ചന്ദ്രികയും പൈതഗോറസും

മുന്‍പൊരിക്കല്‍, സമചതുരത്തിന്റേയും ചന്ദ്രികയുടേയും പരപ്പളവ് തുല്യമെന്ന് തെളിയിക്കാമോയെന്ന ചോദ്യവുമായി വന്ന പോസ്റ്റ് ഓര്‍മ്മയിലുണ്ടോ?നമ്മുടെ ബ്ലോഗ് ടീമംഗമായ വടകരയിലെ വിജയന്‍സാറിന്റെ ആദ്യ പോസ്റ്റുകളിലൊന്നായിരുന്നൂ അത്. ജോണ്‍ സാറും ഭാമടീച്ചറുമടക്കം ഒരുപാട് പേര്‍ അത് തെളിയിക്കുകയും നാമത് ഒരു പോസ്റ്റിലൂടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയും ചെയ്തതാണ്. എന്നാല്‍, പൈതഗോറിയന്‍ പ്രിപ്പോസിഷനിലൂടെ (Pythagorian preposition)ഒരു വ്യത്യസ്ത തെളിവുമായി രംഗത്തെത്തിയിരിക്കുകയാണ് വിജയന്‍ സാര്‍….

ചിത്രം 1 ലെ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കര്‍ണ്ണത്തിലുള്ള അര്‍ദ്ധവൃത്തം, ആ ത്രികോണത്തിന്റെ മറ്റു രണ്ടു വശങ്ങളിലുള്ള അര്‍ദ്ധവൃത്തങ്ങളുടെ തുകയാണ്.

ചിത്രം 1

വലിയ അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തെ മറുവശത്തേക്കു മാറ്റിയാല്‍ നമുക്കു ലഭിക്കുന്ന രണ്ടു ചന്ദ്രികകളും കൂടിയാല്‍ ത്രികോണത്തിനു തുല്യമായി (ചിത്രം 2).

ചിത്രം 2

ത്രികോണം സമപാര്‍ശ്വമായാല്‍ ഓരോ ചന്ദ്രികയും അതിനു തുല്യമായി വരും (ചിത്രം 3).

ചിത്രം 3

ചിത്രം 4

ഒരു സമപാര്‍ശ്വമട്ടത്രികോണത്തില്‍ നിന്നും സമചതുരമുണ്ടാക്കാന്‍ എളുപ്പമാണല്ലോ? (ചിത്രം 5).

ചിത്രം 5

അതുകൊണ്ട് ചന്ദ്രികയുടെ അതേ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം നിര്‍മ്മിക്കല്‍ ജ്യാമിതീയ രീതിയില്‍ സാദ്ധ്യമാണെന്നു തെളിഞ്ഞു.

സെക്ടര്‍ AMCN ന്റെ പരപ്പളവ് = π/4*√2x*√2x= π/2 x²
സെക്ടര്‍ NBMD യുടെ പരപ്പളവ് = π/2*x*x=π/2 x²
AMDN ന്റെ പരപ്പളവ് = ∆AMN ന്റെ പരപ്പളവ് + സെക്ടര്‍ NBMD യുടെ പരപ്പളവ്
= x²+π/2 x²
ചന്ദ്രികയുടെ പരപ്പളവ് = AMDN ന്റെ പരപ്പളവ് – സെക്ടര്‍ AMCN ന്റെ പരപ്പളവ്
= (x²+π/2 x²)- π/2 x²
= x²
സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവും x²ആയതിനാല്‍, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കപ്പെട്ടു.

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in Maths Magic. Bookmark the permalink.

23 Responses to ചന്ദ്രികയും പൈതഗോറസും

  1. hibhs says:

    This comment has been removed by the author.

  2. JOHN P A says:

    firstly
    we can construct a circle whose area equal to the sum of the areas of two other circles
    Let a,b.c be the sides of a right triangle with hyp c
    c*c=a*a+b*b
    multiplying both sides ny pie and divide by 4 we get
    pie c/2*c/2 = pie a/2*a/2 + pie b/2* b/2
    secondly
    It is a good assignment, practical and a lab actiivity.at the same time a working modeland a chart showing self explanatory proof

  3. A sq+B sq+C sq+ D sq= 85 sq.
    this puzzle is derived from the pytagorean thearem. A,B,C,D are either a single digit or double digit number . What are A,B,C &D ?

  4. ABDUL AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  5. AZEEZ says:

    Answer for A^2+B^2+C^2+D^2=85^2 IS

    A=32,B=36,C=48 & D=51.

    Now try this.

    (L+O+G+I+C)^3=LOGIC

    FIND THE +INTEGERS CURRESPONDING TO THE LETTERS.(^3 MEANS CUBED)

    THANKS

  6. dear azees, (1+9+6+8+3)^3=19683, that is (logic)^3=logic.

    pythagorean approach to my morning problem: 32^2+36^2+48^2+51^2=75^2+40^2=85^2
    thank you . now i am busy . expect my night post.

  7. Jayarajan Vadakkayil says:

    ചന്ദ്രികയും പൈതാഗോറസ്സും പിന്നെ വിജയനും
    അഭിനന്ദനങ്ങള്‍

  8. Anonymous says:

    ഇന്ന് ഒരു എട്ടാം ക്ലാസ്സില്‍ കുട്ടികളോട് ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെ പരിചയപ്പെടുത്തിയത് 4 വശങ്ങളും 4 കോണുകളും 4 മൂലകലുമുള്ള സംവൃത രൂപമായാണ്.അവരോട് ചിത്രം വരയ്ക്കാന്‍ പറഞ്ഞപ്പോള്‍ സത്യജിത്ത്ഈ ചിത്രം ആണ് വരച്ചത്! ഇതൊരു ചതുര്‍ഭുജമാണോ?

    കൈലാസ് നാഥ്
    ശിവപുരം

  9. JOHN P A says:

    This comment has been removed by the author.

  10. JOHN P A says:

    Dear kailas
    Yes it a quadrilateral.But there is a problem here.There are two types of quadrlaterals .Convex quadrilaterals and concave quadrilaterals.By definition quadrilateral is apolygon with 4 sides.
    Chevron is a quadrilateral.The shape you give is just like that.
    How can we identify both?
    Draw a line along a side (all sides). If all other sides lie in the same side of the line,it will be convex
    The external angle sum theorem is defined for convex only
    Kite is convex
    Chevron is concave

    November 3, 2009 5:17 PM
    Delete

  11. Anonymous says:

    നന്ദി ജോണ്‍ സാര്‍,
    ഈ കാര്യങ്ങള്‍ പാഠപുസ്തകത്തിലൊന്നു സൂചിപ്പിക്കാമായിരുന്നു.
    സി.ബി.എസ്.സി യുടേതു പോലെ….

    കൈലാസ് നാഥ്
    ശിവപുരം

  12. JOHN P A says:

    Dear Kailas
    There are so many differences between our text book and CBSE (Central Board of secondary education).You made a mistake.
    1 C BSE text is content oriented,Ours is activity oriented .
    2 There are many silences in our text. It is our resonsiblity to fill these gapsby our references. That is what is called teachers local text.
    3 a mathematics teacher should have a mathematical dictionary just like english teachers. I recomment BRIAN BOLT AND DAVID HOBBS book .It is low price and easily available .Just 75 only
    Thanks

  13. JOHN P A says:

    This comment has been removed by the author.

  14. VIJAYAN N M says:

    fill in numbers 1 to 9 to make the equation work.
    ” –*- = — = –*- “

  15. JOHN P A says:

    IF THE ANGLE BISECTORS OF A QUADRILATERAL MAKE ANOTHER QUADRILATERAL ,THE NEWLY FORMED QUADRILATERAL WILL BE A CYCLIC QUADRILATERAL.Can you agree?

  16. AZEEZ says:

    Dear Vijayan Sir,

    Answer for your last qn in this post

    58*3=174=29*6

    Now find a,b,c,d,e,f,g,h,i

    if a/bc+d/ef+g/hi=1

    a,b,c………i are differenr ittegers from 1 to 9.

    here bc,ef,& hi are two digit numbers.

  17. ABDUL AZEEZ says:

    This comment has been removed by the author.

  18. AZEEZ says:

    —– O
    —–O O
    —-O O O
    —O O O O
    –O O O O O

    Distribute all the numbers 1 to 15 in the circles so that the number in each circle shows the difference between the two circles on which it sits.

  19. mkmali says:

    ഇത് പോലെ രസകരമായ ഗണിത പ്രശ്നങ്ങള്‍ ബ്ലോഗിന്റെ നിലവാരെ മെച്ചപ്പെടുത്തിന്നു. വളരെ നന്ദി. മുഹമ്മദ് അലി. എം.കെ.

  20. mkmali says:

    ഇത്പോലെ വ്യത്യസ്തങ്ങളായ ഗണിത പ്രശ്നങ്ങള്‍ ബ്ലോഗിന്റെ നിലവാരം മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നു. വളരെ നന്ദി. മുഹമ്മദ് അലി. എം.കെ. ജ്.എച്ച്.എസ്.എസ്. പട്ടിക്കാട്.

  21. VIJAYAN N M says:

    answer to azees november 5TH post:difference pyramid”

    5
    9 4
    2 11 7
    10 12 1 8
    13 3 15 14 6

  22. sanjeev p c says:

    IS IT POSSIBLE TO START A CLASS to DISCUSS THE NUMBER SYSTEM,(even,odd,prime,…etc with eg)

    disscuss the equation for finding like Area of a circle, rectangle, trianhgle…ets,Equations which comes up to 10th or + 2 STANDEARD,
    so as one can reffer for finding equations…
    sanjeev

  23. സഞ്ജീവ് സാര്‍,
    താങ്കള്‍ പറഞ്ഞതു പോലെയുള്ള വിഷയങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോസ്റ്റുകള്‍ തയ്യാറാക്കാന്‍ തീര്‍ച്ചയായും നമ്മുടെ ബ്ലോഗ് ടീം അംഗങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടാം. കേരളത്തിലെ തന്നെ പ്രഗത്ഭരും തങ്ങളുടെ മേഖലകളില്‍ കഴിവു തെളിയിച്ചവരുമായ ഒരു കൂട്ടം അധ്യാപകര്‍ നമുക്കൊപ്പം ഉള്ളപ്പോള്‍ അത്തരത്തിലുള്ള പോസ്റ്റുകള്‍ ഒരുക്കാന്‍ നമുക്ക് പ്രയാസപ്പെടേണ്ടതില്ല.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s