ചന്ദ്രക്കലയുടെയും സമചതുരത്തിന്റെയും വിസ്തീര്‍ണ്ണം തുല്യമാണ്…



തന്നിരിക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ വശം ‘x”ആണ്. യഥാക്രമം A,B കേന്ദ്രങ്ങളായിട്ടുള്ള രണ്ടു ചാപങ്ങളാല്‍ നിര്‍മ്മിതമായിട്ടുള്ള ഒരു ചന്ദ്രക്കലയും ചിത്രത്തില്‍ കാണാം. A യുടെ ആരം 2 ന്റെ വര്‍ഗമൂലത്തിന്റേയും(Root 2) x ന്റേയും ഗുണനഫലവും Bയുടെ ആരം x ഉം ആണ്. സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണവും ചന്ദ്രക്കലയുടെ വിസ്തീര്‍ണവും തുല്യമാണെന്നു തെളിയിക്കുക എന്ന ഒരു ചോദ്യം വടകരയില്‍ നിന്നും വിജയന്‍ സാര്‍ അയച്ചു തന്നിരുന്നല്ലോ.

ഒട്ടേറെ പേര്‍ അതിന് ഉത്തരം നല്‍കിയിരുന്നു. തൃശൂര്‍ പെരിങ്ങോട്ടുകര GHSS ലെ സത്യഭാമ ടീച്ചര്‍, നീലേശ്വരം എടത്തിനല്‍ നിന്നും SM, വട്ടെനാട് GVHSS ലെ മുരളീധരന്‍ സാര്‍, പി.എ ജോണ്‍ സാര്‍ എന്നിവര്‍ ശരിയുത്തരം അയച്ചു തന്നിരുന്നു. ഉത്തരത്തിലേക്ക്…






സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം = x2

A കേന്ദ്രമായ വൃത്തത്തിന്റെ ആരം = √2x

crescent ന്റെ മറ്റേയഗ്രം E എന്ന് രേഖപ്പടുത്തുക

ഇപ്പോള്‍ C,B,E എന്നീ ബിന്ദുക്കള്‍ ഒരു നേര്‍രേഖയിലാണ്

< ABE= 90o (<ABCയും < ABEയും രേഖീയജോഡികളാണ് )

ത്രികോണം ABE ഒരു സമപാര്‍ശ്വമട്ടത്രികോണമാണ്

AB= BE ആയതിനാല്‍ < BAE = <AEB = 45o



ത്രികോണം ABC ഒരു സമപാര്‍ശ്വമട്ടത്രികോണമാണ്

AB = BC ആയതിനാല്‍ < BAC= 45o

ഇവിടെ



AEC എന്ന സെക്ടറിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം = π * √2x * √2x * (90/360)

= 1/2 πx2



B കേന്ദ്രമായ വൃത്തത്തിന്റെ ആരം = x

അതുകൊണ്ട് EQC എന്ന ചാപം ഒരു അര്‍ദ്ധവൃത്തമാണ്.

അതിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം = π *x *x * (180/360) = 1/2πx2

കോണ്‍ EAC=90o ആയ മട്ടത്രികോണം AEC യുടെ വിസ്തീര്‍ണം = 1/2*√2x * √2x

= x2

രണ്ടു സെക്ടറുകളുടേയും പൊതുവായ ഭാഗത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം = സെക്ടര്‍ AEC യുടെ വിസ്തീര്‍ണം ത്രികോണം AEC യുടെ വിസ്തീര്‍ണം



= 1/2πx2 – x2

=1.14/2 x2

crescent ന്റെ വിസ്തീര്‍ണം = B കേന്ദ്രമായ അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം

രണ്ടു സെക്ടറിന്റേയും പൊതുവായ ഭാഗം



= 1/2πx2– 1.14/2 x2

= x2





അതായത് ചന്ദ്രക്കലയുടേയും സമചതുരത്തിന്റെയും വിസ്തീര്‍ണം തുല്യമാണ്.



ഈ ചോദ്യത്തെ ആധാരമാക്കിയുള്ള Kig ഫയല്‍ Download ചെയ്യാന്‍ ഇവിടെ Click ചെയ്യുക

About hariekd

It is a movement from kerala High school teachers.
This entry was posted in Maths Magic. Bookmark the permalink.

4 Responses to ചന്ദ്രക്കലയുടെയും സമചതുരത്തിന്റെയും വിസ്തീര്‍ണ്ണം തുല്യമാണ്…

  1. Muneer says:

    ഒരു ചെറിയ സംശയം.
    >> ഇപ്പോള്‍ C,B,E എന്നീ ബിന്ദുക്കള്‍ ഒരു നേര്‍രേഖയിലാണ്

    ഈ നിഗമനം എന്ത് അടിസ്ഥാനത്തിലാണെന്ന് മനസ്സിലായില്ല. ചോദ്യത്തില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത് “ബി കേന്ദ്രം ആയ ചാപം എന്നാണ്”. “ബി കേന്ദ്രം ആയ അര്‍ദ്ധവൃത്തം” എന്ന് പറഞ്ഞിരുന്നെങ്കില്‍ മുകളിലത്തെ നിഗമനം ശരി ആവുമായിരുന്നു.

  2. Anonymous says:

    Muneer, u r right…
    But u pls read the Answer carefully.
    they are indicated it too…

  3. Anonymous says:

    Dear Muneer,
    There is a logical argument behind this construction.
    Step 1
    let us extend the diagonal CA first.The circle with center A and radius root 2 x meet at a point on C A extented.Now we can imagine a semicircle clearly.
    Step 2
    Think of the circle with radius x and center B. It will meet at a point on the semicircle that I draw previously.It is logically true.Let the meeting point is E.
    step 3
    I think you ask the clarification (logical) about the colliniarity of C B and E
    ABE IS A RT TRIANGLE.ABC is also a rt triangle.They are congruent and together form isocilus rt triangle EAC.we can complete a square by imaging another triangle congruent to it and joining hypotenuseof AEC.
    This rt triangle will have a circumcircle.The part of that circumcircle is not just an arc,it is semicircle itself as EC is circumdiametre or hypotenuse

    JOHN P A HIBHS VARAPUZHA

  4. THE answer can be proved using Pythegorean preposition.step 1:THE semi circle formed on the hypotonues is equalto the sum of the area of the semi circles formed on the two other sides
    step 2: throwing the big semi circle over to the other side we see two crescents taken together are equal to the triangle .
    step 3:if we take an isoceles triangle then each of these two crescents will be equal to the triangle.
    step:4: hence it is possible to form a right isoceles triangle whose area will be equal to that of a crescent and we can form a square with this triangle. SO THE AREA OF BOTH SQUARE AND CRESCENT ARE EQUAL( picture is also sent for clarification.if the blog team publish it is also easy to understand…vijayan N M (KPMSMHS ARIKKULAM)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s