SSLC റിവിഷന്‍: ദ്വിമാനസമവാക്യങ്ങള്‍

ബീജഗണിതപഠനത്തിന്റെ അതിപ്രധാനമായ ഭാഗമാണ് ഹൈസ്ക്കൂള്‍ വിദ്യാര്‍ത്ഥികളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ദ്വിമാന സമവാക്യങ്ങള്‍. ഭാഷാവാചകങ്ങളില്‍ നിന്ന് രൂപീകരിക്കപ്പെടുന്ന ദ്വിമാനസമവാക്യങ്ങളാണ് നമ്മുടെ പഠനവിഷയം. ഭാഷാവാചകങ്ങള്‍ വായിച്ച് വിശകലനം ചെയ്ത് ബീജഗണിത വാക്യങ്ങളാക്കി മാറ്റാനുള്ള പാടവം ഇവിടെ അനിവാര്യമാണ്. ഇങ്ങനെ രൂപപ്പെടുന്ന വാക്യങ്ങളെ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നു. വര്‍ഗം പൂര്‍ത്തിയാക്കല്‍, സൂത്രവാക്യം, ഘടകക്രിയ എന്നിവയാണ് മൂന്ന് നിര്‍ദ്ധാരണ മാര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍. വര്‍ഗം പൂര്‍ത്തിയാക്കലിന്റെ ഒരു സമാന്യ വല്‍ക്കരണം തന്നെയാണ് ശ്രീധരാചാര്യനിയമം എന്ന പേരിലും അറിയപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യരീതി. മൂല്യങ്ങളുടെ സ്വഭാവം വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനായി സമവാക്യസിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പിന്‍ബലമുണ്ട്. രേഖീയ സംഖ്യകള്‍ അല്ലാത്ത മൂല്യങ്ങള്‍ ഉള്ളവ (മൂല്യങ്ങള്‍ ഇല്ലാത്തവ), ഒരു മൂല്യം മാത്രം ഉള്ളവ, രണ്ട് വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങള്‍ ഉള്ളവ എന്നിങ്ങനെ മൂന്ന് തരത്തില്‍ സമവാക്യങ്ങളെ തരം തിരിക്കാം. വിവേചകം പൂര്‍ണവര്‍ഗമാണെങ്കില്‍ ഭിന്നക മൂല്യങ്ങളും പൂര്‍ണവര്‍ഗമല്ലെങ്കില്‍ അഭിന്നക മൂല്യങ്ങളും ഉണ്ടാകും,. പത്താം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തിലെ എല്ലാ യൂണിറ്റുകളിലും ദ്വിമാന സമവാക്യത്തിന്റെ പ്രായോഗികത ഉണ്ട്. പരമാവധി മേഖലകളെ സ്പര്‍ശിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങളാണ് ഈ പാക്കേജില്‍ ഉള്‍​ക്കൊള്ളിച്ചിരിക്കുന്നത്. താഴെയുള്ള ലിങ്കില്‍ നിന്നും അവ ഡൗണ്‍ലോഡ് ചെയ്തെടുക്കാം,

ഈ പാഠഭാഗം പഠിപ്പിക്കുന്നത് ഏതെല്ലാം ശേഷികള്‍ കൈവരിക്കുന്നതിനാണെന്നു നോക്കാം

  • ദ്വിമാന സമവാക്യം എന്ന ആശയം രൂപീകരിക്കുന്നതിന്
  • (x+a)2=b2 എന്ന രൂപത്തിലുള്ള ദ്വിമാനസമവാക്യങ്ങളുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്.
  • ഒരു ദ്വിമാന സമവാക്യത്തിന് പൊതുവെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുണ്ട് എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന്
  • ഒരു ദ്വിമാനസമവാക്യത്തിന് പൊതുവെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുണ്ട് എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന്
  • ഒരു സമവാക്യത്തെ വര്‍ഗം പൂര്‍ത്തീകരിച്ച് നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നതിന്
  • ax2+bx+c=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണമൂല്യങ്ങളാണ് (-b±√b2-4ac)/2a എന്നറിയുന്നതിന്
  • ax2+bx+c=0 എന്ന ദ്വിമാനസമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചകമാണ് b2-4ac എന്നറിയുന്നതിന്
  • വിവേചകത്തിന്റെ വിലയും നിര്‍ദ്ധാരണമൂല്യങ്ങളും തമ്മിലുള്ള പരസ്പരബന്ധം തിരിച്ചറിയുന്നതിന്
  • ഒരു ദ്വിമാനസമവാക്യത്തെ ഘടകങ്ങളാക്കി നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നതിന്

Click here for download the questions of Quadratic Equations

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in ശാസ്ത്രം, Maths X, SSLC Revision. Bookmark the permalink.

34 Responses to SSLC റിവിഷന്‍: ദ്വിമാനസമവാക്യങ്ങള്‍

  1. mkmali says:

    ഇപ്പോള്‍ ബ്ലോഗ്ഗ് തുറക്കുമ്പോള്‍ കൂടുതലും പ്രതീക്ഷിക്കുന്നത് ജോണ്‍മാഷഷിന്റെ റിവിഷന്‍ മൊഡൂള്‍ ആണ്. താങ്ക് യൂ സാര്‍

  2. This comment has been removed by the author.

  3. try:(both AP AND QUADRATIC EQ.)
    SUM of 5 continuous terms in an AP is 20 and the product is 720.find the terms with solution.

  4. Kannan says:

    Let the terms be a-2d,a-d,a, a+d, a+2d
    The sum of the terms is 20
    a-2d+a-d+a+a+d+ a+2d=20
    5a=20
    a=4
    Product is 720
    (a-2d)(a-d)(a+d)(a+2d(a)=720
    (a-2d)(a-d)(a+d)(a+2d) (4) =720
    (a-2d)(a-d)(a+d)(a+2d) =180
    (a^2-4d^2)(a^2-d^2)=180
    a^4-5a^2d^2+4d^4=180
    Substituting the value of a
    256-80d^2+4d^4=180
    Put d^2=x
    Then
    256-80x+4x^2=180
    4x^2-80x+256-180=0
    4x^2-80x+76=0
    Dividing by 4
    x^2-20x+19=0
    Solve using factorisation method
    (x-1)(x-19)=0
    If x-1=0 then x=1
    If x-19=0 then x=19

    Here x=19 is not possible
    So x=1
    We have d^2=x so d^2=1
    So d=1
    So the terms are 2,3,4,5,6

  5. Kannan says:

    We have d^2=x so d^2=1
    So d=1 or -1
    When d=1 the terms are 2,3,4,5,6
    When d=-1 the terms are 6,5,4,3,2

  6. Swathi. Nair says:

    If m and n are the roots of the quadratic equation x^2 – (2 root 5)x – 2 = 0, the value of m^2 + n^2 is:

  7. Kannan says:

    Let ‘p’ and ‘q’ are roots of the equation.

    We have to find the value of p^2 + q^2

    p^2 + q^2 = (p + q)^2 – 2pq

    (p+ q), the sum of the roots of a quadratic equation of the form ax^2 + bx + c = 0 is (-b/a)

    pq, the product of the roots of the equation = c/a

    The sum of the roots = (2 root 5).
    Product of the roots = -2.

    Hence, (p + q)2 – 2pq = (2 root 5)2 – 2(-2) = 20 + 4 = 24.
    So the answer is 24

  8. Swathi. Nair says:

    So quickKannan Sir
    Really Amazing.

  9. JOHN P A says:

    ഇന്നലെ ഒരു ടീച്ചര്‍ ഫോണിലൂടെ ചോദിച്ചു.
    SinA +Cos A യുടെ കേവല വിലയ്ക് കിട്ടാവു​​ന്ന ഏറ്റവും കൂടിയ വിലയെത്ര?
    My answer is “ROOT 2”
    പ്രതികരിക്കുമല്ലോ?

  10. Kannan says:

    y = sin(x) + cos(x)

    dy/dx = cos(x) – sin(x)

    Now, dy/dx = 0.

    0 = cos(x) – sin(x)

    sin(x) = cos(x)

    Divide both sides by cos(x).

    sin(x)/cos(x) = 1

    tan(x) = 1

    x = { pi/4 + k*pi | k an integer }

    If x = pi/4, then
    y = sin(pi/4) + cos(pi/4)
    = 1/root2+ 1/root 2= 2/root 2= Root 2

    If x = 5pi/4, then
    y = sin(5pi/4) + cos(5pi/4)
    y = -1/root2 + – 1/root2
    y = -Root2
    The maximum of these two values is Root 2
    So the maximum Value of sinx+cosx=Root2
    sin x + cos x must has minimum value –Root 2

  11. Kannan says:

    sin(x) + cos(x) =sin(x) + sin(pi/2 – x)
    Sice cos x = sin(pi/2 – x)
    sin a + sin b = 2 sin (a+b)/2 cos (a-b)/2
    = 2 sin(x+pi/2 – x)/2 cos (x – (pi/2 – x))/2
    = 2 sin (pi/4) cos (x-pi/4)
    = [Root2] cos (x-pi/4)
    cos value lies in between – 1 and 1
    So sin(x) + cos(x) is between
    – Root2 and +Root 2
    So the maximum and minimum values are in between Root 2 and – Root2

  12. JOHN P A says:

    I just followed the step given below
    Ab { sin x + cos x}= root 2 {1/root2 *sinx + 1/root2 cosx}
    = Ab root2 { sin 45+x}
    max value of sin function is 1
    so ans is roor 2

  13. JOHN P A says:

    ത്രികോണത്തെ രണ്ടായി മുറിക്കണം.ഒരു വശത്തിനു സമാന്തരമായാണ് മുറിക്കേണ്ടത്.വിസ്തീര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ തുല്യമായിരിക്കണം.
    പസിലുകളില്‍ വിരിയുന്ന ഗണീതപഠനം.
    ഒരു പാവം R P നാളത്തെക്ക് ഒരുങ്ങുകയാണ്

  14. mark a point such that h1:h2=
    1:(sqrt2-1) and fold the paper parallel to the base.the area will be same.

  15. Swathi. Nair says:

    Use 5 Zeros (0) to get the answer 120 .You can use any symbols (+,-,/,*) or any other you are willing to.

  16. Swathi. Nair says:

    Use 5 Zeros (0) to get the answer 120 .You can use any symbols (+,-,/,*) or any other you are willing to.

  17. Kannan says:

    0! = 1
    = ( 0! + 0! + 0! + 0! + 0! ) !
    = ( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) !
    = (5 )!
    =1x2x3x4x5
    = 120

  18. ദ്വിമാന സമവാക്യങ്ങളില്‍ വരുന്ന ഈ പ്രശ്നം എങ്ങനെ സോള്‍വ്‌ ചെയ്യാമെന്ന് വിവരിച്ചാല്‍ വളരെ ഉപകാരമായിരുന്നു…

    Solve the following equation for x :

    9x^2 – 9(a+b)x + 2a^2 + 5ab + 2b^2 = 0

  19. Kannan says:

    9x^2-9(a+b)x+(2a^2+5ab+2b^2)=0

    9x²-9(a+b)x+(2a²+5ab+ 2b²)=0

    Comparing this with ax^2+bx+c=0

    We have a=9, b=- 9(a+b) and c=(2a² + 5ab + 2b²)

    Solve this using quadratic formula

    x=[9(a+b)± √{81a²+ 81b² + 162ab – 72a² – 72b² – 180ab}] / 18

    x=[9(a+b)±√{9(a – b)²}]/ 18

    x=[9(a + b) ± 3(a – b)]/ 18

    x=[12a+6b]/18or[6a+12b]/18

    x =[2a + b]/3or [a + 2b] / 3

  20. Kannan says:

    9x^2-9(a + b)x+{2a^2+5ab+ 2b^2} = 0

    9x^2-9(a + b)x+(2a + b)(a + 2b) = 0

    (3x – 2a – b)(3x – a – 2b) = 0

    If a x b = 0 either a=0 ,b=0 or a=b=0

    So

    If 3x – 2a – b = 0
    3x=2a+b
    x=2a+b/3

    If 3x – a – 2b = 0
    3x = a +2b
    x = a+2b/3

    So the solutions are 2a+b/3 and a+2b/3

  21. Jessy says:

    തുടര്‍ച്ചയായ 5 പദങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തില്‍ വിജയന്‍ ലാര്‍വയുടെ സൊല്യൂഷന്‍ കണ്ടു. എന്തുകൊണ്ടാണ് 19 എന്ന വില സ്വീകാര്യമാവാത്തത്.

  22. congradulation jessy for the genuine qn.
    if we take x=19 ,d^2=19,d=sqrt19.
    then the terms in AP is (4-2*sqrt19),(4-sqrt19),4,(4+sqrt19),(4+2*sqrt19).
    the total is 20,product is 720.
    thank you once again for keen observation.

  23. Swathi. Nair says:

    Question connecting A.P and Quadratic Equation

    Two cars starts from the same time from the same place.The first car travels with a constant speed of 10Km/hr.The second car starts with a speed of 8Km/s and in each hour it increases its speed by 1/2Km. After what time the second car exceeds the first one ?

  24. Kannan says:

    Let the second car exceeds the first in the ‘n’ th hour

    Here we note that in the nth hour the two cars travel the same distance

    Distance traveled by the first car in n hours = 10n
    *******Travel with constant velocity of 10Km/hr
    *******In one hour it travels 10Km
    So in n hours travels 10n Km

    Since the second car starts with a velocity of 8km and in each hour it increases its speed by 1/2Km

    It’s speed is in A.P 8, 8.5, 9, 9.5……..

    Distance traveled by the first car in n hours = n/2(2a+(n-1)d)
    =n/2(2*8+(n-1)1/2)
    =n/2(16+1/2 n- 1/2)
    =n/2(31/2 n + ½ n)
    =n^2/4 + 31n/4 =(n^2+31n)/4
    In the nth hour the two cars travels the same distance
    So
    (n^2+31n)/4 = 10n
    n^2+31n = 40n
    n^2 = 9n
    n^2-9n=0
    n(n-9)=0
    So n=0 or n=9
    Here the time can’t be zero
    So
    n = 9

    So in the 9th Hour second car exceeds the first car.

  25. വളരെ നന്ദി കണ്ണന്‍ സാര്‍…

    സംശയങ്ങളുമായി വീണ്ടും വരുന്നതില്‍ വിഷമമില്ല എന്ന് കരുതട്ടെ…

  26. thomas says:

    x+root x=6 ദ്വിമാനസമവാക്യമാക്കുക…?

    thomas

  27. Take root X =D
    THEN THE BINOMIAL EQUATION IS
    D^2+D=6
    solving d= ‘2,-3’

    ie, 9+-3=6
    4+ 2=6
    will u accept?

  28. thomas says:

    @ vijayan sir

    thanks
    thomas

  29. david says:

    thanks for the effort

  30. Swathi. Nair says:

    One fourth of a group of elephants was seen in the forest .Twice the square root of the elephants had gone to the mountain slopes. The remaining three times five elephants were
    seen on the bank of the river. What was the number of elephants ?

  31. Kannan says:

    Let the total number of elephants be ‘x’

    Then elephants in the forest = x/4
    Elephants gone to the mountain slopes = 2 root x
    Elephants on the bank of the river = 3*5=15

    Then
    x= x/4 + 2 rootx + 15
    4x = x+ 8 rootx +60
    8rootx = 3x-60

    Squaring

    64x = 9x^2-360x+3600
    9x^2-424x+3600=0
    Solve this equation using Quadratic formula
    We get x=36 or x=100/9

    The number of elephants can’t be a fraction


    The total number of elephants= 36

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s