ഈ തത്വത്തില്‍ തെറ്റുണ്ടോ?


ജ്യാമിതിയില്‍ ചില സൂഷ്മചിന്തകളുണ്ട്.ഒപ്പം ചില യുക്തിഭംഗങ്ങളും.ഇതില്‍ പലതും നമ്മുടെ ചിന്തകള്‍ക്കുണ്ടാകുന്ന താളപ്പിഴകളായിരിക്കും. പക്ഷെ ഇത്തരം ചിന്തകളാണ് കണ്ടുപിടുത്തങ്ങളിലേക്കും ചിന്തകളിലേക്കും നമ്മെ നയിക്കുക. അവ ഒരിക്കലും മറക്കാത്ത തിരിച്ചറിവുകളായി നമ്മളില്‍ അവശേഷിക്കുകയും ചെയ്യും. പ്രശ്നനിര്‍ദ്ധാരണരീതിയില്‍ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായി പ്രശ്നവും നിര്‍ദ്ധാരണരീതിയും നല്‍കുകയും അതിലെന്തെങ്കിലും കുഴപ്പങ്ങളുണ്ടോയെന്ന് അന്വേഷിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന വ്യത്യസ്തമായ ഒരു പരീക്ഷണമാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. ക്ലാസ് റൂമുകളില്‍ അവതരിപ്പിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന വിധത്തിലാണ് ഇത് തയ്യാറാക്കിയിരിക്കുന്നത്. വിവിധതരം ത്രികോണങ്ങളെപ്പറ്റി കുട്ടികള്‍ക്ക് അറിയാന്‍ കഴിയും. മൂന്നു വശങ്ങളും തുല്യമായ ത്രികോണമാണ് സമഭുജത്രികോണം,രണ്ടുവശങ്ങള്‍ തുല്യമാകുമ്പോള്‍ സമപാര്‍ശ്വത്രികോണം. മൂന്നുവശവും വ്യത്യസ്തങ്ങളായാല്‍ വിഷമഭുജത്രികോണം. ശരിയല്ലേ? ഇനി നമ്മളൊരു തത്വം പറയാന്‍ പോകുന്നു.

വിഷമഭുജത്രികോണങ്ങളെല്ലാം സമപാര്‍ശ്വത്രികോണങ്ങളാണ്

എന്തു തോന്നുന്നു. ഇതൊരു അബദ്ധമാണെന്ന് തോന്നുന്നുണ്ടോ? വെറുതെ പറയുന്നതല്ല. നമ്മള്‍ പഠിച്ചിട്ടുള്ള , പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയതത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് ഇപ്പറഞ്ഞത് തെളിയിക്കാന്‍ നോക്കാം. എവിടെയെങ്കിലും തെറ്റുണ്ടെന്നു തോന്നിയാല്‍ അപ്പോള്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടണം. റെഡിയല്ലേ? അപ്പോള്‍, നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

  • ത്രികോണം ABC ഒരു വിഷമഭുജത്രികോണം.(Scalene Triangle)
  • AB താഴെ വരുംവിധം വരച്ചോളൂ.
  • കോണ്‍ C യുടെ സമഭാജിയും ,AB യുടെ ലംബസമഭാജിയും വരക്കാമല്ലോ.
  • അവ G യില്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു.
  • GF ലംബം BC ,GD ലംബം AC , GE ലംബം AB വരക്കുക.
  • ത്രികോണം CDG യും ത്രികോണം CFG യും സര്‍വ്വസമങ്ങളാണല്ലോ?(angle-angle-side).
  • അപ്പോള്‍ DG = FG , CD = CF ആകുന്നു.
  • G എന്നത് AB യുടെ ലംബസമഭാജിയിലായതുകൊണ്ട് AG = BG ആണല്ലോ.
  • മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ സര്‍വ്വസമത അനുസരിച്ച് ത്രികോണം DAG യും ത്രികോണം FBG യും സര്‍വ്വസമങ്ങളാണ്.
  • അപ്പോള്‍ DA യും FB യും തുല്യം.
  • CD = CF , DA = FB.
  • അതിനാല്‍ CD + DA = CF + FB.
  • അപ്പോള്‍ AC = BC ആകുമല്ലോ?
  • അതായത് ത്രികോണം ABC ഒരു വിഷമഭുജത്രികോണമല്ല, സമപാര്‍ശ്വത്രികോണമാണ് .

ഒരു കാര്യം തീര്‍ച്ച. ഈ തെളിവില്‍ എവിടെയോ ചില പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. പക്ഷെ അത് കണ്ടെത്തണം. അതാണ് നമ്മുടെ പോസ്റ്റിന്‍റെ ഉദ്ദേശ്യലക്ഷ്യം.

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in ശാസ്ത്രം, Maths Project. Bookmark the permalink.

124 Responses to ഈ തത്വത്തില്‍ തെറ്റുണ്ടോ?

  1. I think, the bisector of angleC and the perpendicular bisector of AB are meet outside of triangle ABC. Thus the congruency of tr. DAG, and tr.FBG
    is not true.

  2. JOHN P A says:

    @ Chentgamarakshan sir
    I have some extentions to this. Shall post as comments after some time,may be afternoon today. Sir,I think to made an effort to construct it geometrically

  3. Ammu says:

    This comment has been removed by the author.

  4. Ammu says:

    ഇതു തെറ്റാണു എന്ന് കാണിക്കാന്‍ ചിത്രങ്ങള്‍ വരക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ് .ലിങ്ക് കൊടുക്കാന്‍ എനിക്ക് അറിയില്ല

    The problem is in the unstated assumption that D is between A and C, and F is between B and C. In a scalene triangle, these will not both be true. One of them will lie outside the triangle. If it’s D, then AC will be the difference between DC and AD, not the sum . The point G will also lie outside the triangle, but this does not affect the proof.

  5. അമ്മു,

    ചിത്രം വരയ്ക്കാനും അതിന്റെ ലിങ്ക് ഇവിടെ കൊടുക്കാനും ഉള്ള ഒരു എളുപ്പവഴിയാണ് Google Docs.

    1. http://docs.google.com എന്ന സൈറ്റില്‍ പോകുക. ഗൂഗിളിന്റേതായ ഏതെങ്കിലും പേജില്‍ (ഉദാ: ഗൂഗിള്‍ സെര്‍ച്ച്, ജീമെയില്‍) “Documents” എന്നു കാണുന്ന ലിങ്ക് ഉപയോഗിച്ചും ഇവിടെ പോകാം.
    2. അവിടെ ജീമെയില്‍ ഐഡി ഉപയോഗിച്ച് ലോഗിന്‍ ചെയ്യുക, ലോഗിന്‍ ആവശ്യപ്പെട്ടാല്‍.
    3. Create new -> Document
    4. പുതുതായുണ്ടായ വെടിപ്പായ ഡോക്യുമെന്റിന് പേരു കൊടുക്കണമെങ്കില്‍ “Untitled” എന്നതിനെ ഞെക്കുക.
    5. ചറപറാ എഴുതുക.
    6. പടം വരച്ച് പ്രമാണത്തില്‍ (ഗൂഗിളിന്റെ “Document” എന്നതിനുള്ള പരിഭാഷ) ഉള്‍പ്പെടുത്താന്‍ Insert -> Drawing എന്നത് തെരഞ്ഞെടുക്കുക.
    7. ചറപറാ വരയ്ക്കുക.
    8. പ്രമാണത്തിന്റെ ലിങ്ക് ലഭിക്കാന്‍ Share -> Get the link to share, അല്ലെങ്കില്‍ Share -> Publish as web page. ഇതില്‍ ഏതുരീതിയാണെങ്കിലും പൊതുജനത്തിനു View അധികാരം മാത്രം കൊടുക്കാന്‍ ശ്രദ്ധിക്കുക; അല്ലെങ്കില്‍ മറ്റുള്ളവരും ചറപറാ എന്തെങ്കിലുമൊക്കെ ചെയ്തെന്നു വരും.
    9. കിട്ടിയ ലിങ്ക് ഇവിടെ കൊടുക്കുക. ഒരുദാഹരണം: http://docs.google.com/View?id=dc2f3t8r_63c2jq52dj

    (ചിത്രം വരയ്ക്കാനുള്ള സൗകര്യം Google Docs-ല്‍ വന്നിട്ട് രണ്ടാഴ്ചയോ മറ്റോ ആയതേയുള്ളു.)

    — ഫിലിപ്പ്

  6. thoolika says:

    ഒന്ന് പരീക്ഷിച്ചു നോക്കട്ടെ

    http://docs.google.com/View?id=dcrshwz_3cdf6fsfp

  7. thoolika says:

    നിസ്സാര്‍ സാറേ , അതിനു കൊടുക്കേണ്ട html tag ഏതാണ്?

    .

  8. നിസാര്‍ സാര്‍, നന്ദി. ഇതു പറയാന്‍ വിട്ടുപോയല്ലോ എന്നോര്‍ത്തിരിക്കുകയായിരുന്നു. ബ്ളോഗറിലാണെങ്കില്‍ കമന്റ് കുഴിച്ചുമൂടാനല്ലാതെ തിരുത്താന്‍ വകുപ്പുമില്ല.

    നിസാര്‍ സാര്‍ ഉദ്ദേശിച്ചത് ഇതാണ്: ലിങ്ക് അതേപടി കാണുന്നതുപോലെ കൊടുക്കുന്നതിനുപകരം ഞെങ്ങുകൊള്ളുന്ന വാക്കുകളായി കൊടുക്കുന്നതിനാണ് കൂടുതല്‍ (സാഹിത്യ?)ഭംഗി.

    കമന്റ് ബോക്സുപയോഗിച്ച് ഇതു ചെയ്യുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്:
    ഇങ്ങനെയാക്കിക്കൂടെ?

    — ഫിലിപ്പ്

  9. thoolika says:

    പുതിയ അറിവായിരുന്നു . നിസ്സാര്‍ സാറിനും , ഫിലിപ്പ് മാഷിനും
    നന്ദിയുടെ പൂച്ചെണ്ടുകള്‍

    -Babu Jacob

    .

  10. The first 11 steps are correct. Only problem is, if the triangle is not isosceles, of the perpendiculars from G to the two sides, one will be on the side and the other will be outside, i.e., the side extended.

    So, the next step is either

    CD + DA = CF – FB.

    or

    CD – DA = CF + FB.

    We can prove it geometrically. I’ll include that in our puzzle book.

    But an easier proof is this proof itself. We can say, start with a non-isosceles triangle, and assume that the perpendiculars meet the sides on the same side of the third side. Then prove that the triangle is isosceles, so by contradiction, they won’t meet at the same side!

  11. This puzzle was published in “Shaasthrakeralam” when I was in the 9th standard. I was the one of the two kids who solved this puzzle then! I am glad to see many more answered now. Our math education has improved a lot in 30 years!

  12. Habeeb Nazir says:

    This comment has been removed by the author.

  13. Habeeb Nazir says:

    ആദ്യ വരിയില്‍ html ടാഗുകള്‍ വര്‍ക്കു ചെയ്യാത്ത വിധം കൊടുത്തതെങ്ങനെ എന്നു കൂടി…

    മാര്‍ക്കപ്പുകള്‍ വരാനായി സ്പെഷല്‍ ക്യാരക്ടറുകളാണ് ‍ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്.

    < എന്നതിനെ &lt ; എന്നും > നെ > എന്നുമാണ് എഴുതേണ്ടത്

    ഉദാഹരണത്തിന്

    മാത്‌സ് ബ്ലോഗ്
    എന്നുവരാന്‍ <a href = “http://mathsblog.in”>
    മാത്‌സ് ബ്ലോഗ് </a>

  14. You need to replace < with < but it is not necessary to replace >.

  15. And, if you ever need to show & (as in this comment and the previous comment), you can write &

    Now, to show &, you need to type &amp;

    And to show &amp, you need to …

    🙂

  16. Hello,
    i will be back home after two days
    happy vishu from NARAKADURAN

    Janardanan master

  17. Anjana says:

    To see what is wrong in the geometrical proof
    SEE THIS

  18. AZEEZ says:

    ഇല്ലാത്ത ചിത്രവും വരയ്ക്കാന്‍ പറഞ്ഞു രാവിലെ തന്നെ ആളെ പറ്റിക്കുകയാണല്ലേ .

    ഇനി ഇതില്‍ എവിടെയാണ് തെറ്റ് എന്ന് പറയാമോ?

    1/-1=-1/1
    √1/√-1=√-1/√1
    √-1*√-1=√1*√1
    i*i=1
    i²=1
    ie -1=1
    so 2=0

  19. Ammu says:

    This comment has been removed by the author.

  20. Ammu says:

    @ Azeez sir
    The incorrect use of a square root comes in step 2
    √1/√-1=√-1/√1
    There is no rule that guarantees that (x/y)^1/2 = (x)^1/2 * (y)^1/2, except if x and y are both positive

  21. തൂലികയ്ക്ക് എങ്ങിനെ ടാഗുകള്‍ കമന്റുവഴി നല്‍കാം എന്നോര്‍ത്ത് തലപുകച്ചിരിക്കുമ്പോഴാണ് ഭാഗ്യത്തിന് അദ്ദേഹം അത് സ്വയം കണ്ടെത്തിയത്.
    ഏറെ കൊതിച്ചിരുന്ന ആ മാര്‍ഗ്ഗം ഫിലിപ്പ് സാറും, ഹബീബും ഉമേഷ് ജിയും കൂടി വിശദമാക്കി.നന്ദി!
    കൂടാതെ, ഒരു യുവ ഗണിതജ്ഞന്റെ ബ്ലോഗ് പരിചയപ്പെടുത്തുക കൂടി ചെയ്ത ഫിലിപ്പ് സാര്‍ മറ്റൊരു സന്തോഷം കൂടി നല്‍കി!
    ഒരു വെടിക്ക് രണ്ടുപക്ഷി!

  22. മേലെ സൂചിപ്പിച്ച തരം പ്രയോജനപ്രദമായ അറിവുകള്‍ ചേര്‍ത്ത്‌ ഒരു വിഭാഗമാക്കിയാല്‍ അത് ഏറെ ഉപകാരപ്പെടും. എങ്ങിനെ ലിങ്കു കൊടുക്കണം തുടങ്ങിയ വിവരങ്ങള്‍ അന്വേഷിച്ചു നടക്കേണ്ടതില്ല.
    FAQ എന്നോ മറ്റോ ഒരു വിഭാഗമാക്കാം.

    സ്ഥിരമായി കമന്റു ചെയ്യുന്നവരെ ഒഴിവാക്കിയാല്‍ ബാക്കിയുള്ളവര്‍ ബ്ലോഗിനെ ആശ്രയിക്കുന്നത് ഡൌണ്‍ലോഡുകള്‍ നോക്കാനാണ്. അത് കൊണ്‍്ട് വിവിധ ഡൌണ്‍ലോഡുകള്‍ വിഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ചു നല്‍കിയാല്‍ അത് ഉപകാരമാകും. കാലഹരണപ്പെട്ടവ ഒഴിവാക്കിയും സര്‍ക്കാര്‍ ഉത്തരവുകള്‍, നമ്മള്‍ സ്വന്തമായി ഉണ്ടാക്കിയവ വേറെയും ഡി.ഇ.ഓ അറിയിപ്പുകള്‍ തുടങ്ങിയവ മറ്റൊരു വിഭാഗവും..

  23. Joms says:

    This comment has been removed by the author.

  24. ഇപ്പോള്‍ തന്നെ 350 -ലേറെ ഡൌണ്‍ലോഡുകള്‍ ഉണ്ട്. ഇതില്‍ നിന്നും ആവശ്യത്തിനുള്ളത് കണ്ടു പിടിക്കാന്‍ ഒന്ന് ശ്രമിക്കൂ ….

  25. നിസാര്‍ സാര്‍,

    ആ ലിങ്കിലുള്ള പ്രമാണം എല്ലാവര്‍ക്കും കാണാവുന്ന വിധത്തിലല്ല : എനിക്കു കാണാന്‍ പറ്റിയില്ല, വായനാധികാരം (ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാര്‍?) ഇല്ലത്രേ.

    ടെറന്‍സ് ടാവോ “വെറും” ഒരു ഘടാഘടിയന്‍ ഗണിതജ്ഞന്‍ മാത്രമല്ല, സഹൃദയനായ മനുഷ്യനും, അതിലുപരി വളരെ നല്ല അധ്യാപകനുമാണ്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ലേഖനങ്ങളും മറ്റും വായിച്ചാല്‍ നമുക്കിത് വേഗം ബോധ്യപ്പെടും. ഇതൊക്കെ വായിക്കാന്‍ അതുപോലെയുള്ള ഗണിതജ്ഞാനം വേണ്ടേ എന്ന് സംശയിക്കാന്‍ വരട്ടെ; എല്ലാത്തരം ആളുകള്‍ക്കും വായിക്കാവുന്നവയും ഉപയോഗപ്പെടുന്നവയുമായ ലേഖനങ്ങള്‍ അദ്ദേഹം എഴുതാറുണ്ട്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ബ്ളോഗില്‍ ഇപ്പോള്‍ മുന്‍പേജില്‍ കിടക്കുന്ന ലേഖനങ്ങള്‍ കണ്ടാല്‍ “അമ്പമ്പോ മിടുക്കന്‍” എന്നു പറഞ്ഞ് സൂത്രത്തില്‍ സ്ഥലം കാലിയാക്കാനാണ് നമുക്ക് തോന്നുക എന്നതു ശരിതന്നെ. എന്നാല്‍ നമുക്ക് മനസ്സിലാകുന്ന, വളരെ ഉപകാരപ്പെടുന്ന ഒട്ടേറെ ലേഖനങ്ങള്‍ അദ്ദേഹം പല സമയത്തായി എഴുതി അവിടെ ഇട്ടിട്ടുണ്ട്.

    ഗണിതശാസ്ത്രഗവേഷണത്തിന്റെ വൈയക്തിക തലങ്ങളേപ്പറ്റി അദ്ദേഹം സ്വന്തം അനുഭവങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എഴുതിയിട്ടുള്ള ചില പോസ്റ്റുകള്‍ താഴെക്കൊടുക്കുന്നു. സ്വന്തം പ്രവര്‍ത്തനരംഗത്ത് അഗ്രഗണ്യനായ ഒരാള്‍ ലളിതമായ (ഇംഗ്ളീഷ്) ഭാഷയില്‍ എഴുതിയ ഈ ലേഖനങ്ങള്‍ ഏതുരംഗത്തു പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നവര്‍ക്കും ഉപകാരപ്രദമായിരിക്കും എന്നു തോന്നുന്നു.

    1. അതിസമര്‍ത്ഥരായ കുട്ടികളെ (മാതാപിതാക്കള്‍/അധ്യാപകര്‍) പഠിപ്പിക്കുന്നതിനേപ്പറ്റി

    2. ഗണിതത്തില്‍ നല്ലരീതിയില്‍ ഗവേഷണം നടത്താന്‍ ഒരു “പുലി” ആയിരിക്കണമെന്നുണ്ടോ? (ഇല്ല!)

    3. കഠിനാധ്വാനത്തിന്റെ പ്രാധാന്യം

    4. കരിയര്‍ ഗൈഡന്‍സ്!

    — ഫിലിപ്പ്

  26. AZEEZ says:

    ഇവിടെ കാണുന്ന രണ്ടു സമചതുരങ്ങളും ചേര്‍ത്ത്‌ ഒരു വലിയ സമചതുരം ഉണ്ടാക്കാമോ ?

  27. JOHN P A says:

    എന്റെ പഴയ റഫറന്‍സ് നോട്ടില്‍ നിന്നും പകര്‍ത്തിയ പ്രശ്നത്തിന് നല്ലരീതിയില്‍ പ്രതികരണങ്ങള്‍ നല്‍കിയ എല്ലാവര്‍ക്കും നന്ദി.
    @Azeeze sirഉന്നയിച്ച പ്രശ്നനം 1 ന്റെ -1 എന്ന വര്‍ഗ്ഗമൂലമെടുത്താല്‍ മതി
    ഈ പ്രശ്ലത്തില്‍ നിന്നുകെണ്ട് ഒത്തിരികാര്യങ്ങങ്ങള്‍ പറഞ്ഞുതന്ന umesh sir, Philip sir, Anjana teacher, പിന്നെ നമ്മുടെ അമ്മു എന്നിവര്‍ക്ക് നന്ദി
    പിന്നെ രാവിലെ തന്നെ പ്രശ്നം ഏറ്റെടുത്ത ചെന്ദാമരാക്ഷന്‍ സാറിന് നന്ദി.
    ഇനി സംാനമായ geometric fallacies ലെയ്ക്ക് കടന്നാല്‍ ലക്ഷ്യം സഫലമായി

  28. @ഫിലിപ്പ് സാര്‍,
    എന്താ പറ്റിയതാവോ? ഷെയര്‍ ചെയ്തിരുന്നതാണ്.
    ഇതുപോലെത്തന്നെ.

    വായനക്കായിത്തന്ന അമൂല്യലിങ്കുകളിലേക്ക് കടന്നിട്ടില്ല,സമയം പോലെ…

    @ജോംസ് സാര്‍,
    നല്ല നിര്‍ദ്ധേശം, പരിഗണിക്കാം!
    പക്ഷേ, ഇപ്പോള്‍തന്നെ കണ്ട്രോള്‍ +f അടിച്ച് വേണ്ടത് എളുപ്പം തെരയാമല്ലോ..?

  29. കുറേ നേരമായി ആരും മിണ്ടാത്തത് കമന്റുചെയ്യാന്‍ വല്ല തടസ്സവും മൂലമാണോയെന്ന് ചെക്കുചെയ്യട്ടെ!

  30. ഏയ്, കുഴപ്പമൊന്നും കാണുന്നില്ല!

  31. AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  32. AZEEZ says:

    ഈ ചിത്രത്തില്‍ പേരുണ്ട്?കുറച്ചു നേരം ശ്രദ്ധിച്ചു നോക്കുക.

  33. ഒരു എട്ടാം ക്ലാസ്‍ ലവല്‍ ചോദ്യമാണ് താഴെ കൊടുത്തിട്ടുള്ളത്.

    ഒരു ഇഷ്ടികയുടെ ഭാരം 4kg ആണ്. അതുപോലെ തന്നെയുള്ള അതേ പദാര്‍ത്ഥം കൊണ്ടുണ്ടാക്കിയതും എന്നാല്‍ അതിന്റെ നാലിലൊന്ന് വലിപ്പമുള്ളതുമായ മറ്റൊരു ഇഷ്ടികയുടെ ഭാരം എത്രയായിരിക്കുമെന്ന് പറയാമോ?

  34. ഇഷ്ടികയുടെ ഭാരം 62.5 gram ആയിരിക്കും
    നീളം ,വീതി,ഉയരം എന്നിവ നാലില്‍ ഒന്നായി കുറയുമ്പോള്‍

  35. പൊതുജനത്തിനു View അധികാരം മാത്രം കൊടുക്കാന്‍ ശ്രദ്ധിക്കുക;എങ്ങനെ ഇതു ചെയ്യാം

  36. അനില്‍ സാറിന് അഭിനന്ദനങ്ങള്‍. ഉത്തരം വളരെ വളരെ ശരിയാണ്. നീളവും വീതിയും ഉയരവും നാലിലൊന്നായി കുറയുമ്പോള്‍ വ്യാപ്തം കുറയുന്നതെത്ര ഭാഗമായിട്ടായിരിക്കും

    (1/4)*(1/4*(1/4)= 1/64

    അപ്പോള്‍ ആദ്യ ഇഷ്ടികയുടെ 1/64 ഭാഗം ഭാരമേ രണ്ടാമത്തെ ഇഷ്ടികയ്ക്കുള്ളു.
    അതായത് 4000*(1/64)=62.5 ഗ്രാം

    “പൊതുജനങ്ങള്‍ക്ക് view അധികാരം…” എന്തിനെക്കുറിച്ചാണെന്ന് വ്യക്തമാക്കാമോ?
    ——————————
    ഒരു പി.എസ്.സി ചോദ്യം:-

    ഒരു ടാങ്കിലേക്ക് 3 വാല്‍വുകളുണ്ട്. ആദ്യ വാല്‍വ് തുറന്നാല്‍ ജല സംഭരണി രണ്ട് മണിക്കൂര്‍ കൊണ്ട് നിറയും. രണ്ടാമത്തേതാണ് തുറക്കുന്നതെങ്കില്‍ 3 മണിക്കൂര്‍ വേണം. മൂന്നാമത്തേതാണ് തുറക്കുന്നതെങ്കില്‍ 5 മണിക്കൂര്‍ കൊണ്ട് ടാങ്ക് കാലിയാകും. ടാങ്ക് സൂക്ഷിപ്പുകാരന്‍ ശ്രദ്ധിക്കാതെ ഒരേ സമയം തന്നെ 3 ടാങ്കുകളും തുറന്നാല്‍ എത്ര സമയം കൊണ്ട് ജലസംഭരണി നിറയും.

    ഉത്തരത്തോടൊപ്പം നമ്മുടെ വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ക്കായി കാരണവും വിശദീകരിക്കുമല്ലോ.

  37. Babu Jacob says:

    This comment has been removed by the author.

  38. ബാബു മാഷേ,

    ചോദ്യത്തിന് അനുസരിച്ച മറുപടി തന്നെ.
    പഴയ നമ്മുടെ ‘ഇമ്പോസിഷന്‍’ പോലെ

  39. JOHN P A says:

    ഒരു ടാങ്കിലേക്ക് 3 വാല്‍വുകളുണ്ട്. ആദ്യ വാല്‍വ് തുറന്നാല്‍ ജല സംഭരണി രണ്ട് മണിക്കൂര്‍ കൊണ്ട് നിറയും. രണ്ടാമത്തേതാണ് തുറക്കുന്നതെങ്കില്‍ 3 മണിക്കൂര്‍ വേണം. മൂന്നാമത്തേതാണ് തുറക്കുന്നതെങ്കില്‍ 5 മണിക്കൂര്‍ കൊണ്ട് ടാങ്ക് കാലിയാകും. ടാങ്ക് സൂക്ഷിപ്പുകാരന്‍ ശ്രദ്ധിക്കാതെ ഒരേ സമയം തന്നെ 3 ടാങ്കുകളും തുറന്നാല്‍ എത്ര സമയം കൊണ്ട് ജലസംഭരണി നിറയും.

    ആദ്യത്തെ വാല്‍വ് തുറന്നാല്‍ ഒരു മണ്ക്കൂര്‍കൊണ്ട് ½ ഭാഗം നിറടയും
    രണ്ടാമത്തെ വാല്‍വ് തുറന്നാല്‍ ഒരു മണ്ക്കൂര്‍കൊണ്ട് 1/3 ഭാഗം നിറയും
    മൂന്നാമത്തെവാല്‍വ് തുറന്നാല്‍ ഒരു മണ്ക്കൂര്‍കൊണ്ട് 1/5 ഭാഗം കാലിയാകും
    മൂന്നും തുറന്നാല്‍ 1 മണിക്കൂര്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ ½ +1/3 -1/5 ഭാഗം നിറയും
    5/6 -1/5 = 19/30 ഭാഗം 1 മണിക്കൂര്‍ കൊണ്ട് നിറയും
    time 30/19 hours

  40. This comment has been removed by the author.

  41. “പൊതുജനങ്ങള്‍ക്ക് view അധികാരം…” എന്തിനെക്കുറിച്ചാണെന്ന് വ്യക്തമാക്കാമോ?
    ഹരി സാര്‍, പേടിക്കാനൊന്നുമില്ല, Google Docs ഉപയോഗിച്ചുണ്ടാക്കിയ ഒരു പ്രമാണം പൊതുപ്രദര്‍ശനത്തിനു വെയ്ക്കുമ്പോള്‍ എടുക്കേണ്ട മുന്‍കരുതലിനെപ്പറ്റിയാണ് അനില്‍സാറിന്റെ ചോദ്യം.

    എന്റെ പൊന്നനില്‍സാറേ, സന്ദര്‍ഭം വ്യക്തമാക്കാതെ ഇങ്ങനെ സ്ഫോടനാത്മകമായ ഒരു വാചകം ഇവിടെ എന്തു ധൈര്യത്തിലാണ് ഇട്ടത്? ഇതിനേപ്രതി നല്ല പൊളപ്പന്‍ അടി ഇവിടെ ഇതുവരെ തുടങ്ങാത്തത് നമ്മുടെ ഭാഗ്യം!

    അനില്‍സാറിന്റെ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം: Share -> Publish as web page എന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ചാണ് പ്രസിദ്ധീകരിച്ചതെങ്കില്‍ പ്രത്യേകിച്ച് ഒന്നും ചെയ്യാതെതന്നെ മറ്റുള്ളവര്‍ക്ക് view അധികാരം മാത്രമേ കാണുകയുള്ളൂ എന്നാണ് തോന്നുന്നത്.

    Share -> Get the link to share എന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ചാണ് പ്രസിദ്ധീകരിച്ചതെങ്കില്‍ “Also allow them to edit” എന്നത് ശരിചിഹ്നം ഇടാതെയിരുന്നാല്‍ മതി: മറ്റുള്ളവര്‍ക്ക് പ്രമാണത്തില്‍ മാറ്റങ്ങള്‍ വരുത്താന്‍ കഴിയില്ല.

    ഒറ്റ നോട്ടത്തില്‍ മനസ്സിലായ കാര്യങ്ങളാണ് ഇതൊക്കെ: തെറ്റുണ്ടെങ്കില്‍ അതറിയാവുന്നവര്‍ തിരുത്തിയാല്‍ നന്നായിരിക്കും.

    — ഫിലിപ്പ്

  42. അനില്‍ സാറേ,
    വ്യൂ അധികാരം മാത്രം കൊടുക്കുന്നത് ഇങ്ങനെ

  43. മറ്റുള്ളവര്‍ക്കകൂടി എഡിറ്റ് അധികാരം കൊടുക്കാനുള്ള ഓപ്ഷന്‍ നമുക്ക് ചില ഡ്രായിംഗുകള്‍ മെച്ചപ്പെടുത്തുക പോലെയുള്ള സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ ഉപയോഗപ്പെടുത്താമല്ലോ, അല്ലേ?
    ബ്ലോഗില്‍, ഇതിന്റെ കൂടുതല്‍ സാധ്യതകള്‍ ചര്‍ച്ച ചെയ്യപ്പെടേണ്ടതില്ലേ?

  44. AZEEZ says:

    Babu Sir.

    Fentastic Answer.

  45. AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  46. Joms says:

    This comment has been removed by the author.

  47. Joms says:

    This comment has been removed by the author.

  48. Anil always tells lie on Tuesdays, Thursdays and Saturdays. He speaks truth on other days.It so happened that Anil said “I will not lie today”. The next day he said “I spoke lie yesterday”.The very next day he said “I spoke truth Yesterday”. In the three consecutive days, what is the final day.

  49. How many three digit numbers are there such that the following property is satisfied.. 1st digit – 2nd digit = 2nd digit – 3rd digit All digits are different (eg: 258,420,159…etc)

  50. ഹരിസാര്‍ 8 -)0 ക്ലാസ് ന്ലവാരക്കാര്ക്ക് എന്ന് പറഞ്ഞ് ഒരു ചോദ്യം കമന്റിട്ടിരുന്നു. സമാനമായ ഒരു ചോദ്യം കൂടി……..

    തേൊട്ടടുത്തു ബേക്കറി നടത്തുന്ന രണ്ടു പേര്‍ തമ്മില്‍ ലഡു കച്ചടത്തില് മത്സരം ഉണ്ടായി. ലഡുവില്‍ എന്തെങ്കിലും വ്യത്യസ്ഥത കൊണ്ടുവരാന്‍ രണ്ടുപേരും തീരുമാനിച്ചു. ആദ്യത്തയാള്‍ ലഡുവിന്റെ വലിപ്പം കൂട്ടാനും രണ്ടാമത്തയാള്‍ ലഡുവിന്റെ വലകുറയ്ക്കാനും തീരുമാനിച്ചു. ഒന്നാമന്‍ വലിപ്പം ഇരട്ടിപ്പിച്ച് വിലയും ഇരട്ടിപ്പിച്ചു. രണ്ടാമന്‍ വലിപ്പം പകുതിയാക്കി വിലയും പകുതിയാക്കി. രണ്ടുപേരും ഒരു ദിവസം ലഡുഉണ്ടാക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന ചേരുവളുടെ അളവ് തുല്യമാണ്. രണ്ടുപേരും ഉണ്ടാക്കുന്ന ലെഡു മുഴുവുനും എന്നും വിറ്റുപോയിരുന്നു.

    രണ്ടു പേരുടെയും ലാഭം ഒരുപോലെ ആയിരിക്കുമോ?

  51. Anjana says:

    “മറ്റുള്ളവര്‍ക്കകൂടി എഡിറ്റ് അധികാരം കൊടുക്കാനുള്ള ഓപ്ഷന്‍ നമുക്ക് ചില ഡ്രായിംഗുകള്‍ മെച്ചപ്പെടുത്തുക പോലെയുള്ള സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ ഉപയോഗപ്പെടുത്താമല്ലോ, അല്ലേ?”

    തന്നില്ലെങ്കിലും ചിലപ്പോള്‍ ഉപയോഗപ്പെടുത്തിയെന്നിരിക്കും!!!
    ഇങ്ങനെ

  52. Anoop says:

    @ chenthamarakshan sir

    1) The final day has to be a Monday.

    2) There are 32 such numbers.

  53. ഹഹഹ…എനിയ്ക്കു വയ്യ!
    അഞ്ജനയിലെ ചിത്രകലാകാരിയ്ക്ക് പ്രണാമം.

  54. @ anoop
    you have missed 210,420,630,and 840
    The answer is 36

  55. Anoop says:

    Explanations:

    1)

    Label a truth-day as T, and a lie-day as L.

    Any set of 3 consecutive days will be {T,L,T} or {L,T,L}, except {L,T,T} for {Sat,Sun,Mon}. In this case, his statements will hold.

    2)

    for a number 100a + 10b + c,

    a,b,c are natural numbers < 10 a-b = b-c =>2b = a+c

    For every odd a, b should also be odd. And for even a, b should be even as well.

    We have

    – 4 possible cases for each odd, distinct a and c

    eg: a = 1
    =>
    1 _ 3 (c = 3)
    1 _ 5 (c = 5)
    1 _ 7 (c = 7)
    1 _ 9 (c = 9)

    3 cases for each even, distinct a and c.

    eg: a = 2

    2 _ 4
    2 _ 6
    2 _ 8

    a can be 1,3,5,7,9 => 20 numbers

    For a ∈ {2,4,6,8}, we have 12 numbers.

    So,I got a total of 32 numbers.

    I missed the zeros. Darn!

    The right answer is, as you said, 36.

  56. Anjana says:

    നിസാര്‍ സാര്‍, എഡിറ്റിംഗ് പഠിക്കാനും പരീക്ഷിക്കാനും ചെയ്ത വേലയാണ്. ഏതായാലും നിസാര്‍ വരച്ച ആനയ്ക്ക് ഒരു നന്പൂതിരി ചന്തം ഉണ്ട്. (തെറ്റിദ്ധരിക്കേണ്ട,ചിത്രകാരന്‍ നന്പൂതിരിയുടെ വരയുമായി ഒരു സാമ്യമുണ്ട്‌ എന്നാണ് ഉദ്ദേശിച്ചത്!)
    പുതിയ സൌകര്യങ്ങളുടെ പശ്ചാലത്തില്‍ ചിത്രകലയിലെ ഗണിതത്തെ കുറിച്ച് ഒരു പോസ്റ്റ്‌ ആകാവുന്നതാണ്.

    നേര്‍ വരകളില്‍ ഉറങ്ങുന്ന പൂച്ച യെ വേണോ?
    ഇതാ !

  57. The sum of the digits of the number (10^n)-1 is 3798. Find the value of n

  58. In tr. ABC the altitude from A to BC meets BC at D and the altitude from B to CA meets AD at H. If AD=4, BD=3, CD=2 then find the length of HD ?

  59. Anoop says:

    @ chenthamarakshan sir

    10^n – 1 will be of the form
    99…n digits…9 for n>0

    10^1 – 1 = 9
    10^2 – 1 = 99
    10^3 – 1 = 999

    sum of digits 9*n = 3798

    n = 422

  60. AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  61. This comment has been removed by the author.

  62. @ Anoop
    The answer is correct

  63. AZEEZ says:

    10 cm വശമുള്ള ഒരു സമഭുജ സാമാന്തരികമാണ് ABCD.AC(വലിയ വികര്‍ണം) , BD(ചെറിയ വികര്‍ണം)എന്നിവ ആരങ്ങളായി രണ്ടു വൃത്തങ്ങള്‍ വരയ്ക്കുക. ഈ വൃത്തങ്ങള്‍ പരസ്പരം P യില്‍ സ്പര്‍ശിക്കുന്നു എങ്കില്‍ സമഭുജ സാമാന്തരികത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം എത്ര?

  64. Ammu says:

    @ Azeez sir

    Area of the Rhombus = 75sq.cm

  65. Ammu says:

    The diagonals of a rhombus are perpendicularly bisect each other

    Let x = radius of larger circle
    y = radius of smaller circle.

    By considering the 4 right angled triangles

    Area of rhombus ABCD
    =4*(x/2)*(y/2)/2 = xy/2.

    Considering any one of the right triangles
    (x/2)^2 + (y/2)^2 = 10^2,
    from this x^2 + y^2 = 400.
    so we can x − y = 10.

    Hence
    (x − y)^2 = x^2 + y^2 − 2xy = 100
    But x^2 + y^2 = 400
    so 2xy = 300.

    Therefore the area of the rhombus = xy/2 = 75 square units.

  66. AZEEZ says:

    @ Ammu

    75 IS Correct Answer.

    TRY TO FIND THE ANSWER OF SQUARE PROBLEM & 12 OR 13 PROBLEM MENTIONED ABOVE.

    THANKS

  67. This comment has been removed by the author.

  68. @ Nithin jose
    ലഡുവിന്റെ വലുപ്പം എന്നതു കൊണ്ട് വ്യ്യാപ്തമൊ ആരമൊ ?
    ആരമനെങ്കിൽലഡുവിന്റെ വലുപ്പം പകുതിയ്യാക്കിയ ആളിന്നെ ലാഭം കൂടിയിരിക്കും

  69. Let r be the radius before the change
    1 st person
    let the price of one leddu be x
    volume of one leddu = 4/3pie r^3
    Price of 1 leddu after increase price=2x
    Volume after double the radius = 4/3 pie (2r)^3 =8{4/3pie r^3}
    Volume of leddu for the price x=4{4/3pie r^3}
    2nd person
    price of 1 leddu after decrease =x/2
    Volume after decrease the radius=4/3pie (r/2)^3
    =1/8{4/3pie r^3}
    Volume of leddu for the price of x=1/4{4/3pie r^3}
    Thus the second person get more profit.

  70. Ammu says:

    @ Azeez sir

    “TRY TO FIND THE ANSWER OF SQUARE PROBLEM & 12 OR 13 PROBLEM MENTIONED ABOVE “

    കുറച്ചു ദിവസം ബ്ലോഗ്‌ നോക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞില്ല . എതു ചോദ്യം ആണ് സര്‍ .മനസിലായില്ല

  71. AZEEZ says:

    @ അമ്മു

    ഈ പോസ്റ്റില്‍ തന്നയുള്ള മുകളിലുള്ള കമന്റുകള്‍ എന്നാണ് ഉദ്ദേശിച്ചത്.

  72. AZEEZ says:

    Sachin’s average in his first 50 innings was 50.
    After the 51st innings, his average was 51.
    How many runs did he score in his 51st inning…?
    Give the answer considering both cases that
    a) he lost his wicket in his 51st innings and
    b) he was unbeaten

  73. Ammu says:

    @ Azeez sir

    If sachin is out in that innings he scored 101 runs

    If he is unbeaten he scored 50 in that innings

  74. Ammu says:

    @ Azeez sir

    Total score after 50 innings = 50*50 =2500
    Total score after 51 innings = 51*51 = 2601
    So 2601-2500=101 runs made in the 51st innings

    If he had not lost his wicket in his 51st innings, he would have scored an unbeaten 50 in his 51st innings.

  75. Ammu says:

    @ chenthamarakshan sir

    In tr. ABC the altitude from A to BC meets BC at D and the altitude from B to CA meets AD at H. If AD=4, BD=3, CD=2 then find the length of HD ?

    Answer is 3/2 = 1.5cm

    Explanation

    < = 180-< = <
    So triangles CAD and HBD are similar

    Hence HD/BD = CD/AD
    HD/3=2/4
    HD = 3/2=1.5cm

  76. @ammu (Vismaya)
    You got the correct answer

  77. Swapna John says:

    ബീജഗണിതത്തില്‍ നിന്ന് ഒരു ചോദ്യം ചോദിക്കാം.

    [8*(x^2) + 1] ഒരു പൂര്‍ണവര്‍ഗമായാല്‍ x ന്‍റെ വിലയെന്താണ് ? ഉത്തരം മാത്രം പോരാ, കിട്ടിയ വഴിയും വേണം.

  78. The solutions for 8x^2 + 1 = y^2 are 1, 6, 35, 204, 1189, …

    Detailed analysis of this problem, known wrongly as Pell’s equation and first solved by the seventh century Indian Mathematician Brahmagupta, is in this document, chapter 10.

  79. Swapna John says:

    ഉമേഷ് മാഷേ,

    ഡോക്യുമെന്റും അതിലെ പത്താം അധ്യായവും കണ്ടു. രേഖപ്പെടുത്തിയ ഉത്തരവും കൃത്യമാണ്.

  80. Anjana says:

    Solution to this and similar problems can also be seen in Chapter 3 (The Brahmagupta – Bhaskara equation) of the book A modern introduction to Ancient Indian Mathematics – T S Bhanu Murthy

  81. Ammu says:

    @ Umesh sir & Swapna Teacher

    സര്‍ എന്റെ സംശയം തെറ്റ് ആണെങ്കില്‍ ക്ഷമിക്കണം .ഞാന്‍ പത്താം ക്ലാസ്സില്‍ പഠിക്കുന്ന കുട്ടി ആണ് .ചീത്ത പറയരുത്

    ഇവിടെ ‘x’ natural number ആണ് എന്ന് പറഞ്ഞിട്ടില്ലല്ലോ. അപ്പോള്‍ x=0 ,root3/2root2,root 3 എന്നിങ്ങനെ ഉള്ള വില കൊടുത്താലും പൂര്‍ണവര്‍ഗമാവില്ലേ

    8*(x^2) + 1 = y^2
    8x^2+1=y^2
    8x^2 = y^2-1
    8x^2=(y+1)(y-1)
    x^2= root(y+1)*root(y-1)/2root2

    if y=1

    x= root2*0/2root2 = 0

    ഇങ്ങനെ ആവാന്‍ പറ്റുമോ എന്റെ ഉത്തരത്തില്‍ എന്താണ് തെറ്റ് .വലിയ ആളുകള്‍ വരുന്ന ഇവിടെ വിഡ്ഢിത്തരം പറഞ്ഞു എന്ന് പറഞ്ഞു ചീത്ത പറയരുത് .

  82. Swapna John says:

    This comment has been removed by the author.

  83. Swapna John says:

    This comment has been removed by the author.

  84. Swapna John says:

    അമ്മൂ, ചോദ്യത്തില്‍ ‍ ഉദ്ദേശിച്ചത് പൂര്‍ണസംഖ്യകളെക്കുറിച്ചായിരുന്നു. ആ വാക്ക് വിട്ടു പോയത് ഞാനിപ്പോഴാണ് ശ്രദ്ധിച്ചത്. അതു കൊണ്ടു തന്നെ അമ്മുവിന്‍റെ വാദം ശരിയാണ്.

    ഇനി സീരിയസ് ചോദ്യങ്ങള്‍ വിട്ട് നമുക്കൊരു ലോജിക്കല്‍ പസിലിലേക്ക് പോകാം. ഒരു രാജാവ് ഏറ്റവും മികച്ച കുതിരയോട്ടക്കാരെ കണ്ടു പിടിക്കാനൊരു മത്സരം നടത്തി. രണ്ടു പേരാണ് തന്റെ കുതിരകളുമായി മത്സരത്തിനെത്തിയത്. നിയമങ്ങള്‍ പറയുന്നതിനിടെ രാജാവിനൊരു അബദ്ധം പറ്റി. ഏറ്റവും ആദ്യമെത്തുന്ന കുതിരയ്ക്ക് 1000 പവന്‍ സമ്മാനം എന്നു പറയുന്നതിന് പകരം അവസാനമെത്തുന്ന കുതിരയ്ക്കാണ് സമ്മാനമെന്നായിപ്പോയി. രാജാവല്ലേ, പറഞ്ഞ കാര്യം തിരുത്താന്‍ പറ്റുമോ. മത്സരം ആരംഭിച്ചു. രണ്ടു കുതിരക്കാരും പരമാവധി പതുക്കെ കുതിരയെ ഓടിക്കാന്‍ തുടങ്ങി. പിന്നെ നടക്കലായി. ഒടുക്കം നടക്കാതായി. രാജാവടക്കം മത്സരം കാണാനെത്തിയ എല്ലാവരുടേയും ക്ഷമ നശിച്ചു. പെട്ടന്ന് ഈ കുതിരകള്‍ നില്‍ക്കുന്നിടത്തേക്ക് മന്ത്രി നടന്നു ചെന്നു. എന്തോ പറഞ്ഞു. തൊട്ടടുത്ത നിമിഷം മത്സരത്തിന്‍റെ ഗതി മാറി. അക്ഷമരായിരുന്ന ആളുകള്‍ കണ്ടത് ഫിനിഷ് പോയിന്റിലേക്ക് കുതിരകള്‍ കുതിച്ചു പാഞ്ഞു വരുന്നതാണ്.

    ചോദ്യം ഇതാണ്. എന്തായിരുന്നു മന്ത്രി പറഞ്ഞതെന്ന് ഊഹിക്കാമോ?

    വ്യത്യസ്തങ്ങളായ പല പല ഉത്തരങ്ങള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. ഒപ്പം രസകരമായവയും.

  85. Ammu says:

    @ Swapna Teacher

    നിങ്ങളുടെ കുതിരകള്‍ പരസ്പരം മാറിയാണ് നിങ്ങള്‍ ഓടിക്കുന്നത് എന്നായിരിക്കും മന്ത്രി പറഞ്ഞത്

  86. Ammu says:

    @ Swapna Teacher

    പൂര്‍ണ സംഖ്യ ആണെങ്കിലും ‘0’ അതില്‍ പെടുമല്ലോ

  87. Ammu says:

    @ Swapna Teacher
    ഈ ചോദ്യം നേരത്തെ(Thursday, February 25, 2010) അസീസ്‌ സര്‍ ചോതിച്ചിരുന്നു .
    അന്ന് ഹിത പറഞ്ഞ ഉത്തരം
    ” told them to switch horses as the race depended on the slowest horse “

  88. Manmohan says:

    അമ്മു ടീച്ചറേ, കുതിരകളുടെ ഉടമസ്ഥർ‍ക്ക്‌ കുതിരകളെ കണ്ടാൽ‍ അറിയാൻ‍ പറ്റില്ലേ. പിന്നെ മന്ത്രി ഇങ്ങനെ പറയുന്നതിൽ കാര്യമുണ്ടോ.

    ആദ്യം എത്തുന്ന കുതിരയ്ക്ക് ഞാൻ‍ 2000 പവൻ‍ തരാം എന്നാണ്‌ പറഞ്ഞതെങ്കിലോ.

  89. Ammu says:

    @ Manu aettan

    വേണ്ട കേട്ടോ മനു ഏട്ടാ .കളിയാക്കാന്‍ വന്നാല്‍ ഉണ്ടല്ലോ .പിന്നെ ഒരേ പോലെയുള്ള കുതിര ആണെങ്കിലോ?ഇരട്ട കുതിരകള്‍.ഹും മന്ത്രി അങ്ങിനെ പറഞ്ഞാല്‍ രാജാവ്‌ മന്ത്രിയുടെ തല വെട്ടും .എന്നേക്കാള്‍ വലിയ ധനികനോ ഇവന്‍ എന്ന് കരുതി. .തല ഇരിക്കുമ്പോള്‍ വാല് ആടുന്നോ .എന്ന് പറയും രാജാവ്‌ . അമ്പട മനു എട്ട .

  90. അമ്മു പറഞ്ഞതു ശരിയാണു്. 0 ഒരു ഉത്തരമാണു്. അതുപോലെ -1, -6, -35, -204, -1189,… എന്നിവയും.

  91. നന്ദി ഉമേഷ്‌ സര്‍

  92. @ ഫിലിപ്പ് സര്‍

    അന്ന് ഒരു arrow puzzle ചോതിചില്ലേ എവിടെ അതിന്റെ ഉത്തരം .

    ചറപറാ എഴുതുക . ചറപറാ വരയ്ക്കുക.

    എന്നിട്ട് ചറപറാ ഉത്തരം പറയണം കേട്ടോ സര്‍ .സാറിന് എന്താ ജോലി?എവിടെയെങ്കിലും scientist ആണോ?എങ്ങിനെയ സര്‍ ഗണിതത്തില്‍ ഇങ്ങനെ താല്പര്യം വന്നത്?

  93. @ John sir

    കാണാതെ പോയ പിള്ളേര്‍ ശല്യം ചെയ്യാന്‍ വന്നു . എവിടെ നമ്മുടെ ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സര്‍?

  94. Anjana says:

    This comment has been removed by the author.

  95. Anjana says:

    This comment has been removed by the author.

  96. @AZEES 13 V/S 12

    the full size of picture is 12.
    observe it for 5 mts.
    after one move the size of head of first (from left side)is less than 100% and the size of head of second (from rt side )is more than 100%.the sum of the change of almost all pictures is the next one that is thirtienth.
    am i rt?AZEES SIR?

  97. Anjana says:

    @Ammu

    x^2 – d Y^2 = 1 എന്ന Diophantine സമവാക്യത്തിന്റെ (പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ മാത്രം solution ആയി പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യങ്ങള്‍) solution ഒരു theorem ആയിത്തന്നെ മിക്കവാറും പുസ്തകങ്ങളില്‍ കാണാറുള്ളതാണ്. Least positive solutions (primitive solutions) കിട്ടിക്കഴിഞ്ഞാല്‍ പിന്നെ മറ്റു solutions കാണുന്നവിധം ശ്രീ ഉമേഷ്‌ സാറിന്റെ പുസ്തകത്തില്‍ പറയുന്നുണ്ടല്ലോ. d യുടെ വ്യതസ്ത വിലകള്‍ക്ക് (d പൂര്‍ണവര്‍ഗമാകരുത്) x, y എന്നിവയുടെ വിലകള്‍ (primitive solutions) കണ്ടെത്തിയിട്ടുമുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന് (d, x, y) = (2 , 3, 2 ) , (3, 2, 1 ) , (5, 9 , 4 ) , (6, 5 , 2 ) , (7, 8 , 3 ), (8, 3 ,1 ) , (10, 19, 6 ) , (11 ,10 , 3) , (12 , 7 ,2 ) എന്നിങ്ങനെ.

    ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങള്‍ solve ചെയ്യുന്നത് പോസിറ്റീവ് പൂര്‍ണ സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗമൂലങ്ങളുടെ optimal rational approximations കണ്ടെത്താന്‍ പ്രയോജനപ്പെടും. x^2 – d Y^2 = 1 ആയാല്‍ x/y എന്നത് root d യ്ക്ക് നല്ല ഒരു approximation ആണ്.

  98. @ Azeez Sir

    അസീസ്‌ സര്‍ സത്യത്തില്‍ ആ ചിത്രത്തില്‍ എത്ര ആളുകള്‍ ഉണ്ട്? ഞങ്ങള്‍ നോക്കുമ്പോള്‍ ബാബു സര്‍ നല്‍കിയ ഉത്തരം തന്നെ ആണ് കിട്ടുന്നത് .

    പിന്നെ സമചതുരത്തിന്റെ ചോദ്യം ഒരു ക്ലൂ തരണം .അത് ടാന്ഗ്രാം ആയി ബന്ധപെട്ടത്‌ ആണോ ?

  99. AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  100. AZEEZ says:

    ചിത്രത്തില്‍ പന്ത്രണ്ടു പേരാണോ പതിമൂന്നു പേരാണോ എന്നാ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം , എനിക്ക് തോന്നുന്നത് വിജയന്‍ സര്‍ പറഞ്ഞത്‌ പോലെ പന്ത്രണ്ടു പേരില്‍ നിന്നും ഓരോ ചെറിയ ഭാഗങ്ങള്‍ എടുത്ത്‌ പതിമ്മൂന്നാമനെ ഉണ്ടാക്കുക ആണ് ചെയ്യുന്നത് എന്നാണ്‌. കറക്റ്റ് ഉത്തരം എനിക്കും അറിയില്ല .

    സമചതുരത്തിന്റെ ചോദ്യം ;ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്ന വലിയ സമചതുരത്തിലെ നാല് കഷണങ്ങളും പിന്നെ ചെറിയ സമചതുരവും ചേര്ത്ത് ‌ വലിയ ഒരു സമചതുരം ഉണ്ടാക്കുക .
    ടെന്ഗ്രാം പാസില്‍ പോലെ തെന്നെ.

  101. ഗായത്രി & അമ്മു,

    അമ്പുകളേപ്പറ്റിയുള്ള ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം ദാ ഇവിടെ.

    വൈകിവന്നവര്‍ക്കായി (മറന്നുപോയവര്‍ക്കായും) ചോദ്യം എടുത്തെഴുതുന്നു:
    “പത്തടി സമചതുരമായ ഒരു പലകയിലേക്ക് ഒരാള്‍ പത്തടി അകലത്തു നിന്നുകൊണ്ട്
    പത്ത് അമ്പുകള്‍ എയ്യുന്നു എന്നു കരുതുക. പത്ത് അമ്പുകളും
    പലകയില്‍ത്തന്നെ കൊള്ളുകയാണെങ്കില്‍, എയ്ത്തുകാരിയുടെ ഉന്നം എത്ര
    മോശമാണെങ്കിലും ശരി, പത്ത് അമ്പില്‍ ഏതെങ്കിലും രണ്ടെണ്ണമെങ്കിലും
    തമ്മില്‍ അഞ്ചടിയില്‍ കൂടുതല്‍ അകലത്തല്ലാതെ പലകയില്‍ കൊണ്ടിരിക്കും.
    എന്തുകൊണ്ട്/എങ്ങനെ?”

    പടംവരക്കാരുടെ പ്രത്യേക ശ്രദ്ധയ്ക്ക്: ചിത്രം വരയ്കാനുപയോഗിക്കാവുന്ന ഒരു നല്ല സ്വതന്ത്ര സോഫ്ട് വെയര്‍ ആണ് Inkscape. ഗൂഗിളിന്റെ ചിത്രം വരയ്ക്കാനുള്ള സംവിധാനത്തെക്കാള്‍ വളരെക്കൂടുതല്‍ സൗകര്യങ്ങള്‍ ഇതിലുണ്ട്. ചിത്രകലാവാസന ഇല്ലാത്ത(എന്നെപ്പോലെയുള്ള)വര്‍ക്ക് ലളിതങ്ങളായ ചിത്രങ്ങള്‍ വളരെയെളുപ്പം ഇതുപയോഗിച്ചുണ്ടാക്കാം. പടം വരയ്ക്കാനറിയുന്നവര്‍ക്ക് തികച്ചും സങ്കീര്‍ണ്ണങ്ങളായ ചിത്രങ്ങള്‍ ഇതുപയോഗിച്ച് വരയ്ക്കാനാവും. വിക്കിപ്പീഡിയയില്‍ പലയിടത്തായി ഉപയോഗിക്കാന്‍വേണ്ടി ഇതുപയോഗിച്ച് പലര്‍ വരച്ച ചിത്രങ്ങള്‍ ഇവിടെ കാണാം.

    ഞാന്‍ ചെന്നൈയിലുള്ള Institute of Mathematical Sciences (IMSc)-ല്‍ കംപ്യൂട്ടര്‍ സയന്‍സില്‍ ഗവേഷണം നടത്തുന്ന വിദ്യാര്‍ത്ഥിയാണ്.

    ഗണിതത്തില്‍ താല്പര്യം വന്നതെങ്ങനെയാണെന്നു ചോദിച്ചാല്‍… ഗായത്രിക്കും അമ്മുവിനും ഇതുവായിക്കുന്ന മിക്കവര്‍ക്കും വന്നതുപോലെ, അങ്ങനെയങ്ങു വന്നുപോയി (കുറച്ചുകൂടി വ്യക്തമായിപ്പറഞ്ഞാല്‍… ആ! അറിഞ്ഞുകൂടാ!).

    — ഫിലിപ്പ്

  102. bhama says:

    @ AZEES SIR,

    സമചതുരത്തിന്റെ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം ഇതാ

    ഇവിടെ

  103. JOHN P A says:

    ഒരു ചോദ്യം തരാം
    ഒരു അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തില്‍ വരക്കാവുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം 40 ച യൂണിറ്റായാല്‍ അതേ ആരവുള്ള വൃത്തത്തില്‍ വരക്കാവുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം എത്ര

  104. @John sir

    My answer is 100 sq units.

  105. Area of square in the semi circle = 40
    a^2 = 40
    a= root 40 = 2 root 10

    a/2 = root 10

    when we draw a figure using this idea we can see that

    Radius of the semi circle=root 50

    From this for the complete circle

    Diameter of the circle = diagonal of square = 2* root 50

    Let each side of the square inide the circle be ‘b’ then
    Area of the square = b^2

    By Pythagoras’ theorem

    2b^2 = (2* root 50)^2
    2b^2 = 200
    b^2 =100

    Therefore the area of the square is 100 sq units.

  106. @ ഫിലിപ്പ് സര്‍

    ചറപറ എഴുതാതെ ഒരു ചിത്രം മാത്രം ഇത് പറ്റില്ല , ഉത്തരം ചറപറ എഴുതി വ്യക്തം ആക്കണം .പേര് കേട്ടപ്പോള്‍ നല്ല പ്രായം ഉള്ള പോലെ തോന്നി. ഇത്ര ചെറുപ്രായത്തില്‍ ഇത്ര ബുദ്ധി ? ഞങ്ങള്‍ കണ്ണ് തട്ടി .സത്യമായിട്ടും .എന്റമ്മോ

  107. @ John sir
    ജോണ്‍ സര്‍ ഉത്തരം ശരിയാണോ ? ഇരട്ടപേര് വിളിക്കും ഞങ്ങള്‍ . എപ്പോഴാണ് പത്താം ക്ലാസ്സ്‌ റിസള്‍ട്ട് വരിക. എന്റെ രജിസ്റ്റര്‍ നമ്പര്‍ അയച്ചു തരട്ടെ .ബ്ലോഗില്‍ റിസള്‍ട്ട്‌ അറിയാനുള്ള സംവിധാനംഉണ്ടാകുമോ ?

  108. Anoop says:

    @ ഫിലിപ്പ് സര്‍

    From the figure, must one argue that each small square can have only one arrow for the spacings to be at least 5 ft., and hence there can be only 9 arrows in total?

    തരംസ്(Taramani), അസെന്റാസ്, മലയാളിചേട്ടന്റെ ചായക്കട, റോഡ്‌ സൈഡിലെ “മുളകാ ബജ്ജി” – നോസ്ടാല്ജിയ വരുന്നു.
    2003-2008 കാലഘട്ടത്തില്‍ നമ്മള്‍ ആ പ്രദേശത്തൊക്കെ ഉണ്ടായിരുന്നു, ആദ്യം ബി ടെകും പിന്നെ ജോലിയും ആയി.

  109. JOHN P A says:

    ഉത്തരം ശരിയാണ്. അമ്മുവിനോ,അമ്മുവിനോ ആര്‍ക്കാണ് A+ വേണ്ടത് ? രണ്ടുപേര്‍ക്കും തരാം
    ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റിന് നിങ്ങളുടെ കമന്റുകള്‍ അത്യാവശ്യമാണ്. മറ്റു പസ്സിലുകളും ആകാം

  110. JOHN P A says:

    This comment has been removed by the author.

  111. അനൂപ്,

    ആശയം ഇതുതന്നെയാണ്. കുറച്ചുകൂടി വൃത്തിയായി (clean) പറഞ്ഞാല്‍: പത്ത് അമ്പുകളും ഒന്‍പത് കള്ളികളും ഉള്ളതുകൊണ്ട്, ഒരു കള്ളിയിലെങ്കിലും രണ്ട് അമ്പുകള്‍ കാണും…

    — ഫിലിപ്പ്

  112. നോക്യേ…
    ഞാനുമൊരു നല്ല ഫോട്ടോയെടുത്തു.
    കാണണോ?
    ഇവിടെ ഞെക്കൂ…

  113. AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  114. AZEEZ says:

    ഈ ഫോട്ടോസ് എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് നോക്കൂ!!

  115. ഇവിടെ അടിക്കുറിപ്പ് മത്സരം നടക്കുന്നുണ്ട് കേട്ടോ!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s