ഏഴിനായി ആറു മാര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍.

2,3,4,5,6,8,9 എന്നീ സംഖ്യകള്‍ കോണ്ടുള്ള നിശ്ശേഷഹരണം (Divisibility) പരിശോധിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണല്ലോ? എന്നാല്‍ 7 കോണ്ടുള്ള നിശ്ശേഷഹരണം പരിശോധിക്കുന്നത് എങ്ങനെയാണ്? ഇക്കഴിഞ്ഞയാഴ്ച, ബ്ലോഗ് ടീമംഗവും പറവൂര്‍ സമൂഹം സ്കൂളിലെ ഗണിതാധ്യാപികയുമായ ലളിത ടീച്ചര്‍ അയച്ച മെയിലില്‍ ഇതിനുള്ള രണ്ടു മാര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ കണ്ടപ്പോഴാണ് നവംബര്‍ 7 ന് പ്രസിദ്ധീകരിക്കാനായി നേരത്തേ തന്നെ എന്‍.എം. വിജയന്‍ മാഷ് അയച്ചുതന്ന ലേഖനത്തെക്കുറിച്ച് ഓര്‍മ്മ വന്നത്. എന്തായാലും ഡിസംബര്‍ 7 നെങ്കിലും ഇത് പ്രസിദ്ധീകരിക്കണമെന്നുറപ്പിച്ചു. ആറു വ്യത്യസ്ത വഴികളാണ് അദ്ദഹം താഴേ നല്‍കുന്നത്. ഈ വഴികളില്‍ നിന്നും കുട്ടികള്‍ക്ക് എളുപ്പമുള്ളത് തെരഞ്ഞെടുക്കാം.

1. x-2l രീതി.
തന്നിട്ടുള്ള സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം l ഉം ബാക്കിയുള്ള ഗ്രൂപ്പ് x ഉം ആണെന്നു കരുതുക. സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം എടുത്ത് ഇരട്ടിയാക്കി, അത് ബാക്കിയുള്ള ഗ്രൂപ്പില്‍ നിന്നും കുറയ്ക്കുക. വലിയ സംഖ്യകള്‍ക്ക് ഇത് ആവര്‍ത്തിക്കുക. ഉത്തരം പൂജ്യമോ 7 ന്റെ ഗുണിതമോ ആയാല്‍ സംഖ്യയെ 7 കോണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം!
ഉദാ 1) 357 35-14=21 21, 7ന്റെ ഗുണിതം. അതുകൊണ്ട് 357 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം.
2)1687 168-14=154 15-8=7 7, 7ന്റെ ഗുണിതം. അതുകൊണ്ട് 1687 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം.
3)142857 14285-14=14271 1427-2=1425 142-10=132 13-4=9 9, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല. അതുകൊണ്ട് 142857 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
2. x+5l രീതി.
ഉദാ 1) 287 28+5*7=63 63, 7ന്റെ ഗുണിതം. അതുകൊണ്ട് 287 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം.
2) 243 24+5*3=39 39, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 243 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
3. 3x+l രീതി.
ഉദാ 1) 175 17*3+5=56 56, 7ന്റെ ഗുണിതം. അതുകൊണ്ട് 175 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം.
2) 170 17*3+0=51 51, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 170 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
4. 4x-l രീതി.
ഉദാ 1) 365 36*4-5=139 13*4-9=43 43, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 365 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
2) 218 21*4-8=76 76, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 218 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
5. 1,3,2,6,4,5 രീതി.
വലതുവശത്തുനിന്നും സംഖ്യയുടെ ഓരോ അക്കമെടുത്ത്, 1,3,2,6,4,5 എന്നീ സംഖ്യകള്‍ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ആവശ്യമെങ്കില്‍ ഈ പ്രക്രിയ ആവര്‍ത്തിക്കുക. ഗുണനഫലങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടുക. കൂട്ടിക്കിട്ടിയ സംഖ്യ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാമെങ്കില്‍ സംഖ്യയേയും ഹരിക്കാം.
ഉദാ 1) 3015 5*1+1*3+0*2+3*6=26 26, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 3015 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
2) 237654321 ഗുണനഫലത്തിന്റെ തുക=107 , 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 237654321 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
6. -2,-3-1,2,3,1 രീതി.
ഉദാ 1) 23456789 9*1+8*3+7*2+6*-1+5*-3+4*-2+3*1+2*3=27, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 23456789 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
ചെറിയ സംഖ്യകളാണെങ്കില്‍, x-2lരീതി ആണ് നല്ലത്. സംഖ്യകള്‍ വലുതായാല്‍ 1,3,2,6,4,5 രീതിയും! വേണ്ട, ഓരോരുത്തര്‍ക്കും ഇഷ്ടപ്പെട്ടപോലെ തെരഞ്ഞെടുക്കട്ടെ.

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in ശാസ്ത്രം, Lite Maths, Maths Magic. Bookmark the permalink.

113 Responses to ഏഴിനായി ആറു മാര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍.

  1. Vijayan Kadavath says:

    ഇന്ന് പതിവ് ഉദ്ഘാടകര്‍ ആരുമില്ലല്ലോ. എങ്കില്‍, ഈ കര്‍മ്മം ഞാന്‍ തന്നെ നിര്‍വഹിച്ചേക്കാം.

    സാധാരണഗതിയില്‍ 2,3,4,5,6,8,9,10,11,15,20,… ഇങ്ങനെയുള്ള മാര്‍ഗങ്ങളാണ് ചെറിയ ക്ലാസുകളില്‍ പഠിപ്പിച്ചിരുന്നതെന്നാണ് എന്റെ ഓര്‍മ്മ. അന്ന് 7 നെ ഒറ്റപ്പെടുത്തിയിരുന്നതില്‍ എനിക്ക് ഖേദവുമുണ്ടായിരുന്നെന്ന് തോന്നുന്നു. 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളുടെ പ്രത്യേകതകള്‍ കണ്ടെത്താന്‍ ഞാനന്ന് കുറേ പരിശ്രമിക്കുകയും ചെയ്തു. പക്ഷെ ഫലമുണ്ടായില്ല.

    എന്തായാലും ഇത്രയധികം രീതികള്‍ ഏഴിനുണ്ടായിട്ടും സ്ക്കൂള്‍ പഠനകാലത്ത് ഒരാളും എനിക്കത് പറഞ്ഞു തരാതിരുന്നതില്‍ ഒരു വൈമനസ്യമുണ്ട്. അതോ, ഇതെല്ലാം വിജയന്‍ മാഷിന്റെ കണ്ടെത്തലുകളാണോ..

    ലളിത ടീച്ചറേയും അഭിനന്ദിക്കുന്നു .

  2. Vijayan Kadavath says:

    2,3,4,5,6,8,9,10,11,15,20,… എന്നീ സംഖ്യകള്‍ കൊണ്ട് ഒരു സംഖ്യയെ ഹരിക്കാനാവുമോയെന്ന് പണ്ട് പഠിപ്പിച്ചിരുന്നു.

    ഇങ്ങനെ തിരുത്തി വായിക്കുക

  3. ഇത്രയും കഷ്ടപ്പെട്ട് 7ന്റെ ഡിവിസിബിലിറ്റി നോക്കേണ്ട കാര്യമുണ്ടോ?
    7കൊണ്ടങ്ങ് ഹരിച്ചു നോക്കരുതോ?

  4. Anonymous says:

    ഇങ്ങനെയും ഹരിക്കാമെന്ന് അറിയട്ടെ ഗീത ടീച്ചറേ

  5. JOHN P A says:

    @ Geetha teacher
    This is not the matter of checking the divisibility by 7
    There are so many situations to apply this concept while solving problems in number theory

  6. Anonymous says:

    കുട്ടികളില്‍ നിന്ന് i t പഠനത്തിന് പിരിവ് നിരോധിച്ചു കൊണ്ടുള്ള സര്‍ക്കാര്‍ ഉത്തരവിന്റെ date ആര്‍ക്കെന്കിലും ഓര്‍മയുണ്ടോ….Downloads ല്‍ കണ്ടില്ല..
    thomas

  7. suresh says:

    thank you
    you can do some more to the young
    genaration
    bsk

  8. Lalitha says:

    Is it possible to divide 1000 into two parts such that one part will be multiple of 19 & other will be multiple of 47?????????

  9. ലളിത ടീച്ചറേ,
    1000 എന്ന സംഖ്യയെ 658, 342 എന്നീ സംഖ്യകളായി ഭാഗിക്കാം.
    ഇതില്‍ 658 നെ 47 കൊണ്ടും 342 നെ 19 കൊണ്ടും ഹരിക്കാന്‍ കഴിയും

    1000 = 47 X 14 + 19 X 18
    ശരിയല്ലേ?

  10. MURALEEDHARAN.CR says:

    is 257 divisible by 7
    2*2+5*3+7=4+15+7=26 since 26 is not divisible by 7,257 isnot divisible by 7
    ie 100a+10b+c is divisible by 7
    if 2a+3b+c is divisible by 7
    (if 100 is divided by 7 the remainder is 2.if 10 is divided by 7 the remainder is 3}

    is 1458 divisible by 7
    458-1=457
    2*4+5*3+7=30 it is not divisible by 7. so 1458 is not divisible by 7
    (If 1000 is divided by 7 the remainder is 6 ie -1}
    ie 1000a+100b+10c+d is divisible by 7 if-a+2b+3c+d is divisible by 7
    is 325468 divisible by 7
    468-325=143

    1*2+4*3+3=17 it is not divisible by 7
    so 325468 is not divisible by 7
    (If 10000 is divided by 7 the the remainder is 4 ie -3
    If 100000 is divided by 7 the the remainder is 5 ie -2}

    ie 100000a+10000b+1000c+100d+10e+f is divisible by 7 if -2a-3b-c+2d+3e+f is divisible by 7

    is 123456789 divisible by 7
    789-456+123=333+123=456
    2*4+5*3+6=29 it is not divisible by 7 so 123456789 is not divisible by 7
    and so on

  11. JOHN P A says:

    Murali sirs last method is suitable for checking the divisiblity by 13 also
    We can make it as a game for small children study division in 7 th standard
    Write a big number in the calculator
    Eg 12839506173
    Put + and – alternalely from right after 3 digits
    12+839-506+173
    then click = in the calculator in linux
    we get a small number
    if it is divisible by 7 or 13 the number itself is divisible by 7 or 13

  12. JOHN P A says:

    RAMANUJAN NUMBER (1729) is divisible by 7
    Its prime divisors are 7,13 and 19
    Including 1
    1,7,13,19 form an AP
    Sum of the digits af 1729 is 19
    1729 is divisible by 19

  13. Anonymous says:

    ദയവായി PTA കമ്മറ്റിയുടെ റൂള്‍സ് ഉള്ള കഴിഞ്ഞവര്‍ഷത്തെ ഓര്‍ഡര്‍ നല്‍കുമോ..?

    ഉണ്ണികൃഷ്ണന്‍
    കോഴിക്കോട്

  14. ഉണ്ണികൃഷ്ണന്‍ സാര്‍,
    ഇതാ ഇവിടെ

  15. GMW says:

    First of all sorry that i cant type in malayalam,one method to check divisibility by 7 ( will be useful only for big numbers,say 8 or 9 digits)
    Divide the number into groups of 3 from the right most place.add the 1 st,3rd,5 th etc groups from right and substract that from the sum of 2 nd ,4 th ,6 th,8 th places

    eg: 3465549539569

    3|465|549|539|569

    (569+549+3)-(539+465)=117

    117/7 => Remainder is 5
    therefore the remainder when 3465549539569 /7 is 5
    Remember this method is useful only for bigger numbers

  16. GMW says:

    oru karyam vittu poyee..the above rule/method can be used to check divisibility by 13 also…

  17. ഗോവിന്ദ് വാര്യര്‍,
    ഈ ചര്‍ച്ചയില്‍ അര്‍ത്ഥപൂര്‍ണ്ണമായി ഇടപെട്ടതിന് നന്ദി. നമ്മുടെ കുട്ടികളെ സഹായിക്കാന്‍ നിങ്ങള്‍ക്കറിയാവുന്ന അറിവുകളും ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്നതില്‍ അധ്യാപകരെന്ന നിലയില്‍ ഞങ്ങള്‍ ഏറെ സന്തോഷിക്കുന്നു. തുടര്‍ന്നും ഇടപെടലുകള്‍ വേണം.

  18. if u r free

    “find the radius of the circle ,if a chord of length 8 cm divides the area of circle 1:8”

  19. MURALEEDHARAN.C.R says:

    chord prblm
    since the ratio is 1:8 the angle of the arc subscribed by the chord is 1/9 *360=40
    therefore radius =8/2*sin(40)=4sin20 ?

  20. MURALEEDHARAN.C.R says:

    chord prblm
    since the ratio is 1:8 the angle of the arc subscribed by the chord is 1/9 *360=40
    therefore radius =8/2*sin(40)=4sin20 ?

  21. dear murali sir, 4 sin20=4*.342=1.368
    that is radius is 1.368 and diametre is 2.736.
    how can we draw a chord of 8cm inside the circle?

  22. GMW says:

    This comment has been removed by the author.

  23. GMW says:

    In many a situation to find the remainder and hence the divisibility Fermats theorem is very useful.I am not elaborating that here.Lots of materials are available in the net
    jus a brief representation i will provide here
    Remainder when (x^e/N)=1
    iff, x and N are co-primes ( No common factor other than 1)
    AND
    e is the Euler number of N
    where Euler number (e) of a number
    N which can be written as product of prime nos (a,b,c etc) as N=a^m b^n c^p is N * (1-1/a) (1-1/b) (1-1/c)
    Note:Rem (a/b) denotes the remainder when a is divided by b

    eg : Remainder when 7^134/8 is calculated by
    Step 1: Check x and N are co primes .Here x=7 and N=8.
    Step 2: Find Euler No of N=8
    8=2^3
    therefore,Euler No for 8 is 8*(1-1/2)=4
    Step 3 : use Fermat s theorem
    ie Rem [(7^(a product of 4))/8]=1
    ie Rem (7^132/8)=1 and the remaining Rem (7^2/8) =>Rem (49/8)=1
    Therefore the remainder when 7^134/8= 1*1=1

  24. JOHN P A says:

    I am trying to get solution to Vijayan sirs question of circle chord.Yesterday I was in Maths fair EKM Dt. It is not easy I will try to day

  25. bhama says:

    chord problem

    whether the radius is 5.09

    Bhama

  26. chord problem:try ….u will get a better answer.
    @umesh sir,john sir,thomas, murali(2)….geetha,lalitha,azeeeeees,…@bhama teacher….don’t u like chord problem?

  27. AZEEZ says:

    A paper is folded in the form of right angled triangle. A portion of the triangle is cut by drawing a line parallel to the hypotenuse of the triangle.The length of the hypotenuse is reduced by 35% after the cut.
    If the area of the original triangle was 34 what is the area of the new triangle?

  28. JOHN P A says:

    Azeez Sirs new question
    Answer is 14.356
    If explanation is needed ,anybody can ask.
    Before thant Azeez master should say whether I am right or not?

  29. Chord problem:

    I saw that only now. Since questions are buried in comments of old posts, many are overlooked. Now, I am subscribing comments feed in Google reader.

    I got an answer 1.49655681. Probably it is meant to be solved with pi = 22/7, in which case the answer may be exactly 1.5; not sure.

    I could not solve it in a way a high school student can solve. I got the formula

    x – sin x = (2 * pi/9)

    and solved for x using a numerical method (bisection).

    If someone has a solution for high school mathematics (or knows how that trigonometric equation can be solved analytically), please post it.

  30. Answer to folded-cut triangle’s problem.

    Since the side became (13/20) of the original, the area will become (13/20)^2, that is (169/400).

    Answer = 34 * 169 / 400 = 14.365

    (Vijayan Sir’s 14.356 must be a typo)

  31. I am sorry. I miscalculated. I took 8 cm as the radius in the chord problem.

    So, if the chord length is 8 cm, the radius is 5.3456.

  32. @azeees triangle:(logic)

    34*42.25%=14.365
    if yes azees fire next.

    @chord : answer is yet to born.try a little .it is on your tip of finger………..vijayan nm
    thanks a lot.

  33. AZEEZ says:

    One day an American went to a bicycle shop in India and purchased a bycycle cost 400$.He had only two travellers cheque with him, 250$ each.He given it to the shop keeper.

    But the shop keeper didnt have the travellers cheque transaction fecility.He exchanged the traveellers cheque with the nearby shop who have such fecility,take 400$ and balance 100$given to the customer.

    But the next day the the nearby shop keeper came with the travellers cheque and said that it is a fake cheque not real cheque and so he need his monay back.The shop keeper given the money back(500$)

    Actually what is his loss in this business?

  34. എല്ലാം ട്രാന്‍​സ്ലേറ്റ് ചെയ്യണമെന്ന് ആഗ്രഹമുണ്ട്.
    പക്ഷേ…..

    ഒരിക്കല്‍ ഒരമേരിക്കക്കാരന്‍ ഇന്ത്യയിലെ ഒരു സൈക്കിള്‍ ഷോപ്പില്‍ കയറി, 400 ഡോളര്‍ വിലയുള്ള ഒരു സൈക്കിള്‍ വാങ്ങി.
    അദ്ദേഹത്തിന്റെ കയ്യില്‍ 250 ഡോളറിന്റെ 2 ട്രാവലേഴ്സ് ചെക്കുകള്‍ മാത്രമേയുണ്ടായിരുന്നുള്ളു. അത്, അദ്ദേഹം കടക്കാരനു നല്‍കി.
    എന്നാല്‍, ആ കടയില്‍ അത് മാറാനുള്ള സംവിധാനമില്ലായിരുന്നു. അയാള്‍ അത്, ആ സംവിധാനമുള്ള മറ്റൊരു കടയില്‍ കൊണ്ടുപോയി 400 ഡോളര്‍ എടുത്ത് ബാക്കി കസ്റ്റമര്‍ക്ക് തിരികെ കൊടുത്തു. പക്ഷേ, പിറ്റേ ദിവസം രണ്ടാം കടക്കാരന്‍, ആ ചെക്കുകളുമായി തിരികെയെത്തി. അവ വ്യാജ ചെക്കുകളായിരുന്നത്രെ! കടക്കാരന്‍ 500 ഡോളറും തിരികെ നല്‍കേണ്ടിവന്നു.

    ചോദ്യമിതാണ്. ഈ ബിസിനസ്സില്‍, അദ്ദേഹത്തിനുണ്ടായ നഷ്ടമെന്ത്?

    ശരിയായോ ആവോ?

  35. VIJAYAN N M says:

    the first shop keeper lost 100 dollars+bicycle +tension.
    nothing more

  36. VIJAYAN N M says:

    This comment has been removed by the author.

  37. VIJAYAN N M says:

    This comment has been removed by the author.

  38. AZEEZ says:

    Dear Vijayan Sir,
    The answer for your chord question is 8 cm.
    Am i right?

  39. AZEEZ says:

    There are 3 friends…each get different salaries and if anyone asks others his salary, he will not tell the correct salary and he tells some other value…but they altogether want to find the correct average salary of them…even after finding the average salary also, they should not know the salary of others…

    Find how can they determine ?

  40. ലളിത ടീച്ചറുടെയും ഹരി സാറിന്റെയും ഡിസംബര്‍ 7-ഇലെ ചോദ്യോത്തരങ്ങളുടെ തുടര്‍ച്ച:

    ആയിരത്തിനെ മാത്രമല്ല, ഏതു (പൂര്‍ണ്ണ)സംഖ്യയേയും 47-ന്റെയും 19-ന്റെയും ഗുണിതങ്ങളുടെ തുകയായി എഴുതുവാന്‍ സാധിക്കും, ഋണസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടുള്ള ഗുണനവും അനുവദിച്ചാല്‍. തന്നെയുമല്ല, ഓരോ സംഖ്യയേയും ഇങ്ങനെ എഴുതാന്‍ കൃത്യം ഒരു രീതി മാത്രമേ ഉള്ളു താനും. ഉദാ: 75 = (2 x 47) + (-1 x 19). കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍, പരസ്പരം അഭാജ്യങ്ങളായ ( പൊതുവായി 1 അല്ലാതെ മറ്റു ഘടകങ്ങളില്ലാത്ത എന്നര്‍ത്ഥം വരുന്ന “mutually prime” എന്നത് മൊഴിമാറ്റം ചെയ്യാനുള്ള ശ്രമം) ഏതു രണ്ടു സംഖ്യകളുടേയും ഗുണിതങ്ങളുടെ തുകയായി ഏതു പൂര്‍ണ്ണ സംഖ്യയേയും കൃത്യം ഒരു രീതിയില്‍ എഴുതാന്‍ സാധിക്കും. ഉദാ: 14 = (5 x 4) + (-2 X 3).

    ഫിലിപ്പ്

  41. I checked my calculation again. The answer to the chord problem is 5.3456.

    My analysis is here.

    Aziz sir,

    If the radius is 8cm and the chord length is also 8 cm, the angle subtended will be 60 degrees. Then the chord will divide the area into around 1:34. (See the document above)

    Vijayan sir,
    Please publish your analysis.

  42. ശ്രീ ജി. ഫിലിപ്പ് പറഞ്ഞതിൽ ഒരു തെറ്റുണ്ടു്. നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളും ഉപയോഗിച്ചാൽ ഒന്നിലധികം (ശരിക്കു പറഞ്ഞാൽ, അനന്തം) ഉത്തരങ്ങൾ ഉണ്ടു്. സാമാന്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ax – by = c എന്ന സമവാക്യത്തിനു് (എല്ലാം പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ; a, b, c: സ്ഥിരസംഖ്യകൾ: x, y: ചരങ്ങൾ) x0, y0 എന്ന ഉത്തരമുണ്ടെങ്കിൽ, x = x0 + bk, y = y0 + ak എന്നതു യോജിക്കുന്ന വിധത്തിൽ k-യ്ക്കു് ഏതു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊടുത്താലും ഉത്തരങ്ങൾ കിട്ടും. ശ്രീ ഫിലിപ്പിന്റെ ഉദാഹരണം തന്നെ എടുത്താൽ, 75 = 2 x 47 – 1 x 19. ഇനി, (2 + 19k, 1 + 47k) എന്ന രീതിയിലുള്ള ഏതു സംഖ്യാജോടികളും ഉത്തരമാണു്. ഉദാഹരണമായി, k = 1 ആയാൽ, (21, 48) എന്നു കിട്ടും. 21 x 47 – 48 x 19 = 75. അതു പോലെ, 40 x 47 – 95 x 19 = 75, ഇത്യാദി.

    പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ മാത്രം ഉപയോഗിച്ചാൽ ഒരു ഉത്തരം മാത്രമേ ഉണ്ടാവുകയുള്ളൂ എന്നതു ശരി.

  43. കഴിഞ്ഞ ക്രിസ്മസിന് അഖിലിന് അമ്മാവന്റെ കയ്യില്‍ നിന്നും കിട്ടിയ സമ്മാനപ്പൊതിയുടെ കൂടെ ഒരു കുറിപ്പുമുണ്ടായിരുന്നു. “എന്താണെന്ന് ഊഹിക്കുക”.
    അവന്‍ ജിജ്ഞാസയോടെ പൊതി തുറന്ന് നോക്കി നിരാശനായി. “എന്തിനാണ് അമ്മാവന്‍ സമ്മാനത്തോടൊപ്പം ഈ കുറിപ്പുവെച്ചത്?”
    ഒരാഴ്ചക്കു ശേഷം അമ്മാവന്‍ ചതുരാകൃതിയുള്ള ആ സമ്മാനപ്പെട്ടിയുടെ വ്യാപ്തം എത്രയെന്നന്വേഷിച്ചു. അപ്പോഴേക്കും, ആ പെട്ടിയൊക്കെ നശിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടായിരുന്നു. ആകെ അവശേഷിച്ചത്, അത് കെട്ടിയിരുന്ന 360 സെ.മീ. നീളമുള്ള ചരടു മാത്രം! “എങ്ങിനെ കണ്ടുപിടിക്കും?”. “കണ്ടുപിടിച്ചില്ലെങ്കില്‍ സമ്മാനം തിരികെ തന്നേക്കൂ..”.
    അമ്മാവന്‍ വാശി കേറ്റി. നിങ്ങള്‍ക്ക് അഖിലിനെ സഹായിക്കാമോ? അവന് ആകെ ഓര്‍മ്മയുള്ളത് ആ പെട്ടി ഒരു തവ​ണ നീളത്തിലും, രണ്ടു തവണ വീതിയിലും ചുറ്റിയിട്ടുണ്ടായിരുന്നു. (കെട്ടിന്റെ നീളം പരിഗണിക്കേണ്ട കെട്ടോ!).
    അപ്പോള്‍, ആ പെട്ടിയുടെ l, b, h കണ്ട് വ്യാപ്തം കാണാന്‍ ഈ ക്രിസ്മസിനു മുന്‍പ് അഖിലിനെ സഹായിക്കൂ…..

    എന്താ വിജയന്‍ മാഷേ, ശരിയായോ?

  44. മൂന്നു സുഹൃത്തുക്കളുണ്ട്. മൂന്നു പേര്‍ക്കും വ്യത്യസ്ത ശമ്പളമാണ്. ഇവരില്‍ ആര്‍ അപരനോട് ശമ്പളമെത്രയെന്ന് ചോദിച്ചാലും നുണയേ പറയൂ! അവര്‍ക്ക് ശരാശരി ശമ്പളത്തില്‍ നിന്നു പോലും ഓരോരുത്തരുടേയും കൃത്യമായ ശമ്പളം കാണാന്‍ കഴിഞ്ഞില്ല. എങ്ങിനെ കണ്ടുപിടിക്കും?

  45. രണ്ടു തർജ്ജമകളും ശരിയായില്ലല്ലോ.

    ആദ്യത്തെ ചോദ്യത്തിനു് പല ഉത്തരങ്ങളുണ്ടു്. (ഉയരം തന്നിട്ടില്ല എന്നു ശ്രദ്ധിക്കുക.) അവയിൽ ഏറ്റവും കൂടുതൽ വ്യാപ്തം കിട്ടുന്നതു് എപ്പോഴാണെന്നാണു് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടതു്.

    രണ്ടാം ചോദ്യത്തിൽ അസീസ് സാർ ഉദ്ദേശിച്ചതു് എന്താണെന്നു് എനിക്കു മനസ്സിലായില്ല. എനിക്കു തോന്നുന്നതു്, ആളുകളുടെ പ്രത്യേകശമ്പളം വെളിപ്പെടുത്താതെ അവരുടെ ശരാശരി ശമ്പളം കണ്ടുപിടിക്കാൻ ഒരു വഴി ഉണ്ടാക്കുക എന്നാണു്. അസീസ് സാർ തന്നെ വ്യക്തമാക്കട്ടേ.

  46. രണ്ടിന്റെയും ഉത്തരം കിട്ടിയില്ല😦 ചോദ്യങ്ങൾ പൂർണ്ണമാണോ?

  47. പെട്ടി പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരം കിട്ടി.

    നീളം 60, വീതി 30, ഉയരം 20. വ്യാപ്തം 36000.

    (ഇതു ഹൈസ്കൂൾ ഗണിതത്തിൽ ഒതുങ്ങുമോ എന്നൊരു സംശയം.)

  48. chord :my analysis/
    since the chord divides the circle into 1:8 and the length of chord is 8,the radius is more than 4 cm

    9x=22/7 *r^2
    x= 22/7*1/9*r^2
    x= 22/63*r^2
    r^2=63*x/22

    r=sqrt (63*x/22)

    if the value of x=154,we get r= sqrt(63*154/22)
    r=sqrt( 441)
    r=21

    is there any mistake in my calculation ,pl check this .

  49. വിജയൻ സാറിന്റെ അനാലിസിസ് ശരിയാണോ എന്നൊരു സംശയം.

    r=sqrt (63*x/22) വരെ യോജിപ്പാണു്‌. അതു കഴിഞ്ഞ സ്റ്റെപ്പാണു പ്രശ്നം. x=154 എന്നു്‌ എങ്ങനെ പറയാൻ പറ്റും? സർക്കുലർ സെഗ്മെന്റിന്റെ പരപ്പളവാണു്‌ അതു്‌. അതു്‌ ആരത്തെയെന്നതു പോലെ ഞാണിന്റെ നീളത്തെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. 21 ആരവും 8 ഞാണിന്റെ നീളവുമായാൽ സെഗ്മെന്റിന്റെ പരപ്പളവു്‌ 2.0543 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററേ ഉണ്ടാവൂ, 154 ഉണ്ടാവില്ല.

    ചുരുക്കം പറഞ്ഞാൽ, സെഗ്മെന്റിന്റെ പരപ്പളവും ആരവും തമ്മിൽ മാത്രം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നും അവ ഞാണിന്റെ നീളത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എന്നുമുള്ള വാദം ശരിയല്ല. ഇവയെല്ലാം പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. സെഗ്മെന്റിന്റെയും വൃത്തത്തിന്റെയും അനുപാതം ഞാൺ കേന്ദ്രത്തിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന ആംഗിളിനെ മാത്രമാണു്‌ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നതു്‌. പക്ഷേ, ആരവും ഞാണും ആ ആംഗിളും തമ്മിൽ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടു കിടക്കുന്നു.

  50. chord : i admit with you umesh sir. your answer is correct

    but now also i am thinking ,what is wrong with me?
    at which step i diverted?

    thank you sir.
    it is time to struggle for my food.

  51. chord : i admit with you umesh sir. your answer is correct

    but now also i am thinking ,what is wrong with me?
    at which step i diverted?

    thank you sir.
    it is time to struggle for my food.

  52. ABDUL AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  53. ഉമേഷ് സാര്‍ ചൂണ്ടിക്കാണിച്ചതുപോലെ, ഒറ്റ ഉത്തരമേ ഉള്ളൂ എന്നു പറഞ്ഞത് ശരിയല്ല; ഒന്നിലധികം ഉത്തരങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവാം: നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകള്‍ അനുവദിക്കുകയാണെങ്കില്‍ അനന്തം ഉത്തരങ്ങളും, പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകള്‍ മാത്രമേ അനുവദിച്ചിട്ടുള്ളെങ്കില്‍ ഒന്നോ അതിലധികമോ, ഒരു പരിമിത സംഖ്യ വരേയും:

    ax + by = c എന്ന സമവാക്യത്തിനു് (എല്ലാം പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകള്‍; a, b, c: സ്ഥിരസംഖ്യകള്‍: x, y: ചരങ്ങള്‍) x‌‌0, y0 എന്ന ഉത്തരമുണ്ടെങ്കില്‍, x = x0 – bk, y = y0 + ak, x,y > 0 എന്നിവ യോജിക്കുന്ന വിധത്തില്‍ k-യ്ക്കു് ഏതു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ കൊടുത്താലും ഉത്തരങ്ങള്‍ കിട്ടും. ഇങ്ങനെയുള്ള (x0/b) + (y0/a) – 1 k-കള്‍ (ബ്രാക്കറ്റിലുള്ളത് ഭിന്നസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ അതിന്റെ തൊട്ടു മുകളിലുള്ള പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ എടുത്തിട്ടുവേണം കൂട്ടാന്‍) ഉണ്ടുതാനും.

    ഉദാ: a = 2, b = 3, c = 230 എന്നായാല്‍ ax + by = c എന്നതിന് താഴെപ്പറയുന്ന പോസിറ്റീവ് ഉത്തരങ്ങള്‍ ഉണ്ട്:

    x = 112, y = 2
    x = 109, y = 4
    x = 106, y = 6
    x = 103, y = 8
    x = 100, y = 10
    x = 97, y = 12
    x = 94, y = 14


    x = 1, y = 76

    മൊത്തം 38 പോസിറ്റീവ് ഉത്തരങ്ങള്‍.

    ഫിലിപ്പ്

  54. AZEEZ says:

    An ant is crawling at a rate of one foot per minute along a strip of rubber which can be infinitely and uniformly stretched. The strip is initially one yard long and one inch wide and is stretched an additional yard at the end of each minute. If the ant starts at one end of the strip of rubber, will it ever reach the other end, and if so when?

  55. ശമ്പളശരാശരി പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരം:

    ഒന്നാമത്തെ ആൾ ഒരു സംഖ്യ (ഉദാ: 500) മനസ്സിൽ കാണുക. അതു് ആരോടും പറയരുതു്. എന്നിട്ടു് അതിനോടു് തന്റെ ശമ്പളം കൂട്ടിയ തുക രണ്ടാമന്റെ ചെവിയിൽ പറയുക. രണ്ടാമൻ അതിനോടു് തന്റെ ശമ്പളവും പിന്നെ മനസ്സിൽ കണ്ട ഒരു സംഖ്യയും (ഉദാ: 300) കൂട്ടിയ തുക മൂന്നാമനോടു പറയുക. മൂന്നാമൻ അതിനോടു തന്റെ ശമ്പളവും പിന്നെ മനസ്സിൽ കണ്ട ഒരു തുകയും (ഉദാ: 600) കൂട്ടിയ തുക ഒന്നാമനോടു പറയുക.

    ഇപ്പോൾ കിട്ടിയ തുക മൂന്നു പേരുടെയും ശമ്പളം + (500 + 300 + 600) ആയിരിക്കും.

    ഇനി, ഒന്നാമൻ അതിൽ നിന്നു് താൻ ആദ്യം മനസ്സിൽ കണ്ട തുക കുറച്ചിട്ടു് അതു് രണ്ടാമനോടു പറയുക. രണ്ടാമൻ അതിൽ നിന്നു് തന്റെ സംഖ്യ കുറച്ചിട്ടു മൂന്നാമനോടു പറയുക. മൂന്നാമൻ അതിൽ നിന്നു തന്റെ സംഖ്യ കുറച്ചിട്ടു ഒന്നാമനോടു പറയുക.

    ഇതു് ശമ്പളങ്ങളുടെ തുകയാണു്. ഒന്നാമൻ അതിനെ മൂന്നു കൊണ്ടു ഹരിച്ചിട്ടു് ശരാശരി എല്ലാവരോടും കൂടി പറയുക.

  56. The ant problem:

    The ant will reach the other end in 10.78 minutes. (I just can’t believe this is true!) If this is the right answer, I’ll give the explanation.

  57. ഇനി ഞാന്‍ ട്രാന്‍സ്ലേഷനുമായി വരില്ല.
    നന്ദി

  58. Translation:Don’t run away from this field.” Error is human ,but forgive is divine” You have a good future.

  59. “8833 has a special property.
    88*88+33*33=8833.are there other four figure digit numbers with the same property or only 8833.why ?”
    ( Iam sure you will get malayalam version with in seconds)

  60. AZEEZ says:

    Dear Geetha teacher,
    I am really sorry if my words hurt you. I mean only that there is some small errors in the trasilation.Actually my english is also not good.Don’t stop the transilation.Continue your work.

    Thanks

  61. AZEEZ says:

    Dear Umesh Sir.

    Your answer 10.78 is right.Post the procedure.

    Thanks

  62. JOHN P A says:

    Vijayan sir
    Let me think on your chord problem
    I have doubt on last step
    r= sqrt ( 63x/22) where x is the area of small segment of the circle.
    You are trying to find r based on this equation which contain another variable,
    In the answer you fixed x,which is an extra condition not given in the question

  63. chord:
    I admit all of you.
    BUT AS A STUDENT in maths i have some doubts
    1) a circle with radius 21 cm is drawn. can we divide the area in 1:8 by drawing chords,if so what is the length of chord?
    2) can we draw a segment with area 154 sq cm ( length of chord is 8 cm),if so what will be the area of remaining part of that circle

  64. Vijayan Sir,

    1) Please check 2.3 (1) in this document.

    2) This is tough. First, you should solve for t (in radians) in the equation

    (t – sin t)/4(1 – cos t) = 154/8

    Then, calculate the area of the circle by

    A = (64π)/(4 sin (t/2))

  65. Anonymous says:

    ഫിലിപ്പ് സാര്‍ പറഞ്ഞത് വളരെ വളരെ ശരിയാണ്. ഇതുമാതിരി ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് ഒരു ഉത്തരം മാത്രമായിരിക്കില്ല ഉണ്ടാവുക. ഫിലിപ്പ് സാര്‍ ഏത് സ്ക്കൂളിലെ അദ്ധ്യാപകനാണ്? കൃത്യമായി പോയിന്റ് ഔട്ട് ചെയ്തിട്ടുണ്ടല്ലോ.

    രാധാകൃഷ്ണന്‍
    മൂക്കന്നൂര്‍.

  66. AZEEZ says:

    This is an unusual paragraph. I’m curious how quickly you can find
    out what is so unusual about it. It looks so plain you would think
    nothing was wrong with it. In fact, nothing is wrong with it! It is
    unusual though. Study it, and think about it, but you still may
    not find anything odd. But if you work at it a bit, you might find
    out. Try to do so without any coaching

  67. The paragraph doesn’t have ‘e’, the most frequent letter in English alphabet.

  68. Thanks to G. Philip. For positive values, as he points out, the solution may not be unique, but the number of solutions will be finite.

  69. Is my answer correct for Akhil’s box problem?

  70. AZEEZ says:

    Find the angles of a right-angled triangle when its sides are in
    (i) AP
    (ii) GP
    (iii)HP

  71. @umesh. you are punctual with correct answer.
    Akhil’s problem is with correct solution.
    Now another problem child NIZAR in my class”HE mistakenly cancelled the 5’s and got lucky.19/95=1/5.
    The teacher is angry with him and shouted ” who taught you to cancell same numbers fron numerator and from denominator?”then he replied” if my answer is correct award me full score”
    ” Iwill award you mark,if you show 3 more examples of two digits,five examples of three digits.but one condition ,don’t use zeroes.”
    SUDDENLY Nizar worked out the same and received full score.
    IF you are Nizar ,what will be your solutions ?

  72. ഗീത ടീച്ചറുടെ ഡിസംബര്‍ 14-ലെ ഫയല്‍ പങ്കുവെയ്ക്കാനുള്ള രീതി വ്യക്തമാക്കുന്ന കമന്റിനു നന്ദി. ചെറിയ മാറ്റങ്ങളുള്ള വേറൊരു രീതി ഇതാ ഇവിടെ.

    സസ്നേഹം,
    ഫിലിപ്പ്

  73. സത്യത്തില്‍ ഇനി മാത്​സ് ബ്ലോഗില്‍ കയറില്ലായെന്നു പ്രതിജ്ഞ ചെയ്താണ് കഴിഞ്ഞ ദിവസം ഉറങ്ങാന്‍ കിടന്നത്. വാശി എന്റെ കൂടപ്പിറപ്പാണെന്ന് സുധിയേട്ടന്‍ കളിയാക്കുക കൂടെ ചെയ്തു. പക്ഷേ, പതിവുപോലെ ഒരു ദിവസം മാത്രമേ വാശിയ്ക്ക് ആയുസ്സുണ്ടായുള്ളൂ…
    എന്തായാലും വിജയന്‍ മാഷിന്രെ ചോദ്യം ട്രാന്‍സ്ലേറ്റ് ചെയ്തു നോക്കട്ടെ!
    എന്റെ ക്ലാസ്സിലെ ‘പ്രശ്നക്കാരന്‍ പയ്യന്‍’ നിസാര്‍ , 19/95 എന്നതിന്റെ ശരിയായ ഉത്തരം 1/5 എന്ന് തെറ്റായി 9 കള്‍ കാന്‍സല്‍ ചെയ്തുകൊണ്ട് എഴുതി. (5കള്‍ എന്നത് സ്ലിപ്പ് അല്ലേ, മാഷേ..?). “അംശത്തില്‍ നിന്നും, ഛേദത്തില്‍ നിന്നും ഒരേ അക്കങ്ങള്‍ കാന്‍സല്‍ ചെയ്യാമെന്ന് ആരാടാ നിന്നെ പഠിപ്പിച്ചത്?” വിജയന്‍മാഷ് കയര്‍ത്തു. “കളിക്കല്ലേ, ഉത്തരം ശരിയാണെങ്കില്‍ മുഴുവന്‍ മാര്‍ക്കും താ മാഷേ…” അവന്‍ പ്രതിവചിച്ചു. “ശരി, പക്ഷേ ഒരു കണ്ടീഷന്‍. രണ്ടക്കങ്ങളുടെ മൂന്നും മൂന്നക്കങ്ങളുടെ അഞ്ചും ഉദാഹരണങ്ങള്‍ കാണിക്ക്. പൂജ്യം പാടില്ല കേട്ടോ.” നിസാര്‍ അത് കാണിച്ചു മുഴുവന്‍ മാര്‍ക്കും നേടി. നിങ്ങളാണ് നിസാറെങ്കില്‍, എന്തൊക്കെയായിരിക്കും സൊല്യൂഷന്‍സ്?
    തെറ്റുണ്ടെങ്കില്‍ ക്ഷമിക്കുകയും തിരുത്തുകയും ചെയ്യുക.
    ഫിലിപ്പ് മാഷിനു നന്ദി.

  74. രാധാകൃഷ്ണന്‍ സാര്‍,

    നന്ദി. ഞാന്‍ അധ്യാപകനേ അല്ല, ഒരു വിദ്യാര്‍ഥി മാത്രമാണ്.

    (എല്ലാവരോടും) അതുകൊണ്ട് നിങ്ങള്‍ അധ്യാപകര്‍ എന്നെ “സാര്‍” എന്നു വിളിക്കല്ലേ!

    സസ്നേഹം,
    ഫിലിപ്പ്

  75. JOHN P A says:

    vijayan sirs question and Geetha teacher’s transalation
    Take one .I am trying
    26/65

  76. JOHN P A says:

    Oh!
    It is easy
    16/64
    49/98
    19/95
    There is a logic in it.finding 3 digits is something difficult. I will give before 12 o clock
    I AM IN THE MOOD OF SCHOOL CENTENARY CELEBRATIONS.I MISSED SOME COMMENTS

  77. JOHN P A says:

    Dear Philip Sir
    Dont think so.You are becoming a teacher through the blog in a broad sense. All of us call you sir. It is the special nature of this blog. Actually you are at present interact with the reputed professors and guides . We expect your experience .

  78. “with out translation what is problem child? we are dealing so many problem children daily “
    so get ready with three digit.
    more over one of my qns “8833” is wandering without solution.close the file today itsef
    …..thanks a lot …

  79. ഫിലിപ്പ് സാര്‍,

    താങ്കളുടെ ഡോക്യുമെന്‍റ് ഷെയറിങ് രീതി കണ്ടു. നന്നായിട്ടുണ്ട്.പുതിയ അറിവാണത്. ഇത്തരം അറിവുകള്‍ നമുക്കൊരു പോസ്റ്റായി പങ്കുവെക്കാവുന്നതല്ലേ.നമ്മുടെ അധ്യാപകര്‍ക്ക് അതൊരു സഹായമാകുമെന്നതില്‍ സംശയം വേണ്ട. തുടര്‍ന്നും ഇത്തരം വിദ്യകള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

    ഗീത ടീച്ചര്‍ക്കും നന്ദി

  80. bhama says:

    @ Vijayan Larva’s

    1233 =12*12+33*33

  81. Bhama teacher is right. Only 8833 and 1233 are possible 4-digit answers.

  82. dear umesh sir and bhama madam

    one of the properties of ’88’ is the repeatation ‘ 8′.we can’t see that property in’12’.so 88 *88+33*33=8833 has the only four digit number with all the properties

  83. problem child’s problem; still waiting the five sets of three digit numbers.

  84. Here are the 185 solutions in three digits for the problem child puzzle. I found them using a computer program.

    I was trying to find a mathematical way but failed. For two-digit numbers, we can find it by mathematical methods without using a computer.
    —————-

    106/265 = 10/25
    112/616 = 12/66
    116/464 = 11/44
    119/595 = 11/55
    130/325 = 10/25
    132/231 = 12/21
    133/532 = 13/52
    133/931 = 13/91
    134/335 = 14/35
    134/536 = 14/56
    134/737 = 14/77
    134/938 = 14/98
    136/238 = 16/28
    138/345 = 18/45
    139/695 = 13/65
    143/242 = 13/22
    143/341 = 13/31
    146/365 = 14/35
    149/298 = 14/28
    149/596 = 14/56
    149/894 = 14/84
    154/253 = 14/23
    154/352 = 14/32
    154/451 = 14/41
    156/858 = 16/88
    159/795 = 15/75
    161/644 = 11/44
    162/648 = 12/48
    163/652 = 13/52
    164/656 = 14/56
    165/264 = 15/24
    165/363 = 15/33
    165/462 = 15/42
    165/561 = 15/51
    166/664 = 16/64 = 1/4
    167/668 = 17/68
    168/672 = 18/72
    169/676 = 19/76
    176/275 = 16/25
    176/374 = 16/34
    176/473 = 16/43
    176/572 = 16/52
    176/671 = 16/61
    178/979 = 18/99
    179/895 = 17/85
    183/732 = 18/72
    186/465 = 18/45
    187/286 = 17/26
    187/385 = 17/35
    187/484 = 17/44
    187/583 = 17/53
    187/682 = 17/62
    187/781 = 17/71
    191/955 = 11/55
    193/965 = 13/65
    194/291 = 14/21
    195/975 = 15/75
    196/294 = 16/24
    196/392 = 16/32
    197/394 = 17/34
    197/591 = 17/51
    197/985 = 17/85
    198/297 = 18/27
    198/396 = 18/36
    198/495 = 18/45
    198/594 = 18/54
    198/693 = 18/63
    198/792 = 18/72
    198/891 = 18/81
    199/398 = 19/38
    199/597 = 19/57
    199/796 = 19/76
    199/995 = 19/95 = 1/5
    216/864 = 21/84
    217/775 = 21/75
    224/728 = 24/78
    226/565 = 22/55
    233/932 = 23/92
    234/936 = 24/96
    242/341 = 22/31
    249/498 = 24/48
    249/996 = 24/96
    253/352 = 23/32
    253/451 = 23/41
    262/655 = 22/55
    264/363 = 24/33
    264/462 = 24/42
    264/561 = 24/51
    266/665 = 26/65
    268/469 = 28/49
    270/756 = 20/56
    275/374 = 25/34
    275/473 = 25/43
    275/572 = 25/52
    275/671 = 25/61
    286/385 = 26/35
    286/484 = 26/44
    286/583 = 26/53
    286/682 = 26/62
    286/781 = 26/71
    294/392 = 24/32
    296/592 = 26/52
    297/396 = 27/36
    297/495 = 27/45
    297/594 = 27/54
    297/693 = 27/63
    297/792 = 27/72
    297/891 = 27/81
    298/596 = 28/56
    298/894 = 28/84
    299/598 = 29/58
    299/897 = 29/87
    305/854 = 30/84
    306/765 = 30/75
    334/835 = 34/85
    335/536 = 35/56
    335/737 = 35/77
    335/938 = 35/98
    346/865 = 34/85
    349/698 = 34/68
    352/451 = 32/41
    363/462 = 33/42
    363/561 = 33/51
    374/473 = 34/43
    374/572 = 34/52
    374/671 = 34/61
    385/484 = 35/44
    385/583 = 35/53
    385/682 = 35/62
    385/781 = 35/71
    386/965 = 38/95
    390/975 = 30/75
    394/591 = 34/51
    394/985 = 34/85
    396/495 = 36/45
    396/594 = 36/54
    396/693 = 36/63
    396/792 = 36/72
    396/891 = 36/81
    397/794 = 37/74
    398/597 = 38/57
    398/796 = 38/76
    398/995 = 38/95
    399/798 = 39/78
    427/976 = 42/96
    449/898 = 44/88
    462/561 = 42/51
    473/572 = 43/52
    473/671 = 43/61
    484/583 = 44/53
    484/682 = 44/62
    484/781 = 44/71
    491/982 = 41/82
    492/984 = 42/84
    493/986 = 43/86
    494/988 = 44/88
    495/594 = 45/54
    495/693 = 45/63
    495/792 = 45/72
    495/891 = 45/81
    496/992 = 46/92
    497/994 = 47/94
    498/996 = 48/96
    499/998 = 49/98 = 4/9
    532/931 = 52/91
    536/737 = 56/77
    536/938 = 56/98
    572/671 = 52/61
    583/682 = 53/62
    583/781 = 53/71
    591/985 = 51/85
    594/693 = 54/63
    594/792 = 54/72
    594/891 = 54/81
    596/894 = 56/84
    597/796 = 57/76
    597/995 = 57/95
    598/897 = 58/87
    682/781 = 62/71
    693/792 = 63/72
    693/891 = 63/81
    737/938 = 77/98
    792/891 = 72/81
    796/995 = 76/95

  85. It was tempting to write the last comment as “I have the full solution, but this comment box (margin) is too small to fit it” 🙂

  86. thank you umesh sir.the teacher and student never expect such a number of solutions for this problem.
    The teacher again fired his next qn to make the problem child sit in a corner.
    but he was ready with the answer.the qn” DRAW two similar triangles ,both with integer sides .two sides of one triangle were the same as two in the other .the other sides differed by a prime”

  87. Anonymous says:

    കണക്കു മാഷുമ്മാരേ,

    1,1,5,17,61,217 എന്ന ശ്രേണിയിലെ അടുത്ത രണ്ട് പദങ്ങള്‍ പറയാമോ?

    ഇതിന് ആദ്യം ഉത്തരമെഴുതുന്നയാള്‍ മിടുമിടുക്കന്‍. ഒരു ദിവസം തരുന്നു. ഉത്തരം വന്നില്ലെങ്കില്‍ നാളെ ഇതേ സമയം ഉത്തരം പ്രതീക്ഷിക്കാം.

    A proffessional anonymous

  88. JOHN P A says:

    To Professional anonymous

    One who knows Modular mathematics in a basic level can answer this question easily
    1,1,5,17,61,217, 773,2753,8381….
    To get a term take the sum of three times its predicessor and twice the term before the predecessor
    kindly reveal your name and take a google account

  89. JOHN P A says:

    To Professional anonymous

    One who knows Modular mathematics in a basic level can answer this question easily
    1,1,5,17,61,217, 773,2753,8381….
    To get a term take the sum of three times its predicessor and twice the term before the predecessor
    kindly reveal your name and take a google account

  90. VIJAYAN N M says:

    Dear proffesional anony,
    first delete one ‘f’from proffessional.

  91. Anonymous says:

    ജോണ്‍ പി.എ കൃത്യം ഉത്തരം തന്നെയാണ് തന്നത്. എങ്കിലും നിങ്ങള്‍ മിടുമിടുക്കന്‍ തന്നെയെന്ന് തെളിയിക്കാന്‍ ഒരു ചോദ്യം കൂടി.

    ആര്‍ക്കും ഉത്തരം നല്‍കാം.

    1/5, 0, 1, -2, 9, -28, 101, ……..

    അടുത്ത രണ്ട് പദങ്ങള്‍ കണ്ടെത്താമോ?

    A Professional Anonymous

  92. JOHN P A says:

    anonymous
    I want some time to determine the general term .
    The coefficient of the first term of the expression will be negative
    Before 10 o clock I can give .
    I have to solve another problem now
    a^b*c^d= abcd
    ok

  93. JOHN P A says:

    anonymous
    I want some time to determine the general term .
    The coefficient of the first term of the expression will be negative
    Before 10 o clock I can give .
    I have to solve another problem now
    a^b*c^d= abcd
    ok

  94. JOHN P A says:

    anonymous
    I want some time to determine the general term .
    The coefficient of the first term of the expression will be negative
    Before 10 o clock I can give .
    I have to solve another problem now
    a^b*c^d= abcd
    ok

  95. JOHN P A says:

    This comment has been removed by the author.

  96. JOHN P A says:

    Dear Professional Anonymous
    Without the loss of generality,I can saythe following facts
    ** While taking the n th term of your sequence,one coefficient will be 5. Then only cancellation possible
    ** negetive and positive terms occur.One coefficient will be a negative number
    ***As usaual
    Tn = 5 * (n-2) the term = -2* (n-1) th term
    I thing we get all terms of this sequence
    For getting the details of this type questions, we can refer
    “CHARM OF PROBLEM SOLVING”Published by Association of mathematics teachers (India)
    This question is a non routine problem.not discussed anywhere

  97. Anonymous says:

    ജോണ്‍, നിങ്ങള്‍ ഒരു മിടുക്കനായ ടീച്ചര്‍‍ തന്നെ. സമ്മതിച്ചിരിക്കുന്നു.

    -342, 1189 ഇതാണ് അടുത്തടുത്ത ആ സംഖ്യകള്‍.

    tn=5t(n-2) – 2 t(n-1)
    t8 = (5*-28)-(2*101)=-342
    so & so

    Congrats.
    A Professional anonymous

  98. congratulations: i have been watching both the comments of john sir&professional anonymous in this post.i was sure the readers will complete 100 comments in this post and i mailed mr.hari about this.
    now your turn to answer one qn
    (comment 90,by me).Iwas away in post no 20 for one day.

  99. AZEEZ says:

    How many numbers between 1000 and 10000 have their sum of digits as 9?

  100. the number of multiples of 9=(1008 to 9999) =1000. simple ,progression.hence the answer

  101. No, the question is to find the number of numbers whose some of digits is 9. If we count all multiples of nine, some sums are 18, 27 etc.

  102. AZEEZ says:

    Dear Vijayan Sir,

    In the number 9999, the sum of the digits is 36 not 9.

    And the answer is wrong.

  103. bhama says:

    165 numbers have their sum of digits as 9

  104. bhama says:

    @ Vijayan Sirs comment 90

    8,12,18 and 12,18,27 are the sides of the two similar triangle.

  105. bhama says:


    click here
    to see solving procedure of Azeez Sir’s problem

  106. I think bhama madams answer is the only one solution of the concerned qn. thanks
    now take “you have one each of the numbers 1,3,5,7,9. using just basic operations +,-,*,/,() , write 1 to 10.”

    @bhama madam: about 4,s;
    in the hundred 5 more are still waiting 4 u.
    A MERRY XMAS TO ALL.

  107. BHAMA says:

    1+3-5-7+9 = 1
    (9+7)/(5+3)*1 = 2
    9-7+5-3-1 = 3
    (1+3)*5-7-9 = 4
    1-3+5-7+9 = 5
    (1-3)*5+7+9 = 6
    1+3+5+7-9 = 7
    9+7-5-3*1 = 8
    1-3-5+7+9 = 9
    9-7+5+3*1 = 10

  108. VIJAYAN N M says:

    y did ‘six afraid of seven ‘?

  109. DIVISIBILITY BY 13:
    “Delete the last digit from the given number .Then subtract nine times the deleted digit from the remaining number.If what is left is divisible by 13,then so the original number.
    eg :1) 221
    22-1*9=13,221 is divisible by 13.
    2)454: 45-4*9= 9,not divisible by 13.
    OR delete last number and add four times it to the remaining number.
    eg:1)221, 22+4*1=26–divisible by 13
    2)454,45+4*4=61—-not divisible by 13.”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s