the calculation of effective resistence 1 / R = 1 / r1 + 1 / r2 + 1 / r3
    Mirror formula 1/f = 1/ u + 1 / v
    We can give these in the second chapter as additional learing situation …”

    Is it necessary that r1, r2, r3, u, v are always rational numbers?

  33. വളരെ നല്ല ബ്ളോഗ്………

  34. A trapezium is divided into four triangles using two diagolnals.
    the area of the triangles adjacent to the parrallel lines are 16 sq cm &9 sq cm.calculate the area of the trapezium.

  35. ഹിത &amp; ഹരിത says:

    @ Vijayan sir

    The answer in 49 sq.cm

  36. ഹിത &amp; ഹരിത says:

    The area of the trapezium is
    (root16+root9)^2 = (4+3)^2 = 7^2=49 sq.cm

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s