കോണിസ്ബെര്‍ഗ് പാലങ്ങള്‍ – ഒരു സമസ്യ


ഗണിതശാസ്ത്രം സാമൂഹ്യപ്രശ്നങ്ങളുമായി എങ്ങനെ സംവദിക്കുന്നുവെന്നത് എക്കാലത്തും പ്രസക്തമായ ചോദ്യമാണ്. ആധുനിക വാര്‍ത്താവിനിമയ സംവിധാനത്തിന്റെ ഘടനാപരമായ നിലനില്പിന് കാരണമായ ഒരു കണ്ടെത്തലിനെക്കുറിച്ചാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. പഴയ സോവിയറ്റ് യൂണിയനില്‍, കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പട്ടണത്തിലൂടെ ഒഴുകുന്ന ‘പ്രെഗല്‍ നദി’യില്‍ പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ പണിതീര്‍ത്ത ഏഴു പാലങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പ്രശ്നം. പില്‍കാലത്ത് ‘കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പ്രഹേളിക’ എന്ന പേരില്‍ പ്രസിദ്ധമായി. കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പാലങ്ങളുടെ ഘടന ഏതാണ്ട് മുകളിലെ ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്നത് പോലെയാണ്. A,B എന്നീ ദ്വീപുകളെ C,D എന്നീ കരകളുമായി 7 പാലങ്ങളുപയോഗിച്ച് ബന്ധപ്പെടുത്തിടിരിക്കുന്നു. “ഒരു സ്ഥാനത്തുനിന്നും ആരംഭിച്ച്, ഒരു പാലത്തിലൂടെ ഒരു പ്രാവശ്യം മാത്രം യാത്ര ചെയ്ത്, പാലങ്ങളൊന്നും വിട്ടുപോകാതെ യാത്ര പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ കഴിയുമോ?” എന്നതായിരുന്നു അന്നത്തെ ഒരു പ്രശ്നം! മഹാനായ ലിയനാര്‍ഡ് അയ്ലര്‍ (Leonard Euler) 1736ല്‍ കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പട്ടണം സന്ദര്‍ശിച്ചപ്പോള്‍ ഈ പാലങ്ങള്‍ ഗണിതചരിത്രത്തിലേക്ക് കടന്നുവന്നു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ കണ്ടെത്തലുകള്‍ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയ്ക്ക് തുടയ്ക്കം കുറിച്ചു. നെറ്റ്​വര്‍ക്ക് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആരംഭമായിരുന്നു അത്. ‘ഗ്രാഫ്​തിയറി’ എന്ന പേരില്‍ പില്‍കാലത്ത് ഈ ശാഖ പ്രസിദ്ധമായി. പ്രശ്നനിര്‍ദ്ധാരണത്തിന് ഓയിലര്‍ (അയ്​ലര്‍ എന്ന് പ്രൊ. എം. കൃഷ്ണന്‍നായരും ഡോക്ടര്‍. ബാബു ജോസഫും വിവര്‍ത്തനം ചെയ്തു കാണുന്നു) സ്വീകരിച്ച മാര്‍ഗ്ഗത്തെക്കുറിച്ച്……

A,B എന്നീ ദ്വീപുകളേയും C,D എന്നീ കരകളേയും ബിന്ദുക്കളായി കാണുന്നു. ഇവയെ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് താഴേ കാണും വിധം ഒരു നെറ്റ്​വര്‍ക്ക് തയ്യാറാക്കാം.
ഇതൊരു ഗ്രാഫാണ്. ബിന്ദുക്കളില്‍ വന്നുചേരുന്ന രേഖകളുടേയും വക്രങ്ങളുടേയും എണ്ണമാണ് ആ ബിന്ദുവിന്റെ ഡിഗ്രി എന്നു പറയുന്നത്. ഗ്രാഫില്‍ ഇത്തരം ബിന്ദുക്കള്‍ക്ക് ‘നോഡ്’ എന്നാണ് പറയുക. ഇവിടെ കാണുന്ന യൂളറിയന്‍ ഗ്രാഫില്‍ A(5),B(3),C(3),D(3)എന്നിങ്ങനെ എഴുതി ‘നോഡ് ഡിഗ്രികള്‍ ‘സൂചിപ്പിക്കാം. ഇവിടെ, നോഡ് ഡിഗ്രികളെല്ലാം ഒറ്റസംഖ്യകളാണെന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്.

മറ്റൊരു ഘടന വിശകലനം ചെയ്യാം.
ഇവിടെ മൂന്നു ദ്വീപുകളും ഏഴു പാലങ്ങളും കാ​ണാം. ഇതില്‍ നിന്നും നമുക്ക് ഒരു യൂളറിയന്‍ ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ നിര്‍ദ്ധാരണരീതിയെക്കുറിച്ച് അല്പം കൂടി വ്യക്തത കിട്ടും.

A(2),B(4),C(2),D(4),E(2) എന്നെഴുതാമല്ലോ? നോഡ് ഡിഗ്രികളെല്ലാം ഇരട്ടസംഖ്യകളാണ്.
കൂടുതല്‍ വിശകലനങ്ങളിലേക്കു കടക്കാതെ തന്നെ ഓയ്‌ലറുടെ കണ്ടെത്തലുകള്‍ കുറിക്കട്ടെ.

1. നോഡ് ഡിഗ്രികളെല്ലാം ഇരട്ടസംഖ്യകളായാല്‍, എവിടെ നിന്ന് ആരംഭിച്ചാലും വിജയകരമായി യാത്ര പൂര്‍ത്തിയാക്കി ആരംഭിച്ച സ്ഥലത്തുതന്നെ എത്താന്‍ കഴിയും.

A—>a—>B—>b—>C—>c—>D—>d—>B—>e—>E—>f—>D—>g—>A

2.ഗ്രാഫിന്, ഒറ്റസംഖ്യാഡിഗ്രികളുള്ള നോഡുകള്‍ രണ്ടില്‍ കൂടുതലുണ്ടെങ്കില്‍ യാത്ര വിജയകരമായി പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ കഴിയില്ല. രണ്ട് ഒറ്റസംഖ്യാനോഡുകള്‍ ആണെങ്കില്‍, അവയില്‍ ഒന്നില്‍നിന്നും യാത്ര ആരംഭിച്ച് വിജയകരമായി അടുത്തതില്‍ എത്തിച്ചേരാന്‍ കഴിയും.

കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് ഗ്രാഫില്‍ എല്ലാം ഒറ്റസംഖ്യാ നോഡുകളായതിനാല്‍ യാത്ര സാദ്ധ്യമല്ല.

ചില നെറ്റ്​വര്‍ക്കുകളിലേക്ക് ശ്രദ്ധ ക്ഷണിക്കുന്നു.

ഒരു ബിന്ദുവില്‍ നിന്നുമാരംഭിച്ച് പേപ്പറില്‍നിന്നും പെന്‍സില്‍ ഉയര്‍ത്താതെ ചിത്രം പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ പറ്റുമോ എന്ന് നോക്കാം.

ഇവയെല്ലാം യൂളറിയന്‍ ഗ്രാഫുകളായി കണ്ടുകൊണ്ട് വിശദീകരിക്കുമല്ലോ.

വിവിധ മേഖലകളില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നവര്‍ നമ്മുടെ സന്ദര്‍ശകരായിട്ടുള്ളതാണ് ഈ ബ്ലോഗിന്റെ വലിയ സൌഭാഗ്യങ്ങളിലൊന്ന്! നെറ്റ്​വര്‍ക്കിന്റെ അനന്തസാദ്ധ്യതകള്‍ വിശകലനംചെയ്തുകൊണ്ടുള്ള കമന്റുകള്‍ കൂടി പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. ഇതൊരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനമായും ലാബ് പ്രവര്‍ത്തനമായും മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്. ഒപ്പം, പുതിയ പഠന സാദ്ധ്യതകൂടിയുണ്ട്.

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in ശാസ്ത്രം. Bookmark the permalink.

89 Responses to കോണിസ്ബെര്‍ഗ് പാലങ്ങള്‍ – ഒരു സമസ്യ

  1. വിവിധ മേഖലകളില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നവര്‍ നമ്മുടെ സന്ദര്‍ശകരായിട്ടുള്ളതാണ് ഈ ബ്ലോഗിന്റെ വലിയ സൌഭാഗ്യങ്ങളിലൊന്ന്! നെറ്റ്​വര്‍ക്കിന്റെ അനന്തസാദ്ധ്യതകള്‍ വിശകലനംചെയ്തുകൊണ്ടുള്ള കമന്റുകള്‍ കൂടി പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

  2. VIJAYAN N M says:

    THE Konigs berg problems and Eularian paths are helpful to 1)SCHOOL BUS
    2)GARBAGE TRUCKS
    3)TRVELING SALES MAN
    4)VEHICLE ROOTING PROBLEM
    5) POST MAN.
    SO let we think it in connection with our day to day life.
    The HAMILTONIAN CYCLE ( A path through a graph that starts and ends at the same vertex and includes every other vertex exactly once) is related with this path.

  3. VIJAYAN N M says:

    OT:
    AZEES SIR was walking over a railway-bridge.
    At the moment when he was just ten meters away from the middle of the bridge, he heard a train coming from behind. At that moment, the train, which travels at a speed of 90 km/h, is exactly as far away from the bridge as the bridge measures in length.

    Without hesitation, Azees rushed straight towards the train to get off the bridge. In this way, he misses the train by just four meters!

    If Azees would, however, have rushed exactly as fast in the other direction, the train would have hit him eight meters before the end of the bridge.

    What is the length of the railway-bridge?

  4. AZEEZ says:

    ഇന്ന് valuation ഒന്നും ഇല്ലേ വിജയന്‍ മാഷേ.കാലത്ത് തന്നെ ആളെ കൊല്ലാന്‍ ഇറങ്ങിയതാണല്ലേ .

  5. JOHN P A says:

    കുട്ടികള്‍ പാസ്സാകുന്നുണ്ടോ വിജയന്‍ സാറെ,എനിക്ക് വാലുവേഷന്‍ ഇല്ല

  6. @ Vijayan sir
    the railway-bridge has a length of 44 meters.

    correct ?

  7. @ Vijayan sir

    Consider the length of the bridge as ‘a’ meters

    When the great Azeez sir is running towards the train

    Azeez sir covers ½ a-10 meters in the time that the train travels a-4 meters

    When the great Azeez sir is running away from the train

    Azeez sir covers ½ a +2 meters in the time that the train travels 2a-8 meters.

    Considering speed element

    (½ a-10 ) / ( a-4) = (½ a +2) / (2a-8)

    Solving

    ½ a^2- 24x + 88 = 0

    Multiplying by 2

    a^2 – 48x + 176 = 0

    (a-4) ( a-44)=0

    If (a-4)=0 then a=4 can’t be consider here

    If (a-44)=0 then a=44

    So the railway-bridge has a length of 44 meters.

  8. Euler, the legendary mathematician went to the city of Konigsberg. The city was divided in four parts by rivers. The rivers had seven bridges on it. There he was asked if it was possible to travel all the bridges in a single journey without going twice over any bridge.

    Euler realized that it was simply not possible !He redrew the graph drawing edges for each bridge.

    He said that traveling each bridge exactly once is same as drawing the graph without lifting pencil. Then he generalized the problem saying that drawing any graph without lifting pencil such that you start from point X (source) and end at point Y (destination) is possible if and only if each point (technically “node”) had even number of edges connected to it, with possible exceptions of X and Y.

  9. AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  10. AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  11. AZEEZ says:

    ഒരിക്കല്‍ ഹിതയും ഗായത്രിയും അമ്മുവും കൂടി മാങ്ങ പെറുക്കാന്‍ പോയി.ഓരോരുത്തര്ക്കും കിട്ടിയ മാങ്ങകളുടെ എണ്ണം വ്യത്യസ്തമാണ്.അത് മൂന്നു പേര്ക്കും തുല്യമായി വീതിക്കാന്‍ കണ്ണന് സര്‍ തീരുമാനിച്ചു.
    .കണ്ണന്‍ സര്‍ ഹിതയോട് പറഞ്ഞു.ഗായത്രിയുടെ കയ്യില്‍ എത്ര മാങ്ങാ ഉണ്ടോ അത്ര തന്നെ മാങ്ങ ഹിത ഗായത്രിക്ക് കൊടുക്കുക . അതുപോലെ അമ്മുവിന്റെ കയ്യില്‍ എത്ര മാങ്ങാ ഉണ്ടോ അത്ര തന്നെ മാങ്ങ ഹിത അമ്മുവിന് കൊടുക്കുക. ഹിത അങ്ങനെ ചെയ്തു. ഇപ്പോള്‍ എനിക്ക് കുറച്ചു മാങ്ങയെ ഉള്ളു. ഹിത പറഞ്ഞു
    സാരമില്ല. കണ്ണന്‍ സര്‍ ഹിതയെ ആശ്വസിപ്പിച്ചു

    ഇനി ഇതേ പോലെ ഗായത്രി ,ഹിതയുടെ കയ്യില്‍ ഇപ്പോള്‍ എത്ര മാങ്ങാ ഉണ്ടോ അത്ര തന്നെ മാങ്ങ ഗായത്രി ഹിതയ്ക്ക് കൊടുക്കുക . അതുപോലെ അമ്മുവിന്റെ കയ്യില്‍ ഇപ്പോള്‍ എത്ര മാങ്ങാ ഉണ്ടോ അത്ര തന്നെ മാങ്ങ ഗായത്രി അമ്മുവിന് കൊടുക്കണം .

    അവസാനം ഇതേ പോലെ അമ്മുവിനോടും ചെയ്യാന്‍ പറഞ്ഞു .
    ഇനി എല്ലാവരും അവരവരുടെ മാങ്ങകള്‍ എന്നി നോക്കൂ.കണ്ണന്‍ സര്‍ പറഞ്ഞു

    ഓരോരുത്തരും അവരവരുടെ മാങ്ങകള്‍ എണ്ണി നോക്കിയപ്പോള്‍ ,എല്ലാവര്ക്കും 24 മാങ്ങകള്‍ വീതം ഉണ്ട് .(കണ്ണന്‍ സര്‍ ആരാ മോന്‍).

    ചോദ്യം ഇതാണ്;എങ്കില്‍ ഓരോരുത്തരുടെയും കയ്യില്‍ ആദ്യം അത്ര മാങ്ങകള്‍ വീതം ഉണ്ടായിരുന്നു?

  12. Anoop says:

    Let h,g,a be the no. of mangoes with Hitha, Gayatri, Ammu resp.

    Answer: (h,g,a) = (39,21,12)

    Step 1: h, g, a

    Step 2: h-(g+a), 2g, 2a

    Step 3: 2h-2(g+a), 2g-(2a+h-g-a),
    4a

    = 2h-2(g+a), 3g-a-h, 4a

    Step 4: 4h-4g-4a, 6g-2a-2h, 7a-g-h

    Each of these = 24

    We have 3 eqns. and 3 variables.

    4h – 4g – 4a = 24
    -2h- 2a + 6g = 24
    -h – g + 7a = 24

  13. VIJAYAN N M says:

    age…..
    TWO friends were discussing the age of house. one friend asked “how old is this house?”.my dad was born in it and the house was fifteen years old then.and the funny thing is if you square the house’s age ,the first half is my dad’s age and the second half is my age”.can you find the age of the house,of my dad,and my age?

  14. Swapna John says:

    വിനോദ് സാര്‍ ഒരിക്കല്‍ സൂചിപ്പിച്ചിരുന്ന പോലുള്ള പോസ്റ്റ്.നന്നായി അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. നന്ദി ജോണ്‍ മാഷിന്..
    കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പ്രോബ്ലം കേട്ടിട്ടുണ്ടായിരുന്നു. പക്ഷേ, ശരിക്കും ഇപ്പോഴാണ് മനസിലായത്!
    ഇത്തരം പോസ്റ്റുകള്‍ വേണമെന്നുപറഞ്ഞതല്ലാതെ, വിനോദ് സാര്‍ എവിടെപ്പോയി?

  15. Model Maths says:

    Vijayan sir,

    What do u mean by first half and second half ?

  16. P Vinod Kumar says:

    @swapna John
    ടീച്ചര്‍, ഞാനിവിടെയുണ്ട്. എല്ലാ പോസ്റ്റുകളും ശ്രദ്ധയോടെ വായിക്കാറുണ്ട്.ജോണ്‍ സാറിന്റെ ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്‌ നന്നായി. ഇങ്ങനെ ഒരല്പം പതിവ് വഴി വിട്ടു വരുന്ന ലേഖനങ്ങള്‍ വേണം എന്ന് തന്നെയാണ് ഞാന്‍ അന്ന് പറഞ്ഞതും.

    ഇതിനിടെ Terence Tao യെ പരിചയപ്പെടുത്തിയത് കണ്ടു ( G Philip) . അത് വളരെ നന്നായി.അഭാജ്യ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് ഒരു ലേഖനം ഉള്‍പ്പെടുത്തി Tao യുടെ ചില സംഭാവനകള്‍ ചര്‍ച്ച ചെയ്യാന്‍ പറ്റും; വലിയ തോതിലുള്ള theoretical sophistication ഒഴിവാക്കികൊണ്ട് തന്നെ. അത്തരമൊരു കാര്യം വന്നാല്‍ വളരെ നന്നായിരുന്നു. ആരെയും ആവേശം കൊള്ളിക്കുന്നതാണ് Tao യുടെ ജീവിതവും ഗണിതത്തില്‍ അദ്ധേഹത്തിന്റെ സംഭാവനയും. ഈ ബ്ലോഗിന്റെ വായനക്കാര്‍ക്ക് Tao സുപരിചിതനാകുന്നതോടെ, ഗണിതത്തിന്റെ ആധുനികവും സമകാലീനവും മോഹിപ്പിക്കുന്നതുമായ ഇടങ്ങളിലേക്ക് ഈ ബ്ലോഗും ഉയര്‍ത്തപ്പെടും!

  17. @ Vijayan sir

    Age of House = 82

    Age of dad = 67

    My age = 24

  18. “അഭാജ്യ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് ഒരു ലേഖനം ഉള്‍പ്പെടുത്തി Tao യുടെ ചില സംഭാവനകള്‍ ചര്‍ച്ച ചെയ്യാന്‍ പറ്റും; വലിയ തോതിലുള്ള theoretical sophistication ഒഴിവാക്കികൊണ്ട് തന്നെ. അത്തരമൊരു കാര്യം വന്നാല്‍ വളരെ നന്നായിരുന്നു.”

    അത്തരമൊരു തകര്‍പ്പന്‍ സാധനം റെഡിയാക്കി ബ്ലോഗിലേക്ക് അയച്ചുകൊടുക്കൂ വിനോദ് സാറേ…
    ഈ ബ്ലോഗ് ഒരു സംഭവമാകട്ടെ!!

  19. Let x= Age of house,y= Age of dad
    and z= My age

    Also x^2 is a four digit number .

    x = y+15
    y = x-15….(1)

    Also y-z >0
    x^2 = 100y+z….(2)

    Substituting (1) in (2)

    x^2 = 100(x-15) + z
    = 100x-1500 +z
    x^2 – 100x +1500 – z = 0
    solving

    x = 50+- root (1000 + z)

    Here by comparison x has four values 82 or 18, 83 or 17

    From this we can see that 82 satisfies the given condition

    If x =82
    y= 82 -15 = 67
    z = 24 (82^2 = 6724)

  20. Ambili says:

    ഞങ്ങള്‍ പുതിയ അധ്യാപകര്‍ക്ക് ഇതോക്കെ ആദ്യമായി കേള്‍ക്കുന്ന കാര്യങ്ങളാണ്. അജ്ജന ടീചറ് എന്താണ് പറയുന്നത് എന്നറിയാന്‍ താല്പര്യമുണ്ട്. പിന്നെ philip sir onnum paranjillallo,net workinakurichu

  21. VIJAYAN N M says:

    thanks for correct answer.
    Good morning,
    One side of an equilateral triangle is 24cms.the mid points of all sides are joined together to form another triangle.this process is continuied till you get tired.find the sum of perimeter of all triangles.

  22. JOHN P A says:

    @ Vijayan sir
    72 is the first perimetre
    By BPT , perimetre of the second is 36
    72,36,18,9 ….. is an infinite G P with common ratio 1/2
    modulus of r is less than 1
    so sum of infinite G P is a/1- r
    sum= 72/1-1/2 = 144

  23. @ Maths blog team

    രണ്ടു ദിവസം ഞാന്‍ ഇതിനെ കുറിച്ച് വിശദമായി പഠിച്ചു നോക്കി . തെറ്റ് ഉണ്ടെങ്കില്‍ അത് തിരുത്തി തരണം .

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  24. ഒരു ദിവസം നമ്മുടെ അസീസ്‌ സര്‍ വിജയന്‍ സാറെ ഫോണില്‍ വിളിച്ചു.കോഴിക്കൊടിലെ നാട്ടു വര്‍ത്തമാനങ്ങളും ബ്ലോഗില്‍ പുതുതായി വന്ന വിനോദ് സാറിന്റെ കഴിവിനെ കുറിച്ചും ,അഞ്ജന ചേച്ചി , ഫിലിപ്പ് സര്‍ , ഇവരുടെ ഒക്കെ പ്രതിഭയെകുറിച്ചും
    ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സര്‍ എവിടെ പോയി എന്നതിനെകുറിച്ചും ഒക്കെ കുറെ നേരം സംസാരിച്ചു

    ഒടുവില്‍ അസീസ്‌ സര്‍ വിശ്വരൂപം കാണിച്ചു .അതാ കൊടുത്തു ഒരു ചോദ്യം.

    “ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങള്‍ p,q,r എന്നിവയും ആ ത്രികോണത്തിന്റെ പരിവൃത്ത ആരം R ഉം ആയാല്‍ p^2+q^2+r^2=8R^2 ആണ് എങ്കില്‍ ആ ത്രികോണം ഒരു മട്ടത്രികോണം ആയിരിക്കും.”ഇതിന്റെ തെളിവ് നാളെ വിളിക്കുമ്പോള്‍ തരണം (അസീസ്‌ സര്‍ ആരാ മോന്‍).

    വിജയന്‍ സര്‍ പേപ്പര്‍ നോക്കി തളര്‍ന്നിരികുമ്പോള്‍ ആണ് ചോദ്യം .പക്ഷെ സര്‍ അപ്പോള്‍ തന്നെ കൊടുത്തു മറുപടി .എന്താണ് വിജയന്‍ നല്‍കിയ ഉത്തരം

  25. AZEEZ says:

    ചുവടെ കൊടുത്ത ചിത്രത്തില്‍ CD+BD=AD എന്ന് തെളിയിക്കുക

    ചിത്രം ഇവിടെ

  26. അമ്മുവും ഗായത്രിയും ഗൂഗിള്‍ഡോക്സില്‍ ചെയ്ത ഫയല്‍ ഷെയര്‍ ചെയ്യാന്‍ മറന്നുവെന്നാണ് തോന്നുന്നത്.

  27. VIJAYAN N M says:

    let p,q be the sides and ‘r’ is the hypotanues. the radius of the circumcirle is the mid point of ‘r’.so r=2R
    p^2+q^2=r^2
    ie p^2+q^2=(2R)^2
    p^2+q^2=4R^2
    r^2=4R^2
    THEREFORE p^2+q^2+r^2=4R^2+4R^2=8R^2

  28. @ Maths blog team

    രണ്ടു ദിവസം ഞാന്‍ ഇതിനെ കുറിച്ച് വിശദമായി പഠിച്ചു നോക്കി . തെറ്റ് ഉണ്ടെങ്കില്‍ അത് തിരുത്തി തരണം .

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  29. VIJAYAN N M says:

    @AZEES
    BD:AB:AD=1:ROOT3:2
    CD:AC:AD=1:ROOT3:2
    CD+BD=AD

  30. @ നിസാര്‍ സര്‍
    ഇപ്പോള്‍ ഫയല്‍ വിസിബിള്‍ ആണോ

    @ ജോണ്‍ സര്‍
    “ഒരു ബിന്ദുവില്‍ നിന്നുമാരംഭിച്ച് പേപ്പറില്‍നിന്നും പെന്‍സില്‍ ഉയര്‍ത്താതെ ചിത്രം പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ പറ്റുമോ”

    എന്റെ ഉത്തരങ്ങള്‍ നോക്കിയോ ? എന്തെങ്കിലും തെറ്റ് ഉണ്ടോ ?

    അമ്മു

  31. @ വിജയന്‍ സര്‍ / അസീസ്‌ സര്‍

    AD എന്ന രേഖ കടന്നു പോകുന്നത് പരിവൃത്ത കേന്ദ്രത്തിലൂടെ ആണോ?ചിത്രത്തില്‍ അത് അടയാള പെടുത്താന്‍ മറന്നു പോയതാണോ ? ഇത് തെളിയിച്ച രീതി ഒന്ന് വിശദം ആക്കാമോ?

  32. @Ammu&Gayatri

    Now it is visible.
    well done!
    Thanks a lot for the extra explanations.

  33. @ammu&gayathri
    < =<=60,AD common to both triangle,AB=AC.
    Then from the two triangles we get,AD is the bisectotr and it divides the angle into 30 each.ie it passes thru centre.( qn no 13 of sslc march 2010,mark 4)
    then there we get two triangles with30,60,90.hence the answer.
    am i rt?

  34. AZEEZ says:

    @ Vijayan Sir

    Then from the two triangles we get,AD is the bisectotr and it divides the angle into 30 each.ie it passes thru centre..

    how?

  35. @ Azeez sir

    ചുവടെ കൊടുത്ത ചിത്രത്തില്‍ CD+BD=AD എന്ന് തെളിയിക്കുക

    My explanation is given below

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

    correct or not ?

    Ammu

  36. abdul says:

    This comment has been removed by the author.

  37. Model Maths says:

    It is not given that AD apsses through the centre.
    angle ADB and ADC each equal to 60 ( by angles in the same segment).
    if one side of the equilateral triangle is ‘a’ and considering triangle ABD
    a^2 = AD^2 + CD^2 – 2AD*CD*cos60( cosine rule)
    ie, a^2 = AD^2 + CD^2 – AD*CD
    similarly considering triangle ABD
    a^2 = BD^2 + AD^2 – BD*AD
    ie AD^2+CD^2 – AD*CD = BD^2+AD^2-BD*AD.
    we get
    CD^2-BD^2 = AD(CD – BD)
    ie (CD + BD)(CD – BD) = AD(CD – BD)
    ie CD + BD = AD

  38. Model Maths says:

    @Gayathri,Ammu

    U have marked the centre on AD. but it is true even if the centre is not on AD. is it possible to proveit wothout applying cosine rule?

  39. @azees sir,
    triangle ADB&ADC are congruent.
    < =< =30.
    SO both triangles are 30,60,90.
    hence the answer.

  40. AZEEZ says:

    In the triangles ADB & ADC

    AB=AC and AD=AD

    What is the third codition to the triangles ADB & ADC are congruent.

  41. This comment has been removed by the author.

  42. @ Azeez sir

    ചുവടെ കൊടുത്ത ചിത്രത്തില്‍ CD+BD=AD എന്ന് തെളിയിക്കുക

    അസീസ്‌ സര്‍ ഉത്തരം പോസ്റ്റ്‌ ചെയൂ .ഞാന്‍ അയച്ച ഉത്തരം നോക്കിയോ ?

  43. @ Azeez sir

    By Ptolemy’s Theorem
    In a cyclic quadrilateral ABCD , AC*BD = AB*CD + AD*BC

    If we apply this theorem to Cyclic quadrilateral ABDC in the figure
    AB*CD + BD*AC = AD*BC ……….(1)

    Since ABC is an equilateral triangle we have
    AB=AC=BC= x …………………(2)
    Substituting (2) in (1)
    x*CD+ BD*x = AD*x
    x(CD+BD)= AD*x
    Therefore CD+BD = AD

    കണ്ണന്‍ സര്‍ പറഞ്ഞു തന്ന വഴി ആണ് .

  44. AZEEZ says:

    @ abdul & gayathry & Ammu

    correct answer..

    By ptolamy’s theorem we can prove this very easily.

  45. @ Hari sir / John sir

    “ചില നെറ്റ്​വര്‍ക്കുകളിലേക്ക് ശ്രദ്ധ ക്ഷണിക്കുന്നു.
    ഒരു ബിന്ദുവില്‍ നിന്നുമാരംഭിച്ച് പേപ്പറില്‍നിന്നും പെന്‍സില്‍ ഉയര്‍ത്താതെ ചിത്രം പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ പറ്റുമോ എന്ന് നോക്കാം.ഇവയെല്ലാം യൂളറിയന്‍ ഗ്രാഫുകളായി കണ്ടുകൊണ്ട് വിശദീകരിക്കുമല്ലോ.”

    ഇതിന്റെ ഉത്തരം ഞാന്‍ ഇന്നലെ അയച്ചിരുന്നു . ചോദ്യം ചോതിക്കുന്നത് ഉത്തരം കിട്ടാന്‍ ആണല്ലോ ?അല്ലെ ?ഞാന്‍ അയച്ച ഉത്തരം നോക്കി അതില്‍
    തെറ്റുകള്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ അത് തിരുത്താന്‍ ബ്ലോഗ്‌ ടീം തയാറാവണം . നിങ്ങള്‍ അത് പരിഗണിച്ചതെ ഇല്ല .അറിവുകള്‍ പരസ്പരം പങ്കുവച്ചു പഠിക്കാന്‍ അല്ലെ ഈ ബ്ലോഗ്‌ തുടങ്ങിയത് .ഇങ്ങിനെ ആണെങ്കില്‍ ഇനി ഞങ്ങള്‍ ഉത്തരങ്ങള്‍ പോസ്റ്റ്‌ ചെയില്ല

    ഞങ്ങള്‍ ഈ ബ്ലോഗിലെ മറ്റു പ്രതിഭകളെ പോലെ അത്ര മികച്ച നിലവാരം പുലര്‍ത്തുന്നവര്‍ അല്ല അത് ഞങ്ങള്‍ക്ക് നന്നായി അറിയാം .അത് കൊണ്ടാണോ മറുപടി തരാത്തത് .കണ്ണന്‍ സര്‍ പല ഉത്തരങ്ങളും ഞങ്ങള്‍ക്ക് പറഞ്ഞു തരാറില്ല .തനിയെ കണ്ടെത്താന്‍ പറയും . ഞങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തലുകള്‍ശരിയാണോ എന്ന് ഞങ്ങള്‍ക്കും അറിയേണ്ടേ ?

    ശരിക്കും ദേഷ്യം വന്നത് കൊണ്ടാണ് ഇത്രയും പറഞ്ഞത് .

    ഗായത്രി & വിസ്മയ

  46. JOHN P A says:

    ഗായത്രിയാണോ അമ്മുവാണോ കുടുതല്‍ ചുടാകുന്നത്?ഠഞാന്‍ ഇന്നലെ തന്നെ നോക്കിയതാണ്.നിങ്ങളുടെ പ്രതിഭയ്ക്കുമുന്നില്‍ ഞങ്ങള്‍ അധ്യാപകരാണ് പഠിതാക്കള്‍ ഉത്തരം ശരിയാണ്
    പിന്നെ,F + V – E = 2 എന്ന eulerian relation നെറ്റ് വര്‍ക്കുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി വിശദീകരിക്കാം ഒന്നു ശ്രമിക്കുമോ

  47. @ John sir
    F + V – E = 2 എന്ന Eulerian relation നെറ്റ് വര്‍ക്കുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി വിശദീകരിക്കാം ഒന്നു ശ്രമിക്കുമോ

    ഞങ്ങളുടെ ഉത്തരം താഴെ ലിങ്കില്‍ തന്നിരിക്കുന്നു .അഭിപ്രായം പറയണം .എന്തെങ്കിലും ചേര്‍ക്കാന്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ അതും പറയണം. പിന്നെ ഇന്നലെ വെറുതെ പറഞ്ഞതാണ്‌ കേട്ടോ ചാണക്യന്‍ സാറെ .ഹിത മെയ്‌ 12 നു വരും അപ്പോഴേക്കും അമ്മുവിന്‍റെ റിസള്‍ട്ട്‌ വരുമോ ?

    അമ്മുവിന്‍റെ(വിസ്മയയുടെ) നമ്പര്‍ അയച്ചു തരട്ടെ. റിസള്‍ട്ട്‌ വരുന്ന ദിവസം സൈറ്റ് ആകെ ബ്ലോക്ക്‌ ആയിരിക്കും.സര്‍ അറിഞ്ഞാല്‍ ബ്ലോഗില്‍ തന്നാല്‍ മതി .അയച്ചു തരട്ടെ

    Our Explanation

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

  48. ബഹുമാനപെട്ട ജോണ്‍ സാറിന്

    F + V – E = 2 എന്ന Eulerian relation നെറ്റ് വര്‍ക്കുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി വിശദീകരിക്കാം ഒന്നു ശ്രമിക്കുമോ

    സര്‍ ഞങ്ങളോട് ചോതിച്ചപ്പോള്‍ ഞങ്ങള്‍ അത് പോസിറ്റീവ് സെന്‍സില്‍ എടുത്തു ഞങ്ങള്‍ പല സൈറ്റുകള്‍ സെര്‍ച്ച്‌ ചെയ്തു വിവരങ്ങള്‍ ശേഖരിച്ചു
    ഞങ്ങളാല്‍ കഴിയുന്ന വിധത്തില്‍ തയാറാക്കി അയച്ചു .ഞങ്ങള്‍ക്കും പല കാര്യങ്ങളും ഇതിലൂടെ മനസ്സിലാക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞു.ഇവയെല്ലാം ചേര്‍ത്ത് ഞങ്ങള്‍ ഒരു ബുക്ക്‌ തന്നെ ഉണ്ടാക്കാനുള്ള ശ്രമത്തില്‍ ആണ്

    പക്ഷെ ഞങ്ങളെ ഏറ്റവും നിരാശപെടുത്തിയ കാര്യം സര്‍ ഞങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങള്‍ നോക്കുന്നില്ല എന്നതാണ്.ഇപ്പോല്‍ ഹരി സാറും ജോണ്‍ സാറും ഒക്കെ വലിയ വിഷയങ്ങളില്‍ മാത്രം അഭിപ്രായം പറയുന്നു.ഞങ്ങളും ഇനി ഇതേ രീതിയില്‍ തന്നെ മറുപടി തരാം.

  49. ” A hexagon with consecutive sides of lengths 2,2,7,7,11,11 is inscribed in a circle .find the radius of the circle.”

  50. @Gayathri&Ammu;
    John sir is out of station for four days.so don’t get bored.your explanation with illustration about ‘Eularian relation net work ‘ is fine .congratulations for trying to write a book in connection with this topic.any way blog members are always with you to encouragement.write more and more articles ,that is helpful to new generation.thank u.
    so pl wait till john sir’s presence
    .
    “before that try the above simple qn.”

  51. ഗായത്രീ,

    ബ്ലോഗിനെക്കുറിച്ച് വിനോദ് സാറിന്റെ അഭിപ്രായം കണ്ടതുമുതല്‍ ഈ പോസ്റ്റ് പോലുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര ലേഖനങ്ങള്‍ക്ക് പിറകിലാണ് ഞങ്ങളില്‍ പലരും. കൂട്ടത്തില്‍ സെന്‍സസ് ഡ്യൂട്ടി, വാല്വേഷന്‍, ‍ഡി.ആര്‍.ജി ട്രെയിനിങ് ഇവയുടെ തിരക്കും ഉണ്ട്. കമന്റുകളെല്ലാം കാണാറുണ്ടെങ്കിലും തിരക്കുകളാണ് പ്രശ്നം. പോസ്റ്റു തയ്യാറാക്കണമല്ലോ. അതുകൊണ്ടു തന്നെ അധ്യാപകസുഹൃത്തുക്കളുമായുള്ള ചാറ്റിങ് പോലും കഴിഞ്ഞ ഒരു മാസമായി നടക്കുന്നേയില്ല. അങ്ങനെ തിരക്കുകളൊഴിഞ്ഞു വരുന്നു.

    പിന്നെ പസില്‍ പോസ്റ്റ്, ഗണിത പോസ്റ്റ്, സംവാദപോസ്റ്റ് എന്നിങ്ങനെയാണ് ഇപ്പോഴത്തെ തരംതിരിവുകള്‍. അനുബന്ധങ്ങള്‍ ചേര്‍ക്കുമല്ലോ. ഏതു ചോദ്യത്തിനും നിങ്ങളുടെ ഉത്തരമുണ്ടാകും എന്ന കാര്യം ഇപ്പോള്‍ ഞങ്ങള്‍ക്ക് മാത്രമല്ലല്ലോ നമ്മുടെ വായനക്കാര്‍ക്കെല്ലാമറിയാം. അതുകൊണ്ട് ഈ നിശബ്ദത നിങ്ങളുടെ മറുപടി പ്രതീക്ഷിച്ചു കൊണ്ടുള്ളതാണെന്നറിയുക.

    ജോംസ് സാര്‍, ജോണ്‍ സാര്‍, മുരളി മാഷ് എന്നിവര്‍ ഡി.ആര്‍.ജി ശനിയാഴ്ച വരെ ട്രെയിനിങ്ങിലായിരിക്കും. ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാര്‍ ബാംഗ്ലൂരിലായിരുന്നു. വന്നപ്പോള്‍ സിസ്റ്റത്തിന് ചെറിയ പ്രശ്നം. എന്തായാലും എല്ലാവരും തമ്മില്‍ ഫോണില്‍ കോണ്ടാക്ട് ചെയ്യാറുള്ളതു മൂലം കാര്യങ്ങളറിയുന്നു.

  52. @ Respected Vijayan sir

    Radius of the circle = 7 units

  53. @gayathri&ammu;
    radius is 7 cm.
    your answer is correct.I think you solved this qn. using Ptolemy’s theorem (if yes give the solution)
    if it is using trigonometry ,publish your solution.
    thank you.

  54. @ Vijayan sir

    ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക

    we solved it using Ptolemy’s theorem ? can we solve this using the idea of trigonometry ?If yes Please post that method.

  55. @ Vijayan sir
    സര്‍ valuation കഴിഞ്ഞോ.റിസള്‍ട്ട്‌ എപ്പോള്‍ വരും.അമ്മുവിന്‍റെ നമ്പര്‍ തരട്ടെ.റിസള്‍ട്ട്‌ വരുമ്പോള്‍ അറിയിക്കുമോ ബ്ലോഗില്‍ കൊടുത്താല്‍ മതി.ഞങ്ങളുടെ WLL Connection ആണ് .റിസള്‍ട്ട്‌ വരുന്ന ദിവസം സൈറ്റ് open ചെയ്യാന്‍ പറ്റാറില്ല .നേരത്തെ അറിഞ്ഞു തരണം എന്നല്ല .അറിയുന്ന ദിവസം പറഞ്ഞു തന്നാല്‍ മതി.അയച്ചു തരട്ടെ

  56. @gayathri&ammu
    by symmetry we can draw a semi circle with chords 2,7,11.

    We can drop a perpendicular from the center of the circle to each of the chords,bisecting the isosceles triangles.let the centre angles are a,b,c and d the base angle of the triangle whose base is 11. we have a + b + c = pi /2, and c + d = pi/2.
    Hence a + b = d < pi /2.
    We also have a=sin inverse (1/r)
    b=sin inverse (7/r)
    d=sin inverse (11/2r)

    Taking the cosine of both sides of a + b = d, and using trigonometric identities cos(x + y) = cosx cosy − sinx siny, and sin2x + cos2x = 1, we get ‘sqrt(1-1/r^2)(sqrt(1-7/r^2)-(1/r)*(7/r)=11/2r.’
    Adding 7/2r2 to both sides of the equation, squaring, and multiplying by 2r3, we obtain
    2r3 − 87r − 77 = 0
    This easily factorizes, giving (r − 7)(2r2 + 14r + 11) = 0.
    The quadratic factor has negative real roots. Hence r = 7 is the only positive real root.
    Therefore the radius of the circumscribing circle of the original hexagon is 7 units.
    if figure is needed that i will send you later.

    @Ammu, don’t afraid of result.it will take its own time.
    before that you don’t reveal your reg.no.you send a qn. which has the answer,that is your number.
    let the viewers calculate .your reg.no.
    blog will arrange steps to view the results on time.PL COOL DOWN TILL MAY 1ST WEEK.

  57. CORRECTION IN THE 14 TH LINE(sin2x+cos2x=1)
    sin^2 X+COS^2 x=1

  58. AZEEZ says:

    The towns of A, B, and C are equidistant from each other. If a car is three KM from A and four KM from B, what is the maximum possible distance of the car from C? Assume the land is flat.

  59. AZEEZ says:

    @ അമ്മു & ഗായത്രി

    നിങ്ങളുടെ ആദ്യത്തെ ഉത്തരത്തില്‍ AD വൃത്തകേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നു പോകുന്ന രീതിയിലാണ് തെളിയിച്ചത് . ഇത് abdulചൂണ്ടിക്കാട്ടുകയും ചെയ്തിരുന്നു. അതുകൊണ്ടാണ് മറുപടി ഇല്ലാഞ്ഞത് .ടോളമി സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പ്രൂഫ്‌ തന്നെയായിരുന്നു എന്റെതും .

    രണ്ടു ദിവസമായി നെറ്റ് ഇല്ലായിരുന്നു. ഇപ്പോഴാണ് ശരിയായത് .

  60. VIJAYAN N M says:

    @Azees sir,
    The maximum possible distance of the car from C is 7 miles.

  61. “In a regular nonagon ABCDEFGHI ,show that AF=AB+AC”

  62. AZEEZ says:

    @ vijayan Sir

    7 Miles is not correct.

  63. @ Azeez sir

    Answer is 7Km

  64. @ Vijayan sir

    My register number is a six digit number of the form ABCDCB . Sum of the digits is 40 also A+B=11 ,C+D=14 and B+D=17.Find my register number ?

    Vismaya

  65. വിജയന്‍ സര്‍ / ഹരി സര്‍

    @Ammu, don’t afraid of result.it will take its own time.
    before that you don’t reveal your reg.no.you send a qn. which has the answer,that is your number.
    let the viewers calculate .your reg.no.
    blog will arrange steps to view the results on time.PL COOL DOWN TILL MAY 1ST WEEK.

    എന്റെ രജിസ്റ്റര്‍ നമ്പറിനെ കുറിച്ച് ഞാന്‍ ഒരു പസില്‍ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്‌ . നോക്കിയിരിക്കുമെന്നു കരുതുന്നു. ഉത്തരം കിട്ടി കാണുമെന്നും കരുതുന്നു.

  66. @gayathri&ammu
    the first digit represents both of you.the remaining integer of 5 numbers is a palindrome number .
    more over that integer can be read if we write it in inverse order.
    the number denotes first,fourth,sixth digit is a pefect square .second and third is a part of a perfect square.lllly fifth and sixth another part of a perfect square
    am i rt?
    then wait till the time that i mentioned. ok keep it up.

  67. VIJAYAN N M says:

    @gayathri,
    the reg.no. is a multiple of two,three digit prime numbers.one is 967.( the only divisors of that reg.number)

  68. Anoop says:

    @ vijayan sir

    “In a regular nonagon ABCDEFGHI ,show that AF=AB+AC”

    We can generalize the problem.

    Any diagonal of an N-sided regular polygon A_1A_2…A_N, can be obtained as:

    A_iA_j = 2R * sin[(j-i)*180/N],

    where R is the circumradius, and the angle is in degrees.

    (R, in turn, can be obtained by putting
    j-i =1
    and
    A_iA_j = length of the sides
    in the equation above)

    AF = 2R sin (100)
    AB = 2R sin (20)
    AC = 2R sin(40)

    Using trigonometric identities, it can be shown that AF=AB+AC.

    [sin X + sin Y = 2 * sin((X+Y)/2)* cos((X-Y)/2)]

    There should be alternate solutions, without using trig. identities.

  69. @anoop sir,
    without using trig.relations there is simple solutions. try

  70. Anoop says:

    Question:

    Consider a triangular field ABC of sides AB=100m, BC=120m, AC=125 m.

    To a pole at each vertex A,B,C, a horse is tethered, with a rope of length 10m.

    Find the total area available to the three horses to graze.

  71. Anoop says:

    yep .. 🙂

    i’m guessing it was a one-step problem for you.

  72. Let α, β, γ be the three angles in radians. We need not find these angles. The first horse can graze (1/2) x 10 x 10 x α = 50α. Similar case with the other horses.

    Since these three areas do not overlap, the total area is the sum of these, which is

    50α + 50β + 50γ = 50(α + β + γ) = 50π

    since α + β + γ = π.

    The answer is 50π.

  73. Nice question. People may try to compute the angles using the cosine formula, find the areas and then add them🙂

  74. Anoop says:

    A similar problem was asked in my class X board exams(2001).

    They didn’t provide the dimensions of the sides, which made it sort of easier.

    I guess it becomes a bit more confusing if one throws in some additional(useless) info like dimensions, angles, etc.🙂

  75. If any side is less than 20m, the sectors will overlap and the problem will become more complicated.

  76. Anoop says:

    yeah.

    the problem had a diagram showing that the sides were long enough.

    i was too lazy to draw one.

  77. Area of the sector = π r^2 x/360

    Here r =10m and x=1800

    Total area available to the three horses to graze
    = 3.14 * 10 * 10 * 180 / 360
    = 3.14 * 100 * ½
    = 3.14 * 50 = 157 m^2

  78. AZEEZ says:

    Here u can mak a semicircle with radius 10 M with the three sectors.

    So total area =3.14*50=157 M ^2

  79. This comment has been removed by the author.

  80. Ammu says:

    @ Maths blog team

    എന്റെ രജിസ്റ്റര്‍ നമ്പര്‍ ആണ് 296869 .റിസള്‍ട്ട്‌ അറിഞ്ഞാല്‍ ഇവിടെ പബ്ലിഷ് ചെയണം .

    Vismaya (Ammu)

  81. @ammu,gayathri
    967*307=296869.(967 and 307 are two prime numbers.
    2 represents both of u.
    the remaining digits 96869 is palindrome.
    cool down till 12.01

  82. FULL A+ AMMU

    CONGRATULATIONS

  83. AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  84. bhama says:

    FULL A+ AMMU

    CONGRATULATIONS

  85. AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  86. AZEEZ says:

    CONGRATULATIONS AMMU

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s