ഉത്തരങ്ങള്‍ മൂന്നുതരമായി…..ഇനിയും…?

ഗണിതാധ്യാപകര്‍ക്കുള്ള ഒരു കൊച്ചു പ്രശ്നവുമായാണ് ഇന്നത്തെ ബ്ലോഗ് പോസ്റ്റ് മുഖം കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഇതിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്താനാകുമോയെന്ന് ഒന്നു ശ്രമിച്ചു നോക്കൂ. ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്നത് ABCD എന്ന ഒരു ചതുരമാണ്. ഇവിടെ AD=AP=PQ=QB ആണ്. എങ്കില്‍ കോണുകളായ x+y=z എന്നു തെളിയിക്കാമോ? ഞങ്ങള്‍ക്കൊപ്പമുള്ള ഞങ്ങളുടെ പ്രിയ ഗണിതാധ്യാപകരേ, ഉത്തരം നല്‍കാന്‍ നിങ്ങള്‍ക്ക് മൂന്ന് ദിവസങ്ങള്‍ തരുന്നു.കിഗ്ഗിലോ ഡോക്ടര്‍.ജിയോയിലോ തന്നിരിക്കുന്ന കണ്ടീഷനുകളനുസരിച്ച് ചിത്രം വരച്ച് നോക്കിക്കോളൂ. സംഗതി കിറുകൃത്യമാണ്. ഉത്തരം കണ്ടുപിടിച്ച് ഒട്ടും വൈകാതെ കമന്റ് ചെയ്യുക. ചിത്രം വരയും കോണുകള്‍ രേഖപ്പെടുത്തലും കമന്റ് ബോക്സില്‍ സാധിക്കുന്നില്ലെങ്കില്‍ mathsekm@gmail.com ലേക്ക് മെയില്‍ ചെയ്യുക.

കഴിഞ്ഞ ദിവസം നമ്മുടെ ബ്ലോഗ് ടീമംഗമായ ജോണ്‍ മാഷിനെ നേരില്‍ കാണാനിടയായപ്പോള്‍ അദ്ദേഹം ചിത്രം വരച്ച് കാണിച്ചു കൊണ്ട് മുകളില്‍ പറഞ്ഞ ഈ ചോദ്യമങ്ങ് ചോദിച്ചു. ആ സമയം ഒപ്പമുണ്ടായിരുന്ന പറവൂരിലെ സുനില്‍മാത്യു എന്ന ഇംഗ്ലീഷ് അധ്യാപകന്‍ ഇതുകേട്ട ഉടനെ ‘എത്ര എളുപ്പമുള്ള ചോദ്യം’ എന്നായിരുന്നു അഭിപ്രായപ്പെട്ടത്. ചന്ദനം ചാലിച്ചെഴുതിയ പുതിയ രൂപത്തിന് അലങ്കാരമാകുന്ന വിധത്തില്‍ത്തന്നെയുള്ള ഇതുതന്നെയാകട്ടെ ഇന്നത്തെ ചോദ്യമെന്ന് ഞങ്ങളും കരുതി. ഉത്തരങ്ങള്‍ക്കായി കാത്തിരിക്കുന്നു. സമയം കിട്ടുന്നില്ലായെന്ന വായനക്കാരുടെ പരാതിയിന്മേല്‍ ഉത്തരം നല്‍കാനുള്ള അവസരമൊരുക്കുന്നതിനും കമന്റ് ബോക്സിലെ ചര്‍ച്ചകള്‍ ആസ്വദിക്കുന്നതിനുമായി ഇനി മുതല്‍ രണ്ട് ദിവസം കൂടുമ്പോഴായിരിക്കും പുതിയ പോസ്റ്റുകള്‍. Enjoy it

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in ശാസ്ത്രം, General, Lite Maths. Bookmark the permalink.

24 Responses to ഉത്തരങ്ങള്‍ മൂന്നുതരമായി…..ഇനിയും…?

  1. Anonymous says:

    Good Question!
    Let me think…

    Geetha

  2. let AD=AP=PQ=QB=k
    THEN
    then angle Z=45
    tanX=k/3k= 0.3333
    X=18 DEGREE
    TAN Y =k/2k= 0.5
    Y= 27 DEGREE
    therefore X+Y =18+27=45
    THAT IS X+Y=Z

  3. JOHN P A says:

    The proof given by Vijayan sir is based on trigonometry.Try to prove using pure geometric concepts.I think geometric method will give us the real enjoyment of problem solving.

  4. Anonymous says:

    ഏത് രീതി ഉപയോഗിച്ചായാലും ഉത്തരം കിട്ടിയല്ലോ ജോണ്‍ മാഷേ, കണക്ക് ടീച്ചേഴ്സ് ഇത്ര പിടിവാശി പിടിക്കണോ?

  5. Anonymous says:

    Majority of the Std VIII IT Practical Questions are from Second Term. What is the aim of this examination?

  6. JOHN P A says:

    There is no “pidivashi ” for a mathematics teacher.I just invite others to solve the problem in another way.That is what is called divergent thinking .I think you are a mathematics teacher of high school classes. Solving problem is not an end. The dynamism of geometric concepts shoud be realised by the learner by our instructions and guidance.That is why we tell the children to attempt an assignment in different ways.How to apply basic theorems in rati, proportion and similarity will give us another experience to the learner.Dear anonymus,I am not a complicated mathematics instructor

  7. Let S,R be the points in DC such that PS=SR=RC
    Drow PS & QR
    Also drow QC & QS
    Complete the square whose adj. sides are QC & QS
    Let E be the 4th corner point of the square
    Consider the 2 rht angled triangles PBC & AEC ,their perpendicular sides are in the ratio 1:2
    It follows that these triangles are similar (a:b=x:y implies that a:x=b:y)
    Hence their corresponding angles are equal
    ie angle CPB (y) = angle CAE
    ie x+y = angle CAB +y=45=z
    Hence the result

  8. My name is MURALEEDHARAN

  9. JOHN P A says:

    Yes ….. I am expecting this from Muralidharan sir.The proof is completly based on first principles.I hope all mathematics teachers read the post will appreciate the two methods in the commend. Vijan sirs method of solving the problem is suitable in the 10 th standard while doing trigonometry.Surely I will give this in the class as a problem in the application of trigonometric ratios

  10. ശരിയുത്തരം നല്കിയ വിജയന്‍ സാറിനും മുരളീധരന്‍ സാറിനും അഭിനന്ദനങ്ങള്‍. ജോണ്‍ സാര്‍ പറഞ്ഞ പോലെ ഇനിയും പുതിയ രീതികളെന്തെങ്കിലുമുണ്ടെങ്കില്‍ വരട്ടെ. അതെല്ലാം നമുക്ക് ഗുണകരമാകുകയേയുള്ളു. കമന്റ് ബോക്സിലെ ഈ വിജ്ഞാനചര്‍ച്ചകള്‍ അധ്യാപകരെന്ന നിലയില്‍ നമുക്കെത്ര ഉപകാരപ്രദമാണ്. ഇനിയുമുണ്ടാകും വേറെന്തെങ്കിലും മാര്‍ഗങ്ങള്‍… അല്പം നീണ്ടതാണെങ്കിലും ഉടനെ തന്നെ മറ്റൊരു രീതി ഉടനെ ബ്ലോഗ് ടീമിന്‍റെ പേരില്‍ പ്രതീക്ഷിച്ചോളൂ.

  11. thomas says:

    we can proove angleA=anglePCQ.
    letAP=PQ=QB=a
    QC=root 2a,PC=root5a,AC=root10a.
    Consider triangle’s PQC,CQA..
    PQ/CQ =a/root2a=1/root2
    QC/QA=root2 a/2a=1/roo2angle A is common
    so two triangle’s are simillar .
    angle A=anglePCQ
    angle P+anglePCQ=angleCQB.
    angle A+angle P=angle Q

    so X+Y=Z

    thomas.kulathuvayal

  12. JOHN P A says:

    Excellent.This is the real dicussion on a problem.Now we got 3 different solutions.Let us think ,share and appreciate

  13. JOHN P A says:

    I ivite higher secondary students to solve this problem using co ordinate geometry. Take the coordinates of P,Q ,B and P by taking a as the origin. Using the slopes of AC,PC ,QC and AB we can find the angles in the general form

    Second year students can solve it using Vectot equations.This will be a good assignmet for you

  14. Anonymous says:

    അല്ലയോ കണക്ക് മാഷുമ്മാരേ, 365 നെ സംഖ്യകളുടെ വര്ഗങ്ങളുടെ തുകയായി എത്ര രീതിയില്‍ എഴുതാന്‍ കഴിയും? എത്ര രീതി ഇവിടെ വരുമെന്ന് നോക്കട്ടെ.

  15. VIJAYAN N M says:

    10sq+11sq+12 sq=13sq+14sq=365.
    ithine mashanmar thanne veno?
    6 sq+8sq+11sq+12sq= 365.
    iniyum venamenkil ariyikkuka.

  16. VIJAYAN N M says:

    Ramanujam number can be written as the sum of the square of numbers in 6 different ways .try anonymous.

  17. JOHN P A says:

    (2n-1 )*(2n-1)+(3n+5)(3n+5) =(3n+1)(3n+1)+(2n+5)(2n+5) = R , second order ramanujan number

  18. VIJAYAN N M says:

    1105 is a product 0f 5,13 &17(three prime nos.)write 1105 as the sum 0f two different sqs .in 4 ways.

  19. JOHN P A says:

    Answer to the question using CoOrdinate geometry
    Let A(0,0) P(a,0) Q(2a,0) B(3a,0) C(3a,a)
    Slop of AB =m1 = 0 ( take it as x axis)
    Slop of PC = m2 = tan Y = (a-0)/(3a -a) = 1/2
    slop of QC = Tan Z = ( a-0)/ 3a-2a) =1
    slop of AC = tan X = ( a-0)/(3a -0) = 1/3
    Tan ( X+Y) = (tanX +tanY)/ 1- tanX *TanY
    = ( 1/3 +1/2 )/1- 1/3*1/2 = 1

    Tan z =1
    Tan ( X +Y) = Tan Z
    since X , Y , Z are in the first quadrant, X+Y = Z
    ( Higher secondary students can use this method)

  20. VIJAYAN N M says:

    dear johnsir, go through my doubt of 6 th comment of oct 12 post.if any possibility pl comment.anonymousgeetha can also participate.

  21. Anonymous says:

    Good Question.
    Needs some kind of Mathematical Energy.

  22. manoj says:

    ആങ്കിള്‍ CQB ഒരു മട്ടത്രികോണം ആയതുകൊണ്ട് ആങ്കില്‍ ആങ്കിള്‍ Q 45 ഡിഗ്രീയാണ്.
    ആങ്കിള്‍ BCQ = 45 ഡിഗ്രി
    ആങ്കിള്‍ DCQ = 45 ഡിഗ്രി
    AP = PQ
    അതുകൊണ്ട് ആങ്കിള്‍ DCA = DCQ ബൈ 2 =22.5 Degree
    അതുകൊണ്ട് ആങ്കിള്‍ DAC = 67.5
    Angle CAB = 22.5 Degree
    Angle PCB =67.5 Degree
    Angle B = 90 Degree
    So Angle CPB = 22.5
    So Angle A + P = Q

  23. manoj says:

    ആങ്കിള്‍ CQB ഒരു മട്ടത്രികോണം ആയതുകൊണ്ട് ആങ്കില്‍ ആങ്കിള്‍ Q 45 ഡിഗ്രീയാണ്.
    ആങ്കിള്‍ BCQ = 45 ഡിഗ്രി
    ആങ്കിള്‍ DCQ = 45 ഡിഗ്രി
    AP = PQ
    അതുകൊണ്ട് ആങ്കിള്‍ DCA = DCQ ബൈ 2 =22.5 Degree
    അതുകൊണ്ട് ആങ്കിള്‍ DAC = 67.5
    Angle CAB = 22.5 Degree
    Angle PCB =67.5 Degree
    Angle B = 90 Degree
    So Angle CPB = 22.5
    So Angle A + P = Q

  24. manoj says:

    ആങ്കിള്‍ CQB ഒരു മട്ടത്രികോണം ആയതുകൊണ്ട് ആങ്കില്‍ ആങ്കിള്‍ Q 45 ഡിഗ്രീയാണ്.
    ആങ്കിള്‍ BCQ = 45 ഡിഗ്രി
    ആങ്കിള്‍ DCQ = 45 ഡിഗ്രി
    AP = PQ
    അതുകൊണ്ട് ആങ്കിള്‍ DCA = DCQ ബൈ 2 =22.5 Degree
    അതുകൊണ്ട് ആങ്കിള്‍ DAC = 67.5
    Angle CAB = 22.5 Degree
    Angle PCB =67.5 Degree
    Angle B = 90 Degree
    So Angle CPB = 22.5
    So Angle A + P = Q

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s